Ecole Normale Sup´erieure de Lyon Universit´e de Lyon 1 Licence de Physique, Parcours Sciences de la Mati`ere, A. A. 2013-2014
Premi`ere exploration du monde quantique
Examen - 15 janvier 2014 (3h)
Donn´ees utiles
1) Commutateur entre op´erateur position ˆp et une fonction G de l’op´erateur position ˆx `a une dimension:
[ ˆG(x),p] =ˆ i~ d
dxG(x)ˆ . et `a trois dimensions:
[ ˆG(r),p] =ˆ i~∇G(r)ˆ .
2) Primitive d’une fonction A= (Ax, Ay, Az) du vecteur positionr en trois dimensions:
G(r) = Z r
r0
dr0·A(r0) tel que∇G=A.
L’int´egrale qui d´efinit G est un int´egrale de ligne qui porte sur un chemin arbitraire qui connecte le point arbitraire r0 au point r. Il est bien d´efinit – ind´ependemment du chemin arbitraire qui unitr0 et r – si on se restreint `a la r´egion R de l’espace o`u
I
Γ
dr·A= 0 pour tout chemin ferm´eΓ contenu en R.
3) Th´eor`eme de Ehrenfest
i~d
dthOˆi=h[ ˆO,Hˆ]i . 4) Laplacien en coordonn´ees sph´eriques:
∇2 = 1 r
∂2
∂r2r(.)− L2
~2r2 o`uL est l’op´erateur moment angulaire en repr´esentation x.
5) Mol´ecule H-Cl:
• mH= 1.67×10−27 Kg
• mCl= 58.8×10−27Kg
• ω0= 2π×8.66×1013 Hz
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6) Op´erateur position (radiale) en terme des op´erateurs de cr´eation/destruction pour l’oscillateur harmonique
ˆ
r−r0 = s
~
2µω0 (ˆa+ ˆa†)
7) Th´eorie des perturbations non d´eg´en´er´ee: soit ˆH0 le Hamiltonien imperturb´e, et|ψni ses vecteur propres, ˆH0|ψni=En|ψni. Les corrections de premier et deuxi`eme ordre `a l’´energie de l’´etat fondamental dues `a une perturbation ˆV valent
∆E0(1) =hψ0|Vˆ|ψ0i
∆E(2)0 =X
n6=0
|hψ0|Vˆ|ψni|2 E0−En .
8) Harmoniques sph´eriques utiles Y00(θ, φ) =
r 1
4π Y10(θ, φ) = r 3
4π cosθ
9) charge de l’´electrone= 1.6×10−19 C.
constante de Planck: ~= 1.055∗10−34 J s.
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1 Questions courtes
Ces questions ne demandent pas de calculs ´elabor´es!
1.1
Un oscillateur harmonique dans l’´etat propre du Hamitonien|ni poss`ede la valeur moyenne hn|xˆ2|ni= 72mω~ . Que vautn?
R´eponse. n= 3.
1.2
Quelles valeurs peut prendre le nombre quantique j du module du moment angulaire
´electronique total J =L+S dans le niveaun= 3 de l’atome d’hydrog`ene?
R´eponse. Commen= 3, l= 0,1,2 et j= 1/2,3/2,5/2.
1.3
Une particule est soumise `a un potentiel inconnu V(r). A l’instant t = 0 on mesure son moment angulaire Lz, et on trouve 7~. On mesure `a nouveau Lz apr`es 1 s et 2 s, et on trouve toujours 7~; que peut-on conclure par rapport `a V(r)?
R´eponse. Que V(r) est invariant par rotation autour de l’axe z, c’est `a dire V(x, y, z) = V(x2+y2, z).
2 Exercice. Invariance de jauge en m´ ecanique quantique et effet Aharonov-Bohm
Dans cet exercice on se propose d’´etudier certains aspects fondamentaux de la m´ecanique quantique d’une particule avec charge q, soumise `a un champ magn´etique B =B(r). Le champ magn´etique est associ´e `a un potentiel vecteurA(r), tel que
B =∇×A .
On admet qu’une particule de chargeqet massemqui bouge en trois dimensions en pr´esence d’un potentiel vecteurA qui engendre le champ magn´etiqueB poss`ede le Hamiltonien
Hˆ(A) =
pˆ−qA(r)ˆ 2
2m (1)
o`u A(r) est un op´erateur qui est fonction de l’op´erateur position avec la mˆeme forme que le potentiel vecteurA(r).
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Translation de l’op´erateur impulsion
2.1
Pour attaquer le probl`eme en trois dimensions, on commence par un cas plus simple end= 1.
On s’int´eresse `a la transformation suivante pour l’op´erateur impulsion `a une dimension:
ˆ
p→pˆ0 = ˆp+λfˆ(x)
o`u λ ∈ R est le param`etre de la transformation, et f(x) est une fonction arbitraire de l’op´erateur position ˆx.
D´emontrer que [ˆx,pˆ0] = [ˆx,p]. Conclure que cette condition est compatible avec l’existenceˆ d’un op´erateur unitaire ˆU tel que [ ˆU ,x] = 0 etˆ
ˆ
p0 = ˆU pˆUˆ† .
R´eponse. Comme [ˆx,fˆ(x)] = 0, on a imm´ediatement que [ˆx,pˆ0] = [ˆx,p]. En plusˆ [ˆx,p] =ˆ Uˆ[ˆx,p] ˆˆU†= ˆUxˆUˆ†UˆpˆUˆ†−UˆpˆUˆ†UˆxˆUˆ†= [ˆx,pˆ0].
2.2
Prenons ˆU dans la forme
Uˆ = exp
−i
~ λG(x)ˆ
o`uG(x) est une fonction de l’op´erateur position qui reste `a determiner.
En utilisant la limite des transformations infinitesimalesλ→0, montrer que la fonction G est une primitive def, tel que
Uˆ( ˆf) = exp
−iλ
~ Z x
x0
dx0 fˆ(x0)
o`ux0 est un point arbitraire.
R´eponse. Pour une transformation infinit´esimale pˆ0 = ˆU pˆ Uˆ† ≈ pˆ+ iλ
~[ˆp,G(x)] = ˆˆ p+ λdxdG(x), d’o`ˆ u dxdG(x) = ˆˆ f(x), c’est `a dire queG est primitive de f, d’o`u la forme de U.ˆ 2.3
Conclure que, en trois dimensions ˆ
p−qAˆ= ˆU( ˆA) ˆp Uˆ†( ˆA) o`u
U( ˆˆ A) = exp iq
~ Z r
r0
dr0·A(rˆ 0)
.
Note. L’int´egrale de ligne contenu dans l’expression de ˆU est bien d´efini – ind´ependemment du chemin choisi – seulement sir etr0 sont restreints `a la r´egionR de l’espace o`u
I
Γ
dr·A= 0 pour tout chemin ferm´e Γ contenu enR.
R´eponse. End= 3 on peut prendreUˆ = exph
−~i q G(r)ˆ i
, et en consid´erant une transfor- mation infinitesimale on trouve ∇Gˆ =−A, d’o`ˆ u la forme Gˆ=−Rr0
r dr·A.ˆ
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Transformation de jauge
2.4
Soit|ψi un ´etat propre de ˆH( ˆA= 0):
Hˆ( ˆA= 0)|ψi=E|ψi . Montrer que
|ψ0i= ˆU( ˆA)|ψi est ´etat propre de ˆH( ˆA) avec la mˆeme valeur propre.
R´eponse. Comme on a que Uˆ( ˆA) ˆH( ˆA = 0) ˆU†( ˆA) = ˆH( ˆA), alors UˆHˆ( ˆA = 0)|ψi = Hˆ( ˆA) ˆU|ψi=EUˆ|ψi .
2.5
SoitE= ~2m2k2, o`ukest vecteur d’onde en trois dimensions. Montrer que la fonction d’onde ψ0(r) =hr|ψ0i s’´ecrit comme
ψ0(r) = exp iq
~ Z r
r0
dr0·A(r0)
eik·r (2π)3/2 .
R´eponse. Dans le casA= 0 on a une particule libre, et doncψ(r) =hr|ψicorrespondant `a E= ~2m2k2 est une onde plane avec vecteur d’ondek. En plusψ0(r) =hr|Uˆ|ψi=hr|Uˆ|riψ(r) (comme Uˆ est diagonale sur la base |ri), d’o`u le resultat.
2.6
Soit|ψ(0)i un etat initial, et soit|ψ(t)i l’´etat ´evolu´e dans le cas A= 0.
Montrer que alors ˆU(A)|ψ(t)i est l’´etat ´evolu´e `a partir de l’´etat initial ˆU(A)|ψ(0)i en pr´esence d’un potentiel vecteur finiA.
R´eponse. |ψ(t)i satisfait l’´equation de Schr¨odinger i~dtd|ψi= ˆH( ˆA= 0)|ψi, que l’on r´ecrit aussi (pour un Uˆ ind´ependant de t) comme i~dtdUˆ|ψi= ˆUHˆ( ˆA= 0) ˆU†Uˆ|ψi= ˆH( ˆA) ˆU|ψi. 2.7
Pr´enons maintenant le cas d’une transformation de jauge, c’est `a dire une transformation qui change le potentiel vecteurA sans changer le champ magn´etique associ´eB:
A → A0 =A+∇χ
o`uχ=χ(r) est une fonction arbitraire admettant la deriv´ee premi`ere.
Montrer que
pˆ−qAˆ0= ˆU(χ) ( ˆp−qA) ˆˆ U†(χ) o`u
Uˆ(χ) = exp iq
~ (χ(r)−χ(r0))
R´eponse. CommeUˆAUˆ†=A,Uˆ n’agit que surp, et elle introduit une translation ult´ˆ erieure de−q∇χ; en particulierRr0
r dr·∇χ=χ(r)−χ(r0).
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Invariance de jauge
2.8
En utilisant le th´eor`eme d’Ehrenfest, ´ecrire l’´equation d’´evolution pour la moyenne de l’op´erateur position,hri, en pr´esence d’un potentiel vecteur A. En d´eduire la forme
dhrˆi
dt = hPˆ( ˆA)i m
o`u ˆP est un op´erateur (fonction de l’op´erateur ˆA) `a d´eterminer. Peut-on conclure dans ce cas que ˆP (et pas ˆp) joue le rˆole de la vrai impulsion?
R´eponse. Pˆ = ˆp−qA.ˆ Pˆ joue le rˆole de la vrai impulsion comme Pˆ/mdonne la vitesse de la particule.
2.9
Consid´erons maintenant la transformation de jaugeA → A0=A+∇χ.
Soit|ψivecteur propre de ˆH( ˆA) avec valeur propreE, et|ψ0i vecteur propre de ˆH[ ˆA0] avec mˆeme valeur propre.
Montrer que
hψ|rˆ|ψi=hψ0|rˆ|ψ0i hψ|Pˆ( ˆA)|ψi=hψ0|Pˆ( ˆA0)|ψ0i
Note. Ceci exprime l’invariance de jauge des valeurs moyennes en m´ecanique quantique, c’est `a dire le fait que toute observable exp´erimentale reste inchang´ee apr`es transformation de jauge.
R´eponse. hψ0|rˆ|ψ0i=hψ|Uˆ†rˆUˆ|ψi=hψ|rˆ|ψicomme[ˆr,Uˆ] = 0. hψ0|Pˆ( ˆA0)|ψ0i=hψ|Uˆ†Pˆ( ˆA0) ˆU|ψi= hψ|Pˆ( ˆA0− ∇χ)|ψi=hψ|Pˆ( ˆA)|ψi.
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Φ
|ψ(0)�
| ψ
1�
| ψ
2�
r
0r
1
2
γ 1
γ 2
Figure 1: Exp´erience de pens´ee de Aharonov-Bohm.
Effet Aharonov-Bohm (facultatif )
Maintenant nous consid´erons une exp´erience de double fente de Young, avec un petite mais essentielle modification par rapport `a ce qu’on a vu en cours.
La particule en question est pr´epar´ee dans un paquet d’onde associ´e `a l’´etat initial |ψ(0)i
`
a l’instant t = 0. A l’instant T /2 le paquet d’onde frappe contre la double fente, en se divisant en deux branches
|ψ(T /2)i= 1
√2(|ψ1i+|ψ2i) comme indiqu´e en Fig. 1.
Ensuite la particule est detect´ee `a la positionr sur l’´ecran `a l’instant T.
Dans cette version modifi´ee de l’exp´erience de la double fente, un sol´eno¨ıde est plac´ee derri`ere la double fente, qui induit un flux de champ magn´etique Φ perpendiculaire au plan du dessin. En particulier, le sol´eno¨ıde peut ˆetre infinimment ´etroit et bien derri`ere la barri`ere au milieu de la double fente, d’une telle fa¸con que la particule ne rentre jamais dans une r´egion de l’espace o`u le champ magn´etique est fini.
En pr´esence d’un flux de champ magn´etique, on a que I
Γ
dr·A6= 0
pour certains chemins ferm´es Γ. En particulier, pour un chemin ferm´e qui fait le tourune fois en sens anti-horaire autour du sol´eno¨ıde on a que
I
Γ
dr·A= Φ.
Toutefois, si on se restreint `a la r´egion 1 ombrag´ee dans le dessin, ou bien `a la r´egion 2, tout chemin ferm´e a la propri´et´e que H
Γdr·A 6= 0. Ceci nous permettra de d´efinir les transformations canoniques introduites ci-desssus, d’une fa¸con d´ependante de la r´egion choisie.
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Sans perte de g´en´eralit´e, nous choisissons le pointr0 comme le centre du paquet d’onde `a t= 0, et, si on se restreint `a la r´egion 1, on d´efinit la transformation unitaire
Uˆ1( ˆA) = exp iq
~ Z
γ1
dr0·A(rˆ 0)
o`u γ1 est le chemin qui va de r0 `a r comme indiqu´e dans la figure. De mˆeme, si on se restreint `a la r´egion 2, on consid´erera la transformation unitaire:
Uˆ2( ˆA) = exp iq
~ Z
γ2
dr0·A(rˆ 0)
.
2.10 Soient
ψ1(r) =
Z d3k (2π)3/2
ψ˜1(k) eik·r ψ2(r) =
Z d3k
(2π)3/2 ψ˜2(k) eik·r
les paquets d’ondes associ´es aux ´etats interm´ediaires|ψ1i et|ψ2i. Soient ˜ψ1(r, t;A= 0) et ψ˜2(r, t;A= 0) les paquets d’onde ´evolu´es `a partir de ψ1 etψ2 dans le cas A= 0.
Ecrire les paquets d’onde ´evolu´es ˜ψ1 et ˜ψ2 dans le casA6= 0 en termes des paquets d’ondes
´evolu´es pour A= 0.
R´eponse. En utilisant le resultat au point 2.6, ψ˜1(2)(r, t;A) = exph
iq
~
R
γ1(2)dr0·A(rˆ 0)i
ψ˜1(2)(r, t;A= 0). 2.11
Nous consid´erons maintenant la probabilit´e de detecter la particule enr `a l’instantt=T. Identifier dans cette probabilit´e un terme d’interf´erence entre la propagation `a partir de la fente 1 et celle `a partir de la fente 2. Montrer que le flux magn´etique Φ, bien que absent dans la r´egion accessible la particule, modifie le terme d’interf´erence - en particulier une variation du flux magn´etique de
∆Φ = h 2q
fait passer le terme d’interf´erence de destructif `a constructif ou viceversa.
Note. Cette exp´erience de pens´ee montre qu’un champ magn´etique peut alt´erer la dy- namique d’une particule quantique mˆeme si la particule n’int´eragit pas directement avec le champ magn´etique: c’estl’effet Aharonov-Bohm.
R´eponse. Le paquet d’onde ´evolu´e `a partir de la superposition(ψ1+ψ2)√
2est bien[ ˜ψ1(r, t;A)+
ψ˜2(r, t;A)]/√
2. A l’instant T (ou bien T /2 apr`es le passage par la double fente) on a une probabilit´e d’arriv´ee en r donn´ee par
P(r) = 1 2
h|ψ˜1(r, T;A= 0)|2+|ψ˜2(r, T;A= 0)|2i
+ Re
ψ˜1∗(r, T;A= 0) ˜ψ2(r, T;A= 0) exp iq
~ Z
γ2−γ1
dr0·A(rˆ 0)
En ´ecrivant le terme d’interf´erence pour A= 0 comme
ψ˜1∗(r, T;A= 0) ˜ψ2(r, T;A= 0) =C(r, T) exp [iφ(r, T)]
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on a que
P(r) = 1 2
|ψ˜1|2+|ψ˜2|2
+C cos
φ+qΦ
~
comme
Φ = Z
γ2−γ1
dr0·A(rˆ 0) .
L’interf´erence enr passe de constructive `a destructive (ou viceversa) quand le flux varie de q∆Φ/~=π, d’o`u le resultat.
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3 Probl` eme. Polarisabilit´ e des mol´ ecules diatomiques
Nous mod´elisons une mol´ecule diatomique comme deux atomes ponctuels A et B (Fig. 2(a)), de massemAetmB, qui int´eragissent `a travers d’un potentielV(r), d´ependant uniquement de la s´eparationr entre les noyaux des deux atomes, et esquiss´e en Fig. 2(b).
r
A
B
r
0r
V (r)
(a) (b)
Figure 2: (a) Mol´ecule diatomique; (b) potentiel d’int´eraction atome-atome.
En se limitant aux propri´et´es de basse ´energie du syst`eme, on peut approximer le potentiel d’int´eraction avec un potentiel parabolique centr´e autour du minimumr0
V(r)≈ 1
2κ(r−r0)2 . 3.1
Le Hamiltonien (en repr´esentation x) dans le r´eferentiel de repos du centre de masse de la mol´ecule s’´ecrit donc comme
H=−~2∇2 2µ +1
2κ(r−r0)2 .
Que vautµ? Et quel est la fr´equence caract´eristiqueω0 associ´ee au potentiel parabolique?
R´eponse. µ= mmAmB
A+mB, ω0 =p κ/µ .
3.2
En utilisant la forme du Laplacien en coordonn´ees sph´eriques, montrer que le Hamiltonien prend la forme
H=− ~2 2µr
∂2
∂r2r(.) + L2 2µr2 +1
2 µ ω02 (r−r0)2 .
Justifier que la solution de l’´equation de Schr¨odinger ind´ependante du temps Hψ(r, θ, φ) =E ψ(r, θ, φ)
peut ˆetre cherch´ee dans la forme avec s´eparation de variables ψ(r, θ, φ) =Rn(r)Ylm(θ, φ)
o`uYlm est une harmonique sph´erique avec l, mnombres quantiques du moment angulaire, etnest un nombre quantique qui sera pr´ecis´e dans la suite.
Ecrire l’´equation pour la partie radialeRn(r).
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R´eponse. La forme en s´eparation des variables diagonalise imm´ediatement l’op´erateur de moment angulaire L2 `a travers de l’harmonique sph´erique Ylm, et donc l’´equation de Schr¨odinger se reduit, comme pour l’atome d’hydrog`ene, `a une ´equation purement radiale:
− ~2 2µr
d2
dr2r(.) +~2l(l+ 1) 2µr2 +1
2 µ ω02 (r−r0)2
Rn=E Rn .
3.3
En se concentrant encore une fois sur les propri´et´es de basse ´energie du syst`eme, on imag- ine que, `a cause du potentiel parabolique, la variable r s’´eloigne faiblement de sa valeur d’´equilibrer0. En consid´erant un d´eveloppement limit´e de 1/r2 autour de r =r0, justifier que si
l(l+ 1) µr20
~2 µω02r02 alors on peut prendre l’approximation
~2l(l+ 1) 2µr2 +1
2 µ ω02 (r−r0)2 ≈ ~2l(l+ 1)
2I +1
2 µ ω20 (r−r0)2+C (2) o`uI =µr20 est le moment d’inertie classique de la mol´ecule, etC est une constante.
R´eponse. On a que
~2l(l+ 1)
2µr2 ≈ ~2l(l+ 1)
2I −~2l(l+ 1)
µr30 (r−r0) +3~2l(l+ 1)
2µr40 (r−r0)2+O(r−r0)3 et donc
~2l(l+ 1) 2µr2 +1
2 µ ω02(r−r0)2 ≈ ~2l(l+ 1) 2I +1
2
µ ω20+3~2l(l+ 1) µr40
(r−r0)2−~2l(l+ 1)
µr30 (r−r0)+...
La condition
l(l+ 1) µr20 3~2 µω02r20
permet de n´egliger le d´ecalage en fr´equence de l’oscillateur harmonique. En reconstruisant un carr´e parfait avec le terme lin´eaire
1 2µω02
r−r0−~2l(l+ 1) 2µ2ω02r03
2
−1 2µω20
~2l(l+ 1) 2µ2ω02r30
2
.
La condition pour n´egliger le d´ecalage du centre de l’oscillateur harmonique est
l(l+ 1) 2µr20
~2 µω20r20 .
3.4
En consid´erant la mol´ecule H-Cl, pour quelles valeurs de l la condition ci-dessus est elle remplie?
R´eponse. Pour H-Cl on a µr~22
0 ≈3.8×10−22 J et µω20r20 = 7.7×10−18 J. Donc l(l+ 1) 2×104, voir l140.
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3.5
En prenant
Rn(r) = un(r) r
d´emontrer que les valeurs propres du Hamiltonien prennent la forme E =Enl =~ω0
n+ 1
2
+~2l(l+ 1) 2I +C .
Justifier que le premier terme de Enl repr´esente l’´energie vibrationnelle de la mol´ecule, et le deuxi`eme terme repr´esente l’´energierotationnelle.
Note. Le r´esultat ci-dessus implique que l’on puisse consid´erer la variable radialer comme d´efinit sur tout l’axe r´eel, [−∞,+∞], mais en fait elle proprement d´efinie seulement sur la moiti´e positive [0,∞]. Cependant, si les fonctions d’onde radialesunassoci´ees `a la physique de basse ´energie sont fortement localis´ees autour der0 >0, le fait d’admettre quer puisse ˆetre n´egatif repr´esente une approximation tout `a fait justifi´ee.
R´eponse. L’´equation de Schr¨odinger pour un prend donc la forme
−~2 2µ
d2 dr2 +1
2 µ ω20 (r−r0)2
un=
E−~2l(l+ 1)
2I −C
un
qui correspond `a l’´equation de Schr¨odinger pour un oscillateur harmonique `a d= 1, quitte `a consid´ererrcomme d´efinit sur toute l’axe r´eel. Les valeurs propres sont doncEnl−~2l(l+1)2I − C=~ω0(n+ 1/2), etun(r) =hr|ni est fonction propre de l’oscillateur harmonique.
3.6
Nous imaginons maintenant que la mol´ecule diatomique AB poss`ede un moment de dipˆole
´electrique intrins`eque d, qu’on associe au fait qu’une charge effective q est transf´er´ee de l’atome A `a l’atome B, donc
d=q r.
Consid´erons maintenant la perturbation introduite par l’application d’un champ ´electrique dans la directionz,E=Eez, qui se couple au dipˆole ´electrique comme suit
V =−q E rcosθ=−q E [r0+ (r−r0)] cosθ
Nous nous int´eressons `a la perturbation induite sur l’´etat fondamental avecn=l= 0.
Calculer la correction au premier ordre `a l’´energie de l’´etat fondamental due au champ
´electrique.
R´eponse. La correction vaut z´ero, comme V ∼ Y10: on a en fait que R
dΩ|Y00|2Y10= 0.
3.7
Justifier que l’op´erateur de perturbation peut ˆetre ´ecrit comme Vˆ =−q r0 E
"
1 + 1 r0
s
~ 2µω0
ˆ a+ ˆa†
# cos ˆθ
Pour H-Cl, calculer le rapport r1
0
q
2µω~0, et justifier que ˆV ≈ −q r0 Ecos ˆθpour les ´etats de basse ´energie.
Calculer donc la correction au deuxi`eme ordre, et v´erifier qu’elle prend la forme
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∆E0(2)=−1 2 P E2 o`uP, polarisabilit´e de la mol´ecule, vaut
P = 2 3
q2r20I
~2 . R´eponse. Au deuxi`eme ordre
∆E0(2)=−q2E2r20 X
(nlm)6=(0,0,0)
|hnlm|cosθ|000i|2
~ω0n+~2l(l+1)2I . On a que la somme sur n est restreinte `a n= 0, et
hlm|cosθ|00i= 1
√3 Z
dΩ Ylm∗ Y10= 1
√3δlm,10
d’o`u
∆E0(2)=−q2E2r20 3~2/I et d’o`u l’expression de la polarisabilit´e.
3.8
Le th´eor`eme de Hellman-Feynman implique que le dipˆole moyen induit par le champ
´electrique vaut
hdzi=−∂hHiˆ
∂E .
Calculer le dipˆole induit dans la mol´ecule H-Cl par un champ E = 1 V/m (on prendra q=e).
Est-ce que la valeur trouv´ee est admissible?
R´eponse. hdzi = PE. Pour H-Cl on trouve P = 7.2×10−37 C m2/V, et donc hdzi = 7.2×10−37 C m, qui est bien loin de la valeur maximale qr0≈2×10−29 C m.
3.9
En consid´erant la forme compl`ete de l’op´erateur ˆV recalculer la correction au deuxi`eme ordre; v´erifier que la polarisabilit´e prend la forme
P = 2 3
q2r20I
~2 + ~q2
3µω0(~ω0+~2/I) . R´eponse. La forme compl`ete au deuxi`eme ordre donne
∆E0(2) =−q2E2 X
(nlm)6=(0,0,0)
|hn|r0+q
2µω~0(ˆa+ ˆa†) |0i|2|hlm|cosθ|00i|2
~ω0n+~2l(l+1)2I
=−q2E2r02
3~2/I − ~q2E2 6µω0
X
(nlm)6=(0,0,0)
|hn|(ˆa+ ˆa†) |0i|2
~ω0n+~I2 On a que la somme sur n est restreinte `a n= 1, et donc
∆E(2)0 =−q2E2r02
3~2/I −~q2E2 6µω0
1
~ω0+~2/I