Injectivité — démonstrations

(1)

Injectivité — démonstrations

Soit l’énoncé

« Soitf :N→Nl’application définie pour toutn∈Nparf(n) :=n+ 1.

Alors,f est injective. ».

Démonstration: soientnetn⁰deux éléments deNtels que

f(n) =f(n⁰). Alors, par définition def, on a quen+ 1 =n⁰+ 1. Ceci montre quen=n⁰et donc quefest injective.

Soit l’énoncé

« Soitg:Z→Z×Zdéfinie pour toutx∈Zparg(x) := (0,−x). Alors,g est injective. ».

Démonstration: soientxetx⁰deux éléments deZtels queg(x) =g(x⁰). Alors, par définition deg, on a que(0,−x) = (0,−x⁰). Ceci implique que

−x=−x⁰et ainsi,x=x⁰. L’applicationgest donc injective.

(2)

Injectivité — démonstrations

Soit l’énoncé

(3)

Injectivité — démonstrations

Soit l’énoncé

(4)

Injectivité — démonstrations

Soit l’énoncé

Démonstration: soientxetx⁰deux éléments deZtels queg(x) =g(x⁰).

(5)

Surjectivité

SoientEetF deux ensembles etf :E→F une application.

L’applicationfestsurjectivesi tout élément deFpossèdeau moins un antécédent.

En d’autres termes,f est surjective siIm(f) =F.

Les applications surjectives admettent des représentations sagittales de la forme

E F

La configuration suivante est exclue en cas de surjectivité :

E F

(6)

Surjectivité

E F

(7)

Surjectivité

E F

(8)

Surjectivité

E F

(9)

Surjectivité — démonstrations

Soit l’énoncé

« Soitf :N→ {0,1,2}l’application définie pour toutn∈Npar f(n) :=moùmest le reste de la division entière denpar3. Alors,f est surjective. ».

Démonstration: il s’agit de montrer que tout élément de{0,1,2}admet au moins un antécédent. Par définition def, on af(0) = 0,f(1) = 1et f(2) = 2. Ceci montre quefest surjective.

Soit l’énoncé

« Soitg:Z×Z→Zl’application définie pour tout(x, y)∈Z×Zpar g((x, y)) :=y−x. Alors,gest surjective. ».

Démonstration: soitxun élément deZ. Par définition deg, on a g((−x,0)) = 0−(−x) =x. Nous avons ainsi montré quexadmet au moins un antécédent. Par conséquent,gest surjective.

(10)

Surjectivité — démonstrations

Soit l’énoncé

(11)

Surjectivité — démonstrations

Soit l’énoncé

(12)

Surjectivité — démonstrations

Soit l’énoncé

(13)

Bijectivité

L’applicationfestbijectivesif est à la fois injective et surjective.

En d’autres termes,f est bijective si tout élémenty∈F admet exactement unantécédent.

Les applications bijectives admettent des représentations sagittales de la forme

E F

(14)

Bijectivité

E F

(15)

Bijectivité

E F

(16)

Bijectivité — démonstration 1

Soit l’énoncé

« Soitf :Z×Z→Z×Zl’application définie pour tout(x, y)∈Z×Z parf((x, y)) := (−y, x). Alors,f est bijective. ».

Démonstration: commençons par montrer quef est injective. Soient (x, y),(x⁰, y⁰)∈Z×Ztels quef((x, y)) =f((x⁰, y⁰)). Alors, par

définition def, on a que(−y, x) = (−y⁰, x⁰). Ceci implique que−y=−y⁰ etx=x⁰. On a ainsi(x, y) = (x⁰, y⁰), ce qui montre quefest injective. Montrons maintenant quef est surjective. Soit(z, t)∈Z×Z. Par définition def, on af((t,−z)) = (−(−z), t) = (z, t). Ainsi,(z, t)admet au moins un antécédent. Par conséquent,f est surjective.

Nous avons montré quef est la fois et injective et surjective. Elle est donc bijective.

(17)

Bijectivité — démonstration 1

Soit l’énoncé

définition def, on a que(−y, x) = (−y⁰, x⁰). Ceci implique que−y=−y⁰ etx=x⁰. On a ainsi(x, y) = (x⁰, y⁰), ce qui montre quefest injective.

Montrons maintenant quef est surjective. Soit(z, t)∈Z×Z. Par définition def, on af((t,−z)) = (−(−z), t) = (z, t). Ainsi,(z, t)admet au moins un antécédent. Par conséquent,f est surjective.

(18)

Bijectivité — démonstration 1

Soit l’énoncé

Montrons maintenant quef est surjective. Soit(z, t)∈Z×Z. Par définition def, on af((t,−z)) = (−(−z), t) = (z, t). Ainsi,(z, t)admet au moins un antécédent. Par conséquent,fest surjective.

(19)

Bijectivité — démonstration 1

Soit l’énoncé

Montrons maintenant quef est surjective. Soit(z, t)∈Z×Z. Par définition def, on af((t,−z)) = (−(−z), t) = (z, t). Ainsi,(z, t)admet au moins un antécédent. Par conséquent,fest surjective.

Nous avons montré quef est la fois et injective et surjective. Elle est donc

(20)

Bijectivité — démonstration 2

Soit l’énoncé

« Soitf :N→Zl’application définie pour toutn∈Npar

f(n) :=





 n

2 sinest pair,

−n+ 1

2 sinon.

Alors,f est bijective. ».

Quelques exemples : I f(0) = 0; I f(1) =−1; I f(2) = 1;

I f(3) =−2; I f(4) = 2; I f(5) =−3;

I f(6) = 3; I f(7) =−4; I f(8) = 4.

(21)

Bijectivité — démonstration 2

Soit l’énoncé

« Soitf :N→Zl’application définie pour toutn∈Npar

f(n) :=





 n

2 sinest pair,

−n+ 1

2 sinon.

Alors,f est bijective. ».

Quelques exemples : I f(0) = 0; I f(1) =−1; I

I f(3) =−2; I f(4) = 2; I

I f(6) = 3; I f(7) =−4; I

(22)

Bijectivité — démonstration 2

Démonstration: on commence par démontrer l’injectivité def. Soientn etn⁰deux éléments deNtels quef(n) =f(n⁰).

Alors, par définition def, on a nécessairement quenetn⁰sont soit tous les deux pairs, soit tous les deux impairs. Ainsi, lorsquenetn⁰sont pairs, on aⁿ₂ =ⁿ₂⁰, impliquant n=n⁰. Lorsquenetn⁰sont impairs, on a−ⁿ⁺¹₂ =−ⁿ⁰₂⁺¹, impliquant n=n⁰. Ainsi, nous avons montré que l’égalitéf(n) =f(n⁰)implique n=n⁰. Par conséquent,fest injective.

Soitxun élément deZ. Sixest positif, par définition def, on a f(2x) = ^2x₂ =x. Sixest strictement négatif, par définition def, on a f(−2x−1) =−^{(−2x−1)+1}₂ =x. De plus, on a que−2x−1est bien un élément deN. Ainsi,xadmet au moins un antécédent. L’applicationf est donc surjective.

(23)

Bijectivité — démonstration 2

Démonstration: on commence par démontrer l’injectivité def. Soientn etn⁰deux éléments deNtels quef(n) =f(n⁰). Alors, par définition def, on a nécessairement quenetn⁰sont soit tous les deux pairs, soit tous les deux impairs.

Ainsi, lorsquenetn⁰sont pairs, on aⁿ₂ =ⁿ₂⁰, impliquant n=n⁰. Lorsquenetn⁰sont impairs, on a−ⁿ⁺¹₂ =−ⁿ⁰₂⁺¹, impliquant n=n⁰. Ainsi, nous avons montré que l’égalitéf(n) =f(n⁰)implique n=n⁰. Par conséquent,fest injective.

(24)

Bijectivité — démonstration 2

Démonstration: on commence par démontrer l’injectivité def. Soientn etn⁰deux éléments deNtels quef(n) =f(n⁰). Alors, par définition def, on a nécessairement quenetn⁰sont soit tous les deux pairs, soit tous les deux impairs. Ainsi, lorsquenetn⁰sont pairs, on aⁿ₂ =ⁿ₂⁰, impliquant n=n⁰.

Lorsquenetn⁰sont impairs, on a−ⁿ⁺¹₂ =−ⁿ⁰₂⁺¹, impliquant n=n⁰. Ainsi, nous avons montré que l’égalitéf(n) =f(n⁰)implique n=n⁰. Par conséquent,fest injective.

(25)

Bijectivité — démonstration 2

Démonstration: on commence par démontrer l’injectivité def. Soientn etn⁰deux éléments deNtels quef(n) =f(n⁰). Alors, par définition def, on a nécessairement quenetn⁰sont soit tous les deux pairs, soit tous les deux impairs. Ainsi, lorsquenetn⁰sont pairs, on aⁿ₂ =ⁿ₂⁰, impliquant n=n⁰. Lorsquenetn⁰sont impairs, on a−ⁿ⁺¹₂ =−ⁿ⁰₂⁺¹, impliquant n=n⁰.

Ainsi, nous avons montré que l’égalitéf(n) =f(n⁰)implique n=n⁰. Par conséquent,fest injective.

(26)

Bijectivité — démonstration 2

Démonstration: on commence par démontrer l’injectivité def. Soientn etn⁰deux éléments deNtels quef(n) =f(n⁰). Alors, par définition def, on a nécessairement quenetn⁰sont soit tous les deux pairs, soit tous les deux impairs. Ainsi, lorsquenetn⁰sont pairs, on aⁿ₂ =ⁿ₂⁰, impliquant n=n⁰. Lorsquenetn⁰sont impairs, on a−ⁿ⁺¹₂ =−ⁿ⁰₂⁺¹, impliquant n=n⁰. Ainsi, nous avons montré que l’égalitéf(n) =f(n⁰)implique n=n⁰. Par conséquent,fest injective.

(27)

Bijectivité — démonstration 2

Soitxun élément deZ.

Sixest positif, par définition def, on a f(2x) = ^2x₂ =x. Sixest strictement négatif, par définition def, on a f(−2x−1) =−^{(−2x−1)+1}₂ =x. De plus, on a que−2x−1est bien un élément deN. Ainsi,xadmet au moins un antécédent. L’applicationf est donc surjective.

(28)

Bijectivité — démonstration 2

Soitxun élément deZ. Sixest positif, par définition def, on a f(2x) = ^2x₂ =x.

Sixest strictement négatif, par définition def, on a f(−2x−1) =−^{(−2x−1)+1}₂ =x. De plus, on a que−2x−1est bien un élément deN. Ainsi,xadmet au moins un antécédent. L’applicationf est donc surjective.

(29)

Bijectivité — démonstration 2

Soitxun élément deZ. Sixest positif, par définition def, on a f(2x) = ^2x₂ =x. Sixest strictement négatif, par définition def, on a f(−2x−1) =−^{(−2x−1)+1}₂ =x.

De plus, on a que−2x−1est bien un élément deN. Ainsi,xadmet au moins un antécédent. L’applicationf est donc surjective.

(30)

Bijectivité — démonstration 2

Soitxun élément deZ. Sixest positif, par définition def, on a f(2x) = ^2x₂ =x. Sixest strictement négatif, par définition def, on a f(−2x−1) =−^{(−2x−1)+1}₂ =x. De plus, on a que−2x−1est bien un élément deN.

Ainsi,xadmet au moins un antécédent. L’applicationf est donc surjective.

(31)

Bijectivité — démonstration 2

(32)

Bijectivité — démonstration 2

(33)

Injectivité, surjectivité, bijectivité et ensembles finis

Voici lethéorème de comparaison de cardinaux d’ensembles par applications.

Théorème

SoientEetF deux ensembles finis. Alors,

1. s’il existe une application injectivef :E→F, on a#E6#F; 2. s’il existe une application surjectiveg:E →F, on a#E>#F; 3. s’il existe une application bijectiveh:E→F, on a#E= #F. Ce résultat est utile pourcomparer les cardinauxde deux ensemblesEet Fsans avoir à les déterminer.

Il suffit pour cela de définir une applicationf :E→F et montrer qu’elle est injective, surjective ou bijective.

(34)

Injectivité, surjectivité, bijectivité et ensembles finis

Théorème

1. s’il existe une application injectivef :E→F, on a#E6#F;

2. s’il existe une application surjectiveg:E →F, on a#E>#F; 3. s’il existe une application bijectiveh:E→F, on a#E= #F. Ce résultat est utile pourcomparer les cardinauxde deux ensemblesEet Fsans avoir à les déterminer.

(35)

Injectivité, surjectivité, bijectivité et ensembles finis

Théorème

1. s’il existe une application injectivef :E→F, on a#E6#F; 2. s’il existe une application surjectiveg:E→F, on a#E>#F;

3. s’il existe une application bijectiveh:E→F, on a#E= #F. Ce résultat est utile pourcomparer les cardinauxde deux ensemblesEet Fsans avoir à les déterminer.

(36)

Injectivité, surjectivité, bijectivité et ensembles finis

Théorème

1. s’il existe une application injectivef :E→F, on a#E6#F; 2. s’il existe une application surjectiveg:E→F, on a#E>#F; 3. s’il existe une application bijectiveh:E→F, on a#E= #F.

Ce résultat est utile pourcomparer les cardinauxde deux ensemblesEet Fsans avoir à les déterminer.

(37)

Injectivité, surjectivité, bijectivité et ensembles finis

Théorème

1. s’il existe une application injectivef :E→F, on a#E6#F; 2. s’il existe une application surjectiveg:E→F, on a#E>#F; 3. s’il existe une application bijectiveh:E→F, on a#E= #F. Ce résultat est utile pourcomparer les cardinauxde deux ensemblesEet Fsans avoir à les déterminer.

(38)

Injectivité, surjectivité, bijectivité et ensembles finis

En considérant les contraposées des trois assertions du théorème précédent,

1. si#E >#F, il n’existe aucune application injective deEdansF; 2. si#E <#F, il n’existe aucune application surjective deEdansF; 3. si#E6= #F, il n’existe aucune application bijective deEdansF.

Exemple

SoitE:=J2,6K× {0,1}etF :={0,1,2}³.

Comme#E= 5×2 = 10et#F = 3³= 27, nous pouvons affirmer qu’il’existe aucune application surjective deEdansF.

La conséquence 1 s’appelleprincipe des tiroirs.

(39)

Injectivité, surjectivité, bijectivité et ensembles finis

Exemple

SoitE:=J2,6K× {0,1}etF :={0,1,2}³.

(40)

Injectivité, surjectivité, bijectivité et ensembles finis

Exemple

SoitE:=J2,6K× {0,1}etF :={0,1,2}³.

(41)

Injectivité, surjectivité, bijectivité et ensembles finis

Exemple

SoitE:=J2,6K× {0,1}etF :={0,1,2}³.

(42)

Principe des tiroirs

Leprincipe des tiroirss’énonce de la manière suivante.

SiEetFsont deux ensembles finis tels quel#E >#Fet quef :E→F est une application, alors il existe (au moins) un élément deFqui admet (au moins) deux antécédents parf.

Exemple

Énoncé: « il existe en France deux personnes qui ont la même taille (en cm) et exactement la même date de naissance ».

Démonstration. On sait qu’il y a en France environ66.10⁶habitants. De plus, il y a au maximum250×31×12×130'12.10⁶configurations de taille et de dates de naissance possibles.

Soit l’applicationf :H →Cqui attribue à chaque habitant sa configuration de taille et de date de naissance. Comme#H >#C, il existe,d’après le principe des tiroirs, nécessairement deux habitants x, x⁰ ∈Htels quef(x) =f(x⁰).

(43)

Principe des tiroirs

SiEetFsont deux ensembles finis tels quel#E >#F et quef :E→F est une application, alors il existe (au moins) un élément deFqui admet (au moins) deux antécédents parf.

Exemple

(44)

Principe des tiroirs

Exemple

(45)

Principe des tiroirs

Exemple

Démonstration. On sait qu’il y a en France environ66.10⁶habitants.

De plus, il y a au maximum250×31×12×130'12.10⁶configurations de taille et de dates de naissance possibles.

(46)

Principe des tiroirs

Exemple

(47)

Principe des tiroirs

Exemple

Soit l’applicationf :H→Cqui attribue à chaque habitant sa configuration de taille et de date de naissance.

Comme#H >#C, il existe,d’après le principe des tiroirs, nécessairement deux habitants x, x⁰ ∈Htels quef(x) =f(x⁰).

(48)

Principe des tiroirs

Exemple

Soit l’applicationf :H→Cqui attribue à chaque habitant sa

(49)

Plan

Fonctions et applications Notions de base

Injections, surjections, bijections Composition et inversion

(50)

Composition d’applications

SoientE,FetGtrois ensembles etf :E→F,g:F →Gdeux applications.

Lacomposéedef etg, notéeg◦f, est l’application définie pour tout x∈Epar

(g◦f)(x) :=g(f(x)).

On ag◦f :E→G.

Pour pouvoir composer deux applicationsfetg, il faut quef soit compatibleavecg, c’est à dire,

Im(f)⊂Dom(g).

Remarque: la composée des applications est la composée des relations binaires.

(51)

Composition d’applications

(g◦f)(x) :=g(f(x)).

On ag◦f :E →G.

Im(f)⊂Dom(g).

(52)

Composition d’applications

(g◦f)(x) :=g(f(x)).

On ag◦f :E →G.

Im(f)⊂Dom(g).

(53)

Composition d’applications

(g◦f)(x) :=g(f(x)).

On ag◦f :E →G.

Im(f)⊂Dom(g).

(54)

Composition d’applications — exemple 1

Exemple

Soientf:R→Zetg:Z→Ndeux applications définies pour toutx∈Rpar f(x) :=bxcet pour touty∈Zparg(y) :=|y|.

On a par exemplef(3) = 3,f(1.6) = 1,f(−2.1) =−3,g(5) = 5etg(−2) = 2. CommeIm(f)⊂Dom(g),fest compatible avecg. La composéeg◦fexiste donc. Calculonsg◦f. Soitx∈R. Alors,

(g◦f)(x) =g(f(x))

=g(bxc) =|bxc|.

Ainsi,g◦fest l’application qui envoie tout nombre réel sur la valeur absolue de sa partie entière.

On a par exemple(g◦f)(−2.3) = 3,(g◦f)(7) = 7,(g◦f)(−8) = 8et (g◦f)(4.9) = 4.

(55)

Composition d’applications — exemple 1

Exemple

On a par exemplef(3) = 3,f(1.6) = 1,f(−2.1) =−3,g(5) = 5etg(−2) = 2.

CommeIm(f)⊂Dom(g),fest compatible avecg. La composéeg◦fexiste donc. Calculonsg◦f. Soitx∈R. Alors,

(g◦f)(x) =g(f(x))

=g(bxc) =|bxc|.

(56)

Composition d’applications — exemple 1

Exemple

CommeIm(f)⊂Dom(g),fest compatible avecg. La composéeg◦fexiste donc.

Calculonsg◦f. Soitx∈R. Alors, (g◦f)(x) =g(f(x))

=g(bxc) =|bxc|.

(57)

Composition d’applications — exemple 1

Exemple

Calculonsg◦f. Soitx∈R. Alors, (g◦f)(x) =g(f(x))

=g(bxc) =|bxc|.

(58)

Composition d’applications — exemple 1

Exemple

Calculonsg◦f. Soitx∈R. Alors,

(g◦f)(x) =g(f(x)) =g(bxc)

=|bxc|.

(59)

Composition d’applications — exemple 1

Exemple

(g◦f)(x) =g(f(x)) =g(bxc) =|bxc|.

(60)

Composition d’applications — exemple 1

Exemple

(g◦f)(x) =g(f(x)) =g(bxc) =|bxc|.

(61)

Composition d’applications — exemple 1

Exemple

(g◦f)(x) =g(f(x)) =g(bxc) =|bxc|.

On a par exemple(g◦f)(−2.3) = 3,(g◦f)(7) = 7,(g◦f)(−8) = 8et

(62)

Composition d’applications — exemple 2

Exemple

Soientf:N→N×Netg:N×N→N×Ndeux applications définies pour tout x∈Npar

f(x) :=

((x, x+ 1) sixest pair, (0,0) sinon.

et pour tout(z, t)∈N×Nparg((z, t)) := (t, z).

On a par exemplef(4) = (4,5),f(7) = (0,0)etg((3,9)) = (9,3).

CommeIm(f)⊂Dom(g),fest compatible avecg. La composéeg◦fexiste. Calculonsg◦f. Soitx∈N. Alors,

(g◦f)(x) =g(f(x))

=

(g((x, x+ 1)) sixest pair, g((0,0)) sinon.

=

((x+ 1, x) sixest pair, (0,0) sinon.

On a par exemple(g◦f)(4) = (5,4)et(g◦f)(7) = (0,0).

(63)

Composition d’applications — exemple 2

Exemple

f(x) :=

CommeIm(f)⊂Dom(g),fest compatible avecg. La composéeg◦fexiste. Calculonsg◦f. Soitx∈N. Alors,

(g◦f)(x) =g(f(x))

=

(64)

Composition d’applications — exemple 2

Exemple

f(x) :=

CommeIm(f)⊂Dom(g),fest compatible avecg. La composéeg◦fexiste.

Calculonsg◦f. Soitx∈N. Alors, (g◦f)(x) =g(f(x))

=

(65)

Composition d’applications — exemple 2

Exemple

f(x) :=

=

((x+ 1, x) sixest pair, (0,0) sinon. On a par exemple(g◦f)(4) = (5,4)et(g◦f)(7) = (0,0).

(66)

Composition d’applications — exemple 2

Exemple

f(x) :=

=

((x+ 1, x) sixest pair, (0,0) sinon. On a par exemple(g◦f)(4) = (5,4)et(g◦f)(7) = (0,0).

(67)

Composition d’applications — exemple 2

Exemple

f(x) :=

=

((x+ 1, x) sixest pair,

(68)

Composition d’applications — exemple 2

Exemple

f(x) :=

=

(69)

Inversion d’applications

SoientEetF deux ensembles etf :E→F une applicationbijective.

L’inversedef, notéf⁻¹, est l’application définie pour touty∈F par f⁻¹(y) :=xlorsquef⁻¹({y}) ={x}.

On af⁻¹:F →E.

Remarque: l’inverse des applications est l’inverse des relations binaires.

(70)

Inversion d’applications

On af⁻¹:F →E.

(71)

Inversion d’applications

On af⁻¹:F →E.

(72)

Inversion d’applications

On af⁻¹:F →E.

(73)

Inversion d’applications — exemples

Exemple

Soitf:{0,1,2} → {3,4,5}l’application définie parf(0) := 3,f(1) := 4et f(2) := 5.

Cette application est injective (tous les éléments du domaine possèdent deux à deux des images différentes) et surjective (l’image defest l’ensemble{3,4,5}. Elle est donc bijective. On peut donc calculer son inverse.

L’inversef⁻¹:{3,4,5} → {0,1,2}vérifief⁻¹(3) = 0,f⁻¹(4) = 1et f⁻¹(5) = 2.

Exemple

Soitg:=Z→Zl’application définie pour toutx∈Zparg(x) :=x−1.

Cette application est bijective (exercice: le démontrer). On peut donc calculer son inverse.

Pour toutx∈Z, par définition deg, l’unique antécédent dexpargestx+ 1. Ainsi, l’inverseg⁻¹:Z→Zvérifie pour toutx∈Z,g⁻¹(x) =x+ 1.

(74)

Inversion d’applications — exemples

Exemple

Cette application est injective (tous les éléments du domaine possèdent deux à deux des images différentes) et surjective (l’image defest l’ensemble{3,4,5}.

Elle est donc bijective. On peut donc calculer son inverse.

Exemple

(75)

Inversion d’applications — exemples

Exemple

(76)

Inversion d’applications — exemples

Exemple

(77)

Inversion d’applications — exemples

Exemple

Cette application est bijective (exercice: le démontrer). On peut donc calculer son

(78)

Inversion d’applications — exemples

Exemple

(79)

Composition d’une application avec son inverse

Comme l’inversef⁻¹est une application deFdansE,f⁻¹est compatible avecfetfest compatible avecf⁻¹.

Par conséquent, les applicationsf◦f⁻¹:F →F etf⁻¹◦f :E→E sont bien définies et vérifient la propriété suivante.

Théorème

SoientEetF deux ensembles etf :E→F une application bijective.

On a alors

f◦f⁻¹=IF

et

f⁻¹◦f =IE,

oùIF :F →FetIE :E→Esont les applications identités respectivement surFetE.

(80)

Composition d’une application avec son inverse

Théorème

On a alors

f◦f⁻¹=IF

et

f⁻¹◦f =IE,

(81)

Composition d’une application avec son inverse

Théorème

On a alors

f◦f⁻¹=IF

et

f⁻¹◦f =IE,

(82)

Composition d’une application avec son inverse

Théorème

On a alors

f◦f⁻¹=IF

et

f⁻¹◦f =IE,

(83)

Composition d’une application avec son inverse

Théorème

On a alors

f◦f⁻¹=IF

et

f⁻¹◦f =IE,

(84)

Composition d’une application avec son inverse

Théorème

On a alors

f◦f⁻¹=IF

et

(85)

Composition d’une application avec son inverse

Théorème

On a alors

f◦f⁻¹=IF

et

f⁻¹◦f =IE,