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Optimisation Non Lin´ eaire

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Academic year: 2022

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L3S6 Math-Eco

Optimisation Non Lin´ eaire

Ann´ee 2012-2013 Contrˆole terminal Session 2 Dur´ee : 2h Documents interdits ; calculatrice de type coll`ege non programmable auto- ris´ee. Il sera tenu compte de la clart´e et de la pr´ecision des r´eponses.

Exercice 1 Supposons que l’on veuille investir de l’argent pendant une p´eriode de N ≥ 1 intervalles afin d’avoir `a la fin un capital xN = 10000 euros. Si la banque paye un int´erˆet de tauxα dans un intervalle, on aura

xi+1= (1 +α)xi+ui, i= 0, . . . , N−1, x0= 0.

Ici, ui est l’argent d´epos´e par p´eriode. Le probl`eme pourrait ˆetre facilement r´esolu en prenant

ui = 0, i= 0, . . . , N−2, uN−1 =xN.

N´eanmoins ce plan est au-dessus de nos moyens. On cherche ici une solution avec effort minimal. Pour cela, on cherche une solution qui minimise l’indice de performance

J =

N−1

X

i=0

1 2u2i.

Exercice 2 R´esoudre le probl`eme d’optimisation suivant : trouver le mini- mum de

J(z1, z2) = 1 2

z21 a2 +z22

b2

,

sous la condition

f(z1, z2) =mz1+z2−c= 0.

Ici,a, b, m et c sont donn´es.

Exercice 3 Un fichier de X Mb doit ˆetre transmis par un lien de commu- nication. A chaque tempst, l’envoyeur peut choisir un taux de transmission 0 ≤ u(t) ≤ 1. La charge pour transmettre au taux u(t) au temps t est u(t)p(t). La fonction p est suppos´ee connue. S’il cela prend un temps T de transmettre le fichier, alors il y a un d´elai γT2, avec γ > 0. Donc u et T sont choisis pour minimiser

Z T

0

u(t)p(t)dt+γT2,

avec u(t)∈[0, T], x0(t) =−u(t), x(0) =X et x(T) = 0.

1. Montrer qu’il existe p tel que u(t) = 1, si p(t) ≤ p et u(t) = 0, si p(t)> p.

1

(2)

2. Montrer que p et T sont reli´es parp=p(T) + 2γT

3. Supposons quep(t) =t+ 1/tet X+ 1. Pour quelle valeur de γ est-il optimal de transmettre au taux constant1entre les temps1/2et3/2? Exercice 4 Deux produits chimiques peuvent ˆetre produits dans une instal- lation et chacun prend une heure par tonne `a ˆetre produit. Les deux montrent des d´es´economies d’´echelle. Si x1 tonnes du premier produit sont utilis´ees, la contribution est de

6x1−x21/2.

La contribution est de √

50x2 pour x2 tonnes produites du second produit.

L’installation peut ˆetre utilis´ee 23 heures par jour (une heure est n´ecessaire pour la maintenance) et, `a cause du probl`eme de disponibilit´e des mati`eres premi`eres, seulement10tonnes du premier produit chimique et18tonnes du second peuvent ˆetre produits chaque jour. Quelle est la meilleure program- mation de production pour maximiser la contribution ?

Exercice 5 La consommation de biens par un consommateur prend du temps et de l’argent. Il est donc int´eressant de consid´erer le probl`eme de maximi- sation de l’utilit´e avec `a la fois une contrainte de temps et de budget. Le probl`eme revient `a consid´erer le probl`eme de maximisation suivant

(x,y)∈Umax f(x, y), avec

f(x, y) =xy, U ={(x, y)∈R2+, p1x+p2y≤B, t1x+t2y≤T}

On suppose que p1 (resp. p2) est le prix d’une unit´e dex (resp. de y) et t1

(resp. t2) est le temps n´ecessaire pour consommer une unit´e de x (resp. de y).

On suppose ici quep1 = 1, p2 = 2, B= 40et t1 =t2 = 1, T = 24.

1.R´esoudre le probl`eme en n’utilisant que la contrainte de temps.

2.R´esoudre le probl`eme en n’utilisant que la contrainte de budget.

3.R´esoudre le probl`eme en utilisant les deux contraintes (temps et budget).

Pour toutes les questions, on justifiera bien toutes les ´etapes.

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