Exercice 1 : Sur le quadrillage de la feuille ci-contre :
1. Construire: a) ⃗AB+⃗AC
b) ⃗MN+⃗PQ à partir du point O 2. Trouver une relation entre ⃗u et ⃗v . 3. Compléter les égalités suivantes:
⃗KL=... ⃗RS ⃗
RS=...⃗KL
Exercice 2 : Soit ABC un triangle.
Construire les points E et F tels que ⃗AE=3
2⃗AB et ⃗AF= 3 2⃗AC
Démontrer, en utilisant la relation de Chasles, que les droites (EF) et (BC) sont parallèles.
Exercice 3 : ABCD est un parallélogramme de centre O; I est le milieu de [AB] et E est le point tel que ⃗DE=2
3⃗DI .
Le but de l'exercice est de prouver que les points A, E et C sont alignés par différentes méthodes. Méthode 1: utilisation d’une configuration
1. Que représente le point E pour le triangle ABD ?
2. Prouver que A, E et O sont alignés. Déduisez-en l’alignement de A, E et C. Méthode 2: utilisation du calcul vectoriel
1. Prouver que ⃗AE=1 3⃗AB+
1 3⃗AD . Aide: En partant de ⃗DE=2
3⃗DI , décomposer ⃗DE et ⃗DI en fonction de ⃗AD , ⃗AE et ⃗AI . 2. En déduire l’alignement de A, E et C.
Méthode 3: en utilisant un repère On considère le repère (D ;⃗DC,⃗DA) .
1. Donner les coordonnées des points A, B, C et D dans ce repère. 2. En déduire les coordonnées de I puis de E.
3. Donner les coordonnées des vecteurs ⃗AE et ⃗AC . 4. En déduire que les points A, E et C sont alignés.
Exercice 4 : Compléter la figure ou les phrases
1. Placer sur le dessin le point G tel que AEDG soit un parallélogramme. 2. Placer sur le dessin le point H tel que [AH] et [EF] aient même milieu.
3. Dessiner l'image du polygone ABCDE par la translation qui transforme A en A' . 4. Soit F' l'image de F par la translation qui transforme B en A. Placer F' sur le dessin. 5. Placer sur le dessin le point E', image de E par la translation de vecteur ⃗BE . 6. Citer deux vecteurs égaux au vecteur ⃗CD: ⃗CD= . . . = . . . .
Exercice 5 : La figure ci-dessous est un assemblage de triangles équilatéraux. Compléter sans justifications les phrases ci-dessous en remplaçant les pointillés par une lettre.
1. ⃗CF+⃗FJ=⃗A ...
2. ⃗DE−⃗AJ+⃗EJ−⃗HA=⃗B ... 3. ⃗BE+⃗BF=⃗B ...
4. ⃗JI+2⃗FI=⃗... H
Exercice 6 : A, B, C , E et F sont des points tels que ⃗EC=3⃗AB et ⃗FC=−5⃗AB. Montrer que les droites (EF) et (AB) sont parallèles.
Exercice 7 : Les points A, B et M sont liés par la relation ⃗AM−7⃗BM=14 ⃗AB . Exprimer ⃗AM en fonction de ⃗AB (On attend une relation de la forme ⃗AM=λ⃗AB) puis placer le point M sur le dessin.
Exercice 8 : Soit ABC un triangle quelconque. On considère les points I, J et K tels que ⃗BI=1
2⃗BC , ⃗AJ= 3
2⃗AB et ⃗AK = 3 4⃗AC . 1. a) Exprimer les vecteurs ⃗JK et ⃗JI en fonction des vecteurs ⃗AB et ⃗AC . b) En déduire que les points I, J et K sont alignés.
2. On veut démontrer le même résultat en utilisant une autre méthode. a) Lire les coordonnées des points J et K dans le repère (A;⃗AB,⃗AC) .
b) Quelle est la position du point I sur le segment [BC] ? Calculer les coordonnées de I. c) Déterminer l'équation réduite de la droite (JK) dans (A;⃗AB,⃗AC) .