Vertex Coloring

(1)

Vertex Coloring

mardi 3 février 15

(2)

Why coloring ?

mardi 3 février 15

(3)

Why coloring ?

mardi 3 février 15

(4)

Why coloring ?

mardi 3 février 15

(5)

Why coloring ?

mardi 3 février 15

(6)

Why coloring ?

mardi 3 février 15

(7)

Why ones needs coloring ?

mardi 3 février 15

(8)

Why ones needs coloring ?

mardi 3 février 15

(9)

Why ones needs coloring ?

mardi 3 février 15

(10)

Why ones needs coloring ?

mardi 3 février 15

(11)

Why ones needs coloring ?

Transmission rule :

mardi 3 février 15

(12)

Why ones needs coloring ?

Transmission rule :

mardi 3 février 15

(13)

Why ones needs coloring ?

Transmission rule :

mardi 3 février 15

(14)

Why ones needs coloring ?

Transmission rule :

mardi 3 février 15

(15)

Why ones needs coloring ?

Transmission rule :

mardi 3 février 15

(16)

Why ones needs coloring ?

Transmission rule :

mardi 3 février 15

(17)

Why ones needs coloring ?

Transmission rule :

mardi 3 février 15

(18)

Why ones needs coloring ?

Transmission rule :

mardi 3 février 15

(19)

Why ones needs coloring ?

Transmission rule :

mardi 3 février 15

(20)

Why ones needs coloring ?

Transmission rule :

mardi 3 février 15

(21)

Why ones needs coloring ?

Transmission rule :

mardi 3 février 15

(22)

Why ones needs coloring ?

Transmission rule :

mardi 3 février 15

(23)

Why ones needs coloring ?

Transmission rule :

mardi 3 février 15

(24)

Why ones needs coloring ?

Transmission rule :

mardi 3 février 15

(25)

Vertex coloring

•

No two neighboring nodes have the same color

•

Use a minimal number of colors

mardi 3 février 15

(26)

Vertex-coloring origins ... 1852

•

One can color a map with 4 colors such that no two neighboring

countries have the same color

mardi 3 février 15

(27)

Centralized coloring

How many colors ?

mardi 3 février 15

(28)

Centralized coloring

Available colors:

mardi 3 février 15

(29)

Centralized coloring

Available colors:

mardi 3 février 15

(30)

Centralized coloring

Available colors:

mardi 3 février 15

(31)

Centralized coloring

Available colors:

mardi 3 février 15

(32)

Centralized coloring

Available colors:

mardi 3 février 15

(33)

Centralized coloring

Available colors:

mardi 3 février 15

(34)

Centralized coloring

Available colors:

mardi 3 février 15

(35)

Centralized coloring

Available colors:

mardi 3 février 15

(36)

Centralized coloring

Available colors:

mardi 3 février 15

(37)

Centralized coloring

Available colors:

mardi 3 février 15

(38)

Centralized coloring

Available colors:

mardi 3 février 15

(39)

Centralized coloring

Available colors:

mardi 3 février 15

(40)

Centralized coloring

Available colors:

mardi 3 février 15

(41)

Centralized coloring

Available colors:

mardi 3 février 15

(42)

Centralized coloring

Available colors:

mardi 3 février 15

(43)

Centralized coloring

Available colors:

mardi 3 février 15

(44)

Centralized coloring

Available colors:

mardi 3 février 15

(45)

Centralized coloring

Available colors:

mardi 3 février 15

(46)

Centralized coloring

Available colors:

mardi 3 février 15

(47)

Centralized coloring

Available colors:

mardi 3 février 15

(48)

Centralized coloring

Available colors:

mardi 3 février 15

(49)

Centralized coloring

Available colors:

mardi 3 février 15

(50)

Centralized coloring

Available colors:

mardi 3 février 15

(51)

Centralized coloring

Available colors:

mardi 3 février 15

(52)

Centralized coloring

Available colors:

mardi 3 février 15

(53)

Centralized coloring

Available colors:

mardi 3 février 15

(54)

Centralized coloring

Available colors:

mardi 3 février 15

(55)

Centralized coloring

Available colors:

mardi 3 février 15

(56)

Centralized coloring

Available colors:

mardi 3 février 15

(57)

Centralized coloring

•

Complexity

•

Number of steps ?

•

Number of colors ?

mardi 3 février 15

(58)

Distributed coloring

Available colors:

mardi 3 février 15

(59)

Distributed coloring

Available colors:

mardi 3 février 15

(60)

Distributed coloring

Available colors:

Pick the first available color !

mardi 3 février 15

(61)

Distributed coloring

Available colors:

mardi 3 février 15

(62)

Distributed coloring

Available colors:

mardi 3 février 15

(63)

Distributed coloring

Available colors:

mardi 3 février 15

(64)

Distributed coloring

Available colors:

mardi 3 février 15

(65)

Distributed coloring

Available colors:

No two neighboring nodes pick simultaneously a color!

mardi 3 février 15

(66)

Distributed coloring

Available colors:

mardi 3 février 15

(67)

Distributed coloring

Available colors:

mardi 3 février 15

(68)

Distributed coloring

Available colors:

mardi 3 février 15

(69)

Distributed coloring

mardi 3 février 15

(70)

Distributed coloring

No two neighboring nodes execute ???

mardi 3 février 15

(71)

Distributed coloring

No two neighboring nodes execute ???

4 1

3

5

6

8

mardi 3 février 15

(72)

Trees binary coloring

mardi 3 février 15

(73)

Trees binary coloring

mardi 3 février 15

(74)

Trees binary coloring

mardi 3 février 15

(75)

Trees binary coloring

mardi 3 février 15

(76)

Trees binary coloring

mardi 3 février 15

(77)

Trees binary coloring

mardi 3 février 15

(78)

Trees binary coloring

mardi 3 février 15

(79)

Trees binary coloring

mardi 3 février 15

(80)

Trees binary coloring

mardi 3 février 15

(81)

Trees binary coloring

mardi 3 février 15

(82)

Trees binary coloring

mardi 3 février 15

(83)

Trees binary coloring

mardi 3 février 15

(84)

Trees binary coloring

mardi 3 février 15

(85)

Trees binary coloring

mardi 3 février 15

(86)

Trees binary coloring

•

Local or Congest ?

•

^Complexity

•

^time

•

number of messages

mardi 3 février 15

(87)

Trees binary coloring

•

Local or Congest ?

•

^Complexity

•

^time

•

number of messages

Can I do better ?

mardi 3 février 15

(88)

Faster tree coloring

10101101

10101001

10100001

10100011

10100111

mardi 3 février 15

(89)

Faster tree coloring

Initially each node has a log(n)-bit id 10101101

10101001

10100001

10100011

10100111

mardi 3 février 15

(90)

Faster tree coloring

10101101

10101001

10100001

10100011

10100111 10101101

mardi 3 février 15

(91)

Faster tree coloring

Each parent sends to its children its id

10101101

10101001

10100001

10100011

10100111 10101101

mardi 3 février 15

(92)

Faster tree coloring

10101101 10101001

10100001

10100011

10100111 10101101

mardi 3 février 15

(93)

Faster tree coloring

10101101 10101001

10100001

10100011

10100111 10101101

10101101

mardi 3 février 15

(94)

Faster tree coloring

10101101

10101001 10100001

10100011

10100111 10101101

10101001 10101101

mardi 3 février 15

(95)

Faster tree coloring

10101101

10101001 10100001

10100011 10100111 10101101

10101001 1010001110101101

mardi 3 février 15

(96)

Faster tree coloring

10101101

10101001

10100001

10100011

10100111 10101101

10101001

10101101

10100011

mardi 3 février 15

(97)

Faster tree coloring

Each node creates a new id

10101101

10101001

10100001

10100011

10100111 10101101

10101001

10101101

10100011

mardi 3 février 15

(98)

Faster tree coloring

10101101

10101001

10100001

10100011

10100111 10101101

10101001

10101101

10100011 100

mardi 3 février 15

(99)

Faster tree coloring

10101101

10101001

10100001

10100011

10100111 10101101

10101001

10101101

10100011

100 011

mardi 3 février 15

(100)

Faster tree coloring

10101101

10101001

10100001

10100011

10100111 10101101

10101001

10101101

10100011 100

110

011

mardi 3 février 15

(101)

Faster tree coloring

10101101

10101001

10100001

10100011

10100111 10101101

10101001

10101101

10100011 100

110

011

101

mardi 3 février 15

(102)

Faster tree coloring

10101101

10101001

10100001

10100011

10100111 10101101

10101001

10101101

10100011 100

110

011

101 000

mardi 3 février 15

(103)

Faster tree coloring

000

100

110

011

101

mardi 3 février 15

(104)

Faster tree coloring

Repeat the process until ids in 0..5 000

100

110

011

101

mardi 3 février 15

(105)

Faster tree coloring

000

100

110

011

101 000

mardi 3 février 15

(106)

Faster tree coloring

000

100

110

011

101 000

mardi 3 février 15

(107)

Faster tree coloring

000100

110

011

101 000

mardi 3 février 15

(108)

Faster tree coloring

000100

110

011

101 000

000

mardi 3 février 15

(109)

Faster tree coloring

000

100110

011

101 000

100 000

mardi 3 février 15

(110)

Faster tree coloring

000

100110

011 101 000

100 011000

mardi 3 février 15

(111)

Faster tree coloring

000

100

110

011

101 000

100

000

011

mardi 3 février 15

(112)

Faster tree coloring

000

100

110

011

101 000

100

000

011

mardi 3 février 15

(113)

Faster tree coloring

000

100

110

011

101 000

100

000

011 101

mardi 3 février 15

(114)

Faster tree coloring

000

100

110

011

101 000

100

000

011 101

011

mardi 3 février 15

(115)

Faster tree coloring

000

100

110

011

101 000

100

000

011 101

011

001

mardi 3 février 15

(116)

Faster tree coloring

000

100

110

011

101 000

100

000

011 101

011

001

010

mardi 3 février 15

(117)

Faster tree coloring

000

101

011

001

010

mardi 3 février 15

(118)

Faster tree coloring

Repeat the process until ids in 0..5 000

101

011

001

010

mardi 3 février 15

(119)

Faster tree coloring

000

101

011

001

010

mardi 3 février 15

(120)

Faster tree coloring

Reduce the ids from 6 to 3 ! 000

101

011

001

010

mardi 3 février 15

(121)

Faster tree coloring

000

101

011

001

010 000

mardi 3 février 15

(122)

Faster tree coloring

Shift-down 000

101

011

001

010 000

mardi 3 février 15

(123)

Faster tree coloring

Shift-down

000

101 001

000

mardi 3 février 15

(124)

Faster tree coloring

Shift-down

000

101 001

000 001

mardi 3 février 15

(125)

Faster tree coloring

001

000

101

000

001

mardi 3 février 15

(126)

Faster tree coloring

If id >2 change id to first free in 0..2!

001

000

101

000

001

mardi 3 février 15

(127)

Faster tree coloring

001

000

101

000

001

mardi 3 février 15

(128)

Faster tree coloring

001

000

101

000

001 001

mardi 3 février 15

(129)

Faster tree coloring

•

^{3 colors}

•

Complexity : O(log^*(n)) exercice TD !!!!

log^*(n)=min{i, log⁽ⁱ⁾(n)≤2}

log⁽¹⁾(n)=log(n)

mardi 3 février 15