DEVOIR DE MATHEMATIQUES08 – 03 – 2019Term. S Rouge

DEVOIR DE MATHEMATIQUES

08 – 03 – 2019 Term. S Rouge

EXERCICE

1

1) Soit la fonction g définie sur ]0 ;∞[ par gx=lnx2 x²– 3 . a) Déterminer la limite de g en 0 et en +∞.

b) Déterminer la dérivée de g.

c) Déterminer le sens de variations de g.

d) Montrer que l'équation g(x) = 0 admet une seule solution  et que [ 1 ; 2 ]. ∈ e) En déduire le signe de g(x) selon les valeurs de x.

2) Soit la fonction f définie sur ^]0 ;∞[ par fx=2

x–lnx

x 2 x – 5 et C sa courbe représentative.

a) Déterminer les limites de f. Que peut-on en déduire pour C ? b) Déterminer la dérivée de f et dresser le tableau de variation de f.

EXERCICE 2 : (3 pts)

TOURNEZ S.V.P.

EXERCICE 3 : ( 7 pts)

Un employé se rend à son travail en bus. S’il est à l’heure il prend le bus de ramassage gratuit mis à disposition par l’entreprise., s’il est en retard il prend le bus de ville qui lui coûte 1,5 €.

Si l’employé est à l’heure un jour donné, la probabilité qu’il soit en retard le lendemain est 1 5 S’il est en retard un jour donné, la probabilité qu’il soit en retard le lendemain est 1

20

Pour tout entier naturel non nul n, on appelle R_n l’événement : « l’employé est en retard le jour n ». On note p_n la probabilité de R_n . On suppose que p₁ = 0.

1) Détermination d’une relation de récurrence.

a) Donner les probabilités conditionnelles : PRnR_n1 et PRnR_n1 . b) Déterminer P ( R_n1 ∩ R_n ) et P ( R_n1 ∩ R_n ) en fonction de p_n c) En déduire que p_n+1 = – 3

20 p_n1 5

2) Etude de la suite (p_n). Pour tout entier naturel non nul n, on pose v_n = p_n - 4 23 . a) Démontrer que (v_n) est une suite géométrique de raison – 3

20 b) En déduire que p_n=− 4

23

(

)

c) Calculer la limite de (p_n).