1.Introduction 1.S´eriesdeFourier

(1)

1

1. S´ eries de Fourier

1. Introduction

En physique, on rencontre souvent des problèmes faisant intervenir des vi- brations ou des oscillations. La vibration d’un diapason est un exemple de mouvement harmonique simple. La note musicale produite est due au passage d’une onde sonore à travers l’air, depuis le diapason jusqu’à l’oreille. Quand le diapason vibre, il met les molécules d’air en mouvement. Si l’on mesure la pression en excès en fonction de la distancex au diapason et du temps t, on trouve qu’elle est de la forme :

p=A cos2π(x−vt)

λ . (1.1)

L’onde sonore produite par le diapason est une onde sinuso¨ıdale pure de fr´equence angulaire ou pulsationω = 2πv/λet de vecteur d’onde k = 2π/λ. On a :

p=A cos(kx−ωt). (1.2)

Si l’on émet simultanément plusieurs sons de fréquence définie, la pression dans l’onde sonore résultante n’est pas une fonction sinuso¨ıdale, mais une somme de plusieurs fonctions sinuso¨ıdales. De même, si l’on joue une note de piano, on n’obtient pas une onde sonore de fréquence bien définie, mais un son fondamental accompagné d’autres sons (les harmoniques) de fréquences égales à 2 fois, 3 fois, 4 fois . . ., celle du son fondamental. Si sinωt et cosωt correspondent à la fréquence fondamentale, sinnωt et cosnωt (n entier) correspondent aux harmoniques. La combinaison du fondamental et des harmoniques est une fonction périodique com- pliquée dont la période est celle du fondamental.

On peut se poser la question suivante : étant donnée une fonction périodique, comment l’écrire sous la forme d’une somme de termes correspondant aux différents harmoniques? En général, il est nécessaire pour cela d’écrire tous les harmoniques, c’est-à-dire une série infinie de termes. Cette série est appelée série de Fourier.

Développer une fonction en série de Fourier revient à la décomposer en ses différents harmoniques.

(2)

2. D´ efinition

On appelle série trigonométrique une série de la forme : a0

2 +

∞

X

n=1

(ancosnx+bnsinnx). (2.1)

Les constantes a₀, a_n et b_n (n = 1,2. . .) sont les coefficients de la série trigo- nométrique. Si la série (2.1) converge, sa somme est une fonction périodique f(x) de période 2π :

f(x) =f(x+ 2π). (2.2)

Comme indiqué dans l’introduction, on se pose le problème suivant : étant une fonction périodiquef(x) de période 2π, on se demande pour quelles conditions imposées à f(x) il existe une série trigonométrique convergeant vers f(x).

2.1. D´etermination des coefficients de la s´erie au moyen des formules de Fourier

On suppose que la fonction f(x), périodique et de période 2π, peut être représentée par une série trigonométrique convergeant vers f(x) dans l’intervalle (−π, π), c’est-à-dire que l’on peut écrire :

f(x) = a₀ 2 +

∞

X

n=1

(a_ncosnx+b_nsinnx). (2.3)

La série (2.1) (qui figure au second membre de l’équation (2.3)) est appelée série de Fourier def(x). Les coefficientsanetbnsont lescoefficients de Fourier def(x).

•Calcul de a0

On suppose que la série (2.1) (second membre de l’équation (2.3)) peut être intégrée terme à terme. C’est par exemple le cas si la série numérique formée avec les coefficients de la série trigonométrique converge absolument, c’est-à-dire si la série numérique positive suivante converge :

a0

2

+|a1|+|b1|+· · ·+|an|+|bn|+· · · . (2.4) La série (2.1) est alors majorable et peut être intégrée terme à terme. On en déduit l’égalité

Z π

−π

f(x)dx=πa₀, (2.5)

(3)

D´efinition 3 qui fournit une expression de a0 :

a0 = 1 π

Z π

−π

f(x)dx. (2.6)

•Calcul des autres coefficients de Fourier

Pour obtenir les autres coefficients de la s´erie, on calcule d’abord les int´egrales auxiliaires suivantes, dans lesquellesn et k sont des entiers strictement positifs :

Z π

−π

cosnxcoskx dx=

0, n6=k π, n=k, Z π

−π

cosnxsinkx dx= 0, Z π

−π

sinnxsinkx dx=

0, n6=k π, n=k.

(2.7)

Pour déterminer a_k pour k >0 donné, on multiplie les deux membres de l’égalité (2.3) par coskx :

f(x) coskx= a0

2 coskx+

∞

X

n=1

(ancosnxcoskx+bnsinnxcoskx). (2.8) La série du second membre est majorable et peut donc être intégrée terme à terme.

On obtient ainsi l’´egalit´e

Z π

−π

f(x) coskx dx=πa_k, (2.9)

qui fournit une expression de a_k :

ak= 1 π

Z π

−π

f(x) coskx dx. (2.10)

De même, en multipliant les deux membres de l’égalité (2.3) par sinkx et en intégrant sur x, on obtient l’égalité

Z π

−π

f(x) sinkx dx=πbk, (2.11) d’o`u l’on d´eduit une expression de bk :

b_k = 1 π

Z π

−π

f(x) sinkx dx. (2.12)

(4)

2.2. Conditions suffisantes pour qu’une fonction soit d´eveloppable en s´erie de Fourier

Quelles sont les propriétés que doit posséder la fonction f(x) pour que sa série de Fourier converge et que sa somme soit égale aux valeurs de la fonction aux points considérés?

Nous allons énoncer un théorème donnant des conditions suffisantes pour que la fonction f(x) soit représentable par une série de Fourier. Les fonctions considérées sont monotones par morceaux et bornées sur l’intervalle considéré, donc ne possèdent que des points de discontinuité de première espèce, c’est-à- dire avec une limite à droite et une limite à gauche. On a le théorème : Si la fonction périodique f(x) de période 2π est monotone par morceaux et bornée sur le segment(−π, π), sa série de Fourier converge en tous les points. La somme de la série obtenues(x)est égale à la valeur de la fonctionf(x)aux points de continuité.

Aux points de discontinuité de f(x), la somme de la série est égale à la moyenne arithmétique des limites de la fonction à gauche et à droite, c’est-à-dire que, si c est un point de discontinuité de f(x), on a :

s(x)|_x=c = f(c−0) +f(c+ 0)

2 . (2.13)

Ce théorème montre que la classe des fonctions représentables par des séries de Fourier est assez large.

3. Exemples de d´ eveloppements de fonctions en s´ eries de Fourier

Donnons des exemples de d´eveloppements de fonctions en s´eries de Fourier.

3.1. Exemple 1

On se donne une fonction périodiquef(x) de période 2π définie comme suit :

f(x) =x, −π < x≤π. (3.1)

Cette fonction est monotone par morceaux et born´ee (Figure 1).

(5)

Exemples de d´eveloppements de fonctions en s´eries de Fourier 5

0 π 2π 3π

-π -2π

-3π

f(x)

x

Figure 1

Elle admet donc un d´eveloppement en s´erie de Fourier. On trouve en appli- quant les formules (2.6), (2.10) et (2.12) :

a0 = 1 π

Z π

−π

x dx= 0, (3.2)

a_k = 1 π

Z π

−π

xcoskx dx= 0, (3.3)

bk = 1 π

Z π

−π

xsinkx dx= (−1)^k+12

k. (3.4)

On obtient ainsi le d´eveloppement def(x) en s´erie de Fourier : f(x) = 2

sinx

1 − sin 2x

2 +· · ·+ (−1)^k+1sinkx k +· · ·

. (3.5)

L’égalité a lieu partout sauf aux points de discontinuité. En de tels points, la somme de la série est égale à la moyenne arithmétique des limites de la fonction à gauche et à droite, c’est-à-dire à zéro.

3.2. Exemple 2

On se donne une fonction périodique de période 2π définie comme suit f(x) =−x, −π ≤x ≤0,

f(x) =x, 0< x≤π, (3.6)

(6)

(c’est-`a-diref(x) =|x|dans l’intervalle (−π, π)). Cette fonction est monotone par morceaux et born´ee (Figure 2).

0 ! 2! 3!

-!

-2!

-3!

f(x)

x

Figure 2

Elle admet donc un développement en série de Fourier. Déterminons ses coefficients de Fourier. On obtient

a₀ = 1 π

Z 0

−π

(−x)dx+ Z π

0

x dx

=π, (3.7)

ak = 1 π

Z 0

−π

(−x) coskx dx+ Z π

0

xcoskx dx

= 2

πk²(coskπ−1), (3.8) soit

ak =

0, k pair,

−4/πk², k impair, (3.9)

et :

bk = 1 π

Z 0

−π

(−x) sinkx dx+ Z π

0

xsinkx dx

= 0. (3.10)

On a donc le d´eveloppement en s´erie de Fourier : f(x) = π

2 − 4 π

cosx

1² + cos 3x

3² +· · ·+ cos(2p+ 1)x (2p+ 1)² +· · ·

. (3.11)

La série (3.11) converge partout et sa somme est égale à la fonction considérée.

(7)

Exemples de d´eveloppements de fonctions en s´eries de Fourier 7 3.3. Exemple 3

On considère la fonction périodique de période 2π définie comme suit : f(x) =−1, −π < x <0,

f(x) = 1, 0≤x≤π. (3.12)

Cette fonction est monotone par morceaux et born´ee (Figure 3). Calculons ses coefficients de Fourier. On obtient :

a0 = 1 π

Z 0

−π

(−1)dx+ Z π

0

dx

= 0, (3.13)

ak= 1 π

Z 0

−π

(−1) coskx dx+ Z π

0

coskx dx

= 0, (3.14)

et

bk = 1 π

Z 0

−π

(−1) sinkx dx+ Z π

0

sinkx dx

= 2

πk(1−coskπ), (3.15) soit :

b_k =

0, k pair,

4/πk, k impair. (3.16)

0 ! 2! 3!

-2!

-3!

f(x)

x

Figure 3 1

-1

La série de Fourier de la fonction considérée s’écrit donc : f(x) = 4

π sinx

1 + sin 3x

3 +· · ·+ sin(2p+ 1)x 2p+ 1 +· · ·

. (3.17)

(8)

L’égalité (3.17) est exacte partout sauf aux points de discontinuité. En ces points, la somme de la série est égale à la moyenne arithmétique des limites de la fonction

`

a gauche et à droite, c’est-à-dire à zéro.

3.4. Remarque sur le calcul des coefficients de Fourier

L’intégrale d’une fonction périodiquef(x) sur un intervalle arbitraire de longueur égale à la période a toujours la même valeur. On peut donc par exemple, dans le calcul des coefficients de Fourier d’une fonction périodique de période 2π, remplacer l’intervalle d’intégration (−π, π) par l’intervalle (λ, λ+ 2π), oùλ est un réel quelconque. Cette propriété peut, dans certains cas, simplifier le calcul.

4. S´ eries de Fourier des fonctions paires ou impaires

On consid`ere une fonctionf(x) d´efinie sur l’intervalle (−π, π). Cette fonction est paire si :

f(x) =f(−x). (4.1)

Elle est impaire si :

f(x) =−f(−x). (4.2)

Toute fonction peut ˆetre ´ecrite comme la somme d’une fonction paire et d’une fonction impaire.

Les intégrales sur des intervalles symétriques de fonctions de parité définie peuvent être simplifiées. On a en effet, si f est paire,

Z π

−π

f(x)dx= 2 Z π

0

f(x)dx, (4.3)

et, si f est impaire :

Z π

−π

f(x)dx= 0. (4.4)

4.1. Fonction paire : s´erie de Fourier cosinus

Sif(x) est paire,f(x) sinkxest impaire et f(x) coskxest paire. Par suite, on a :

a₀ = 2 π

Z π

0

f(x)dx, (4.5)

ak = 2 π

Z π

0

f(x) coskx dx, (4.6)

b_k = 1 π

Z π

−π

f(x) sinkx dx= 0. (4.7)

(9)

Séries de Fourier des fonctions de période quelconque 9 Le développement en série de Fourier d’une fonction paire ne contient que des cosinus (c’est le cas de la fonction de l’exemple 2). On dit alors que l’on a unesérie de Fourier cosinus.

4.2. Fonction impaire : s´erie de Fourier sinus

Sif(x) est impaire,f(x) sinkx est paire et f(x) coskxest impaire. Par suite, on a :

a0 = 1 π

Z π

−π

f(x)dx= 0, (4.8)

a_k = 1 π

Z π

−π

f(x) coskx dx= 0, (4.9)

b_k= 1 π

Z π

−π

f(x) sinkx dx= 2 π

Z π

0

f(x) sinkx dx, (4.10) Le développement en série de Fourier d’une fonction impaire ne contient que des sinus (c’est le cas des fonctions des exemples 1 et 3). C’est une série de Fourier sinus.

5. S´ eries de Fourier des fonctions de p´ eriode quelconque

Soitf(x) une fonction périodique de période 2` (éventuellement différente de 2π). On cherche à la développer en série de Fourier. Pour cela, on effectue le change- ment de variable x = (`/π)u. La fonction f

` πu

est une fonction périodique de u de période 2π que l’on peut développer en série de Fourier :

f` πu

= a0

2 +

∞

X

n=1

(ancosnu+bnsinnu). (5.1) Les coefficients de la s´erie sont donn´es par les formules :

a0 = 1 π

Z π

−π

f `

πu

du= 1

` Z `

−`

f(x)dx, (5.2)

a_n = 1 π

Z π

−π

f `

πu

cosnu du= 1

` Z `

−`

f(x) cos nπx

` dx, (5.3)

b_n= 1 π

Z π

−π

f `

πu

sinnu du= 1

` Z `

−`

f(x) sinnπx

` dx. (5.4)

Les formules (5.2)–(5.4) permettent d’obtenir les coefficients de Fourier d’une fonction p´eriodique de p´eriode 2`.

Les remarques sur la possibilité de calculer les coefficients de Fourier en intégrant sur un segment arbitraire de longueur égale à la période (paragraphe 3.4), et de simplifier le calcul des coefficients lorsque la fonction est paire ou impaire (paragraphe 5), restent valables pour une fonction de période quelconque.

(10)

6. D´ eveloppement en s´ erie de Fourier d’une fonction d´ efinie sur un intervalle fini

Soit une fonction monotone par morceauxf(x), donn´ee sur le segment (a, b).

Cette fonction peut être représentée aux points de continuité par une série de Fourier. Pour le montrer, il suffit de considérer une fonction périodique monotone par morceaux f1(x) de période supérieure ou égale à |b−a| et co¨ıncidant avec la fonction f(x) sur le segment (a, b). La fonction f₁(x) est unprolongement périodiquede f(x). Cette fonction, étant périodique, peut être développée en série de Fourier. La somme de la série co¨ıncide partout sur le segment (a, b) (sauf aux points de discontinuité) avec la fonction donnéef(x). La fonction f(x) a ainsi été développée en série de Fourier sur le segment (a, b).

Le prolongement périodique d’une fonction n’est pas unique. En particulier, une fonction définie sur l’intervalle (0, `) peut être prolongée de plusieurs manières sur le segment (−`,0). On peut par exemple la prolonger de sorte que f(x) = f(−x) (prolongement pair). La série de Fourier correspondante est une série de Fourier cosinus. On peut aussi prolonger la fonction de sorte quef(x) = −f(−x) (prolongement impair). La série de Fourier correspondante est une série de Fourier sinus.

En reprenant l’exemple 1 et l’exemple 2 du paragraphe 3, on voit que la fonction f(x) = x sur le segment (0, π) peut être prolongée, soit de fa¸con paire avec le développement en série de Fourier cosinus

x= π 2 − 4

π

cosx

1 + cos 3x 3² +· · ·

, (6.1)

soit de fa¸con impaire avec le d´eveloppement en s´erie de Fourier sinus : x= 2

sinx

1 − sin 2x

2 + sin 3x 3 − · · ·

. (6.2)

Les ´egalit´es (6.1) et (6.2) sont valables, l’une comme l’autre, sur le segment (0, π).

7. S´ eries de Fourier complexes

7.1. D´efinition

Soit la série de Fourier d’une fonction périodique f(x) de période 2π : f(x) = a₀

2 +

∞

X

n=1

(a_ncosnx+b_nsinnx). (7.1) En exprimant cosnxet sinnxau moyen des exponentielles imaginaires, c’est-`a-dire en ´ecrivant

cosnx= e^inx+e^−inx

2 ,

sinnx= e^inx−e^−inx

2i ,

(7.2)

(11)

Séries de Fourier complexes 11 et en reportant ces expressions dans la série de Fourier (7.1), on obtient une série de termes de la formeeînx ete^−inx. C’est la forme complexe de la série de Fourier de f(x) :

f(x) =

∞

X

n=−∞

c_ne^inx. (7.3)

On a les relations : c₀ = a₀

2 , c_n = a_n−ib_n

2 , c_−n= a_n+ib_n

2 = a_−n−ib_−n

2 (n≥1).

(7.4) 7.2. Formules de Fourier

Comme les coefficients a_n et b_n, les coefficients c_n s’expriment par des int´e- grales. En rempla¸cant dans les formules (7.4) les coefficients a0, an et bn par leurs expressions (2.6), (2.10) et (2.12), on obtient :

c_n= 1 2π

Z π

−π

f(x)e^−inxdx, n= 0,±1,±2. . . . (7.5)

7.3. Cas d’une fonction de p´eriode quelconque

Si la fonction f(x) est périodique de période 2`, sa série de Fourier s’écrit : f(x) = a₀

2 +

∞

X

n=1

a_ncosnπx

` +b_nsinnπx

`

. (7.6)

Dans ce cas, la forme complexe de la s´erie est donn´ee par la formule f(x) =

∞

X

n=−∞

cnexp

inπx

`

, (7.7)

avec :

c_n = 1 2l

Z `

−`

f(x) exp

−inπx

`

dx, n= 0,±1,±2. . . . (7.8)

7.4. Propri´et´es des coefficients cn

Si f est paire, alors c_n = c_−n. De fa¸con analogue, si f est impaire, alors cn =−c_−n.

Si f est une fonction r´eelle, alors¹ c^∗_n = c_−n. Si f est imaginaire pure, alors c^∗_n =−c_−n.

1 Le symbole^∗ d´esigne l’op´eration de conjugaison complexe.

(12)

7.5. Un peu de physique

Considérons le cas où xreprésente une longueur. Les nombresk_n =nπ/`sont alors les nombres d’onde de la fonction périodique

f(x) =

∞

X

n=−∞

c_nexp(ik_nx). (7.9)

L’ensemble des kn constitue le spectre des nombres d’onde de f(x). Si l’on porte ces nombres sur un axe, on obtient un ensemble de points distincts. Le spectre correspondant est ditdiscret.

Considérons le cas où x représente le temps. En changeant de notation de manière à appeler la variable t, la série de Fourier complexe d’une fonction du temps f(t) de période T = 2π/ω s’écrit

f(t) =

∞

X

n=−∞

c_nexp(iω_nt), (7.10)

où les nombresωn =nωsont les fréquences angulaires des différents harmoniques.

L’ensemble desω_nconstitue le spectre de fréquences def(t). La fonction considérée

étant périodique, son spectre de fréquences est discret.

Dans un cas comme dans l’autre, les coefficientscn du d´eveloppement en s´erie de Fourier portent le nom d’amplitudes complexes.

8. Approximation d’une fonction par les sommes partielles de Fourier

En pratique, la somme partielles_N(x) obtenue lorsque l’on se limite au N^`ême terme de la représentation d’une fonctionf(x) en série de Fourier constitue une expression approchée de la fonction que l’on développe. On peut démontrer que c’est la meilleure expression approchée, au sens où elle minimise la déviation quadratique δ_N² définie par² :

δ_N² = 1 2π

Z π

−π

f(x)−s_N(x)2

dx. (8.1)

2 Nous supposons icif(x) réelle. Si f(x) peut prendre des valeurs complexes, la définition (8.1) deδ_N² doit être remplacée par :

δ_N² = 1 2π

Z π

−π

|f(x)−s_N(x)|²dx.

(13)

Approximation d’une fonction par les sommes partielles de Fourier 13 8.1. In´egalit´e de Bessel

Consid´erons les sommes partielles sN(x) = a0

2 +

N

X

k=1

(akcoskx+bksinkx), (8.2) où a₀, a₁, . . . , a_N, b₁, . . . , b_N sont les coefficients de Fourier de f(x) d’indice infé- rieur ou égal à N. On a :

δ²_N = 1 2π

Z π

−π

f²(x)dx− a²₀ 4 − 1

2

N

X

k=1

(a²_k+b²_k). (8.3) Commeδ_N² ≥0, on a, quel que soit N, l’in´egalit´e : ,

1 2π

Z π

−π

f²(x)dx≥ a²₀ 4 + 1

2

N

X

k=1

(a²_k+b²_k). (8.4) Il s’ensuit que la série du second membre converge lorsqueN → ∞. On en déduit l’inégalité de Bessel :

1 2π

Z π

−π

f²(x)dx≥ a²₀ 4 + 1

2

∞

X

k=1

(a²_k+b²_k). (8.5)

8.2. ´Egalit´e de Parseval

On peut démontrer que, pour toute fonction f(x) bornée monotone par morceaux, la déviation quadratique δ_N² obtenue lorsque l’on remplace cette fonction par la somme partielle de FouriersN(x) tend vers zéro lorsqueN tend vers l’infini.

Il résulte alors de la formule (8.3) l’égalité 1

2π Z π

−π

f²(x)dx= a²₀ 4 + 1

2

∞

X

k=1

(a²_k+b²_k), (8.6)

dite égalité de Parseval. En utilisant la forme complexe des séries de Fourier, on montre que l’égalité de Parseval s’écrit aussi :

1 2π

Z π

−π

f²(x)dx=

∞

X

k=−∞

|ck|². (8.7)

(14)

Pour une fonction à valeurs complexes, les formules (8.6) et (8.7) doivent être remplacées par :

1 2π

Z π

−π

|f(x)|²dx= |a0|² 4 + 1

2

∞

X

k=1

(|a_k|²+|b_k|²) (8.8) et :

1 2π

Z π

−π

|f(x)|²dx=

∞

X

k=−∞

|c_k|². (8.9)

8.3. Encore un peu de physique

Donnons une idée du sens de l’égalité de Parseval en physique. Considérons par exemple la pression en excès p(t) de l’air en fonction du temps au voisinage d’une source sonore. L’intensité du son est proportionnelle à la moyenne du carré de la pression en excès. Lorsque la pression a une variation purement sinuso¨ıdale Acosωt, l’intensité est proportionnelle à A². Dans la série de Fourier de p(t), les intensités des différents harmoniques sont proportionnelles aux carrés des coefficients de Fourier correspondants. L’égalité de Parseval correspond donc dans cet exemple au fait que l’énergie sonore totale est égale à la somme des énergies associées aux différents harmoniques.

9. Propri´ et´ e des coefficients de Fourier

On considère les fonctions continues par morceaux sur le segment (−π, π), c’est-à-dire les fonctions dont les points de discontinuité de première espèce sont en nombre fini sur ce segment (ou qui y sont partout continues).

On peut démontrer le théorème : Si la fonction f(x) est continue par morceaux sur le segment(−π, π), ses coefficients de Fourier tendent vers zéro lorsque n→ ∞ :

n→∞lim an = 0, lim

n→∞bn = 0. (9.1)

En effet, si la fonctionf(x) est continue par morceaux sur le segment (−π, π), il en est de mˆeme de f²(x). Donc l’int´egrale Rπ

−πf²(x)dx existe et est un nombre fini.

Il résulte alors de l’inégalité de Bessel (8.6) que la série P∞

n=1(a²_n+b²_n) converge, ce qui entraˆıne que son terme général tend vers zéro : lim_n→∞(a²_n+b²_n) = 0. On démontre ainsi pour une fonction bornée continue par morceaux les égalités (9.1), qui s’écrivent, compte tenu des formules de Fourier (2.10) et (2.11) :

n→∞lim Z π

−π

f(x) cosnx dx= 0,

n→∞lim Z π

−π

f(x) sinnx dx= 0.

(9.2)

(15)

Propriété des coefficients de Fourier 15 Les propriétés (9.1) et (9.2) s’étendent à la forme complexe de la série de Fourier. On a

n→∞lim cn = 0, (9.3)

soit, compte tenu de la formule de Fourier (7.5) :

n→∞lim Z π

−π

f(x)e^−inxdx= 0. (9.4)