L3S6 Math-Eco
Optimisation Non Lin´ eaire
Ann´ee 2012-2013 Contrˆole terminal Session 2 Dur´ee : 2h Documents interdits ; calculatrice de type coll`ege non programmable auto- ris´ee. Il sera tenu compte de la clart´e et de la pr´ecision des r´eponses.
Exercice 1 Supposons que l’on veuille investir de l’argent pendant une p´eriode de N ≥ 1 intervalles afin d’avoir `a la fin un capital xN = 10000 euros. Si la banque paye un int´erˆet de tauxα dans un intervalle, on aura
xi+1= (1 +α)xi+ui, i= 0, . . . , N−1, x0= 0.
Ici, ui est l’argent d´epos´e par p´eriode. Le probl`eme pourrait ˆetre facilement r´esolu en prenant
ui = 0, i= 0, . . . , N−2, uN−1 =xN.
N´eanmoins ce plan est au-dessus de nos moyens. On cherche ici une solution avec effort minimal. Pour cela, on cherche une solution qui minimise l’indice de performance
J =
N−1
X
i=0
1 2u2i.
Exercice 2 R´esoudre le probl`eme d’optimisation suivant : trouver le mini- mum de
J(z1, z2) = 1 2
z21 a2 +z22
b2
,
sous la condition
f(z1, z2) =mz1+z2−c= 0.
Ici,a, b, m et c sont donn´es.
Exercice 3 Un fichier de X Mb doit ˆetre transmis par un lien de commu- nication. A chaque tempst, l’envoyeur peut choisir un taux de transmission 0 ≤ u(t) ≤ 1. La charge pour transmettre au taux u(t) au temps t est u(t)p(t). La fonction p est suppos´ee connue. S’il cela prend un temps T de transmettre le fichier, alors il y a un d´elai γT2, avec γ > 0. Donc u et T sont choisis pour minimiser
Z T
0
u(t)p(t)dt+γT2,
avec u(t)∈[0, T], x0(t) =−u(t), x(0) =X et x(T) = 0.
1. Montrer qu’il existe p∗ tel que u(t) = 1, si p(t) ≤ p∗ et u(t) = 0, si p(t)> p∗.
1
2. Montrer que p∗ et T sont reli´es parp∗=p(T) + 2γT
3. Supposons quep(t) =t+ 1/tet X+ 1. Pour quelle valeur de γ est-il optimal de transmettre au taux constant1entre les temps1/2et3/2? Exercice 4 Deux produits chimiques peuvent ˆetre produits dans une instal- lation et chacun prend une heure par tonne `a ˆetre produit. Les deux montrent des d´es´economies d’´echelle. Si x1 tonnes du premier produit sont utilis´ees, la contribution est de
6x1−x21/2.
La contribution est de √
50x2 pour x2 tonnes produites du second produit.
L’installation peut ˆetre utilis´ee 23 heures par jour (une heure est n´ecessaire pour la maintenance) et, `a cause du probl`eme de disponibilit´e des mati`eres premi`eres, seulement10tonnes du premier produit chimique et18tonnes du second peuvent ˆetre produits chaque jour. Quelle est la meilleure program- mation de production pour maximiser la contribution ?
Exercice 5 La consommation de biens par un consommateur prend du temps et de l’argent. Il est donc int´eressant de consid´erer le probl`eme de maximi- sation de l’utilit´e avec `a la fois une contrainte de temps et de budget. Le probl`eme revient `a consid´erer le probl`eme de maximisation suivant
(x,y)∈Umax f(x, y), avec
f(x, y) =xy, U ={(x, y)∈R2+, p1x+p2y≤B, t1x+t2y≤T}
On suppose que p1 (resp. p2) est le prix d’une unit´e dex (resp. de y) et t1
(resp. t2) est le temps n´ecessaire pour consommer une unit´e de x (resp. de y).
On suppose ici quep1 = 1, p2 = 2, B= 40et t1 =t2 = 1, T = 24.
1.R´esoudre le probl`eme en n’utilisant que la contrainte de temps.
2.R´esoudre le probl`eme en n’utilisant que la contrainte de budget.
3.R´esoudre le probl`eme en utilisant les deux contraintes (temps et budget).
Pour toutes les questions, on justifiera bien toutes les ´etapes.
2