Sur les fonctions zêta attachées aux classes de rayon

J

OURNAL DE

T

HÉORIE DES

N

OMBRES DE

B

ORDEAUX

W

OLFGANG

J

ENKNER

Sur les fonctions zêta attachées aux classes de rayon

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome 7, n

o

_{1 (1995), p. 1-14}

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Sur les fonctions zêta attachées

aux

classes de

_rayon

par

Wolfgang

JENKNER

1. Soit

_K/Q

une extension finie

(quadratique,

_pour la

plupart

des con-sidérations

_suivantes)

et soit m un idéal

(~ (0),

comme tous les idéaux dont il est

_question

_ici)

dans l’anneau 0 des entiers de K.

_Désignons

_par

_I(m)

le _groupe

_engendré

_par les idéaux a tels _que a et m soient

_premiers

entre

eux et _par

_P(m)

le _sous-groupe des idéaux

_principaux.

Soient

_Pm

= _E

1

_mod"m}

et

_{f~+ =}

_{(x)

E

fm

_Qi(x)

&#x3E;

_{0, " -}

_(x)

&#x3E;

₀₁

où

~1, ~ ~ - , QTl sont les

_{Q-monomorphismes}

K -&#x3E; R. Pour un _groupe

-soit

_H(C)

=

I(m)/C.

Pour Re s &#x3E;

_1,

on définit la

fonction

zêta

_partielle

attachée à la classe aC

par

-Ce sont

_{respectivement}

les fonctions zêta de Hurwitz et

_{d’Epstein lorsque}

n

_égale

1 ou 2.

Évidemment,

il est

_possible

de ramener les fonctions de cette forme aux fonctions L attachées aux caractères du _groupe

~(C),

mais cette méthode ne

_permet

_pas, à ce

qu’il semble,

de trouver des

_inégalités

satisfaisantes touchant les

_intégrales

pour peu que l’on s’intéresse à la

façon

dont ces

_{expressions dépendent}

de l’idéal m. C’est donc le

_sujet

de ce

_qui

suit.

2. On commence _par

quelques

considérations

élémentaires,

dont l’idée de base se trouve dans

_[4,

_Kap.

V

_Aufg.

_16].

LEMME 1. Soit et

_{c, d}

E Z.

_{Soit p -}

_{p.g.c.d. (c,}

_d,

_K).

De

_plus,

soient

_S,

_{T, U, V}

tels _que

Soit M :=

min{S, U}

ainsi _que N :=

min{T, V~.

Alors le nombre des

(s,

t,

u,

v)

E

7G4

_satisfaisant

aux conditions

est

Preuve. Tout

_d’abord,

il convient de

_compter

les

_quadruplets

en

_question

dont au moins une

_composante

est

_égale

à

_zéro;

il en ’ existe

Dès

_lors,

on

_peut

_{supposer que} 0 _et,

_quitte

à

_remplacer

(c, d)

par

(±c,dbd),

il suffit même de ne considérer _que les

(s, t, u, v)

E

1~4 .

De

_plus,

on

_n’apporte

_pas de restriction au

_problème

si l’on _{suppose que}

p.g.c.d. (c,

d,

K)

= 1.

Soient _a, bEN

_premiers

entre eux et tels _que

À

_partir

de

_là,

on renverse la situation :

Étant

donnés a et

_b,

on va chercher les

_{(s, t), (u, v)}

tels _que la relation ci-dessus ainsi que les

hypothèses

du

lemme soient verifiées.

On voit tout de suite que le nombre des

_couples

_(u,

_v)

est

En ce

qui

concerne les

(s, t),

il faut d’abord résoudre

On voit de

_façon

élémentaire

_qu’il

existe une

bijection

entre les

_(a,

_b,

_n)

satisfaisant à ce

_système-là

et les solutions

_(a’,

_b’,

_n’)

du

_système

suivant:

où

et la

_bijection

est donnée _par

Donc,

pour

qu’il

y ait une

solution,

il faut et il suffit _que

et dans ce _cas, il _y a une seule solution n mod K

(car

Kdl

=

K).

Par

conséquent,

le nombre des

_couples

_(s,

_t)

est

Soit

où les a sont tels _que a M et

_{(c, K)}

_a,

alors _que les b doivent satisfaire

à b et b ~

_r(a,)

mod

_Kc,

la classe de

_r(a)

mod

_Kc

étant donnée par

les considérations ci-dessus. Cette somme est

et il suffit

_{d’y joindre l’expression analogue}

_que l’on obtient dans le cas b &#x3E;

_{~~ 1 c~,}

le

_remplacement

de 1 +

_log

par

log+

étant

justifié

par

l’inégalité

Esquissons

brièvement l’idée

_principale

de ce

_qui

va suivre :

Étant

donné un

polynôme

on se _propose comme but de

_compter

(en

quelque

sorte)

les solutions de

l’équation

Or,

on a l’identité

avec

Pourvu _que l’on soit assez chanceux _pour

disposer

de bornes raisonnables

pour ~c, v,

s, t,

on a donc ramené le

problème

au lemme

précédent.

. On définit

une action de G sur

Z[X, Y]

_par

’

et une action de G sur

Z2 par

D’après

ces

_{définitions,}

on a

(8.

F)(S .

(x, y))

=

F(x, y).

Soit Aut F =

PournEN,onpose

; on voit facilement _que

l’application

est un

monomorphisme,

de sorte que l’on

_peut

identifier Aut F à un

sous-groupe de

Aut Fh,

ce

_{qui s’explique}

encore mieux _par

_comparaison

avec le

corps

Soit

_K/Q

une extension finie. Soit U le _groupe des unités de K et soit

U+ =

_{u

E U

_{1 N(u)}

=

1},

où N est la norme _par

_rapport

à

_Q.

D’une

façon plus générale,

pour un idéal m

a O,

on définit

Um

=

u

_E

U 1 u

=-1

_{mod m}}

et

_{C7 = lu}

E

₁

_N(u)

=

1}

ainsi que

Um+ _

lu

_E

Um

1

&#x3E; 0, ... ,

UrI

( U)

&#x3E;

_O}.

De

_plus,

pour un _corps

_quadratique,

il existe une unité

_{qui engendre}

Um

(modulo

{tl}

lorsque -1

E

Um)

et dont la valeur absolue est &#x3E;

_1;

soit em

cette valeur absolue.

En ce

_qui

concerne le

polynôme

Fh

(dont

on _suppose désormais _que D est

où

est un

_{isomorphisme.}

De manière

_{plus générale,}

on a

avec _p =

(2Ca -

Bb) là

_{et q} =

(2Ab -

Ba)/0.

Comme on sait

[6,

§10],

il

existe un idéal Qt de K =

Q(B/D)

donné _par une base orientée

(e, 17)

telle

que

de sorte que

avec a =

-pe -

_qi7.

Quitte

à

remplacer

21 _par

(l)~1,

avec un nombre 1 E N de sorte

_{que 2t}

et a soient

entiers,

on est à même d’énoncer ce

qui

suit : PROPOSITION 1. Soit K un _corps

_quadratique.

Soit un idéal donné

par une base orientée

(ç, 1]);

soit a E

_OK

et

On considère le

_polynôme

Alors

est

_commutatif.

(En

ce _cas, on

_peut

définir :=

E..)

Si a est un idéal tel _que a + m =

1,

on définit

On

_peut

choisir c 0 tel que ac E

_C,

c’est-à-dire ac = avec a z

1 mod’m, N(a)

&#x3E;

_0,

et tel _que c et D soient

_premiers

entre eux. En définissant

où

_(~7/)

est une base orientée de _me, on obtient

(tandis

que

rF (m~ ~

0 si Nc

{m).

C’est,

pour

l’essentiel,

une

conséquence

de la

_proposition

ci-dessus.

4. Pour voir réalisé le souhait

_exprimé

à la fin du

_paragraphe

2 il faut

que F soit donné d’une

façon particulière:

DÉFINITION

1. Un

_polynôme

est réduit

_(par

_rapport

à

_G)

si

Soit T &#x3E;

_0,

et soit ~’ réduit. Si l’on choisit un

système

de

représentants

D(T)

pour

~

on a _{pour n} T

Avec un choix

_approprié

de

D (T) (c’est-à-dire

un secteur

_d’ellipse

_pour

D 0 et un "secteur"

d’hyperbole

_pour D &#x3E;

_0),

on arrive aux

inégalités

suivantes

_(les

notations sont comme à la fin du

paragraphe

2):

c’est

_juste

ce

qu’il

faut _pour

pouvoir appliquer

le lemme 1:

PROPOSITION 2. Soit

Alors,

pour T &#x3E; 0

~~:=6~.~

.

Pour ce

résultat-là,

on ne s’est servi _que de la condition banale

Avec une

_{hypothèse supplémentaire,}

en

_appliquant

la théorie des diviseurs élémentaires à la matrice

2A B

on

_peut

montrer un _peu

plus

(on

_désigne

par

r(d)

le nombre des diviseurs de

d):

PROPOSITION 3. On suppose de

plus

que

(6,

D)

= 1.

Alors,

pour T &#x3E; 0

Toutefois,

c’est de la

_{proposition 2,}

_que l’on va faire _usage dans la

_suite;

au

moyen des résultats du

paragraphe précédent,

elle se traduit de la manière

suivante dans le

_langage

des idéaux

_(pour

ce

_qui

est de _p, cf. la définition

PROPOSITION 4. On a

DÉFINITION

2.

Remarque 1:

On a

Toutefois,

c’est une définition

qui

ne

_s’impose

_pas à

_première

_{vue, mais}

_qui

s’explique

par la suite.

Remarque

~: Soit j

est intéressant de mettre les résultats ci-dessus en

_comparaison

avec ceci:

où

(On

a

posé

w(d) _

#~p

E et

_L(s)

=

L(s,

xD)

où

xD est le caractère

quadratique primitif

de

_Z/(d).)

C’est _que la fonction a la

représentation

ce

qui

_permet

_{d’appliquer}

les méthodes habituelles de

_{l’intégration}

com-plexe jointes

à

_{quelques inégalités}

difhciles

_(cf.

_[5])

touchant les valeurs

5. Soit

_K/Q

une extension finie de

degré

n = _{ri +}

_2r2-

Soient 1) la

différente et d la valeur absolue du discriminant de cette extension. Soit m C7.

_{Soit X}

un caractère du _groupe

H(Pm+).

On a une

_application

qui

donne la suite exacte

de sorte que l’on a un caractère

et un autre caractère

tels _que

si l’on écrit

Soit m = le nombre des fois _que -1 se trouve

_parmi

les valeurs suivantes:

On définit une fonction

méromorphe

_par

Soit

_Pm+

C

_Pm

et soit

Il existe une

_équation

fonctionnelle

(que

l’on

_peut

démontrer à

_partir

de celles attachées aux fonctions

L):

PROPOSITION 5

(ÉQUATION

_{FONCTIONNELLE).}

Etant donnée un caractère

X du groupe

H(C)

et un idéal n a

_OK,

soit

Alors,

pour u 0

(On

a identifié

U/Um

à

_l’image

de U dans et Tr est la _{trace par}

rapport

à l’extension

_K/Q.)

En

_adaptant

les méthodes de

_[1],

on obtient dans le cas d’une extension

quadratiques

(C

étant definie comme dans le

_paragraphe

_{précédent):}

PROPOSITION 6

_(ÉQUATION

FONCTIONNELLE

_APPROCHÉE).

Soit 0 Q 1 et soient

_{x, y, t}

E If8 tels _que les conditions suivantes soient

satisfaites:

.

Alors,

on a

avec

et où la constate

_impliquée

_par 0 ne

dépend que du

_{corps K.}

De cette

_façon,

on a

_exprimé

une fonction zêta _par des

polynômes

de

LEMME 2. Soit

_(Àn)

E une suite strictement monotone. On _suppose

qu’il

existe un nombre _p &#x3E; 0 tel que la condition

soit

_verifiée.

De

_plus,

soient an E C et N E

_R+.

On considère

Alors,

pour T &#x3E; 0

où

et

C’est

_{précisément}

là _que se _pose le

_problème

de trouver une

_inégalité

comme celle de la

_{proposition 4;}

en même

_temps,

on voit la raison de la définition 2.

1

A _proprement

_parler,

c’est d’une moyenne double que l’on a

besoin;

cepen-dant,

au lieu

_{d’invoquer,}

là

_aussi,

les méthodes de

[3],

on

_{préfère peut-être}

voir le résultat

_explicite

_{que voici:}

Pour T &#x3E;

_0,

soit

pour une fonction mesurable

PROPOSITION 7. Soit

_{f : WT --&#x3E;}

_{[0, oo)}

une

fonction

mesurable telle _que

avec des

fonctions

mesurables

R,

S’ : -

[0,00).

Soit M &#x3E; -1.

_{Alors, pour -M}

::; À 1 et pour tout

So

E

_R,

En

_posant

et

on est à même

d’appliquer

les outils donnés _par le lemme 2 et la

proposi-tion 7 à la

_proposition

_6,

ce

_qui

donne finalement PROPOSITION 8. Soit T &#x3E; 8

_(par

On a

BIBLIOGRAPHIE

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1981. Wolfgang JENKNER Universitât Wien Institut für Mathematik Strudlhofgasse 4 1090 _Vienne, Autriche e--mail : _{wolfgangQnelly.mat.univie.ac.at}