Analyse - Rappels
Intégration sur un segment
I - Propriétés générales des intégrales.
❑ Linéarité de l’intégrale : Soientfetgdeux fonctions continues sur [a,b] etλ∈R. On a : Zb
a
f(x)+λg(x) dx= Zb
a
f(x) dx+λZb a
g(x) dx.
❑ Relation de Chasles : Soitfune fonction continue sur un intervalleIet (a,b,c)∈I3. Alors, Zb
a
f(x) dx= Zc
a
f(x) dx+ Zb
c
f(x) dx.
❑ Positivité de l’intégrale : Soitfune fonction continue sur [a,b].
⋆ Si ∀x∈[a,b] ,f(x)⩾0 alors : Zb
a
f(x) dx⩾0 (si les bornes dans le bon sens :a⩽b).
⋆ Si ∀x∈[a,b] ,f(x)⩾0 alors : Zb
a
f(x) dx⩽0 (si les bornes dans le sens inverse :a⩾b).
❑ Croissance de l’intégrale : Soientfetgdeux fonctions continues sur [a,b].
⋆ Si ∀x∈[a,b] ,f(x)⩽g(x) alors : Zb
a
f(x) dx⩽ Zb
a
g(x) dx (bornes dans le bon sens :a⩽b).
⋆ Si ∀x∈[a,b] ,f(x)⩽g(x) alors : Zb
a
f(x) dx⩾ Zb
a
g(x) dx (bornes en sens inverse :a⩾b).
❑ Inégalité triangulaire : Soitfune fonction continue sur [a,b]. Alors,
¯
¯
¯
¯ Zb
a
f(x) dx
¯
¯
¯
¯⩽ Zb
a
¯¯f(x)¯
¯dx
II - Primitives et techniques de calcul.
❑ Primitive d’une fonction continuef :
⋆ Fest une primitive defsiFest dérivable etF′=f
⋆ Toute fonction continuefsur l’intervalleIadmet des primitives.
⋆ Primitives des fonctions usuelles à connaître par cœur.
❑ Calcul d’intégrale par primitivation : Théorème fondamental du calcul des intégrales.
⋆ Soitfune fonction continue sur [a,b] etFune primitive def. Alors : Zb
a
f(x) dx=[F(x)]ba=F(b)−F(a) .
❑ Intégration par partie :
⋆ Soientfetgdeux fonctions de classeC1sur [a,b]. Alors, Zb
a
f′(x)g(x) dx=£
f(x)g(x)¤b a−
Zb a
f(x)g′(x) dx
⋆ Dans des intégrales de la forme : Z
P(x)exdx, oùP∈R[x], on utilise souvent une IPP pour faire baisser le degré du polynômeP(en le dérivant). On choisit alorsg(x)=P(x) dans la formule de l’IPP.
Analyse –1/2– Intégration : Rappels
❑Changement de variable :
⋆ Connaitre la méthode.
Dans la pratique, il faut respecter les étapes suivantes (variable de départt; variable d’arrivéex) : – Poserx=u(t) avecubijection de classeC1et exprimer si besoint=u−1(x).
– Exprimer dxen fonction de dten dérivant membre à membre la relationx=u(t).
– Remplacer la variabletpar la variablexà l’aide des relations précédentes (ne pas oublier dt).
– Calculer les nouvelles bornes de l’intégrale à l’aide dex=u(t) :
L’intervalle de départt∈[a,b] donne comme intervalle d’arrivéex∈[u(a),u(b)].
III - Fonction définie par une intégrale.
❑Etude d’une intégrale avec sa borne supérieure égale àxdu typeRx af(t) dt : Soitfune fonction continue surIeta∈I.
⋆ La fonctionG:x7→
Zx
a
f(t) dt (avecaconstante) est l’unique primitive defqui s’annule ena.
⋆ La fonctionGest de classeC1(comme primitive d’une fonction continue) et on a : G′(x)=f(x).
❑Etude d’une intégrale dont les bornes dépendent dexdu typeRv(x) u(x)f(t) dt : Soitfune fonction continue surI.
⋆ Savoir montrer(cf exemple ci-dessous)que la fontionG:x7→
Zv(x)
u(x)
f(t) dtest de classeC1surIet savoit déterminer sa dérivée.
⋆ Il faut connaitre et savoir adapter la méthode développée dans l’exemple suivant.
Montrons que la fonction f définie par : ∀x∈R,f(x)= Z2x
−x
p 1
t2+1dt est de classe C1surRet déterminons sa dérivée.
– On pose g:t7→ 1
pt2+1. La fonction g est continue surRdonc elle admet une primitive G de classe C1surR(car G′=g est continue).
– On ne cherche pas à calculer G (souvent impossible) mais on peut écrire : f(x)=
Z2x
−x
g(t)d t=[G(t)]2x−x=G(2x)−G(−x)
– L’éaglité f(x)=G(2x)−G(−x)montre alors que f est de classe C1surRcomme composée et somme de fonctions de classe C1(car G est C1).
– On a alors par dérivation d’une composée : pour tout x∈R,
f′(x)=[G(2x)−G(−x)]′=2G′(2x)+G′(−x)=2g(2x)+g(−x)=2 1
p4x2+1+ 1 px2+1
❑Parité d’une fonction définie pas une intégrale :
⋆ Etudier la parité d’une fonction définie pas une intégrale du type Zx
a
f(t) dtou Zv(x)
u(x)
f(t) dten utilisant le changement de variableu= −t( du= −dt).
IV - Sommes de Riemann.
❑Soitfune fonction continue sur [0, 1]. Alors :
n→+∞lim 1 n
n−1X
k=0
f µk
n
¶
= Z1
0
f(x) dx et lim
n→+∞
1 n
Xn k=1
f µk
n
¶
= Z1
0
f(x) dx.
Analyse –2/2– Intégration : Rappels