FONCTION EXPONENTIELLE

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Chap.8 :

FONCTION EXPONENTIELLE

Partie 1 : fonction exponentielle

Propriétés : existence et unicité de la fonction exponentielle.

Il existe une unique fonction 𝑓 définie et dérivable sur ℝ telle que : 𝑓(0) = 1 et 𝑓⁽ = 𝑓

Cette fonction est appelée fonction exponentielle. On la note exp.

Ainsi la fonction exponentielle est définie et dérivable sur ℝ avec exp(0) = 1 et exp ′ = exp.

Démonstration : on admet l’existence d’une telle fonction 𝑓. On va démontrer son unicité.

1) On va montrer que, pour tout 𝑥 ∈ ℝ, 𝑓(𝑥) × 𝑓(−𝑥) = 1 et 𝑓(𝑥) ≠ 0.

Soit ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) × (−𝑥) pour 𝑥 ∈ ℝ. Alors ℎ est dérivable sur ℝ et

ℎ⁽(𝑥) = 𝑓⁽(𝑥) × 𝑓(−𝑥) + 𝑓(𝑥) × (−1) × 𝑓⁽(−𝑥) = 𝑓(𝑥) × 𝑓(−𝑥) − 𝑓(𝑥) × 𝑓(−𝑥) = 0 ℎ est donc une fonction constante sur ℝ. Or ℎ(0) = 𝑓(0) × 𝑓(−0) = 1 × 1 = 1

donc ℎ(𝑥) = 1 pour tout 𝑥 ∈ ℝ. Autrement dit 𝑓(𝑥) × 𝑓(−𝑥) = 1.

On en déduit que pour tout 𝑥 ∈ ℝ, 𝑓(𝑥) ≠ 0.

2) Soit 𝑔 une fonction qui vérifie les mêmes propriétés que 𝑓 : 𝑔⁽ = 𝑔 et 𝑔(0) = 1.

On définit une fonction 𝑘 par 𝑘(𝑥) =⁷⁽⁸⁾₉₍₈₎, ce qui est possible pour 𝑥 ∈ ℝ d’après le point précédent.

Alors 𝑘⁽(𝑥) =^7:(8)9(8);7(8)9^:(8)

<9(8)=^> =7(8)9(8);7(8)9(8)

<9(8)=^> = 0 donc 𝑘 est constante sur ℝ.

Or 𝑘(0) =^7(?)_9(?)= ^@_@= 1 donc pour tout réel 𝑥, 𝑘(𝑥) = 1.

On en déduit que pour tout réel 𝑥, 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) : la fonction 𝑓 est donc unique.

Partie 2 : propriétés algébriques

Pour tous réels 𝑎 et 𝑏, exp(𝑎 + 𝑏) = exp(𝑎) × exp(𝑏) Démonstration :

Soit 𝑏 ∈ ℝ. On définit une fonction 𝑓 sur ℝ par 𝑓(𝑥) =_DEF(G)^@ × exp(𝑥 + 𝑏).

Alors 𝑓 est dérivable sur ℝ et 𝑓⁽(𝑥) = _DEF(G)^@ × 1 × exp(𝑥 + 𝑏) =_DEF(G)^@ × exp(𝑥 + 𝑏) = 𝑓(𝑥).

De plus, 𝑓(0) =_DEF(G)^@ × exp(0 + 𝑏) = ^DEF(G)_DEF(G)= 1

On déduit des points précédents que 𝑓 est la fonction exponentielle, et donc que, pour tout réel 𝑥 :

@

DEF(G)× exp(𝑥 + 𝑏) = exp(𝑥), soit exp(𝑥 + 𝑏) = exp(𝑥) × exp (𝑏).

Propriétés : exponentielle, opposé, différence et puissance On déduit de la propriété précédente que :

• Pour 𝑎 ∈ ℝ : exp(−𝑎) =_DEF(H)^@

• Pour 𝑎 ∈ ℝ et 𝑏 ∈ ℝ : exp(𝑎 − 𝑏) =^DEF(H)

DEF(G)

• Pour 𝑛 ∈ ℕ et 𝑎 ∈ ℝ : (exp(𝑎))^K = exp(𝑛𝑎) Démonstration :

• D’après la démonstration précédente, on a exp(𝑎) × exp(−𝑎) = exp(𝑎 + (−𝑎)) = exp(0) = 1 Donc pour tout 𝑎 ∈ ℝ : exp(−𝑎) =_DEF(H)^@ .

• exp(𝑎 − 𝑏) = exp(𝑎) × exp(−𝑏) = exp(𝑎) ×_DEF(G)^@ =^DEF(H)_DEF(G)

• Soit 𝑎 ∈ ℝ. Soit (𝑢_K) la suite définie pour tout 𝑛 ∈ ℕ par 𝑢_K = exp(𝑛𝑎).

Alors pour tout 𝑛 entier, on a 𝑢_KM@ = exp<(𝑛 + 1)𝑎= = exp(𝑛𝑎 + 𝑎) = exp(𝑛𝑎) × exp(𝑎) = exp(𝑎) × 𝑢_K. On en déduite que (𝑢_K) est une suite géométrique de raison exp(𝑎).

De plus, 𝑢_? = exp(0 × 𝑎) = exp(0) = 1 donc 𝑢_K = 1 × (exp(𝑎))^K = (exp(𝑎))^K

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Partie 3 : nouvelle notation et nombre 𝒆.

Définition : nombre 𝒆.

Le nombre 𝑒 est l’image de 1 par la fonction exponentielle. On a donc exp(1) = 𝑒.

Notation : les propriétés algébriques précédentes sont analogues aux règles de calculs des puissances, on introduit donc une nouvelle notation : exp(𝑥) = 𝑒⁸.

Remarque : on a 𝑒 ≈ 2,72

Propriétés : nouvelle écriture et propriétés algébriques.

Les propriétés précédentes deviennent :

• Pour 𝑎 ∈ ℝ et 𝑏 ∈ ℝ : 𝑒^HMG = 𝑒^H× 𝑒^G

• Pour 𝑎 ∈ ℝ : 𝑒^;H =_T^@_U

• Pour 𝑎 ∈ ℝ et 𝑏 ∈ ℝ : 𝑒^H;G =^TU

T^V

• Pour 𝑛 ∈ ℕ et 𝑎 ∈ ℝ : (𝑒^H)^K = 𝑒^KH

Remarque : cette nouvelle notation permet d’appliquer les mêmes règles de calcul qu’avec les puissances.

Exemples : 𝑒^W× 𝑒^X = 𝑒^WMX = 𝑒^Y 𝑒^;Z=_T^@_> (𝑒^@,[)^X = 𝑒^@,[×X= 𝑒^\ (𝑒⁸)^X = 𝑒^X8

Partie 4 : lien avec les suites géométriques.

Propriété : exponentielle et suite géométrique

Soit 𝑎 ∈ ℝ. La suite (𝑢_K) définie pour tout 𝑛 ∈ ℕ par 𝑢_K = 𝑒^KH est une suite géométrique de raison 𝑒^H. Démonstration : voir 2^e point de la démonstration de la partie 2.

Exemple : la suite (𝑢K) définie par 𝑢K = 𝑒^ZK est géométrique de raison 𝑒^Z.

Remarque importante : réciproquement, pour tout réel 𝑞 > 0, il existe un unique 𝑎 tel que 𝑒^H = 𝑞 ; alors 𝑞^K = 𝑒^KH : le terme général de toute suite géométrique de raison strictement positive peut s’écrire avec la fonction exponentielle. On parle de hausse ou de baisse exponentielle dans le cas de modélisation par une suite

géométrique.

Exemple : un capital de 5000 € est déposé sur un compte au taux annuel de 4 %. On note 𝑢_K le montant du capital après 𝑛 années. Ainsi, (𝑢_K) est géométrique de raison 1 +_@??^X = 1,04 et 𝑢_K = 5000 × 1,04^K. Alors, comme 𝑒^?,?WaZZ ≈ 1,04, on a 𝑢_K ≈ 5000 × 𝑒^?,?WaZZK. Le capital suit une croissance exponentielle.

Partie 5 : propriétés analytiques

Pour tout 𝑥 ∈ ℝ, on a : 𝑒⁸ > 0.

Démonstration : si 𝑥 ∈ ℝ, 𝑒⁸ ≠ 0 d’après la propriété précédente, donc 𝑒⁸ = b𝑒^c>d^Z > 0.

Propriété : variations de la fonction exponentielle.

La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ.

Démonstration : par définition, la fonction exp. est dérivable sur ℝ et (𝑒⁸)′ = 𝑒⁸ > 0 donc la fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ.

Remarque : pour tous réels 𝑎 et 𝑏, on a :

• 𝑒^H = 𝑒^G ⟺ 𝑎 = 𝑏

• 𝑒^H < 𝑒^G ⟺ 𝑎 < 𝑏

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Propriété : exponentielle et racine carrée.

√𝑒 = 𝑒^@Z Démonstration : √𝑒^Z = 𝑒 et b𝑒^h>d^Z = 𝑒 donc√𝑒^Z = b𝑒^h>d^Z. Or √𝑒 > 0 et 𝑒^h> > 0 donc √𝑒 = 𝑒^h>

Propriété : exponentielle d’une fonction affine.

Si 𝑓 est une fonction définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 𝑒^H8MG, alors 𝑓 est dérivable sur ℝ et 𝑓⁽(𝑥) = 𝑎𝑒^H8MG

Remarques : 1) la démonstration se fait simplement en appliquant la règle de dérivation de la fonction exp.

2) On montrera de la même manière que (𝑒ⁱ)⁽ = 𝑢′ × 𝑒ⁱ avec 𝑢 définie et dérivable sur ℝ Exemples : (𝑒^Z8M@)⁽ = 2𝑒^@8M@ (𝑒^;j8MZ)⁽ = −8𝑒^;j8MZ

Partie 6 : courbe représentative de la fonction exponentielle.

Propriété : représentation graphique.

La fonction exponentielle est représentée par la courbe suivante :

Propriété : fonction 𝒙 ⟼ 𝒆^𝒌𝒙

Soit 𝑘 ∈ ℝ. Soit 𝑓 la fonction définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 𝑒^o8.

• Si 𝑘 > 0, alors 𝑓 est strictement croissante sur ℝ.

• Si 𝑘 < 0, alors 𝑓 est strictement décroissante sur ℝ.

Démonstration : 𝑓 est dérivable sur ℝ et 𝑓⁽(𝑥) = 𝑘𝑒^o8 donc 𝑓′(𝑥) est du même signe que 𝑘.

Si 𝑘 < 0 Si 𝑘 > 0