UNIVERSIT ´ E ABDELMALEK ESSAADI

(1)

VERSION 1

UNIVERSIT ´ E ABDELMALEK ESSAADI

SESSION DU JUILLET, 2011 Facult´ e Polydisciplinaire de T´ etouan

M´ ETHODES QUANTITATIVES IV ALG` EBRE II

–

(Dur´ ee: 01:30 heures)

NOTE: R´ epondre a tous les exercices. Votre r´ eponse doit ˆ etre justifi´ ee rigoureusement. Remplir la page 2 et la rendre avec vos d´ emonstrations.

1. Verifier si les vecteurs de M

2

( R ) sont lin´ eairement ind´ ependants ou non.

1 0 0 1

,

0 2 2 0

,

2 2 2 3

.

(3 points)

2. Soit f : R

³

→ R

²

une application lin´ eaire telle que:

(1, 1, 0) ∈ Ker(f ), f (0, 1, 1) = (1, 0) et f (0, 0, 2) = (2, 2).

(a) D´ eterminer f (x, y, z).

(b) Trouver la matrice associ´ ee ´ a f relativement aus bases canoniques.

(c) Trouver une base et la dimension du Ker(f ) et Im(f ).

(d) Trouver l’ensemble des vecteurs dont l’image est le vecteur (0, 1). Est - il un sous espace vectoriel de R

³

?.

(10 points)

3. On consid` ere la matrice E =





1 −2 1 0

0 1 −2β 2

2 −1 −4 α



 .

(a) Calculer la rang de la matrice E sel´ on les valeurs des param` etres re´ els α et β.

(b) Pour quelles valeures des param` etres r´ eels α et β, existe au moins une solution du syst` eme d’equation lin´ eaire Ax = B ((A/B) = E). Trouver cette solution. (7 points)

ANSWER SHEET FOLLOWS

(2)

VERSION 1

ANSWER SHEET – 2 –

Nom et pr´ enom du candidat: Code:

Exercice 1. les vecteurs de M

2

( R ) sont ils lin´ eairement ind´ ependants?:

.

Exercice 2.

(a)

f(x,y,z)=

.

(b)

A =













(c) Base de Im(f ): . Dimension?:

(c) Base de Ker(f ): . Dimension?:

(d) L’ensemble est: .

(d) est - il un espace vectoriel ?: .

Exercice 3.

(a) rang(E) =



 



 



· · · si

(b) Syst` eme est compatible si: .

(b) Solution: .