III - Fonction définie par une intégrale.

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Analyse - Rappels

Intégration sur un segment

I - Propriétés générales des intégrales.

❑ Linéarité de l’intégrale : Soientfetgdeux fonctions continues sur [a,b] etλ∈R. On a : Zb

a

f(x)+λg(x) dx= Zb

a

f(x) dx+λZb a

g(x) dx.

❑ Relation de Chasles : Soitfune fonction continue sur un intervalleIet (a,b,c)∈I3. Alors, Zb

a

f(x) dx= Zc

a

f(x) dx+ Zb

c

f(x) dx.

❑ Positivité de l’intégrale : Soitfune fonction continue sur [a,b].

⋆ Si ∀x∈[a,b] ,f(x)⩾0 alors : Zb

a

f(x) dx⩾0 (si les bornes dans le bon sens :ab).

⋆ Si ∀x∈[a,b] ,f(x)⩾0 alors : Zb

a

f(x) dx⩽0 (si les bornes dans le sens inverse :ab).

❑ Croissance de l’intégrale : Soientfetgdeux fonctions continues sur [a,b].

⋆ Si ∀x∈[a,b] ,f(x)⩽g(x) alors : Zb

a

f(x) dx⩽ Zb

a

g(x) dx (bornes dans le bon sens :ab).

⋆ Si ∀x∈[a,b] ,f(x)⩽g(x) alors : Zb

a

f(x) dx⩾ Zb

a

g(x) dx (bornes en sens inverse :ab).

❑ Inégalité triangulaire : Soitfune fonction continue sur [a,b]. Alors,

¯

¯

¯

¯ Zb

a

f(x) dx

¯

¯

¯

¯⩽ Zb

a

¯¯f(x)¯

¯dx

II - Primitives et techniques de calcul.

❑ Primitive d’une fonction continuef :

Fest une primitive defsiFest dérivable etF=f

⋆ Toute fonction continuefsur l’intervalleIadmet des primitives.

⋆ Primitives des fonctions usuelles à connaître par cœur.

❑ Calcul d’intégrale par primitivation : Théorème fondamental du calcul des intégrales.

⋆ Soitfune fonction continue sur [a,b] etFune primitive def. Alors : Zb

a

f(x) dx=[F(x)]ba=F(b)−F(a) .

❑ Intégration par partie :

⋆ Soientfetgdeux fonctions de classeC1sur [a,b]. Alors, Zb

a

f(x)g(x) dx=£

f(x)g(x)¤b a

Zb a

f(x)g(x) dx

⋆ Dans des intégrales de la forme : Z

P(x)exdx, oùP∈R[x], on utilise souvent une IPP pour faire baisser le degré du polynômeP(en le dérivant). On choisit alorsg(x)=P(x) dans la formule de l’IPP.

Analyse –1/2– Intégration : Rappels

❑Changement de variable :

⋆ Connaitre la méthode.

Dans la pratique, il faut respecter les étapes suivantes (variable de départt; variable d’arrivéex) : – Poserx=u(t) avecubijection de classeC1et exprimer si besoint=u−1(x).

– Exprimer dxen fonction de dten dérivant membre à membre la relationx=u(t).

– Remplacer la variabletpar la variablexà l’aide des relations précédentes (ne pas oublier dt).

– Calculer les nouvelles bornes de l’intégrale à l’aide dex=u(t) :

L’intervalle de départt∈[a,b] donne comme intervalle d’arrivéex∈[u(a),u(b)].

III - Fonction définie par une intégrale.

❑Etude d’une intégrale avec sa borne supérieure égale àxdu typeRx af(t) dt : Soitfune fonction continue surIetaI.

⋆ La fonctionG:x7→

Zx

a

f(t) dt (avecaconstante) est l’unique primitive defqui s’annule ena.

⋆ La fonctionGest de classeC1(comme primitive d’une fonction continue) et on a : G(x)=f(x).

❑Etude d’une intégrale dont les bornes dépendent dexdu typeRv(x) u(x)f(t) dt : Soitfune fonction continue surI.

⋆ Savoir montrer(cf exemple ci-dessous)que la fontionG:x7→

Zv(x)

u(x)

f(t) dtest de classeC1surIet savoit déterminer sa dérivée.

⋆ Il faut connaitre et savoir adapter la méthode développée dans l’exemple suivant.

Montrons que la fonction f définie par : ∀x∈R,f(x)= Z2x

−x

p 1

t2+1dt est de classe C1surRet déterminons sa dérivée.

– On pose g:t7→ 1

pt2+1. La fonction g est continue surRdonc elle admet une primitive G de classe C1surR(car G=g est continue).

– On ne cherche pas à calculer G (souvent impossible) mais on peut écrire : f(x)=

Z2x

−x

g(t)d t=[G(t)]2x−x=G(2x)−G(−x)

– L’éaglité f(x)=G(2x)−G(−x)montre alors que f est de classe C1surRcomme composée et somme de fonctions de classe C1(car G est C1).

– On a alors par dérivation d’une composée : pour tout x∈R,

f(x)=[G(2x)−G(−x)]=2G(2x)+G(−x)=2g(2x)+g(−x)=2 1

p4x2+1+ 1 px2+1

❑Parité d’une fonction définie pas une intégrale :

⋆ Etudier la parité d’une fonction définie pas une intégrale du type Zx

a

f(t) dtou Zv(x)

u(x)

f(t) dten utilisant le changement de variableu= −t( du= −dt).

IV - Sommes de Riemann.

Soitfune fonction continue sur [0, 1]. Alors :

n→+∞lim 1 n

n−1X

k=0

f µk

n

= Z1

0

f(x) dx et lim

n→+∞

1 n

Xn k=1

f µk

n

= Z1

0

f(x) dx.

Analyse –2/2– Intégration : Rappels

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