________ Calcul et mise en équation ________

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Département TECHNIQUES DE COMMERCIALISATION

MATHEMATIQUES

Semestre 1

________ Calcul et mise en équation ________

TD et exercices

Document en ligne : sur http://jff-dut-tc.weebly.com section BUT TC.

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1 Taux et élasticité

1.1 Proportionnalité

1.1.1 Compléter le tableau suivant, sachant que les listes sont proportionnelles :

Liste 1 5 12 28

Liste 2 15 37 70

1.1.2 Compléter le tableau suivant constitué de deux listes proportionnelles

14 35 42 1

10 35 1 45

1.1.3 Lesquels sont des tableaux de proportionnalité ?

a. 2 20 b. 20 1 c. 8,5 5,5

5 50 10 2 34 22

d. 2 5 e. 2 4 10 20 50

20 50 14 28 70 140 350

1.1.4 Cours de la bourse et consommation des ménages : proportionnalité ?

date janv-09 févr-09 mars-09 avr-09

CAC 40 3588 3825 3644 3860

indice conso 115 122,6 116,8 123,7

1.1.5 On relève, dans un groupe, les évolutions comparées du CA annuel et du nombre moyen d'employés de la même année :

année N N+1 N+2 N+3

A : CA (M€) 250 300 320 280

B : nombre d’employés 1500 1800 1920 1680

a. Quelle formule pourrait-on établir pour calculer directement B en fonction de A ? b. Donner une estimation du nombre d'employés pour que le CA monte à 350 M€ en N+4.

c. Si en N+4 on compte 1560 employés en moyenne, donner une estimation du CA.

1.1.6 Un lot de 15 articles est vendu 87 €, mais ils peuvent être vendus à l'unité. Combien coûtent 6 articles ?

1.1.7 Si 100 g d’un aliment donné fournissent 300 kJ, combien une portion de 30 g fournit-elle ? 1.1.8 Un producteur de cerises vend pour 22 € sa caisse de 12 kg.

a. Dire combien il vendrait une caisse de 5 kg.

b. Il a estimé son bénéfice à 0,80 €/kg. Quelle quantité vendre pour en retirer un bénéfice de 1000 € ? 1.1.9

a. Un taille-haies mesure 0,80 m pour une puissance de 2 cv ; un autre mesure 1,10 m pour une puissance de 3 cv. Puissance et longueur sont-elles proportionnelles ?

b. Un taille-haies mesure 0,80 m pour une puissance de 2 cv ; puissance et longueur sont proportionnelles. Calculer la puissance d’un taille-haies mesurant 1 m.

1.1.10 Un employé est payé en fonction du temps de travail comme l’indique le tableau ci-contre :

a. Est-ce un tableau de proportionnalité ? pourquoi ? b. Calculer le salaire correspondant à 85 h 30 min de travail.

c. Calculer le temps de travail nécessaire pour obtenir un salaire de 1 755 € ; exprimer le résultat en heures minutes.

1.1.11 On donne la répartition, en proportion, de la consommation d’eau des ménages en France : alimentation : 3/50 ; vaisselle : 1/10 ; lavage linge : 3/25 ; hygiène : 2/5 ; WC : 1/5 ; autres : 3/25.

Quelle est la source de consommation la plus gourmande en eau ? La moins gourmande ?

Temps (h) 1 10 50 Salaire (€) 12 120 600

1.1.12 Une bouteille d’une capacité de 1,5L est partiellement remplie de jus d’orange.

Calculer le volume restant, sachant qu’on a réalisé les mesures suivantes : à l’endroit, on remarque que jus d’orange remplit un cylindre de 18 cm de hauteur ; à l’envers, le cylindre d’air mesure 12 cm de hauteur.

1.1.13 On veut réaliser une maquette de la ville de Paris avec ses monuments principaux.

On dispose d'une maquette de la Tour Eiffel de 30 cm de haut (hauteur réelle : 300 m).

a. Quelle sera l'échelle de la maquette ?

b. Sachant que Paris mesure d'est en ouest 12 km, quelle sera la taille de la maquette de la ville ? c. Quelles seront les dimensions de la maquette de l'Arc de Triomphe sachant qu'elles sont en réalité de

55m × 50m × 20m ?

1.1.14 Afin de monter une petite entreprise, trois amis, Paul, François et Marc ont besoin de 200 000 €. Ils décident d’investir respectivement 94 000 €, 61 000 € et 45 000 €. Au bout d’un an ils réalisent un bénéfice total de 75 000 € qu’ils se partagent proportionnellement à leurs investissements.

Calculer la part de chacun.

1.1.15 Trois vendeurs ont reçu chacun une prime, proportionnelle au montant des ventes qu’ils ont réalisées dans le mois. Le vendeur A a vendu pour 12 000 € , le vendeur B pour 8 000 € et le vendeur C pour 11 000 €. Sachant que le vendeur B a reçu 200 € de moins que le vendeur A, calculer le montant de chaque prime.

1.1.16 Compléter le tableau suivant, sachant que les deux listes sont inversement proportionnelles :

février mars avril mai juin

28 12 5 Jours de pluie dans le mois

70 130 245 392 Nombre de visiteurs

1.1.17 Le prix d'un diamant est proportionnel au carré de sa masse. Un diamant de 0,45 g vaut 3 000 €.

a. Combien coûte un diamant de 0,693 g ?

b. Quel est la masse d'un diamant valant 30 000 € ?

1.2 Taux simples

1.2.1

Taux de 20 par rapport à 25 ; Taux de 50 par rapport à 48 ; Taux de 8 par rapport à 32 ; Taux de 56 par rapport à 28

1.2.2 Trouver les valeurs manquantes, en considérant un taux (1ère ligne) d'une valeur donnée (1ère colonne).

1% 5% ……% 50% 150%

40 …… …… …… …… ……

80 …… 4 20 …… ……

100 …… …… …… …… ……

…… …… 15 75 …… ……

800 …… …… …… …… ……

1.2.3 M. D. est représentant pour sa société. Sur le montant de chaque vente qu'il réalise, il touche cette année une commission de 15 %.

1. Ce mois-ci, il a fait un chiffre d'affaires de 14 000 €. Combien a-t-il gagné en commissions ? 2. Le mois dernier, il a touché 850 € de commissions. Quel a été son chiffre d'affaires ?

3. Au même mois de l'an dernier, il avait touché 1032 € pour un CA de 8600 €. Quel pourcentage de commission touchait-il sur ses ventes ?

1.2.4 Lors d’une élection, 44 551 212 personnes étaient inscrites. Il y a eu 22% d’abstention. A l’issue du vote, un candidat a reçu 19 856 077 voix. Quel a été le pourcentage réalisé par ce candidat ?

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1.2.5 Les experts disent que 25% des accidents graves de bicyclette entraînent des blessures à la tête et que, parmi toutes ces blessures à la tête, 80% sont fatales. Quel pourcentage des accidents graves de bicyclette entraînent des blessures mortelles à la tête ?

1.2.6 Lu dans la presse... où tout est relatif... : Le "oui" l'emporte avec 66,3 % (contre 33,7 % pour le

"non"), mais la participation des Niçois a été de 22,71 % seulement.

Quel pourcentage de la population niçoise inscrite a effectivement voté pour le "oui" ?

1.2.7 Les étudiants se répartissent en trois catégories : premier cycle, deuxième cycle, troisième cycle. Les étudiants du premier cycle sont plus nombreux que ceux de chaque autre catégorie, alors que ceux du troisième cycle sont deux fois moins nombreux que ceux du deuxième cycle. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont sûres ?

a. La répartition suivante est possible : 1er cycle : 58%, 2e cycle : 28%, 3e cycle : 14%

b. Les étudiants du premier cycle représentent plus de 50% du total des étudiants c. La répartition suivante est possible : 1er cycle : 46%, 2e cycle : 36%, 3e cycle : 18%

d. Les étudiants du premier cycle représentent plus du double des étudiants du troisième cycle 1.2.8 Une enseigne de vêtements a acheté une nouvelle collection de Jean’s 40 € pièce. À combien doit-

elle fixer son prix de vente pour que son taux de marge soit le double de son taux de marque ?

1.2.9 J'ai ramassé des champignons contenant, frais, 90 % d'eau. Une fois séchés, ils ne contenaient plus que 30 % d'eau et pesaient 1,5 kg. Quelle était leur masse lorsqu'ils étaient frais ?

1.3 Indices

1.3.1 Coût d’achat moyen du coton : 1,84 €/kg année N ; 2,12 €/kg année N+1 ; 1,53 €/kg année N+2. En fixant l’indice initial du cours du coton à 1000 pour l’année N, calculer les indices du cours en N+1 et N+2.

1.3.2 Si une grandeur était représentée par 344 points d’indice fin août et par 372 points d’indice fin septembre, date à laquelle elle valait 117000 €, combien valait-elle fin août ?

1.3.3 On donne dans le tableau suivant les quantités vendues et les prix pratiqués pour trois produits.

année N année N+1

prix quantité prix quantité

ampoule LED 10W 12 124 11,50 141

ampoule LED 6W 8 207 7,80 176

ampoule LED 4W 6 188 6,50 225

a. Calculer l’indice synthétique des prix, de Laspeyres.

b. Calculer l’indice synthétique des quantités, de Paasche.

1.4 Taux de variation

1.4.1 Un hebdomadaire qui publie chaque année une étude intitulée "Quel est le meilleur Lycée ???" a réalisé une de ses enquêtes auprès d'une classe de terminale, afin de connaitre l'évolution du taux de réussite dans ce lycée :

Bac année N année N+1

inscrits reçus inscrits reçus

non redoublants 20 13 16 10

redoublants 2 2 8 7

Voici, à la suite de ce tableau, le commentaire du proviseur et celui d'un élève :

Le proviseur : « Cette nouvelle année marque une progression de presque 4% de la réussite au bac dans cette classe - Je félicite les professeurs ! » Un élève : « Que l'on soit redoublant ou pas, cette année cela a moins bien marché. Bravo les profs ! »

Ces avis sont pour le moins contradictoires... Et pourtant ils sont tous les deux justifiés ! Justifiez-les à votre tour et faites-vous une opinion sur les progrès de ce lycée.

1.4.2 Calculer les taux de variation suivants.

Taux de variation de 20 vers 25 ; Taux de variation de 50 vers 48 Taux de variation de 28 vers 56 ; Taux de variation de 56 vers 28

1.4.3 Calculer les taux de variation dans les cas suivants.

prix initial prix après variation Taux

120 € 114 €

120 € 126 €

120 € 60 €

120 € 240 €

1.4.4 Un article est vendu 35€. Puis il est soldé : "-40%". À combien se vend-il, soldé ?

1.4.5 Un magasin, à l'occasion d'une braderie, propose des soldes de 20% sur tous les articles qu'il vend.

On donne dans le tableau ci-dessous les prix auxquels sont vendus divers articles avant les soldes.

article sucre baguette huile fromage salade

prix avant soldes (€) 0,85 0,6 1,8 1,4 0,7

prix pendant soldes (€)

a. Compléter ce tableau de valeurs grâce au pourcentage de diminution pratiqué pour les soldes.

b. Le prix pendant soldes est-il proportionnel au prix avant soldes ? Si oui, donner le coefficient de proportionnalité.

c. Représenter, dans un repère orthogonal, les points dont les coordonnées sont présentes dans ce tableau (abscisses : prix avant soldes ; ordonnées : prix pendant soldes). Relier ces points.

d. En utilisant votre graphique (uniquement), donner, avec la meilleure précision, les réponses aux questions suivantes :

d1. Quel est le prix pendant soldes d'un article qui coûte habituellement 1,00 € ? d2. Quel était le prix avant soldes d'un article qui coûte 1,00 € pendant les soldes ?

1.4.6 Traduisez les taux de variation proposés en un indice de variation (coefficient multiplicateur).

augmentations : de 15%, de 30%, de 22%, de 50%, de 13,2%, de 6,8%, de 100%

baisses : de 15%, de 30%, de 22%, de 50%, de 13,2%, de 6,8%, de 100%

1.4.7 Traduisez les indices de variation proposés en taux de variation

1,18 1,06 0,94 1,005 0,99 0,75

1,54 0,8 0,95 1,074 0,996 3

1.4.8 En France, en dix ans, la proportion de jeunes de moins de vingt ans a été multiplié par 0,955.

Traduire cette information par un pourcentage de variation.

1.4.9 Un magasin de vêtements propose des « soldes -40% ».

1. Le prix normal d’un jean est 48 € ; quel sera son prix soldé ? 2. Un t-shirt de prix normal 25 € est soldé à 15 €. Est-ce conforme ? 3. Une veste est soldée à 108 €. Quel était son prix normal ?

1.4.10 Un commerçant pratique en fin d'année des soldes de 20 %. Son chiffre d'affaires est sur la période de soldes de 15 000 €. Quel serait celui-ci s'il n'avait pas fait de soldes et avait vendu la même quantité de produits ? Quel serait-il si ses soldes avaient été de 30 % ?

1.4.11 Voici deux affichages, vus chez deux vendeurs pour le même produit.

chez Jules chez Jojo

Ici, 20 % de produit en

plus ! Ici, 20 % de remise !!

Laquelle de ces promotions est la plus avantageuse pour l'acheteur ?

1.4.12 L’entreprise ABC a augmenté son chiffre d’affaires de 80 000 € par rapport à l’année dernière, ce qui représente une augmentation de 4 %. Quels sont ses chiffres d’affaires actuel et de l’année dernière ? 1.4.13 Un article vaut 79 € TTC. Le taux de TVA s’élève à 20 %. Quel est le montant HT ?

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1.4.14

a. Une facture fait état d'un montant hors taxes (HT) de 248,5 € sur lequel devra être appliquée une TVA à 20%. Quel sera le montant TTC de la facture ?

b. Une autre facture affiche un prix à payer de 71,25 € après remise de 15%. Quel était le prix normal sans la remise ?

1.4.15 Une facture affiche un montant HT (hors taxes) de 526 €. Le taux de TVA est 20 %.

a. Quel est le montant de TVA et le montant TTC (= HT + TVA) ?

b. Le vendeur décide d’apppliquer une remise de 10% à son client : calculer le « Net à payer », pour ce dernier, donc le montant TTC baissé de 10%.

c. Le client aurait-il payé la même somme si le vendeur avait décidé d’appliquer d’abord la remise de 10%

au montant HT, puis la TVA de 20 % au résultat ? (ce qui est interdit…)

1.4.16 La société e-Madissa détient 28% de parts de marché (en volume) sur une catégorie de produits, alors que son principal concurrent i-Passifor en détient 22%. Si les ventes de ce dernier augmentent de 10%, de quel taux baissent les parts de marché de e-Madissa en conséquence ? (on imagine que la demande, elle, n’a pas augmenté en volume et que les ventes des autres concurrents sont constantes) 1.4.17 Un agriculteur produit des pommes de terre. Cette année, il a récolté 40% de plus que l'an dernier,

en masse totale ; mais les prix auxquels il peut vendre sa production ont baissé dans la même période de 30%. Son chiffre d'affaires a-t-il augmenté par rapport à celui de l'an dernier ? Quel a été le taux de variation de ce chiffre d’affaires ?

1.4.18 Le prix de revient d'une chemise, pour le fabricant, se décompose de la façon suivante : 60 % pour la main d'oeuvre et 40 % pour le tissu et les boutons.

Pour cette nouvelle année, la main d'oeuvre augmente de 10 % et les matériaux de 30 %.

a. De quel pourcentage augmente le prix de revient de la chemise ? b. Comment se décompose ce nouveau prix de revient (en pourcent) ? 1.4.19

Une marchandise dont le prix est 1600 € subit une hausse de 15% puis une nouvelle hausse de 5%.

Quel est le prix final ? Quel est le pourcentage global d'augmentation ?

1.4.20 Dans un article de presse, on peut lire que le prix du gasoil à la pompe a augmenté successivement de 5%, 8% et 10%, puis a baissé de 15%. Entre les instants initial et final, quel a été le taux de variation du prix du gasoil ?

1.4.21 En septembre, le prix du fuel a augmenté de 4,5%. On prévoit une baisse de 2% entre début et fin octobre. Au 30 septembre, il coûtait en moyenne 1,088€.

a. Combien coûtait-il le 1er septembre ? b. Combien coûtera-t-il le 31 octobre ?

c. Quel aura été le pourcentage global de variation sur ces deux mois ?

1.4.22 Le prix du baril de pétrole valait 32 $ à une date 1, puis il est monté à 96 $ à une date 2, 140 $ à une date 3, et enfin est redescendu à 40 $ à une date 4.

a. Donner le détail des taux d'augmentation ou de baisse entre chaque date.

b. Donner le taux global de variation entre les dates 1 et 4.

c. Quel a été le taux moyen de variation d'une date à l'autre ?

1.5 Elasticité

1.5.1 Si le prix d’un article augmente de 5% et que la quantité demandée diminue de 10%, calculer l’élasticité-prix de la demande.

1.5.2 Dans le rayon boulangerie d’une grande surface, le prix de la baguette de pain a baissé de 0,90€ à 0,85€. Consécutivement, le nombre moyen journalier de baguettes vendues est passé de 350 à 320.

Calculer l’élasticité-prix de la demande. Interpréter.

1.5.3 On donne les élasticités-revenus de la demande en deux produits A et B : +3 et –0,5. Si les revenus augmentent de 5%, calculer les taux de variation de la demande pour chaque produit.

1.5.4 Compléter la phrase suivante : Si l’élasticité-prix de la demande vaut –2, alors un prix qui baisse de 10% provoque une ………. de la demande de …… %.

1.5.5 Explications :

a. Lorsque l’élasticité-prix est positive, comment réagit la demande à une augmentation du prix ? b. Lorsque l’élasticité-prix est comprise entre 0 et –0,5, est-il intéressant pour un vendeur d’augmenter

les prix ?

1.5.6 Pour un certain produit, l’élasticité-prix de la demande est égale à –2,5. Le prix unitaire est actuellement 30 € et la demande se monte à 600 unités.

a. A-t-on intérêt à augmenter les prix, en termes de recette totale ?

b. Pouvait-on répondre à la question précédente sans connaître le prix et la quantité initiaux ? c. Quelle devrait être la valeur de l’élasticité-prix pour que la recette soit inchangée ?

1.5.7 Une entreprise produit des gobelets en carton. Leur fabrication entraîne des coûts de production : pour 20000 unités à produire, les coûts sont estimés à 500 €. Au-delà de cette quantité, ces coûts augmentent de 0,5 centime par unité supplémentaire.

Calculer l’élasticité-quantité du coût pour une production passant de 20000 à 20100 unités.

Calculer l’élasticité-quantité du coût pour une production passant de 30000 à 30100 unités.

2 Eléments de calcul

2.1 Puissances de 10, arrondis et ordres de grandeur

2.1.1 Écrire en chiffres : 10² ; 10³ ; 10⁶ ; 10^–3 ; 10^–6.

2.1.2 Écrire les nombres 2 300 ; 55 000 ; 0,02 ; 0,00015 en notation scientifique.

2.1.3 Donner l'écriture scientifique correcte des nombres suivants, ainsi que leur valeur citée dans une unité plus appropriée.

35 000 000 0,000078 2 580 milliardièmes 47 500×10² 68,5 cent millièmes 0,000127 milliards

2.1.4 Faire les calculs suivants et écrire les résultats en notation scientifique :

a. 2,4×10³ + 3×10² b. (2,4×10³) × (3×10²) c. 2,4×10³ – 3×10² d. (2,4×10³):(3×10²) 2.1.5 La distance Terre-Soleil est environ 150 millions de kilomètres.

a. Écrire en notation scientifique (puissances de 10) le nombre de mètres correspondant. On appelle ce nombre "a".

b. Une feuille de papier a une épaisseur de 0,2 mm. Écrire en notation scientifique cette épaisseur en mètres. On appelle ce nombre "b".

c. Calculer, en utilisant seulement a et b, le nombre de feuilles qu'il faudrait empiler pour atteindre le Soleil.

2.1.6 Compléter le tableau suivant :

Exemples Arrondi à l’entier Arrondi à 10^–2 près (au centième)

Arrondi à 10^–4 près (au dix-millième)

Arrondi à 4 chiffres significatifs 120/7

1/6 10/3 0,25/9

2.2 Calculs de tête

2.2.1 Effectuer de tête les multiplications suivantes :

a. 40 × 2,5 b. 16 × 5 c. 12 × 25 d. 0,64 × 50

e. 68 × 0,25 f. 84 × 0,05 g. 2,8 × 250 h. 62 × 500

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2.2.2 Effectuer de tête les divisions suivantes :

a. 40 ÷ 2,5 b. 16 ÷ 5 c. 12 ÷ 25 d. 0,64 ÷ 50

e. 68 ÷ 0,25 f. 84 ÷ 0,05 g. 2,8 ÷ 250 h. 62 ÷ 500

2.3 Simplifier une fraction

2.3.1 Décomposer les nombres suivants en facteurs premiers.

12 ; 15 ; 18 ; 700 ; 150 ; 735 ; 135

2.3.2 Sans calculatrice : les nombres suivants sont-ils divisibles par 3 ? par 9 ? par 7 ? 525 ; 15 ; 18 ; 700 ; 150 ; 735 ; 525

2.4 Conversion d’unités de temps

2.4.1 Convertir :

a. 2 h 40 min, en heures b. 2 h 40 min, en minutes c. 7 minutes et 40 secondes, en minutes d. 7 min 40 sec, en secondes e. 3,75 heures, en h-min f. 140 minutes, en heures

g. Deux heures et un tiers, en h-min h. Un quart d’heure, en minutes i. 25 min, en heures 2.4.2 Convertir :

a. 2 mois et 8 jours, en mois b. 45 jours, en mois c. 3 jours, en heures d. 3 heures, en jours e. 10 jours, en mois f. 800 heures, en mois

2.4.3 La durée d’un jour terrestre est supérieure à 23h59min et inférieure à 23h59min10sec.

a. Convertir ces deux durées en heures dans le système décimal avec 6 chiffres après la virgule.

b. Donner un encadrement à 10^–4 près de la durée d’un jour.

2.5 Calcul approché

2.5.1 Calculer approximativement, en simplifiant :

a. 22 × 37 b. 0,58 × 41 c. 523 × 1,9 d. 98 ÷ 3,9 e. 117 ÷ 39 f. 814 ÷ 21

3 Méthodes du premier degré

3.1 Présentation et résultats

3.1.1 Compléter le tableau ci- contre en traçant, dans chacune des neuf cases, une droite d’équation

y = ax + b qui convienne.

3.1.2 Dans un repère orthonormal, tracer en bleu les droites d’équations y = 2x – 1, y = 2x + 1 et y = 2x + 3, puis en rouge les droites d’équations y = –3x – 1, y = –3x + 3 et y = –3x + 5. Commenter.

3.1.3 Dans un repère orthonormal, tracer en bleu les deux droites d’équations y = 2x + 1 et y = –0,5x + 1, puis en rouge les deux droites d’équations y = 4x – 1 et y = –0,25x – 1. Commenter.

3.2 Interpolation linéaire

3.2.1 Dans chaque cas, on donne deux points E et F. Déterminer la coordonnée manquante d’un point M donné aligné avec E et F.

a. E(2 ; 8), F(5 ; 1), M(4 ; ?) ; b. E(–3 ; 2), F(3 ; 4), M( ? ; 6) ; c. E(6 ; 1), F(3 ; –8), M(4 ; ?)

3.2.2 Les responsables d’une salle de spectacles réfléchissent sur les tarifs qu’ils peuvent proposer. Une possibilité est d’additionner un abonnement à l’année à des tarifs réduits pour les spectacles choisis par un client. Il faudrait dans ce cas qu’assister à un spectacle par mois coûte 270 € et assister à un spectacle tous les deux mois coûte 180 € (coût annuel pour le spectateur).

a. Quelle serait la dépense à l’année pour un client assistant à un spectacle tous les trois mois ? b. Quelle serait la dépense à l’année pour un client assistant à deux spectacles par mois ? c. Quel est le prix de l’abonnement et quel est le tarif par spectacle ?

3.2.3 Un foyer compare deux factures d’électricité :

une première facture se montant à 948,24 € pour une consommation de 5448 kWh, une deuxième facture se montant à 758,31 € pour une consommation de 3987 kWh

Ces factures comportent une partie fixe (abonnement) et une partie variable, proportionnelle à la consommation.

a. Quel serait le montant de la facture pour une consommation de 4500 kWh ? b. Quelle serait la consommation correspondant à une facture de 1000 € ? c. Quel est le prix de l’abonnement et quel est le prix du kWh ?

3.3 Systèmes

3.3.1 Résoudre

3.3.2 Résoudre

3.4 Mise en équation d’un problème

3.4.1 Un panier rempli d’œufs est vendu 15 €. Les œufs seuls seraient vendus 6 € de moins que le panier seul. Combien coûtent les œufs ?

3.4.2 C'est aux âges de 22 ans, 24 ans et 27 ans qu'une mère, actuellement âgée de 46 ans, a eu chacun de ses trois enfants. Il y a combien d'années que l'âge de la mère était égal à la somme des âges des trois enfants ?

3.4.3 Un fermier plante des pommiers. Pour les protéger du vent, il plante des conifères tout autour. Le schéma ci-dessous illustre la façon dont il décide de s’y prendre, en fonction du nombre de rangées de pommiers qu’il décidera de planter.

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a. Compléter le tableau :

n nombre de pommiers nombre de conifères

1 1 8

2 4

3 4 5

b. Déterminer, en fonction de n, le nombre de pommiers et le nombre de conifères.

c. Déterminer la valeur de n telle que le nombre de pommiers soit égal au nombre de conifères.

3.4.4 Dans un grand demi-cercle de diamètre [AB], dont le diamètre mesure 10 cm, on inscrit deux demi- cercles plus petits, dont la somme des diamètres vaut également 10 cm (voir figure). Leurs dimensions peuvent être choisies comme bon nous semble, moyennant la contrainte précédente.

On s’intéresse en particulier aux points C et D, respectivement sommets des demi-cercles de gauche et de droite.

A B

1) Si on note x le rayon du demi-cercle de gauche, donner l’expression de la pente du segment [CD] par rapport au segment [AB] considéré horizontal.

2) a. Quelles sont les valeurs extrêmes que peut prendre cette pente ? b. Comment choisir x pour que le segment [CD] ait une pente nulle ?

3.4.5 Développer, réduire et ordonner les expressions ci-dessous, puis dire (pour les points a. et e.) pour quelle valeur de x elles s’annulent et donner leur sens de variation.

a. 4(1 - x) + 5(2 + 3x) b. -(b - a) - (c - b) - (a - c) c. (x + y)z + 2(y + z)x + 3(z + x)y

d. 3(a - b + 3) - (b - 3)(a - 3) e. -2(3 - 5x) + 6(-2x + 1) f. -(m - 2 + 3p) + 2m - 5 - 6p - (-1 + 4 - 10p) 3.4.6 Un club scolaire a projeté une excursion en bus dans un parc naturel. La location d’un bus pouvant

transporter au maximum 45 personnes coûtera 600 € et les billets d’entrée coûtent 30 € chacun. Si le club facture l’excursion 50 € à chaque participant, combien de personnes, au moins, doivent s’inscrire à l’excursion pour que tous les frais soient couverts ?

3.4.7 Les deux annonces suivantes ont été publiées : IMMEUBLE A

espace disponible pour des bureaux 60 - 70 mètres carrés : 420 €/mois 100 - 120 mètres carrés : 800 €/mois

IMMEUBLE B

espace disponible pour des bureaux 40 - 130 mètres carrés : 90 €/m²/an

Pour quelles surfaces l’immeuble A revient-il plus cher que l’immeuble B ? (résolution par le calcul et illustration graphique)

3.4.8 Un particulier a fait intervenir chez lui un tapissier et un carreleur, sur deux jours. Le premier jour, le carreleur a posé 10 m² et le tapissier 36 m². Le deuxième jour, le carreleur a posé 30 m² et le tapissier 52 m². Le montant des factures additionnées est 2520 € et le deuxième jour a coûté deux fois plus cher que le premier. Quels sont les tarifs au m² du carreleur et du tapissier ?

3.4.9 Un groupement de commerçants planifie ses dépenses promotionnelles au jour le jour, sur une période d’un an. Il sait qu’au début de l’année, une dépense de 180 € par semaine suffit, mais qu’à la fin de l’année il faudra dépenser 400 € par semaine. Pour l’année, il dispose d’un budget de 14000 €. Pour des raisons simplificatrices, nous considérerons des dépenses régulières : 180 € par semaine pendant une certaine période, puis 400 € par semaine pour le reste de l’année.

Notre objectif est de déterminer à quel moment il faut passer à une dépense de 400 €.

1) Résolution par une équation unique

La mise en équation d’un problème débute par la définition de sa ou de ses variables.

Plutôt que risquer de se ″perdre″ dans l’énoncé, on s’orientera vers la question posée :

« …à quel moment… ».

Nommons x la durée pendant laquelle le groupement dépensera 180 €, en semaines.

Ensuite, nous devons écrire, en fonction de cette (ou de ces) variable, toute grandeur ou contrainte apparaissant dans l’énoncé.

a. Ecrire en fonction de x la dépense totale sur la première partie de l’année.

b. Ecrire en fonction de x la dépense totale sur la deuxième partie de l’année.

c. Ecrire alors en fonction de x la contrainte liée au budget de 14000 €.

d. L’équation vient d’être posée, il suffit de la résoudre puis de conclure.

2) Résolution par un système – représentation graphique

On peut voir dans un énoncé deux quantités évoluant conjointement.

Ici, la dépense totale (notons-la y) augmente avec le nombre de semaines écoulées (notons-le x).

Nous pouvons essayer d’exprimer l’une en fonction de l’autre et pourquoi pas visualiser graphiquement cette relation.

Attention : ce qu’on nomme x ici n’est pas ce qu’on nommait x dans les questions précédentes ! a. Ecrire en fonction de x la dépense progressive y1 au cours de la première partie de l’année, sachant

qu’au début de l’année cette dépense est nulle.

b. Ecrire en fonction de x la dépense progressive y2 lorsqu’on dépense 400 € par semaine, sachant qu’à la fin de l’année cette dépense atteint 14000 €.

c. Déterminer la valeur de x qui rend y1 et y2 égales.

d. Représenter graphiquement (page suivante) les droites D1 et D2 dont les équations expriment y1 et y2, puis repérer sur ce graphique la solution du système que vous venez de résoudre.

3.4.10 Une entreprise vend un article au prix de 8€ et à ce tarif elle en vend 25 par jour. Le premier jour, elle a un stock de 10000 articles à écouler ; au bout d’un certain nombre de jours, elle organise une promotion sur cet article, afin d’accélérer les ventes : au prix de 5€, elle en vend 40 par jour. Le 300^e jour, tout le stock de départ a été vendu.

Déterminer graphiquement, puis par le calcul, à quel jour la promotion a débuté. Calculer alors le chiffre d’affaires total réalisé.

On mettra en abscisses le nombre de jours de ventes depuis le début et en ordonnées le nombre total d’articles vendus.

3.5 Introduction à la programmation linéaire

Exemple développé progressivement dans les exercices 3.5.1, 3.5.2 et 3.5.3 : Une société met en bouteille de l'eau minérale, suivant deux conditionnements :

* par bouteilles d'un litre et demi, vendues 800 € le lot de 1000 bouteilles,

* par bouteilles d'un demi litre, vendues 300 € le lot de 1000 bouteilles.

Pour être produite, chaque bouteille doit passer par 3 ateliers :

atelier 1 : remplissage ; durée maximale de travail hebdomadaire : 68 h,

atelier 2 : sertissage, étiquetage ; durée maximale de travail hebdomadaire : 88 h, atelier 3 : emballage, conditionnement ; durée maximale de travail hebdomadaire : 76 h.

Le tableau ci-dessous indique les temps nécessaires, en heures, à prévoir dans chaque atelier pour chaque lot de 1000 bouteilles à produire :

atelier 1 atelier 2 atelier 3

1,5 L 3 h 3 h 1 h

0,5 L 1 h 2 h 2 h

Combien doit-on produire (et vendre) de chaque type de lot pour optimiser le chiffre d'affaires ? 3.5.1 Système de contraintes

a. Que sont ici les variables ?

b. Sur quelles grandeurs l’énoncé pose-t-il des contraintes ?

____________________________________________________________________________

c. Pour ces quantités produites variables x et y, comment exprimer le temps passé dans l'atelier 1 ? d. Faire de même pour les ateliers 2 et 3

e. Récapituler l'ensemble des contraintes imposées aux quantités x et y dans un système unique, où chaque inéquation sera écrite sous sa forme réduite.

3.5.2 Polygone des contraintes

a. Représenter ci-dessous, dans un repère orthogonal, les droites issues des inéquations du système de contraintes obtenu au TD4.1 : on légendera correctement les axes du repère ainsi que les droites tracées

b. Donner les coordonnées des sommets de ce polygone.

c. L'entreprise peut-elle produire 5 lots de 100 bouteilles de 1,5 L et 15 lots de 0,5 L ? d. L'entreprise peut-elle produire 20 lots de 100 bouteilles de 1,5 L et 20 lots de 0,5 L ? 3.5.3 Fonction objectif, droites d'iso-profit

On appelle C(x, y) le chiffre d'affaires réalisé par la vente de x lots de 100 bouteilles de 1,5 L et de y lots de 100 bouteilles de 0,5 L. C sera à optimiser : c'est notre fonction objectif.

a. Calculer C(5, 15) puis C(20, 20).

b. Pour en simplifier l'écriture, on notera C le chiffre d'affaires défini ci-dessus. Exprimer C en fonction de x et y.

Mettre cette expression sous la forme de l'équation réduite d'une droite DC. c. Tracer sur le graphique du TD4.2, les droites D1200 et D2400.

d. Répondre graphiquement aux questions suivantes :

Existe-t-il des productions réalisables - couples (x, y) - donnant un chiffre d'affaires de 1200 € ? Existe-t-il des productions réalisables - couples (x, y) - donnant un chiffre d'affaires de 2400 € ? e. La droite d'iso-profit maximisant le chiffre d'affaires est celle qui, tout en possédant au moins un point

commun avec l'intérieur du polygone des contraintes ou avec le polygone lui-même, possède la plus grande ordonnée à l'origine possible. Trouver cette droite, graphiquement.

f. Récapituler.

3.5.4 Une entreprise fabrique deux produits A et B. Le produit A nécessite 2 heures de travail sur la machine M, 3 heures de main d'œuvre et 3 kg de matière première. Le produit B nécessite 1 heure de travail sur la machine M, 1 heure de main d'œuvre et 3 kg de matière première. Le produit A rapporte un bénéfice de 80 euros, le produit B de 40 euros.

Sachant que l'entreprise ne dispose que de 800 heures de la machine M par mois, 900 heures de main d'œuvre et 1500 kg de matière première, déterminer les quantités des produits A et B qu'elle doit fabriquer par mois afin de réaliser un bénéfice mensuel maximum. Quel est alors ce bénéfice ?

3.5.5 Pour fleurir un parc, il faut au minimum : 1200 jacinthes, 3200 tulipes et 3000 narcisses.

Deux pépiniéristes proposent : * l'un le lot A : 30 jacinthes, 40 tulipes et 30 narcisses, pour 75 €

* l'autre le lot B : 10 jacinthes, 40 tulipes et 50 narcisses, pour 60 € Combien de lots A et de lots B doit-on acheter pour que la dépense soit minimale ?

Quelle est alors cette dépense ?

3.5.6 La société DevS1 commercialise deux types de coffres métalliques, qu'elle doit faire transporter par camion de son site de production vers son site de vente. Un coffre de type A a un volume de 0,2 m³ et pèse 80kg ; un coffre de type B a un volume de 0,5 m³ et pèse 120kg. Un camion du transporteur a une capacité de 20 m³ et de 6,24 tonnes. Ce transporteur facture à DevS1 10€ par coffre A et 15€ par coffre B

transporté, alors qu'un coffre A vendu rapporte 35€ à DevS1 et qu'un coffre B lui rapporte 55€.

L'objectif est ici de connaître les nombres de coffres A et B à charger dans un camion pour que le bénéfice réalisé par DevS1 soit optimisé.

1) Contraintes

a. Exprimer en fonction des nombres de coffres x et y la contrainte de volume d'un camion.

b. Exprimer en fonction des nombres de coffres x et y la contrainte de charge d'un camion.

c. Montrer que ces deux contraintes peuvent se résumer au système suivant : d. Que sait-on de plus sur la nature des nombres x et y ?

e. Représenter graphiquement les solutions (zone hachurée) de ce système.

échelles : 1 cm pour 10 coffres A, 1 cm pour 5 coffres B.

0 4, 40

2 52

3

y x

y x

≤ − +



 < − +



2) Fonction objectif : le bénéfice

a. Exprimer le bénéfice B réalisé par DevS1 lors du transport de x coffres A et y coffres B.

b. Montrer que, sous forme réduite, l'expression devient : , y= −0 625x+ B

40 c. Tracer sur votre graphique la droite correspondant à un bénéfice de 800€.

d. La droite de bénéfice optimale est-elle la plus haute ou la plus basse possible ? Pourquoi ? e. Tracer cette droite, donnant le meilleur bénéfice possible. Expliquer.

f. Combien de coffres de chaque type faut-il placer dans un camion pour optimiser le bénéfice ? g. Que vaut alors ce bénéfice ?

h. Vérifier que cette valeur concorde avec l'ordonnée à l'origine de votre droite.