Théorie mathématique d'un réfrigérateur à effet Peltier et d'un générateur thermo-électrique

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Théorie mathématique d’un réfrigérateur à effet Peltier

et d’un générateur thermo-électrique

E.B. Penrod, Cho Yen Ho

To cite this version:

97

THÉORIE

_{MATHÉMATIQUE}

D’UN

RÉFRIGÉRATEUR

A EFFET PELTIER ET D’UN

GÉNÉRATEUR

_{THERMO-ÉLECTRIQUE}

par E. B. PENROD

(1)

et CHO YEN HO

(2)

Department of Mechanical _{Engineering, University} of Kentucky, Lexington, U. S. A.

Résumé. 2014 _{L’équation}

d203B6/d~2

+ 03B1

d03B6/d~201403B303B6+03B2

= 0 où _{03B1, 03B2} et 03B3 sont les rapports entre quatre

fac-teurs _{de puissance calorifique,} a été déduite des principes fondamentaux de la thermodynamique et

des transferts de chaleur. Elle tient _compte aussi bien de la chaleur _échangée directement avec le

milieu que de celle mise en _{jeu par} les effets Peltier, Fourier, Thomson et Joule. On a calculé des

solutions particulières donnant la distribution des _{températures} dans les branches des

thermo-couples. De _{l’équation} fondamentale _{donnée par l’une des} solutions, on en a déduit _plusieurs autres,

utiles pour le calcul des _{réfrigérateurs} à effet Peltier et des _{générateurs thermoélectriques,} et la

prévision

de leurs _{possibilités.}

Abstract. 2014 The _equation

d203B6/dn2

+

03B1 d03B6/d03B6/d~ -

03B303B6+03B2= 0

was derived from fundamental

prin-ciples of _{thermodynamics} and

heat

tranfer,

_where the coefficients 03B1, 03B2, and _03B3 are ratios that connect

four heat power terms. Here heat power tranferred to or from the environment was considered as

well as the _{Peltier, Fourier, Thomson,} and Joule heat _{powers. Particular solutions} were obtained

that show the _temperature distribution _along the _thermocouple arms. From the _{primary equation,}

one of the _solutions, many others were developed which are useful in _designing Peltier _{refrigerators} and thermoelectric _generators and to determine their operating performances.

PHYSIQUE

PHYSIQUE APPLIQUÉE TOME _21, JUILLET 1960,

Des matériaux

_{thermoélectriques,}

mieux

adap-tés _{que les métaux purs} à la fabrication des

réfri-gérateurs

à effet Peltier et des

_{générateurs}

thermo-électriques,

apparaissent

actuellement sur le

mar-ché. Il fallait donc établir un

_{système d’équations}

permettant

de calculer les

_{projets d’appareils}

d’uti-lisation

_qui

donnent les meilleurs

_résultats,

au

meilleur

_prix.

Nous avons étudié

_ici,

dans le cas

général,

l’influence de l’effet Thomson et de la chaleur

_échangée

avec le milieu sur le résultat

opti-mum.

_{L’équation}

initiale est déduite des

_principes

fondamentaux de la

_{thermodynamique}

et des

échanges

de chaleur : elle

_exprime

la

_température

en tout

_point

des branches du

_thermocouple

en

fonction de sa distance à la soudure chaude. On

en tire une série

_{d’équations}

utiles au calcul des

réfrigérateurs

à eff et Peltier et des

_{générateurs}

thermoélectriques.

1. Obtention de

l’équation

initiale. ---

Quand

les

branches a et b du

_thermocouple

_représenté

sur

la

_figure

1 sont reliées à une

_résistance,

le

_système

est un

_générateur

_{thermoélectrique,}

tant

_qu’on

maintient une différence de

_température

entre les soudures chaude et froide. Si les branches sont

reliées à une batterie

_{d’accumulateurs,}

ou à tout autre

_{générateur continu,}

le

_système

est un

réfri-gérateur

à effet Peltier dans

_lequel

de la chaleur

est absorbée à la soudure

froide,

et une

quantité

différente de chaleur cédée par la soudure chaude

à une source chaude.

FIG. 1. -

Diagramme d’un _{réfrigérateur} à effet Peltier

(ou d’un _{générateur thermoélectrique).} Les _{températures} des sources chaude et froide sont th et t,. Si _{03B2, rapport} de

la chaleur de Joule à la chaleur de Fourier croît de 2 à 00,

le maximum de _température se _déplace dans la tranche

de x = 0 à x =L

2

.

(1) Professeur et chef du Department of Mechanical

Engineering de l’Université de _Kentucky.

(2) Graduate assistant in mechanical _Engineering à

l’Université de Kentucky.

P

désigne

le

_rapport

de la chaleur de Joule à la chaleur de Fourier dans les branches du

thermo-couple. Si p

=

03B2a

=

Pb,

la distribution de

tempé-rature sera la même dans les deux bras pourvu _que

la f. é. m. de Thomson soit

_{négligeable,}

et _{que la}

quantité

de chaleur

_échangée

à travers l’isolant soit uniforme le

_long

des branches. Dans ces

con-ditions,

la

_température

est fonction linéaire de la distance x à la soudure chaude si la chaleur de Joule est nulle.

_{Si p}

est

_égal

à

_2,

le maximum de

température

est à la soudure

_chaude,

et il se

déplace

vers la droite

_{(fig. 1) si 03B2}

_augmente

de 2 à _oo,

jusqu’à

une

position

limite située au milieu des

branches.

FIG. 2. - Section élémentaire d’une tranche du

thermo-couple représenté figure 1, avec les débits de chaleur

correspondants.

-Sur la

_{figure 2, Q,}

et

Q2

_désignent

les débits de chaleur

échangés

à travers les limites d’une tranche

élémentaire,

et

0,

le débit de cbaleur de conduction à travers l’isolant

QT

et

QJ

sont les débits de cha-leur de Thomson et de Joule.

_D’après

le

_premier

principe

de la

_{thermodynamique,}

le bilan des débits de chaleur en

_régime

_permanent

est :

ou :

en introduisant les

_rapports

sans dimension

et

_{l’équation}

_précédente

de-vient :

où

l’équation

(5)

est une solution de

_(1),

avec les conditions aux limites :

L’équation

(5)

ne convient pas au cas

particu-lier ou _y =

0,

c’est-à-dire si l’on suppose

qu’il

n’y

a aucun

_échange

de chaleur avec le milieu La

solu-tion

_générale

de

_{l’équation}

₍₁₎

est _{donnée par la}

méthode de Frobenius

_{[2] :}

où

_{quand n}

est

_pair,

et.

quand n

est

_impair.

En

_{remplaçant §}

_{et -1}

respec-tivement par

(t

-

t,,),/At

et

_x,IL,

et

_appliquant

les

conditions aux limites

_indiquées,

il vient

où

L’équation (7)

et _{celles que} nous en tirerons

_plus

loin

_{s’appliquent}

aux deux branches a et

_{b, mais,}

pour

l’appliquer

à

b,

on doit

_remplacer

le débit de chaleur de Thomson

QT

_par -

QT’

donc _oc

par -

oc,

puisque

nous avons admis que le courant va dans

la branche b de la source froide à la source

_chaude,

tandis c’est

l’invqrse

dans la branche a et _{que le}

sens

_positif

de la f. é. m. de Thomson est

_dirigé

de la

_région

froide vers la

_région

chaude.

Le

_{développement}

de

_{l’équation}

₍₇₎

_(équation

initiale)

donne :

comme oc et y sont en

_général

_petits

_par

_rapport

à

l’unité,

on

_peut

_négliger

les termes d’ordre

_égal

ou

supérieur

à 3 en ce et _y, et mettre

l’équation

₍₇₎

sous la forme :

qui

donnera une valeur

_approchée

de la

tempéra-ture.

Cas

_{particuliers.}

2013 La distribution des

tempé-ratures est

_donnée,

dans trois cas

_{particuliers,}

en

attribuant des valeurs

_{particulières}

à oc et y dans

l’équation (13).

Dans le cas

I,

l’équation

donne la

_température

exacte;

dans les cas II et

_III,

seulement des valeurs

approchées.

Cas I. oc =

y = 0. On suppose alors la f. é. _m.

de Thomson

_{négligeable,}

et

_qu’aucun

débit de chaleur ne traverse l’isolant.

Cas II. y == 0. Le

débet

de chaleur à travers l’isolant est

_{négligeable.}

Gradient de

_{température.}

- Cas

général,

valeur

exacte. r--

Différentiée par

rapport

à x,

l’équa-tion

_{(7) donne :}

où :

à la soudure chaude :

à la soudure froide :

où

Cas

_général,

valeur

_approchée.

- Différentiée

par

rapport

à x,

l’équation (13)

donne

Cas 1. oc =

y = 0.

L’équation

(17)

se réduit à

d’où

et

Cas II. _Y = 0.

L’équation

(22)

devient :

d’où :

et

Cas III. oc = 0.

L’équation

(22)

devient :

et

Débit de chaleur de conduction. - Cas

général,

valeur exacte. -- En

multipliant l’équation

(17)

par -

kA,

elle devient

à la soudure chaude :

à la soudure froide :

Cas

_général,

valeur

_approchée.

-- En

négligent

les termes du second ordre en oc et _y de

l’équa-tion

_(22),

et

_multipliant

_par -

kA,

on obtient :

à la soudure chaude :

à la soudure froide :

Cas I. a =

Y = 0. En faisant

QT

et

Qe

égaux

à zéro dans

_{l’équation}

(37),

cela donne :

à la soudure chaude :

à la soudure froide :

Partage

du débit de chaleur de

_Joule.

En f

ai-sant

Qx

= 0 dans

l’équation (40),

il

vient :

où x est la distance de la source chaude au

point

où la

_température

est maximale et le débit de chaleur de conduction nul.

_{Si p}

=

2,

_xm =

0,

c’est-à-dire _{que le} maximum de

_température

se

L trouve à la soudure

_{chaude ; pour}

_{== oo, xm}

= 2 ’

lorsque p

croît de 2 à oo, le maximum de

tempéra-ture se

déplace

de x = 0 à

zm = 11 ;

quand

_a

2,

2

il

_n’y

a _{pas de maximum de}

_{température.}

Puisqu’aucune

chaleur de conduction ne

tra-verse la section droite des branches du

thermo-couple

d’abscisse x = _xm,

pour P

_> 2 la chaleur

de Joule se divise

en 7: .

QJ,

qui va

à la soudure

L

L - xm

chaude et L

Xm.

ui va à la soudure froide.

chaude,

et

L

QJ

, qui va à la soudure froide.

Donc,

si

X. == 2

c’est-à-dire si At =

0,

et

== oo,

, m

une moitié de la chaleur de Joule

rejoint

la soudure

chaude et l’autre la soudure froide.

Pour03B2 = 2,

Qx=0

= 0 et

_Qx=L

=

QJ

et

pour03B2

2,

Qx-0>

0

et

Q x=L

>

Qj.

Cas II. _y = 0. En

portant Qe

= 0 dans

l’équa-tion

37,

on a :

à la soudure chaude :

102

Cas III. « = 0. En

portant

QT

= 0 dans

l’équa-tion

₍₃₇₎

on a :

à la soudure chaude :

et à la soudure froide :

2.

_{Réfrigérateur}

à effet Peltier. 2013 RÉFRIGÉRA-TION NETTE. --La

_{réfrigération}

nette,Qc

est donnée par :

et

où _7Tabc est la f. é. m. de Peltier à la soudure froide.

Cas

_général,

valeur

exacte.

- En

portant

les

ex-pressions

des termes de débit de chaleur de

l’équa-tion

₍₃₆₎

dans

_{l’équation}

_(49),

elle devient

où : :

et

Cas

_général,

valeur

_approchée.

- En

portant

les

expressions

des termes de débit de chaleur de

l’équation

(39)

dans

_{l’équation (49),}

elle donne

où

et

Cas I.

F == G = 1 et h == 0. Avec ces

_valeurs,

l’équa-tion

₍₅₁₎

se réduit à

qui

donne la valeur exacte de la

_{réfrigération}

nette

dans ce cas.

Cas II. _y = 0.

L’équation

(52)

devient

Cas III. a = 0. En y

portant

aa = C7b =

0,

l’équation

(52)

devient :

RÉFRIGÉRATION NETTE MAXIMALE. Cas

général,

Valeur

_approchée.

En différentiant

_{l’équation}

₍₅₂₎

en

_égalant

à zéro le second

_membre,

et

_{résolvantpar}

_rapport

à

i :

ou

_Io

est le courant

_optimal,

c’est-à-dire celui

_qui

produit

la

_{réfrigération}

nette maximale

_{Q cm.}

En _y substituant à I cette valeur

_Io,

_{l’équation}

₍₅₂₎

devient :

Cas I. oc =

y = 0. Si l’on

égale

à zéro la dérivée

par

rapport

à I de

_{l’expression}

de

Qc

donnée _par

l’équation

(53),

on obtient en résolvant :

En substituant la valeur de

_Io

_{donnée par}

l’équa-tion

₍₅₉₎

à I dans

_{l’équation}

_(53),

il vient :

Cas II. _y = 0. Si l’on

égale

à zéro la dérivée par

rapport

à 1 de l’expression

de

Qc

_{donnée par}

l’équa-tion

_(54),

on obtient en résolvant :

et

en

substituant

à

_I,

dans

_{l’équation}

_(54),

la valeur de

_Io

_{donnée par}

_(61),

il vient :

Cas III. oc = 0. En

égalant

à zéro la dérivée par

rapport

à I de la valeur

de 0,

_{donnée par}

_(55),

et en

_résolvant,

on obtient :

qui,

substitué à I dans

_{l’équation}

_(55),

donne

Longueur

optimale.

- Dans le

projet

d’un

réfri-gérateur

à effet Peltier utilisant un courant continu

donné,

il _y a une valeur la

_{meilleure, Lo,}

_{pour la}

longueur

des

branches du

_{thermocouple, qui}

donne la

_{réfrigération}

nette la

_{plus grande.}

Cas I. a =

y = 0. En cherchant le maximum

de

Qc

_{donné par}

₍₅₃₎

en fonction de la variable

indépendante L,

on obtient

Cas II. _{Y =} 0. Le maximum de

_Q,,

donné par

(54),

en _{fonction de L s’obtient pour :}

où :

et :

(1) Les deux racines _critiques de _{l’équation}

₍₆₆₎

doivent être choisies de _{façon que leur}

_produit

soit _égal

à 1

_Bi.

. 9

104

Cas III. oc = 0. Le maximum de

Qc,

donné

par

(55)

en fonction de L s’obtient _{pour :}

où :

et

Plus

grande

différence de

_température

accessible pour un courant donné. -

Quand

un

réfrigéra-teur à effet Peltier fonctionne avec un courant

don-né,

la différence de

_température

s’accroît

_quand

Qc’

c’est-à-dire le débit de chaleur

enlevé,

décroît. Si

Qc

=

0,

c’est-à-dire si la soudure froide est

par-faitement isolée

_{thermiquement,}

Dt aura atteint sa

_plus

_grande

valeur

possible

_{pour le} courant

donné.

Cas

_général.

Valeur exacte. - En faisant

Qc

= o dans

_{l’équation}

₍₅₁₎

et tirant

_At,

on a

ou

Otl représente

la

_plus

_grande

différence de

tem-pérature

accessible pour un courant donné I.

Cas

_général,

valeur

_approchée.

-- Faisant

Qc

= 0

dans

_{l’équation}

_(52),

on en tire

Cas 1. a=

y = 0.

Posons _aa=Cb =h == 0..

1’équation (69)

se réduit à :

Cas II. _y = 0. Si h =

0,

l’équation

(69)

devient

Cas III. a = 0. Si

6a = b =

0,

l’équation

(69)

devient

Plus

_grande

différence de

_température

accessible-- Cas

_général,

valeur

_approchée.

En

_égalant

à zéro la dérivée par

rapport

à I de

_{l’équation}

_(69),

et

en tirant

_I,

on a :

où

et

_7o

est le courant

_qui

_produit

la

_{plus grande}

diffé-rence de

_température

possible, Atm.

Cas I. ce =

Y = 0. En cherchant la valeur de I

qui correspond

au maximum de

_{l’expression}

_(70),

on obtient le courant

optimal :

:

qui

a la même valeur que

Io

donné par

l’équa-tion

_(59).

Eh substituant

7o

à I dans

l’expres-sion

_(70),

elle devient

Cas II. Y = 0. La valeur de I

correspondant

au

maximum de

_{l’expression}

₍₇₁₎

de

_At,,

est

où :

(1) Les deux racines _cubiques de _{l’équation (77)} doivent être choisies de façon à rendre leur _{produit égal} à

On a alors :

Cas

I II. oc

= 0. - La valeur-de 1

qui

rend

maxi-male

_{l’expression}

₍₇₂₎

de

_At,

est

égale

à

_Io

_{donné par}

_{l’expression}

_(63).

En substi-tuant

_7o

à I dans

_{l’expression}

_(72),

elle devient :

Coefficient

de

_qualité

et dimensions

_optimales.

-Les

_{équations (60)}

et

₍₇₆₎

du cas

_I,

montrent _que la

_{réfrigération}

maximale nette

_(pour

des valeurs données de

_Th

et

_Tc)

et la différence de

_température

maximale entre les soudures chaude et froide

dé-pendent

seulement de la valeur de

_{, qui}

peut

s’écrire : , ou

Sab

est le coefficient

bien connu de

_Seebeck,

ou

_pouvoir

thermoélec-trique,

des branches « a » et « b » du

_{thermocouple.}

Ce coefficient est fonction de la

_température

et nous

désignerons

par

Sabc

et

Sabh

ses valeurs pour les

soudures froide et chaude. On a alors maw =

Sabe, Tc

et _7!abh ’-

sabh

Th.

Dans le _cas

I,

le coefficient

de Seebeck est

_partout

_égal

à

_Sab

₍₌

Sabc

-

Sabh)

puisque

la f. é. m. de Thomson est

_supposée

nulle. Soit :

On

_peut

alors mettre les

_équations

₍₆₀₎

et

₍₇₆₎

et

On voit _que l’action du

_thermocouple

est

d’au-tant meilleure _que Z est

_{plus grand.}

La recherche de la valeur de

Aa

_{qui correspond}

.

Ab

q p

au maximum de

_{l’expression}

₍₈₁₎

de z donne la

meilleure valeur du

rapport

des, sections droites.

En

_portant

la valeur

₍₈₂₎

dans

_{l’expression}

_(81),

il vient :

Ou

_Zm

est défini comme le

«coefficient

de

qualité n,

qui

mesure la

_qualité

des

_{tharmocouples}

et ne

dé-pend

que des

propriétés

des matériaux.

A condition _{que le}

_rapport

des sections droites

ait la valeur la

_meilleure,

les

_expressions

_(60a)

et

(76a)

deviennent :

L’expression

(60b)

montre _{que, pour des} maté-riaux et des

_{températures}

_données,

la

réfrigéra-tion maximale nette

Qc

est directement

propor-tionnelle aux sections droites et inversement

pro-portionnelle

aux

_longueurs

du

_{thermocouple.}

L’é-quation (76bj

montre _{que, pour} une

_température

n

donnée de la soudure

_froide,

la différence maxi-male de

_température

_{Atm dépend uniquement}

du coefficient de

_qualité.

Si les branches du

_thermocouple

sont faites des mêmes semi-conducteurs de

_{types n et}

_p, on a alors

ka

=

kb == k,

Pô =

P6 = _{P avec} des coefficients

de Seebeck

_égaux

mais

_opposés,

_Sa

=

Isbl

= S

ou

_Sab

=

2S,

et le coefficient de

qualité

devient :

En dérivant les

_équations

₍₆₀₎

et

_(76),

on a admis

que

La

=

Lb-

S’il n’en était pas

ainsi,

_ces

équations

prendraient

les formes

et

par

suite, quand La =1= Lb,

c’est le terme:

au lieu de

_qui

doit être rendu au

maximum pour que

Qcm

et

_At.

aient les

_plus

grandes

valeurs

_possibles

dans ces conditions.

En rendant

maximum en fonction de on obtient le rap-.

--v-w

port

de dimensions

_{optimal :}

En _y

_reportant

la valeur

_(85),

les

_équations

_(60c)

et

_(76c)

deviennent

et

identiques

à

_(60b)

et

_(76b),

_puisque

dans

_(60b)

on

peut

remplacer

L par

La.

On voit _que

cm

et

Am

restent les mêmes

_si,

les dimensions d’un des bras étant

_choisies,

celles de l’autre satisfont à

l’équation

(85).

’

Coefficient

_{énergétique}

de

réfrigération.

Le coef-ficient

_{énergétique}

de

_{réfrigération}

_(C.

E.

_R.)

est _{définie par :}

où P est la

_puissance

utilisée _{par le}

_{thermocouple.}

CAS GÉNÉRAL. - Valeur exacte. La

puissance

utilisée

_comprend

la

_puissance

utilisée par effet Joule est celle nécessaire _pour vaincre la f. é. m.

En

_portant

dans

₍₈₇₎

les valeurs fournies _{par les}

_{équations (51)}

et

_(87),

il vient

Valeur

_approchée.

-- Si l’on

porte

dans

₍₈₆₎

les valeurs

₍₅₂₎

et

₍₈₇₎

on a

CasI.

_x=y=0.

Avec

_{6a=6b =h= 0,}

l’équation

(89)

donne :

1

Cas II. _y = 0. En

portant

h = 0 dans

(89),

_{on a:}

Coefficient

_{énergétique}

de

réfrigération

ma-ximal. -- Cas I. a =

y ;:::=: 0. En rendant

maxi-mal le C. _{E. R. donné par}

₍₉₀₎

en fonction

de je

on obtient le courant

_{optimal :}

où

La substitution de

_Iô

à

I dans

₍₉₀₎

donne le C. E. R. maximal :

Cette

_équation

₍₉₄₎

montre _{que pour}

_Th

et

_Tc

donnés,

le C. E. R. maximal

_dépend

seulement de la valeur de Z et tend vers la limite

_{supérieure :}

qui

est le C. E. R. d’un

_{réfrigérateur}

réversible. Si le

_rapport

des sections droites est

_également

le

meilleur,

donné par

l’équation

(82),

les

_expressions

(93)

et

₍₉₄₎

deviennent :

et

ou

Z.

est le facteur de valeur donné par

_(83).

On voit que

(C.

E.

_R.)m,

_{-plus grande}

valeur accessible du coefficient

_{énergétique}

de

réfrigé-ration,

est

_indépendant

des dimensions

géomé-triques

du

_{thermocouple.}

Cas III. a = 0. En rendant maximal le C. E. R.

donné _par

₍₉₂₎

en fonction de

_I,

on trouve

où : o

et

Cette

_expression

montre _{que :}

(a)

L’effet Joule et le flux de chaleur reçue de

l’extérieur réduisent la

_{réfrigération}

nette et le C. E. R.

(b)

L’effet Thomson

_augmente

ou diminue la

réfrigération

nette,

suivant _que 6a - ab est

posi-tif ou

_négatif.

(c)

Si le C. E.

R.,

dans le cas

_I,

est

_supérieur

à

_{1/2 (1),}

l’effet Thomson

_augmente

ou diminue

le _{C. E. R. suivant que} 6a --

ab est

négatif

ou

positif.

(d)

Si le C. E.

_R.,

dans le cas

_I,

est inférieur

à

_1/2,

l’effet Thomson

_augmente

ou diminue le

C. E. R. suivant _{que a,-} -

ab est

positif

ou

_négatif.

III. Générateur

_{thermoélectrique.}

Puissance

_{développée.}

r- Si le

thermocouple

(fig.

1)

est relié à une résistance extérieure

R,

les

soudures chaude et froide étant maintenues aux

températures Th

et

_T,

un courant

_parcourt

le

circuit. La

_puissance

utile

_développée

dans le circuit extérieur est :

Cas

_général

et cas II. Soit r =

L03A3 P

la

résis-A tance intérieure. l/intensité dans le circuit sera :

où.

En

_reportant

la valeur

₍₉₉₎

dans

_(98),

il vient :

P= ’

At]2 TLf -.

P

_{1(7r-bh -}

_{03C0abc) +}

_{03C3b " Qa?}

r(M +

1) 2

(100)

Cas 1 et III. En

_{portant a.}

= Gb = 0 dans

les

_expressions

₍₉₉₎

et

₍₁₀₀₎

on obtient

et

Puissance maximale

développée.

r-- Cas

géné-ral et cas II. En rendant

P,

donné par

(100),

maxi-mum en fonction de

_M,

on trouve le

_rapport

des

résistances

_optimales

et en substituant dans

_{(100) :}

Cas 1 et III. -

On’a

aussi,

dans ces _cas,

_Mp

= 1.

Donc :

Puissance maximale

_développée

par unité de section des branches du

thermocouple.

-- Cas

général

et cas II. Soit MA =

Aa +

Ab

la section

totale des deux

_branches,

_{l’équation}

₍₁₀₀₎

donne la

_{puissance développée}

_{par unité de section :}

En faisant lVl =

M’f)

=

1,

cette

expression

de-vient

En rendant

_P.IEA,

_{donné par}

_(107),

maximal

(1)

La valeur _critique est _égale à

_1/2

si l’on _néglige le terme

1

13

L 2 1

_k’12

dans

_{l’expression (91).}

Elle est

légè-12 kA 2

en

fonction de

Aa/Ab,

on trouve le

rapport

opti-’ mal des sections droites :

et,

en substituant

(108)

dans

(107),

la

puissance

maximale

_{développée-}

par unité de section :

Cas 1 et III. - En

faisant a.

=

ab = 0 dans

(106), (107)

et

₍₁₀₉₎

il vivent :

et

On

_{peut voir, d’après (109)}

et

₍₁₁₂₎

_{que la}

puis-sance maximale _par unité de

section,

(P./SA).,

est

_{indépendante}

des sections des branches du

couple,

et _par

_suite,

_que la

_puissance

développée

est directement

_{proportionnelle}

à ces

sections,

toutes choses

_égales

d’ailleurs.

Maximum de la

puissance développée

par unité de volume des branches du

_{thermocouple,.}

Cas

_général

et cas II. Soit £V w

Va

₊

Vb

= L.

(Aa

+

_Ab)

le

voJume

total des

branches,

en

divi-sant

_P,

donné en

(100),

_par

SV,

on trouve :

avec M =

jMp

=

1,

(113)

devient

En rendant

_Pml"£V,

donné par

(114),

maximal

en fonction de

AajAb,

on trouve le

_rapport

opti-mal des

_sections,

_qui

est celui

_déjà

trouvé en

₍₁₀₈₎

En

_portant.

dans

_(114),

on a :

Cas 1 et III. En

_portant

_{sa= ab} = 0 dans

(113),

(114)

et

_(115),

ou a :

et

Les

_expressions

₍₁₁₅₎

et

₍₁₁₈₎

montrent _{que la}

puissance

maximale _{par unité de volume}

_est,

comme celle

_rapportée

à l’-unité de

_section,

fonction des

_propriétés

des

matériaux,

des

_longueurs

des

branches,

et de la différence

de température

entre

les soudures. Comme P varie en sens inverse de

_I,,

il faut que les branches des

_{thermocouples}

soient

aussi courtes _que

_possible,

la limite n’étant donnée que par les

possibilités

d’exécution.

Toutefois,

plus

les branches seront

_courtes,

_plus

il sera difficile

de maintenir la différence de

_{température.}

Rendement. -- Le

rendement -1

du

_générateur

thermoélectrique

est défini comme le

_rapport

de

la

_puissance

utile

_développée

au débit de chaleur

absorbé à la soudure chaude. Comme l’effet Peltier refroidit cette

_soudure,

le débit de chaleur absorbé doit être la somme du débit de l’effet Peltier et du débit de conduction à cette

_soudure,

donc :

Cas

_général.

Valeur exacte.

_{-- L’équation}

₍₃₅₎

donne

110

En substituant les

_expressions

₍₉₈₎

et

₍₁₂₀₎

dans

_119,

on a :

et,

en

_portant

l’expression

₍₉₉₎

dans

₍₂₁₂₎

et

_{simplifiant :}

Cas

_général.

Valeur

_approchée.

-- On tire de

l’équation

(38)

et,

en

_portant

dans

(119)

les

expressions

(98)

et

_122,

il vient :

où I est _{donné par}

_{l’équation}

_(99).

On voit

_d’après

₍₁₂₃₎

_{que le débit de chaleur}

dissipé

dans le milieu réduit le rendement et doit être _{aussi faible que}

_possible.

L’effet Thomson

augmente

ou diminue le

rendement,

suivant _que

,Go¡ -

6b est

positif

ou

négatif.

CasL«=Y=O.Enfaisant6a=sb=h=

0 dans

₍₁₂₃₎

on a :

En

_portant

_{l’expression}

₍₁₀₁₎

dans

₍₁₂₄₎

et

simplifiant,

il

_vient

L’équation

(124cc)

montre _que dans le cas 1 le

rendement

_dépend

des

_{températures utilisées,}

du coefficient de résistance et de la va*leur de Z.

Cas II. _y = 0. En

portant

h = 0 dans

(123),

on a :

où I est _{donné par}

_{l’expression}

_(99).

Cas III. a = 0. En

faisant ’

= (jb = 0 dans

l’expression

(123),

elle devient :

et,

en substituant

l’expression

₍₁₀₁₎

de 1 et

_simplifiant

on obtient :

qui

montre clairement _{que la}

_déperdition

de

cha-leur dans le milieu diminue le rendement _par

rapport

à sa valeur

(124a).

Rendement au maximum de

_puissance.

--Cas

_général,

valeur exacte. -- En faisant M = 1

dans

_(121a),

on a le rendement au maximum de

Cas

_général,

valeur

_{approchée. -}

Si M = 1 dans

₍₁₂₃₎

on a où Cas

_I,

oc = y = 0. Avec M =

1,

l’expression

(124a)

devient : où I a la valeur

(129)

Cas

_III,

oc == 0.

Toujours

si M =

1,

(126a)

donne ,

Rendement maximal. - Cas

_I,

oc - = _y = 0.

En rendant _{1), donné par}

_(124a),

maximal en

fonction

de

M,

on trouve le coefficients de

résis-tance

_{optimal :}

et,

en

remplaçant

M par

Mo

dans

(124u)

on a le

rendement maximal

Si le

_rapport

des sections droites a aussi la

valeur optimale

donnée par

(82),

les

_expressions

(133)

et

₍₁₃₄₎

deviennent :

et

On voit

_d’après

_(134a)

_que

le rendement

maxi-mum q2

dépend

seulement du coefficient de

va-leur

_Z.

_{pour les}

_{températures effectives,}

et tend

vers le coefficient de Carnot

_{quand Zm}

_augmente.

Ce rendement maximal

_~m

est

_{independant des}

dimensions

_{géométriques}

du

_{thermocouple,}

et est le

_{plus grand}

_possible.

Cas III. - _a = 0. En rendant

q, donné 1

par

(129a)

maximal en fonction de

_M,

on obtient

l’optimum

du coefficient de résistance

et la substitution de

_{Mo à}

M dans

_(129a)

donne le rendement maximal

Conclusions et remarques. -- Pour

développer

la

_{présente théorie,}

nous avons tenu

_compte,

en

même

_temps

_{que des effets} Joule et

_Peltier,

de l’effet Thomson et des

_échanges

de chaleur avec le milieu.

_{L’équation}

différentielle

_obtenue,

et ses

solutions

_{particulières,}

donnent la variation de

température

dans les branches du

_thermocouple

en fonction de la distance à la soudure chaude.

Des solutions obtenues dérivent certaines

ex-pressions

utiles _pour établir des

_projets

de

réfri-gérateurs

à effet Peltier ou de

générateurs

thermo-électriques

et _pour

_prévoir

leurs

_{caractéristiques.}

Pour le

_{réfrigérateur}

à effet

_Peltier,

nous avons

du

_{thermocouple (pour}

un courant

donné),

la diffé-rence de

_température

accessible et le coefficient

énergétique

de

_{réfrigération.}

Le courant

_optimal

et le

_rapport

de dimensions

_optimal

ont été cal-culés pour rendre maximal soit la

_{réfrigération}

nette,

soit le coefficient

_{énergétique}

de

réfrigé-ration,

soit la différence de

_température

accessible. Pour le

_générateur

_{thermoélectrique,}

on a calculé

les

_expressions

des

_{puissances développées}

_totales,

par unité de

surface,

et par unité de

volume,

du

rendement,

et du rendement au maximum de

puis-sance.

Les coefficients de résistance et de dimensions

optimaux

ont été _{calculés pour rendre} maximale

soit la

_puissance

totale,

soit les

_puissances

_par unité de surface ou _{par unité de}

_volume,

soit le

rendement.

Les

_hypothèses

adrnises ont été les suivantes :

a)

La conductivité

_calorifique

et la résistivité

électrique

des branches sont constantes.

b)

Les résistances de connexions sont

négli-geables.

c)

Les branches des

_{thermocouples}

sont de

sec-tion uniforme.

d)

Les

_longueurs

de ces branches sont

_égales.

On

_souligne

une fois de

_plus

l’utilité et

l’impor-tance du coefficient de

_{qualité qui}

caractérise les

propriétés

de matériaux

_{thermoélectriques,}

car le

développement

futur du

_{réfrigérateur}

à effet Peltier

et du

_générateur

_{thermoélectrique}

ne

_pourront

se

réaliser que par

l’emploi

de meilleurs matériaux. Ce coefficient de

_qualité

a été défini dans cet

article à _{propos du}

_{réfrigérateur}

à effet

_Peltier,

mais cela aurait _{pu tout} aussi bien être _{fait à} pro-pos du

générateur

thermoélectrique.

Dans l’étude du cas

_général;

on tient

_compte

de tous les effets

_{thermoélectriques,}

mais les cas

parti-culiers considérés montrent l’influence des

_échanges

de chaleur avec le milieu et de-l’eflet Thomson sur

le fonctionnement du

_{réfrigérateur}

à effet Peltier et du

_générateur

_{thermoélectrique.}

Les

_équations

relatives à ces _cas

particuliers

sont moins

compli-quées

et

_plus

aisées à

_{manier ;}

elles seront

avanta-geuses à utiliser

quand

les _conditions correspon-dantes seront réalisées.

Manuscrit recu le 20 janvier 1950.

BIBLIOGRAPHIE

[1] PENROD (E. B.), Étude théorique d’un _{réfrigérateur}

à effet _Peltier, Communication 3-23, Dixième

Con-grès international de Réfrigération, 19-26 août 1959,

Copenhague.

PENROD _{(E. B.), Caractéristiques} de fonctionnement d’un réfrigérateur à effet Peltier, Communication

3-24, même _Congrès.