Intégrales impropres
I. I NTÉGRABILITÉ , CONVERGENCE
1) RPour bien comprendre le cours
Soitf continue par morceaux sur l’intervalle[a,+∞[, à valeurs dansR+. Préciser les liens (implication, équivalence) entre les assertions suivantes :
1) f est intégrable sur[a,+∞[; 2) lim
x→+∞f(x) = 0.
Qu’en est-il si l’on suppose de plusf décroissante sur[a,∞[?
2) RPréciser la nature des intégrales suivantes, en discutant en fonction des éventuels paramètres : (a)
Z +∞
0
ln (1 +t) t3/2 dt (b)
Z +∞
1
tadt (1−t)b
(c) Z +∞
0
(t+ 1)α−tα
tβ dt
(d) Z +∞
0
sin 1
t2
dt
(e) Z +∞
0
t−sint tα dt (f)
Z +∞
0
dt p|sint|(1 +et)
(g) Z +∞
0
cos (lnx)dx (h)
Z +∞
e
dt tlntln (lnt)
3) Montrer quet7→ sint
t n’est pas intégrable surR, mais que par contre l’intégraleZ +∞
0
sint
t dtconverge.
4) FFIntégrales de Bertrand
Pourαetβ réels, on étudie la nature de l’intégrale Z +∞
e
dt tα(lnt)β.
(a) Traiter les cas α6= 1, par comparaison à une intégrale de Riemann bien choisie.
(b) On suppose iciα= 1. Calculer Z x
e
dt
t(lnt)β, et en déduire les valeurs deβ pour lesquelles l’intégrale converge.
5) RSoit f :R+→R∗+ continue, décroissante.
(a) Montrer quet7→f(t) sintest intégrable sur[0,+∞[si et seulement sif est intégrable sur[0,+∞[.
(b) Montrer que Z +∞
0
f(t) sintdt converge si et seulement si lim
t→+∞f(t) = 0. 6) RDes intégrales un peu folle
(a) Pour λ >0, calculer Z π
0
dx 1 +λ2sin2x. (b) En déduire la nature de l’intégrale
Z +∞
0
f(t)
1 +g(t) sin2tdt, dans les deux cas suivants : i. f(t) =tα,g(t) =tβ, ii. f(t) =eαt,g(t) =eβt.
7) Deux énoncés qui se ressemblent
(a) Soit f : [1,+∞[→Ccontinue. Montrer que si l’intégrale Z +∞
1
f(t)dtconverge, il en est de même de l’intégrale
Z +∞
1
f(t)
tα dt pour toutα >0.
(b) Soit f : R → R continue, périodique de période T > 0. On note m = 1 T
Z T
0
f(t)dt. Montrer que Z +∞
T
f(t)
t dt converge si et seulement sim= 0.
8) Sommes de Riemann
(a) Soit f :]0,1]→Rdécroissante et intégrable sur]0,1]. Montrer que lim
n→∞
1 n
n
X
k=1
f k
n
= Z 1
0
f(t)dt.
En déduire lim
n→∞
n!
nn 1/n
, lim
n→∞
n
Y
k=0
n k
!1/n et lim
n→∞
n−1
Y
k=1
sinkπ n
!1/n . (b) Soitf continue, positive, décroissante surR+, telle que
Z +∞
0
f(t)dtconverge. Montrer que
lim
h→0+
∞
X
n=0
hf(nh)
!
= Z +∞
0
f(t)dt
II. C ALCULS D ’ INTÉGRALES IMPROPRES
1) RConvergence et calcul des intégrales suivantes, en utilisant éventuellement le changement de vari- able fourni :
(a) Z +∞
−∞
dt t2+pt+q
(b) Z 2π
0
dx
2 + cosx (u= tanx 2) (c)
Z +∞
0
(1 +x)1/3−1
x(1 +x)2/3 dx (u= (1 +x)1/3)
(d) Z 1
0
lnt
√1−tdt (u=√ 1−t) (e)
Z +∞
1
dt
sht (u=et) (f)
Z +∞
0
tlnt
(t2+ 1)2dt (u=1
t sur]0,1[) 2) RMontrer que la fonctionϕ:x7→Arc tan (x)−Arc tan (x−1)est intégrable surR, et queZ +∞
−∞
ϕ=π.
Proposer une généralisation de ce résultat.
3) Étudier la convergence de l’intégraleI(α) = Z 1
0
1 t −
1 t
tαdt. CalculerI(0). 4) (a) CalculerJ =
Z +∞
0
tdt
1 +t4 (on pourra poseru=t2).
(b) Établir queI= Z +∞
0
dt 1 +t4 =
Z +∞
0
t2dt
1 +t4. En déduire la valeur de I(Indication : factoriser1 +t4).
5) FRUn grand classique, et deux autres qui lui ressemblent (a) i. Justifier l’existence deI=
Z +∞
0
sin3t t2 dt. ii. Pourx >0, montrer queI(x) =
Z +∞
x
sin3t t2 dt=3
4 Z 3x
x
sint
t2 dt. En déduire la valeur deI.
(b) i. Justifier l’existence deI= Z 1
0
t−1 lnt dt.
ii. Montrer queI= Z +∞
0
e−x−e−2x
x dx= lim
ε→0+
Z 2ε
ε
e−x
x dx, et en déduire la valeur deI. (c) Utiliser un procédé similaire pour calculer
Z +∞
0
Arc tan 2x−Arc tanx
x dx.
6) RCalcul de Z +∞
0
sint t dt
(a) À l’aide d’une intégration par parties, montrer que Z +∞
0
sint t dt=
Z +∞
0
sin2t t2 dt.
(b) Montrer queIn= Z π/2
0
sin2nt
t2 dtest comprise entreAn= Z π/2
0
sin2nt
sin2t dtetBn= Z π/2
0
cotan2tsin2ntdt. (c) CalculerAn+An+2−2An+1etAn−Bn. En déduire les valeurs deAn etBn en fonction den.
(d) Montrer que lim
n→∞
In n =
Z +∞
0
sin2t
t2 dt, en déduire la valeur de cette intégrale.
