À propos de la série $\sum \limits _{n = 1}^{+ \infty } \frac{x^n}{q^n - 1}$

D

ANIEL

D

UVERNEY

À propos de la série

+∞

∑

n=1 xn

qn₋₁

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome

8, n

o

_{1 (1996),}

p. 173-181

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A _propos de la série

$$+~03A3n=1

xn/qn-1

par DANIEL DUVERNEY

1. Introduction

Le but de cet article est de

_g6n6raliser

certains r6sultats obtenus _par P. Borwein dans

_[5]

et

_[6],

et par P. Bundschuh et K. Vaananen dans

_[8].

Pour tout _corps de nombres

_K,

on

_d6signera

_{par R}

l’anneau des entiers

de K.

Nous d6montrerons essentiellement le r6sultat suivant :

THÉORÈME 1. SOit., R. On _{suppose que}

-ou

_{den 77 d6signe}

le dénominateur de _1/, et :

Pour certaines valeurs

_{particulieres}

de x, on _peut obtenir un r6sultat un _peu meilleur

(essentiellement

lorsque x

est une racine de

_l’unit6).

En

particulier

pour x =1 :

THÉORÈME

2. Soit K

Q.

Soit q

E

_K,

avec

R. On _{suppose que :}

avec

Le théorème 2 est à comparer au

_premier

résultat d’irrationalité

concer-nant la série , obtenu par P. Erdôs

[10]

pour q entier. Dans ce

cas, la mesure d’irrationalité fournie _{par le} théorème 2 est w --

_4,31012.

On déduit

_également

du théorème

_2,

par

exemple,

le résultat suivant :

2. Deux lemmes

_techniques.

LEMME 1. Soit K un _corps de nombres

_{quelconque,~soit}

R l’anneau de ses

entiers,

et soient _{r, s}

_{E R,}

avec

_{1 r 1}

&#x3E;

_{s ~ 1}

&#x3E; 0. Alors il existe un

_multiple

commun

Hn

dans R aux nombres r - _s,

r2 -

s2, ... ,

_{r’~ - s’~,}

vérifiant :

Donc : O

O

où

_p(d)

_désigne

l’indicateur d’Euler.

Il en résulte immédiatement _que le nombre

_{H n}

défini _{par :}

est un

multiple

commun à r - s,

r2 -

s2, ... ,

rn - sn. n reste à obtenir la

majoration

(7).

On sait _{que pour} d &#x3E; 3

_{[3] :}

où c est une constante.

Donc :

où 0 est une constante.

Mais on a

([11],

_p.

268) :

et il est facile

de voir que,

Ainsi

₍₇₎

est démontrée.

REMARQUE

1. Si R =

Z,

_on

_peut

démontrer _que

Hn

défini _par

(8)

_est le

PPCM de r - _s,

r2 -

s2, ... ,

Voir

[4].

REMARQUE 2.

Pour

_majorer

_IHnl,

on aurait _pu utiliser une formule

généra-le de M.

_Mignotte

_([12],

corollaire

_1).

Cette formule aurait seulement donné

3

+ 6 à la

_place

de 1 + 6’ dans

_(7),

mais cela aurait été suffisant _pour la suite.

LEMME Soit E

(~,

et A E

1~,

A &#x3E; On _suppose

_qu’il

existe deux suites

Pn

et

_Qn

d’éléments de R

_(R

anneau des entiers de

K,

K

= Q

ou K

=

vérifiant :

1 - - 1

Alors x est irrationnel.

De

_{plus :}

Ve &#x3E;

_{0, ~qo}

= N tel

que :

u

avec

Démonstration. Elle est tout à fait

_analogue

à celle du lemme 3 de

_[1]

par

exemple,

et nous l’omettons.

3. Démonstration du théorème 1.

Nous utilisons les

_approximants

de Padé de

_{f (x)}

obtenus dans

_[9].

En

_posant

un

= q’ - 1,

il a été démontré dans

_[9],

théorème

_4,

_{que :}

Dans

₍₉₎

et

_(10),

les

_{coefficients q-binomiaux}

n

sont définis par :

p

e

avec

pour n &#x3E;

1. Selon la formule

(41)

de

[9],

on obtient _pour 1 :

où

_C(q)

ne

_dépend

ni de _x, ni de n.

Soit y

&#x3E; 0.

Nous suivons la démarche de P. Borweim dans

_[5],

_{et remarquons que :}

où

_[yn]

est la

_partie

entière de _yn.

Nous

_reportons

ceci dans

_(11),

_pour obtenir :

y a

Si nous _{posons q = r-} avec _r, s, a,

fl

E R,

une vérification s

$

fastidieuse mais sans difficulté montre que :

(La

multiplication

par

Hn

sert à chasser les uk dans

l’expression

(11)

de la

_{multiplication}

par

Ln

sert à chasser les dénominateurs de la somme la

_{multiplication}

_par

sert à chasser les dénominateurs des coefhcients de

Qn

et

_{Pn ;}

_enfin,

ceci étant

_fait,

on

_peut

tout diviser par

Jn, qui

divise tous les

_produits

On _a, en vertu du lemme 1 :

Par

_ailleurs,

en

_prenant

on a:

et il est facile de vérifier que :

On obtient

_ainsi,

en

multipliant

D’où:

Nous utilisons maintenant le lemme 2. La condition

_a)

est vérifiée

_{si x *}

0

puisque

₁

lemme

_2).

Les conditions

_b)

1 - . 1 -

-1 1 1

Il reste à choisir y pour obtenir la

plus

petite

valeur

possible

de ùJ

= ~

_{+ 1,}

et à vérifier que pour cette valeur ,0 on a

₍₃

&#x3E; 0. Avec les notations du lemme 2 :

Une étude de variations montre _{que w} est minimum

_{lorsque y}

est

_égal

à la racine

_positive

de

_{l’équation}

+2013120132013r==0.

On choisit donc :

7r2

Dans ce _cas,

positif si :

1 sera strictement

et en

remplaçant

_{yo par} sa valeur on obtient :

Le théorème 1 est démontré.

4. Démonstration du théorème 2.

La démonstration du théorème 2 est

_identique

à celle du théorème

_1,

sauf que, en

_supposant

0

_{, ~ 1,}

la

multiplication

_par

_~n

est inutile

_(si

y &#x3E;

_1,

c’est la

_{multiplication}

par

~In

qui

est

inutile,

mais les résultats sur

à sont moins

_bons).

La

_majoration

₍₁₆₎

devient :

La relation

₍₁₉₎

devient :

Le minimum de CJ) est atteint _pour la valeur _yo =

_l,

_et la condition

{3

_&#x3E; 0

équivaut

à :

Je remercie l’arbitre pour ses suggestions et les améliorations qu’il m’a permis

d’ap-porter à cet article.

Bibliographie

[1]

K. Alladi and M.L. Robinson, Legendre Polynomials and _{Irrationality,} J. Reine

Angew. Math. 318 _{(1980), 137-155.}

[2]

J.M. Arnaudiès, L’irréductibilité des _{polynômes cyclotomiques,} R.M.S. _(Octobre

1991).

[3]

P.T. Bateman, Note on the coefficients of the cyclotomic polynomial, Bull. Amer.

Math. Soc. 35 _{(1945), 1180-1181.}

[4]

J.P. Bézivin, Plus _petit commun multiple des termes consécutifs d’une suite

récur-rente _linéaire, Collect. Math. 40, 1 _(1989), 1-11.

[5]

P.Borwein, On the irrationality of

03A3(1/(qn

+ _r)), J. Number Theory 37 _(1991),

253-259.

[6]

P.Borwein, On the irrationality of certain _series, Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 112

(1992), 141-146.

[7]

P. Bundschuh, Ein Satz über ganze Funktionen und Irrationatätsaussagen,

Inven-tiones Math. 9 _{(1970), 175-184.}

[8]

P. Bundschuh and K. Väänänen, Arithmetical Investigations of a certain infinite

product, Compositio Math. 91

_(1994),

175-201.

[9]

D. _{Duverney, Approximants} de Padé et U-dérivation, Bull. Soc. Math. France 122

(1994), 553-570.

[10]

P. _Erdôs, On arithmetical _properties of Lambert Series, J. Indian Math. Soc. _(N.S.)

12 _(1948), 63-66.

[11]

G.H. _Hardy and E.M. _Wright, An introduction to the _{Theory of Numbers,} Oxford

[12]

M. _Mignotte, An Inequality about Irreducible Factors _{of Integer Polynomials,} J.

Number Theory 30 _(1988), 156-166.

Daniel DUVERNEY

24, Place du Concert