Arpenter l’univers
Jean-Philippe Uzan Institut d’Astrophysique de Paris
Laboratoire de Physique Théorique, Orsay
Plan
• Les équations de Friedmann
• Distances : un choix difficile
• Application à la cosmologie
• Conclusions
Les équations de Friedmann
x = a(t) r
v ij = aç(r i à r j ) = H x ij
Modèle : sphère de poussière (P=0) homogène [ρ=ρ(t)]
en évolution homologue
Décalage vers le rouge
` phys = a(t) ` com
1 + z =
õ
p hysemõ
p hysrec= a
em
a
recv = H 0 d
z ø v=c
d ø z D H 0
Loi de Hubble
Effet Doppler
Distance
Valable pour des objets proches
Conservation de la matière
ú(t) x 3 (t) / ú(t)a 3 (t)
ú(t) / a à 3 (t)
úç + 3H ú = 0
La quantité de matière dans un boule physique de rayon x est constante
E K = 2 1 mxç 2
E G = à GM(< x)m x M(< x) =
4ùúx3 3E = E G + E K = const :
Conservation l’énergie totale:
Equations de Friedmann
a
à á aç 2
= 8ùG 3 ú à K c a 2 2
úç + 3H ú = 0
Valable pour de la matière non-relativiste seulement.
Introduction de Λ
E Ë = à m Ë c 6
2x 2
Tous les énergies sont proportionelles à x2. On peut aussi considérer un terme de la forme
a
à á aç 2
= 8ùG 3 ú à K c a 2 2 + Ë c 3 2
On obtient alors, les equations pour de la matière et une constante cosmologique
Constante cosmologique
F = m à 4ùGú + Ëc à 2 á
3 x
Avec ce nouveau terme, la force agissant sur une particule est
La constante cosmologique s’oppose donc à l’attraction gravitationelle.
Il existe d’ailleurs une solution dans laquelle elle compense exactement la gravité pour donner une distribution statique
Ë =
c24ùGú
; aç = 0; ú = const :
Autres types de matière
úç + 3H ú + à c P 2 á
= 0
L’approche newtonienne ne se généralise pas à d’autres types de matière
Pour une équation d’état P(ρ):
P = w ú c 2 ) ú / a à 3 ( 1 + w )
Ce qui implique:
Forme générale
a
à á aç 2
= 8ùG 3 ú à K c a 2 2 + Ë c 3 2 úç + 3H ú + à c P 2 á
= 0
3 variables – 2 équations : P(ρ) ?
Pourquoi est-ce que ça marche ?
Conventions pour la suite
t 0
a
0= a(t
0) ñ 1
c = 1
ô ñ 8ùG
aujourd’hui
L’«alpha» et les Omega(s)
Ò
0=
3H20
8ùGú0
Ò
Ë=
3H20
Ò
K= à
a2 Ë0H20 K
Introduisons
H = H
0E (a)
E
2(a) = Ò
0a
à 3+ Ò
rad0a
à 4+ Ò
Ka
à 2+ Ò
ËÒ 0 + Ò rad0 + Ò K + Ò Ë = 1
L’équation de Friedmann prend la forme
avec
On en déduit que les «Ω» sont liés par la relation
Quelques chiffres H 0 = 100 h km:s à 1 :Mpc à 1
ú crit = 1:88 h 2 â 10 à 29 g:cm à 3
Ò
rad= 4 â 10
à 5h
à 2Ò
b= 3:66 â 10
à 3ñ h
à 2z eq = 4:2 â 10 4 Ò 0 h 2
t
H= 1=H
0= 9:78 h
à 1â 10
9ans
D
H= c=H
0= 9:26 h
à 1â 10
25m
Le triangle cosmique
A ce niveau de description, seuls 4 nombres semblent nécessaires pour décrir la dynamique de l’univers...
Dynamique des univers FLRW (1)
ú = ú 0 a à 3
a
à á aç 2
= C a à 3 a
p da = p C
dt
Comme premier exemple, considerons un univers dominé par de la matière.
a(t) / t 2=3
Dynamique des univers FLRW (2)
ú = ú 0 a à 4
a
à á aç 2
= C a à 4 ada = p C
dt
Je vous laisse rapidement faire le cas d’ un univers dominé par de la radiation.
a(t) / t 1=2
Dynamique des univers FLRW (3)
ú = ú 0
a
à á aç 2
= C da=a = C
p dt
Pour finir, considerons le cas d’un univers dominé par une constante cosmologique.
a(t) / exp p C
t
Age de l’univers
dt =
daaç=
a H (a )dat
0= R
0 t0
dt =
H0
1
R
0 1
a E (a ) da
É t(a
ã) = t
0à t(a
ã) =
H0
1
R
aã
1
a E (a ) da
t 0 = H
0
1 R
0 1
(1+ z)E (z) dz
É t(z
ã) =
H0
1
R
0 zã
(1+ z)E (z) dz
Le temps de « regard en arrière » est la différence entre l’âge de l’univers aujourd’hui et l’âge de l’univers au moment où le photon a été émis
(ΩM,ΩΛ)=(1,0) [ __ ]; (0.05,0) [...]; (0.2,0.8) [--]
Distances : un choix difficile
Méthode des parallaxes
Pour des objets proches, on peut utiliser cette méthode
R ' ò
1
à ò
2D
Comment généraliser cela aux échelles cosmologiques?
Courbure et métrique
d`
2= dÿ
2+ f
2K(ÿ )dÒ
2K = 0 : f
K= ÿ
K > 0 : f
K= R
csin(ÿ =R
c) K < 0 : f
K= R
csinh (ÿ =R
c)
K =
R2 ck
R
c=
H0
c
jÒKj
p
1Distance radiale comobile
ÿ (z) = H
0
1 R
0 z
E (z) dz dÿ =
dta=
a2H (a )En partant de da
on déduit
Cette quantité est fondamentale: toutes les autres distances s’exprimeront en fonction d’elle.
Application: Ω=1 (K=0), Λ=0, matière
ÿ (z) = H
0
2 1 à p 1 1+ z
ð ñ
Diamètre angulaire
` com ?
` com ? = f K (ÿ )ò
Application: cas plat
ò(z) = ÿ (z) ` com ò(z) = a ÿ (z) `
physò(z) = ` phys 2 H 0 p (1+ z) 1+ z à 1 3=2
Distance luminosité (1)
þ obs = 4ùD 2
L
L source
Distance luminosité (2)
L
source= É E
em=É t
emS(ÿ ) = 4ùf
2K(ÿ )a
20E
obs= E
ema(t
em) É t
obs= É t
em=a(t
em)
D L (z) = (1 + z)f K ( ÿ (z) )
La luminosité de la source est donnée par
La surface de la sphere centrée sur la source est
L’énergie et le temps de réception des photons sont
D’où
Distance luminosité (3)
On a une expression pou DL(z) mais la luminosité de la source est inconnue
D
2L(z
ã) D
2L= L
ã
L â þ þ
ãAvec une chandelle standard, on peut calibrer toutes les distances
Supernovae Ia
Distance angulaire
É ò = D
A
`
p hysC’est la notion qui généralise celle de parallaxe.
C’est le rapport entre la taille (physique) transverse d’un objet par son diamètre angulaire
É ò = f
K
(ÿ)
`
com= af
K
(ÿ)
`
physD A (z) = f
K(1+ z) (ÿ (z))
D’où
(ΩM,ΩΛ)=(1,0) [ __ ]; (0.05,0) [...]; (0.2,0.8) [--]
(ΩM,ΩΛ)=(1,0) [ __ ]; (0.05,0) [...]; (0.2,0.8) [--]
Dégénérecences: χ(z)
ΩM ΩΛ
Z=1 Z=1000
Dégénérecences: D L (z)
ΩM ΩΛ
Z=1 Z=1000
Dégénérecences: D A (z)
ΩM ΩΛ
