L'ensemble des réels.

Arthur LANNUZEL

le 29 Novembre 2008

http ://mathutbmal.free.fr

L’ensemble R

1 D´ efinition de R.

Rest l’unique ensemble, `a notation pr`es (`a isomorphisme de corps ordonn´e pr`es), v´erifiant les propri´et´es suivantes (axiomes) :

i) (R,+, .) est uncorps.

ii)R est totalement ordonn´ee par la relation d’ordre≤ et : x≤y =⇒x+z ≤y+z (x≤y)∧(0≤z) =⇒x.z ≤y.z iii) R v´erifie l’axiome d’Archim`ede:

∀x, y ∈R, x > 0 =⇒ ∃n∈N/y ≤n.x.

iv) Tout ensemble d’´el´ements de R non-vide major´e (resp. minor´e) admet une borne sup´erieure (resp. inf´erieure) (cf. paragraphe 2).

Remarque 1.1 Pour une ´etude compl`ete de R avec les preuves, voir :

J.M. Arnaudies et H. Fraysse, Cours de Math´ematiques, Tome 2, p 14-23, DUNOD

2 Borne inf´ erieure, borne sup´ erieure.

D´efinition 2.1 Soit A⊂R. On dit que : i) M ∈R est majorant de A dans R ssi

∀a ∈A, a≤M.

ii) m ∈R est minorant de A dans R ssi

∀a∈A, m≤a.

iii) x∈A est le plus grand ´el´ement de A dans R ssi

∀a ∈A, a ≤x.

S’il existe on le note x= max_RA.

iv) x∈A est le plus petit ´el´ement de A dans R ssi

∀a ∈A, x≤a.

S’il existe on le note x= min_RA.

v) s∈R est la borne sup´erieure de A dans R ssi s= min

R {majorants de A}.

Si elle existe on la note x= sup_RA.

vi) i∈R est la borne inf´erieure de A dans R ssi i= max

R {minorants de A}.

Si elle existe on la note x= infRA.

Exercice 2.2 Montrer, grˆace aux trois premiers axiomes de la d´efinition de R que, s’ils existent, le plus grand ´el´ement, le plus petit ´el´ement, la borne sup´erieure et la borne inf´erieure d’un ensemble A∈R sont uniques.

Exemples 2.3 i) A={¹_n, n∈N^∗}.

ii) A=N.

3 Valeur absolue.

D´efinition 3.1 On appelle valeur absolue de x∈R, le r´eel |x| d´efini par

|x|:=

½ x si x≥0

−x si x <0 ou

|x|:= max{x,−x}.

Propri´et´es 3.1.1 x, y ∈R.

i) |x| ≥0.

ii) (|x|= 0)⇐⇒(x= 0).

iii) |x.y|=|x|.|y|.

iv) |x+y| ≤ |x|+|y| (in´egalit´e triangulaire).

Preuve.

iv)|x+y|² = (x+y)² =x²+y²+2xyet (|x|+|y|)² =x²+y²+2|xy|.Donc|x+y|² ≤(|x|+|y|)², d’o`u le r´esultat puisque tout est positif.

CQFD

Exercice 3.2 Montrer que

∀x, y ∈R,||x| − |y|| ≤ |x−y|.

4 Partie enti` ere.

D´efinition 4.1 On appelle partie enti`erede x∈R, l’entier E(x) d´efini par E(x)≤x < E(x) + 1 ou E(x) = max{n ∈N/n≤x}

Exercice 4.2 Montrer que : 1) ∀x∈Z, E(x) +E(−x) = 0, 2) ∀x∈R−Z, E(x) +E(−x) = −1, 3) ∀x∈R, E(^x₂) +E(^x+1₂ ) =E(x).

5 Equations du second degr´ e.

Soit a, b, c∈R, a >0, et

T : R −→ R

x 7→ ax²+bx+c Alors, on montre facilement que ∀x∈R,

T(x) = a((x+ b

2a)²− ∆ 4a²) avec ∆ :=b²−4ac.

Trois cas se pr´esentent :

i) Si ∆<0 alors ∀x∈R, T(x)6= 0 et du signe de a.

ii) Si ∆ = 0 alors ∀x ∈ R, T(x) = a(x+ _2a^b )², donc T(x) est du signe de a et admet une racine x₀ (i.e. T(x₀) = 0) et x₀ = −_2a^b . De plus, dans ce cas, x₀ est une racine double (i.e.

T(x0) = 0 et T⁰(x0) = 0 o`uT⁰ d´esigne la d´eriv´ee de T).

iii) Si ∆>0 alors

T(x₀) = 0 ⇐⇒(x+_2a^b )² = _4a^∆2

⇐⇒ |x+ _2a^b |= ^√_|2a|^∆

⇐⇒x= ^−b+_2a^√∆ ou x= ^−b−_2a^√∆

Donc T admet deux racines distinctes x₁ = ^−b+_2a^√∆ et x₂ = ^−b−_2a^√∆. On v´erifie facilement que ces racines sont simples (i.e. T⁰(x₁)6= 0 et T⁰(x₂)6= 0).

De plus T(x) est du signe de a pourx ∈]− ∞,min{x1, x2}[∪] max{x1, x2},+∞[ et du signe oppos´e de a pourx∈] min{x₁, x₂},max{x₁, x₂}[.

Exercice 5.1 Soit pour a∈R l’application de R dans R donn´ee par T(x) =x²+ 2x+a.

Trouver les a ∈R tels que T admette une racine strictement positive et une racine strictement n´egative.

6 L’espace m´ etrique (R, |.|).

D´efinition 6.1 (Espace m´etrique)

Soit E un ensemble. On appelle distance sur E, une application d:E×E −→R₊ telle que – d est sym´etrique : ∀x, y ∈E, d(x, y) =d(y, x),

– d s´epare les points : d(x, y) = 0 =⇒x=y.

– d v´erifie l’in´egalit´e triangulaire : ∀x, y, z ∈E, d(x, z)≤d(x, y) +d(y, z).

L’ensemble E muni d’une distance est dit espace m´etrique.

Remarque 6.2 1) (R,|.|) = (R, d) avec d(x, y) = |x−y| est un espace m´etrique.

2) (R², d₂) avec d₂(X, Y) = p

(x₁−y₁)²+ (x₂−y₂)² (avec X = (x₁, x₂) et Y = (y₁, y₂)) est un espce m´etrique.

D´efinition 6.3 (boule ouverte) Soit (E, d) un espace m´etrique.

On appelle boule ouverte de centre a∈E et de rayon r >0 l’ensemble : B(a, r) :={x∈E, d(x, a)< r}.

On appelle boule ferm´ee de centre a∈E et de rayon r >0 l’ensemble : B(a, r) :={x∈E, d(x, a)≤r}.

Remarque 6.4 Dans (R,|.|), les boules ouvertes et ferm´ees sont respectivement les intervalles ouverts et ferm´es.

D´efinition 6.5 (ouverts, ferm´es) Soit (E, d) un espace m´etrique.

On dit que A⊂E est ouvert ssi

∀x∈A,∃² >0/B(x, ²)⊂A.

On dit que B ⊂E est ferm´e ssi CEB est ouvert.

Exemples 6.6 1) ∅ et E sont ouvert et ferm´e dans (E, d).

2) Les boules ferm´ees sont ferm´ees dans (E, d).

Propri´et´es 6.6.1 Soit (E, d) un espace m´etrique.

1) Toute r´eunion d’ouverts de E est un ouvert de E?

2) Toute intersection fini d’ouverts de E est un ouvert de E.

Exercice 6.7 1) Que se passe-t-il pour une intersection infinie d’ouverts.

2) Que se passe-t-il avec les ferm´es ?

D´efinition 6.8 Soit (E, d) un espace m´etrique. Soit A⊂E.

1) On appelle int´erieur de A, not´eA, le plus grand ouvert contenu dans^◦ A.

2) On appelle adh´erence de A, not´e A, le plus petit ferm´e contenant A.

Intervalles.

a, b∈R, a < b. On a 9 types d’intervalles : [a, b],[a, b[,]a, b],]a, b[,]−∞, b],]−∞, b[,]a,+∞[,[a,+∞[

et ]− ∞,+∞[=R.

Remarque 6.9 Soit I un intervalle de R.

i) L’int´erieur de I est l’intervalle obtenu en supprimant les extr´emit´es ´eventuelles(ex. [1,^◦2]=

]1,2[,[1,+∞[=]1,^◦ +∞[).

ii) L’adh´erence de I est l’intervalle obtenu en ajoutant les extr´emit´es ´eventuelles(ex. ]1,2[ = [1,2],]1,+∞[ = [1,+∞[).

Sous-ensemble dense

D´efinition 6.10 Soit (E, d) un espace m´etrique.

F ⊂E est dit dense dans E ssi

∀x∈E,∀² >0, F ∩B(x, ²)6=∅.

Exercice 6.11 Q et R/Q sont denses dans R.