Antilles Guyane 2010. Enseignement spécifique
EXERCICE 2
1)On note(E)l’équation proposée. Le discriminant de cette équation est
∆=
−4√ 32
−4×16=16×3−4×16= −16= (4i)2.
L’équation(E)admet donc deux solutions non réelles conjuguées à savoirz1= 4√ 3−4i
2 =2√
3−2iet z2=z1=2√
3+2i.
Les solutions dansCde l’équationz2−4√
3z+16=0sontz1=2√
3−2ietz2=z1=2√ 3+2i.
2) a)|a|= 2√
3−2i =
r
2√ 32
+ (−2)2=√
16=4puis
a=4
√3 2 −1
2i
!
=4 cos
−π 6
+isin
−π 6
=4e−iπ6,
puisb=a=4eiπ6.
a=4e−iπ6 etb=a=4eiπ6. b)
1 2 3
−1
−2
1 2 3 4 5 6 7 8 9
−1
bb
B
A O
c)On a déjàOA=|a|=4etOB=|b|=4. Ensuite, AB=|b−a|=|4i|=4. DoncOA=OB=ABet le triangleOABest équilatéral.
1 2 3
−1
−2
1 2 3 4 5 6 7 8 9
−1
bb
B
A O
3) a)
d=e2iπ3 c=
cos 2π
3
+isin 2π
3
×(−8i) = −1 2 +i
√3 2
!
×(−8i) =4i+4√ 3=4√
3+4i.
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d=4√ 3+4i.
b)|d|=|c|=8et arg(d) =arg(c) +2π
3 [2π]. Donc le pointD est un obtenu en faisant tourner le point Cautour de Od’un angle de 2π
3 .
1 2 3 4
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8
1 2 3 4 5 6 7 8 9
−1
bb b
b
B
A
D
C O
4)On ab=2√
3+2ietd=4√
3+4i. Donc,d=2bpuis−−OD→=2−OB→. Puisque les vecteurs−OB→et−−OD→sont colinéaires les pointsO,Bet Dsont alignés.
5)Puisque−−OD→=2−OB→,Best le milieu du segment[OD]. Puisque le triangle OABest équilatéral,BA=BO.
Par suite, le pointAest sur le cercle de centre Bpassant parO ou encoreAest sur le cercle de diamètre[OD]. On sait alors que
le triangleOADest rectangle enA.
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1 2 3 4
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8
1 2 3 4 5 6 7 8 9
−1
bb b
b
B
A
D
C O
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