1.2 Cas d’un faisceau de particules

Mod`ele fluide pour les ondes de sillage

Jerome Faure December 10, 2007

Le but du pr´esent document est d’´etablir un mod`ele qui d´ecrive l’excitation d’ondes plasma par une impulsion laser ou un faisceau de particules.

Les hypoth`eses sont les suivantes:

• Les ions sont immobiles. Cette hypoth`ese se justifie dans le cas o`u la dur´ee de l’impulsion laser est courte devant le temps typique de d´eplacement des ions (τ ¿ω_pi⁻¹).

• le plasma est mod´elis´e par un fluide d’´electrons. Le fluide ´electronique est donc repr´esent´e par des grandeurs macroscopiques telle que sa den- sit´en(r, t), sa vitesse v(r, t). Notons cependant que ce mod`ele ne per- met pas de d´ecrire des ph´enom`enes cin´etiques tels que l’effet Landau, le d´eferlement, le pi´egeage des ´electrons. Ces effets n´ecessitent des d´eformations de la fonction de distribution des ´electrons, ce que le mod`ele fluide ne permet pas.

• Le fuide ´electronique est consid´er´e comme froid. On prendra donc sa temp´erature ´egale `a zero et les ´equations fluides ne comportent donc pas de termes de pression thermique. Cela se justifie car dans le cas des ultra-hautes intensit´es, l’´energie des ´electrons oscillant dans le champ laser est de l’ordre du MeV, plusieurs ordres de grandeurs au-dessus de l’´energie thermique des ´electrons. Cela peut aussi s’´ecrire vosc'eElaser/(mω0)Àvth = (kBTe/m)^1/2. C’est donc l’oscillation du champ laser qui domine le mouvement des ´electrons, les collisions sont n´egligeables.

• On consid`ere le r´egime faiblement relativiste pour lequel les ´electrons ne sont pas relativistes. Cela implique que l’intensit´e laser est suff- isamment faiblea²₀ ¿1, ou que la densit´e du faisceau de particules est

suffisamment faible nb ¿ n0. En cons´equence, l’amplitude de l’onde plasma est ´egalement faible δn/n₀ ¿1.

• on suppose que le plasma est fortement sous-dense: ω_p ¿ ω₀. Cette hypoth`ese permet de d´ecomposer les grandeurs en une partie haute fr´equence (ω₀) et basse fr´equence (ω_p).

• On se place en polarisation lin´eaire. Notons que cela ne nuit pas `a la g´en´eralit´e du probl`eme.

1 Definition des faisceaux excitateurs

1.1 Cas d’un laser

L’impulsion laser est d´efinie grˆace au potentiel vecteur normalis´ea=eA/m_ec, o`uAest le potentiel vecteur du laser. Pour une impulsion se propageant selon l’axe z et polaris´ee selon l’axex:

a= ˆa(r, z, t) cos(k₀z−ω₀t)e_x (1) o`uk₀ etω₀sont le vecteur d’onde et la pulsation du champ ´electromagn´etique associ´e au laser. ˆaest une fonction d’enveloppe qui repr´esente la forme spatio- temporelle de l’impulsion. On peut par exemple choisir une forme gaussienne pour ˆa de sorte que

ˆ

a²(r, ζ) =a²₀exp(−ζ²/L²₀) exp(−r²/σ²) (2) o`uζ =z−v_gt etv_g est la vitesse de groupe du laser. a₀ est l’amplitude laser, L₀ est la longueur d’impulsion andσ est la dimension radiale de l’impulsion.

1.2 Cas d’un faisceau de particules

De fa¸con similaire, on peut repr´esenter un faisceau de particules par sa densit´e de particules nb:

n_b(r, ζ⁰) =n_b0exp(−ζ⁰²/L²_b) exp(−r²/σ_b²) (3) o`u ζ⁰ = z−v_bt, et v_b est la vitesse du faisceau, L_b la dur´ee du paquet de particules et σb sa taille transverse.

2 Equations de base

2.1 Equations de Maxwell

On a besoin de l’´equation de Poisson:

∇ ·E = ρ

²₀ (4)

o`uρ=−e(n−n<sub>0</sub>)+qn<sub>b</sub> est le terme source total. qn<sub>b</sub> est le terme source dˆu `a la pr´esence du faisceau. Par la suite, nous ferons l’hypoth`ese que l’excitateur est un faisceau d’´electrons: q = −e. −e(n −n₀) est le terme source qui d´ecoule de la s´eparation de charge dans le plasma: n₀ =Zn_i is la densit´e des ions (immobiles) alors que n est la densit´e des ´electrons (qui bougent). Le d´eplacement des ´electrons par le faisceau excitateur cr´ee une s´eparation de charge qui est la source du champ ´electrique E.

Rappelons que l’on peut ´ecrire les champs en fonction des potentiels:

B = ∇ ×A (5)

E = −∇Φ− ∂A

∂t (6)

On choisit la jauge de Coulomb: ∇ ·A= 0. Dans cette jauge, l’´equation de Poisson devient

∇²Φ = e

²0

(n+n_b−n₀)

Cette jauge est commode pour le probl`eme qui nous int´eresse: Arepr´esente le champ laser haute fr´equence alors que Φ repr´esente les champs de d´eplacement de charge du plasma (basse fr´equence). En plasma tr`es sous-dense, les fr´equences laser et plasma sont nettement s´eparables (ωp ¿ ω0) et la jauge de Coulomb permet donc de s´eparer le champ ´electromagn´etique du laser du champ ´electrostatique de l’onde plasma. Notons que lorsque la densit´e du plasma se rapproche de la densit´e critique, les champs laser et plasma sont plus difficilement s´eparables car leurs fr´equences caract´eristiques sont proches. Dans notre cas, la s´eparation est applicable et le champ ´electrique E a deux composants: une composante laser EL = −∂A/∂t `a la haute fr´equence ω<sub>0</sub> et le champ plasma E<sub>p</sub> =−∇Φ, qui oscille `aω_p.

En ´ecrivant n =n₀+δn, o`u δn= n−n₀ est la perturbation de densit´e plasma, l’´equation de Poisson devient:

∇²Φ = en₀

²0

³δn n0

+ n_b n0

´

(7)

2.2 Equations fluides

On commence avec l’´equation de continuit´e

∂n

∂t +∇ ·(nv) = 0 (8)

On a ´egalement l’´equation du mouvement pour le fluide ´electronique

∂v

∂t + (v· ∇)v=− e

m_e(E+v×B) (9)

que l’on peut re´ecrire:

∂v

∂t + (v· ∇)v=− e

m_e(E_L+v×B_L− ∇Φ) (10)

2.3 Force pond´ eromotrice

Pour l’instant, nous allons n´egliger les champs plasma pour se focaliser sur la force pond´eromotrice. Nous allons donc faire l’hypoth`ese (temporaire) que les ´electrons ne sont soumis qu’au champs laser et pas aux champs du plasma:

∂v

∂t + (v· ∇)v=− e

m_e(E_L+v×B_L) (11) Nous allons montrer ici que l’action du laser sur les ´electrons est double: tout d’abord, le champ ´electrique transverse du laser provoque une oscillation transverse des ´electrons `a ω<sub>0</sub>. Mais la composante magn´etique du champ dans la force de Lorentz pousse les ´electrons longitudinalement. Ecrivons la vitesse des ´electrons comme la somme d’un terme du premier ordre et d’un terme nonlin´eaire du second ordre: v = v<sub>l</sub>+v<sub>nl</sub>. En lin´earisant l’´equation pr´ec´edente, on arrive au premier ordre `a

∂v_l

∂t =− e

m_eEL (12)

Physiquement, cela signifie simplement que le mouvement principal des ´electrons consiste en une oscillation transverse dans le champ laser. On peut main- tenant utiliser une autre ´equation de Maxwell: ∇ ×E_L =−∂B_L/∂t, et ´ecrire

∂∇ ×v_l

∂t =− e me

∇ ×E_L = e me

∂B_L

∂t

et finalement BL =me/e∇ ×vl.

Au second ordre, l’´equation du mouvement (eq. 11) peut s’´ecrire seule- ment en fonction de v_l, apr`es remplacement de B_L:

∂v_nl

∂t =−(vl· ∇)vl+vl× ∇ ×vl =−∇(v_l²/2)

On peut ´ecrire v_l diff´eremment: v_l = eA/m_e de sorte que ∇(v²_l/2) = c²∇(a²/2). Finalement, l’´equation du mouvement devient:

∂v

∂t =− e me

E_L−c²∇a² 2

Le dernier terme, proportionnel au gradient de l’intensit´e laser, est la force pond´eromotrice.

Lorsque l’on consid`ere la force pond´eromotrice, on consid`ere g´en´eralement le mouvement des ´electrons moyenn´e sur la haute fr´equence laser `a ω<sub>0</sub>. Dans ce cas, si l’on introduit `a nouveau les champs plasmas, l’´equation “lente” du mouvement des ´electrons (`a ωp) est alors donn´ee par:

∂v

∂t =−c²∇ˆa² 4 + e

me

∇Φ (13)

o`u nous avons utilis´e l’op´erateur hxi, la moyenne dex sur une p´eriode laser:

hxi= 1 T₀

Z _T0/2

−T0/2

xdt

Cela donne hELi= 0 etha²i= ˆa²/2.

3 Equation de l’onde plasma

Nous lin´earisons maintenant l’´equation de continuit´e (eq. 8) de sorte que l’on obtient le syst`eme d’´equation suivant:

∂δn

∂t +n₀∇ ·v= 0 (14)

∂v

∂t =−c²∇ˆa² 4 + e

me

∇Φ (15)

∇²Φ = en₀

²0

³δn n0

+ n_b n0

´

(16) En d´erivant (14) et en utilisant les ´equations (15) et (16), on obtient

∂²δn

∂t² +n₀∇ · µ∂v

∂t

¶

= ∂²δn

∂t² − n₀e me

∇²Φ−n₀c²∇²ˆa² 4

= ∂²δn

∂t² + n₀e²

m_e²₀(δn+nb)−n0c²∇²ˆa² 4 On obtient finalement l’´equation fluide sur l’onde plasma:

µ∂²

∂t² +ω_p²

¶δn

n₀ =c²∇²ˆa²

4 −ω²_pnb

n₀ (17)

Cette ´equation montre simplement que les ´electrons du plasma se comportent comme des oscillateurs harmoniques excit´es soit par la force pond´eromotrice (terme c²∇²ˆa²/4) soit par la force de Coulomb du faisceau de particules (terme −ω_p²nb/n0). Ici, l’excitateur, qu’il soit laser ou faisceau de particules, d´eclenche une r´eponse similaire dans le milieu plasma: une onde plasma relativiste. Dans la suite, pour des raisons de clart´e, nous ne consid´ererons que le cas d’un laser (nb = 0) mais le cas d’un faisceau de particules est similaire.

Au lieu d’´ecrire une ´equation surδn/n₀, nous allons ´ecrire une ´equation sur le potentiel de l’onde plasma. Tout d’abord, on a∇²Φ =en0/²0×δn/n0

et on d´efinit le potentiel scalaire normalis´e φ = eΦ/m_ec², on peut alors exprimer φ comme ∇²φ = ω_p²/c²δn/n₀. En rempla¸cant δn/n₀ dans eq. 17, on obtient l’´equation sur le potentiel

µ∂²

∂t² +ω_p²

¶

φ=ω²_paˆ²

4 (18)

3.1 Approximation quasistatique (cas d’un laser)

Le laser se propage `a une vitesse proche de la vitesse de la lumi`ere (a est fonction de ζ =z−vgt), il est donc pratique de se placer dans un r´ef´erentiel qui suit l’impulsion laser: τ =t et ζ =z−v_gt. Pour les nouvelles variables,

on a:

∂

∂t = ∂

∂τ −v_g ∂

∂ζ

∂

∂z = ∂

∂ζ

∂²

∂t² = ∂²

∂τ² +v_g² ∂²

∂ζ² −2v_g ∂²

∂ζ∂τ

∂²

∂z² = ∂²

∂ζ²

En r´ealisant le changement de variables, on obtient une ´equation sur le potentiel plasma:

µ ∂²

∂τ² +v²_g ∂²

∂ζ² −2v_g ∂²

∂τ ∂ζ +ω_p²

¶

φ=ω_p²aˆ²

4 (19)

Si on fait l’hypoth`ese que l’enveloppe de l’impulsion laser varie peu durant le temps de transit d’un ´electron du plasma sous le laser (approximation quasistatique), alors on peut n´egliger les d´eriv´ees en τ dans les ´equations.

Cela signifie que ∂/∂τ ¿ ∂/∂ζ pour les quantit´es plasma. A l’arri`ere de l’impulsion laser on a les quantit´es plasma (φ, δn et u) qui varient selon

∂/∂ζ ' k_p et sous l’impulsion laser, ∂/∂ζ ' 1/L₀, o`u L<sub>0</sub> est la longueur de l’impulsion laser. L’impulsion laser et les quantit´es plasma ´evoluent au cours du temps selon ∂/∂τ ' 1/τ<sub>E</sub> o`u τ_E est le temps d’´evolution du laser, typiquement de l’ordre du temps de Rayleigh τ_R =z_R/c

En d’autres termes, l’´equation quasistatique implique que L0/c ¿ τE et ω_p⁻¹ ¿ τ_E . Cela signifie que la r´eponse ´electronique suit de fa¸con statique l’´evolution de l’impulsion laser au cours de sa propagation. Cette hypoth`ese est donc viol´ee pour des impulsions trop longues ou pour des focalisations tr`es fortes (dans le cas d’une autofocalisation dramatique de l’impulsion par exemple).

En appliquant cette approximation, on obtient finalement l’´equation qua- sistatique sur le potentiel:

µ ∂²

∂ζ² +k_p²

¶

φ =k_p²ˆa²

4 (20)

o`u kp =ωp/vg est le vecteur d’onde. Il est assez ´evident quevg = vp, i.e. la vitesse de groupe du laser est ´egale `a la vitesse de phase de l’onde plasmas.

4 R´ esolution de l’´ equation du potentiel plasma

La solution de l’´equ. 20 qui s’annule pour ζ = +∞ (c’est-`a-dire pas de perturbation de densit´e avant l’arriv´ee de l’impulsion laser) est donn´ee par:

φ(r, ζ) = −k_p 4

Z _+∞

−ζ

ˆ

a²sin[k_p(ζ−ζ⁰)]dζ⁰ (21) Ici, on cherche `a connaˆıtre la r´eponse du plasma apr`es le passage de l’impulsion, i.e. derri`ere l’impulsion (ζ <0). Or ˆa<sup>2</sup> = 0 derri`ere l’impulsion, de sorte qu’il s’agit de r´esoudre l’impulsion suivante:

I =

Z _+∞

−∞

ˆ

a²sin[k_p(ζ−ζ⁰)]dζ⁰

= sin(kpζ) Z _+∞

−∞

ˆ

a²cos(kpζ⁰)dζ⁰−cos(kpζ) Z _+∞

−∞

ˆ

a²sin(kpζ⁰)dζ⁰ La fonction ˆa² est paire (en ζ), et donc la seconde int´egrale est nulle. Nous n’avons donc qu’`a r´esoudre la premi`ere int´egrale qui n’est autre que la trans- form´ee de Fourier de ˆa²:

I =e^−r2/σ2 × Z _+∞

−∞

a²₀e^−ζ02/L20e^ikpζ0dζ⁰ =√

πa²₀L₀exp(−k_p²L²₀/4) exp(−r²/σ²) Ce qui donne la solution suivante pour le potentiel de l’onde plasma

φ =−√

πa²₀k_pL₀

4 e^−k2pL20/4e^−r2/σ2sin(k_pζ) (22) On peut alors en d´eduire le champ ´electrique associ´e `a ce potentiel

E

E₀ =− 1

k_p∇φ=−1 k_p

µ e_z ∂

∂ζ +e_r ∂

∂r

¶ φ Cela donne le champ ´electrique longitudinal suivant pour ζ <0

E_z E0

=√

πa²₀k_pL₀

4 e^−kp2L20/4e^−r2/σ2cos(k_pζ) (23) et le champ ´electrique transverse

E_r E0

=−√ πa²₀

2e^−k2pL20/4L₀r

σ² e^−r2/σ2sin(k_pζ) (24)

o`uE0 =mecωp/eest le champ de d´eferlement du plasma (le champ ´electrique maximum que le plasma peut soutenir). Quand δn/n₀ = 1 (maximum de perturbation de la densit´e ´electronique), l’onde plasma d´eferle et le champ

´electrique atteint une valeur maximale donn´ee parE0(typiquementE0 = 300 GV/m pour un plasma de densit´e n= 3×10¹⁹cm⁻³)

Finalement, on obtient la perturbation de densit´e ´electronique selon δn

n₀ =− 1 k_pE₀

µ∂E_z

∂ζ + 1 r

∂(rE_r)

∂r

¶

La perturbation de densit´e peut s’exprimer `a l’aide d’un terme transverse et d’un terme longitudinal δn =δn_z +δn_r. Cela est dˆu respectivement aux composantes transverses et longitudinales de la force pond´eromotrice. Pour ζ <0

δnz

n₀ =√

πa²₀kpL0

4 e^−kp2L20/4e^−r2/σ2sin(kpζ) (25) et pour la partie radiale

δn_r

n_e = δn_z n₀

4 σ²k²_p

µ 1− r²

σ²

¶

(26)

4.1 Condition de r´ esonance

Il existe une condition de r´esonance pour l’excitation des ondes plasmas. En particulier, le champ ´electrique longitudinal est maximal lorsque la dur´ee d’impulsion satisfait la condition suivante:

k_pL₀ =√ 2

Il existe donc une relation directe entre la densit´e plasma et la dur´ee d’impulsion.

En unit´es pratiques, cela s’´ecrit

n_res(cm⁻³) = 1.7×10²¹ τ_{f whm}² (fs) o`u τ<sub>f whm</sub> est la dur´ee d’impulsion `a mi-hauteur.