Formes modulaires, II, Feuille 1

(1)

Formes modulaires, II, Feuille 1 Pour u ∈ R , soit

n(u) =

! 1 u

0 1

"

∈ SL(2, R ).

Soit

w =

! 0 1

−1 0

"

.

1. Ecrire la d´ecomposition d’Iwasawa de la matrice w · n(u); i.e., ´ecrire w · n(u) =

! a b

0 d

"

· ! cos(θ) sin(θ)

− sin(θ) cos(θ)

"

, avec θ ∈ R , a, d ∈ R

^×₊

, b ∈ R .

Pour s ∈ C , soit

I

s

= {f ∈ C

^∞

(SL(2, R )) | f (

! a b

0 d

"

g) = | a

d |

^s⁺¹²

f (g)};

un espace vectoriel sur lequel SL(2, R ) agit par translation ` a droite:

r(g)f (h) = f (hg).

2. Pour f ∈ I

s

, s ∈ C , d´efinir (M (s)f)(g) =

#

R

f (wn(u)g)du, g ∈ SL(2, R ).

Montrer que si l’int´egrale converge absolument, alors M (s)f ∈ I

−s

. (Indication:

changement de variables.)

3, Montrer que r(g)M (s)f = M (s)r(g)f si les int´egrales convergent absolument.

4, Montrer que, pour tout f ∈ I

s

, (M (s)f )(1) converge absolument si Re(s) > 0, uniformément sur parties compactes de C . En déduire que (M (s)f )(g) converge absolument si Re(s) > 0, uniformément en (s, g) sur les parties compactes de C ×G.

On pose g = Lie(SL(2, R )), K = SO(2). On note V

s

⊂ I

s

le sous-espace compos´es de sommes finies de vecteurs propres pour l’action de K .

5. Montrer que V

s

est un (g, K )-module. Pour chaque homomorphisme χ : K → C

^×

, montrer que le sous-espace V

s,χ

de fonctions {f ∈ V

s

| r(k)f = χ(k)f, ∀k ∈ K } est de dimension ≤ 1.

6. D´eterminer l’ensemble des χ tel que V

s,χ

(= 0 et d´eterminer l’action des

´el´ements

R = 1 2

! 1 i

i −1

"

, L = 1 2

! 1 −i

−i −1

"

sur les V

s,χ

.

7. En d´eduire que, si Re(s) > 0, s / ∈ R , M (s) d´efinit un isomorphisme entre le sous-(g, K )-module V

s

⊂ I

s

et V

−s

⊂ I

−s

.

8. (Difficile) Calculer M (s)f(1).