Application de commandes non linéaires à un bras manipulateur classe 1 à 2 degrés de liberté

(1)

ةرازو ميلعتلا يلاــعــلا و ثــحبلا يــملــعلا

Ministère de l’enseignement supérieur et de la recherche scientifique ةعماــج دعس بلحد ةديلبلا

1

Université SAAD DAHLAB de BLIDA 1 ةيلك ايجولونكتلا Faculté de Technologie

مسق كـينورتكللإا Département d’Électronique

Mémoire de Master

Filière : Automatique Spécialité : Automatique

présenté par

BENKHEDA SELMANE

&

FERROUKHI ABDERRAHMENE

Application de commandes non linéaires à un bras manipulateur classe 1 à 2 degrés de liberté

Proposé par : Dr. CHENTIR AMINA

Année Universitaire : 2016 – 2017

(2)

Remerciements

Tout d’abord, nous remercions ALLAH d’avoir nous donner le courage, la volonté, la patience et la bonne santé durant toutes ces années.

Nous adressons nos vifs remerciements à Madame CHENTIR Amina notre encadreur, pour son encadrement, sa disponibilité, ses conseils précieux et soutien.

Nous remercions chaleureusement les membres du jury, Monsieur SALHI et Monsieur FAS, pour l’honneur qu’ils nous ont fait en acceptant d’évaluer notre travail.

(3)

صخلم : عضوم تامكحتم ةناتم ةسارد يف لمعلا اذه روحمتي عارذل

يللآا ةئف 1 جردب عتمتي يذلاو يت

ةيرح بسنلاب ة لا تابارطض

ا يف تاريغتو ةيجراخ عمل

ما لا قرط قيبطت للاخ نم ةيلخادلا ت مكحت

ةيكيسلاك مث

قرط مكحت ةيطخ ريغ يكت

ةيف ىلع

ةناتم جاتنتسا لجأ نم عارذلا لا

تامكحتم جئاتنلا قيرط نع

لا ةغل للاخ نم اهيلع لصحتم ةاكاحملا

IM PYS .

حيتافملا تاملك ةناتم :

، تامكحتم

،عضوم عارذ يللآا ةئف 1

، قرط مكحت

،ةيكيسلاك قرط

مكحت ةيطخلا ريغ ةيفيكتلا

،

Pysim .

Résumé : Le travail réalisé consiste à étudier la robustesse de commandes de position d’un bras manipulateur classe 1 à 2 degré de liberté, vis-à-vis des perturbations extérieures ou de variation de ses paramètres internes. Une fois le bras modélisé, des commandes classiques puis des commandes non linéaires adaptatives sont appliquées au bras afin d'en déduire la robustesse vis à vis des différentes perturbations appliquées. Les résultats sont obtenus par simulation de notre système non-linéaire, grâce au langage de simulation Pysim.

Mots clés : Robustesse, commande de position, bras manipulateur classe 1, commandes classiques, commandes non linéaire adaptative, Pysim.

Abstract : This work consists of studying the robustness of position controls of a manipulator arm class 1 with 2 degrees of freedom, with regard to external disturbances or variation of its internal parameters. Once the arm is modeled, classical control and adaptive non-linear control are applied to the arm, in order to deduce the robustness with regard to the various disturbances applied. The results are obtained by simulating our nonlinear system, using the Pysim simulation language.

Keywords : Robustness, position control, class 1 manipulator arm, classical commands, adaptive nonlinear controls, Pysim.

(4)

Listes des acronymes et abréviations

LMFC: Linear Model Following Controller MCS: Minimal Controller Synthesis Algorithm

MCSI: Minimal Controller Synthesis Algorithm with Integral action MRAC: Model Reference Adaptatif Control

SFBIA: State Feedback with Integral Action

(5)

Remerciements Résumé

Listes des acronymes et abréviations Table des matières

Liste des figures Liste des tableaux

Introduction générale……….………1

Chapitre 1 Modélisation du bras manipulateur classe 1 1.1 Introduction ...4

1.2 Le manipulateur classe 1 ...4

1.3 Application de l’équation de LAGRANGE au manipulateur classe 1 ...6

1.4 Outil et moyens utilisés tout au long de ce mémoire ...10

1.4.1 Langage de simulation choisi ...10

1.4.2 Signal de référence utilisé ...10

1.4.3 Signaux utilisés pour simuler les différentes perturbations ...11

1.5 Conclusion ...11

Chapitre 2 Application des commandes classiques au bras manipulateur classe 1 2.1 Introductions ...12

2.2 La commande par retour d’état ...12

2.2.1 Détermination de la commande ...12

2.2.2 Simulation et interprétation ...15

2.3 Commande par retour d'état avec action intégrale : SFBIA ...21

2.3.2 Simulation et Interprétation ...23

2.4 Commande avec modèle de référence linéaire : LMFC ...29

(6)

Chapitre 3 APPLICATIONS DES COMMANDES NON LINEAIRES AU BRAS MANIPULATEUR

……….CLASSE 1

3.1 La commande adaptative avec modèle de référence MRAC ...39

3.1.1 Introduction ...39

3.2 L’algorithme MCS : Minimal controller synthesis ...49

3.2.1 introduction ...49

3.3 La modification σ ...58

Cas du MRAC ...59

Cas du MCS ...65

3.4 La modification e ...70

Cas du MRAC ...71

Cas du MCS ...71

3.5 MCS avec une action intégrale ...80

3.5.3 Simulation et Interprétation ...81

Chapitre 4 Interprétation générale des résultats obtenus Conclusion générale………….……….………...97

Bibliographie ……….………….…….99 ANNEXE A

ANNEXE B-1 ANNEXE B-2

(7)

Chapitre 1 : modélisation du bras manipulateur classe 1.

Figure 1-1 : La configuration générale de manipulateur classe 1 à 2 degré de liberté. 5

Chapitre 2 : Application des commandes classiques au bras manipulateur classe 1.

Figure 2-1 : Commande par retour d’état. 13

Figure 2-2 : Commande par retour d'état sans aucune perturbation extérieure ou variation

des paramètres internes. 17

Figure 2-3 : Commande par retour d'état avec une perturbation extérieure constante. 17 Figure 2-4 : Commande par retour d'état avec une perturbation extérieure rapide d’amplitude

= 50 rad/s² et f = 0.1 Hz. 18 Figure 2-5 : Commande par retour d'état avec une perturbation extérieure rapide d’amplitude

= 50 rad/s² et f = 0.25 Hz. 18 Figure 2-6 : Commande par retour d'état avec une perturbation extérieure rapide d’amplitude

= 50 rad/s² et f = 1.0 Hz. 19 Figure 2-7 : Commande par retour d'état avec une perturbation extérieure lente d’amplitude

= 50 rad/s² et f = 1.0 Hz. 20

(8)

Figure 2-10 : Commande par retour d’état avec action intégrale. 21 Figure 2-11 : Commande SFBIA sans aucune perturbation extérieure ou variation des paramètres internes. 25 Figure 2-12 : Commande SFBIA avec perturbation extérieur constante d’amplitude ext = 50 rad /s². 25 Figure 2-13 : Commande SFBIA avec une perturbation extérieure rapide d’amplitude = 50 rad/s² et f = 0.1 Hz. 26 Figure 2-14 : Commande SFBIA avec une perturbation extérieure rapide d’amplitude = 50 rad/s² et f = 0.25 Hz. 26 Figure 2-15 : Commande SFBIA avec une perturbation extérieure rapide d’amplitude = 50 rad/s² et f = 1.0 Hz. 27 Figure 2-16 : Commande SFBIA avec une perturbation extérieure lente d’amplitude = 50 rad/s² et f = 0.1 Hz. 27 Figure 2-17 : Commande SFBIA avec une perturbation extérieure lente d’amplitude = 50 rad/s² et f = 0.25 Hz. 28 Figure 2-18 : Commande SFBIA avec une perturbation extérieure lente d’amplitude = 50 rad/s² et f = 1.0 Hz. 28 Figure 2-19 : Commande avec modèle de référence LMFC. 30 Figure 2-20 : Commande LMFC sans perturbations extérieures ou variation des paramètres internes. 34 Figure 2-21 :Commande LMFC avec perturbation extérieure constante d’amplitude = 50 rad/s². 34

(9)

Figure 2-23 : Commande LMFC avec perturbation extérieure rapide d’amplitude = 50 rad/s² avec f=0.25Hz. 35 Figure 2-24 : Commande LMFC avec perturbation extérieure rapide d’amplitude = 50 rad/s² avec f=1.0 Hz. 36 Figure 2-25 : Commande LMFC avec perturbation extérieure lente d’amplitude = 50 rad/s² avec f=0.1 Hz. 36 Figure 2-26 : Commande LMFC avec perturbation extérieure lente d’amplitude = 50 rad/s² avec f=0.25 Hz. 37 Figure 2-27 : Commande LMFC avec perturbation extérieure lente d’amplitude = 50 rad/s² avec f = 1.0 Hz. 37

Chapitre 3 : Application des commandes non linéaires au bras manipulateur classe 1.

Figure 3-1 : Schéma d’un système adaptative avec modèle de référence. 39 Figure 3-2 : Commande MRAC sans aucune perturbation extérieure ou variation interne avec α = 5 et β = 0.1. 45

Figure 3-3 : Commande MRAC avec perturbation extérieure constante d’amplitude = 50 rad/s² avec α = 5 et β = 0.1. 45

Figure 3-4 : Commande MRAC avec perturbation extérieure rapide d’amplitude = 50 rad/s² et f=0.1 Hz pour α=5 et β = 0.1. 46

(10)

Figure 3-5 : Commande MRAC avec perturbation extérieure rapide d’amplitude = 50 rad/s² et f=0.25 Hz pour α=5 et β = 0.1. 46

Figure 3-6 : Commande MRAC avec perturbation extérieure rapide d’amplitude = 50 rad/s² et f=1 Hz pour α=5 et β = 0.1. 47

Figure 3-7 : Commande MRAC avec perturbation extérieure lente d’amplitude = 50 rad/s² et f=0.1 Hz pour α=5 et β=0.1. 47

Figure 3-8 : Commande MRAC avec perturbation extérieure lente d’amplitude = 50 rad/s² et f=0.25 Hz pour α=5 et β=0.1. 48

Figure 3-9 : Commande MRAC avec perturbation extérieure lente d’amplitude = 50 rad/s² et f=1 Hz pour α=5 et β=0.1. 48

Figure 3-10 : Le système équivalent en boucle fermée. 50 Figure 3-11: Commande MCS sans aucune perturbation extérieure ou variation interne avec α = 40 et β = 0.1. 54

Figure 3-12 : Commande MCS avec perturbation extérieure constante d’amplitude 50 rad/s² avec α = 40 et β = 0.1. 54

Figure 3-13 : Commande MCS avec perturbation extérieure rapide d’amplitude = 50 rad/s² et f=0.1 Hz pour α=40 et β = 0.1. 55

Figure 3-14: Commande MCS avec perturbation extérieure rapide d’amplitude = 50 rad/s² et f=0.25 Hz pour α=40 et β = 0.1. 55

Figure 3-15: Commande MCS avec perturbation extérieure rapide d’amplitude = 50 rad/s² et f=1Hz pour α=40 et β = 0.1. 56

Figure 3-16 : Commande MCS avec perturbation extérieure lente d’amplitude = 50 rad/s² et f=0.1 Hz pour α=40 et β = 0.1. 56

(11)

Figure 3-18 : Commande MCS avec perturbation extérieure lente d’amplitude = 50 rad/s² et f=1 Hz pour α=40 et β = 0.1. 57

Figure 3-19 : Commande MRAC avec modification σ sans aucune perturbation extérieure ou variation interne pour σ = 0.01 α = 10 et β = 0. 61

Figure 3-20 : Commande MRAC avec modification σ avec perturbation extérieure constante d’amplitude = 50 rad/s² pour σ = 0.01 α = 10 et β = 0. 61

Figure 3-21 : Commande MRAC avec modification σ avec perturbation extérieure rapide d’amplitude = 50 rad/s² et f=0.1Hz pour σ = 0.01 α = 10 et β = 0. 62

Figure 3-22 : Commande MRAC avec modification σ avec perturbation extérieure rapide d’amplitude = 50 rad/s² et f=0.25Hz pour σ = 0.01 α = 10 et β = 0. 62

Figure 3-23 : Commande MRAC avec modification σ avec perturbation extérieure rapide d’amplitude = 50 rad/s² et f=1 Hz pour σ = 0.01 α = 10 et β = 0. 63

Figure 3-24 : Commande MRAC avec modification σ avec perturbation extérieure lente d’amplitude = 50 rad/s² et f = 0.1 Hz pour σ = 0.01 α =10 et β= 0. 63

Figure 3-25 : Commande MRAC avec modification σ avec perturbation extérieure lente d’amplitude = 50 rad/s² et f = 0.25 Hz pour σ = 0.01 α =10 et β= 0. 64

Figure 3-26 : Commande MRAC avec modification σ avec perturbation extérieure lente d’amplitude = 50 rad/s² et f = 1 Hz pour σ = 0.01 α =10 et β= 0. 64

Figure 3-27 : Commande MCS avec modification σ sans aucune perturbation extérieure ou variation interne pour σ = 0.01 α = 100 et β = 0. 66

(12)

Figure 3-28 : Commande MCS avec modification σ avec perturbation extérieure constante d’amplitude 50 rad/s² pour σ = 0.01 α = 100 et β = 0. 66

Figure 3-29 : Commande MCS avec modification σ avec perturbation extérieure rapide d’amplitude = 50 rad/s² et f=0.1Hz pour σ = 0.01 α = 100 et β = 0. 67

Figure 3-30 : Commande MCS avec modification σ avec perturbation extérieure rapide d’amplitude = 50 rad/s² et f=0.25Hz pour σ = 0.01 α = 100 et β = 0. 67

Figure 3-31 : Commande MCS avec modification σ avec perturbation extérieure rapide d’amplitude = 50 rad/s² et f=1 Hz pour σ = 0.01 α = 100 et β = 0. 68

Figure 3-32 : Commande MCS avec modification σ avec perturbation extérieure lente d’amplitude = 50 rad/s² et f=0.25 Hz pour σ = 0.01 α = 100 et β = 0. 68

Figure 3-33 : Commande MCS avec modification σ avec perturbation extérieure lente d’amplitude = 50 rad/s² et f=0.25 Hz pour σ = 0.01 α = 100 et β = 0. 69

Figure 3-34 : Commande MCS avec modification σ avec perturbation extérieure lente d’amplitude = 50 rad/s² et f=1 Hz pour σ = 0.01 α = 100 et β = 0. 69

Figure 3-35 : Commande MRAC avec modification e sans aucune perturbation extérieure ou variation interne pour σ = 0.1 α = 20 et β = 0. 72

Figure 3-36 : Commande MRAC avec modification e avec perturbation extérieure constante d’amplitude = 50 rad/s² pour σ = 0.1 α = 20 et β = 0. 72

Figure 3-37 : Commande MRAC avec modification e avec perturbation extérieure rapide d’amplitude = 50 rad/s² et f=0.1 Hz pour σ = 0.1 α = 20 et β = 0. 73

Figure 3-38 : Commande MRAC avec modification e avec perturbation extérieure rapide d’amplitude = 50 rad/s² et f=0.25 Hz pour σ = 0.1 α = 20 et β = 0. 73

(13)

Figure 3-40 : Commande MRAC avec modification e avec perturbation extérieure lente d’amplitude = 50 rad/s² et f=0.1 Hz pour σ = 0.1 α = 20 et β = 0. 74

Figure 3-41 : Commande MRAC avec modification e avec perturbation extérieure lente d’amplitude = 50 rad/s² et f=0.25 Hz pour σ = 0.1 α = 20 et β = 0. 75

Figure 3-42 : Commande MRAC avec modification e avec perturbation extérieure lente d’amplitude = 50 rad/s² et f=1 Hz pour σ = 0.1 α = 20 et β = 0. 75

Figure 3-43 : Commande MCS avec modification e sans aucune perturbation extérieure ou variation interne pour σ = 0.01 α = 100 et β = 0. 76

Figure 3-44 : Commande MCS avec modification e avec perturbation extérieure constante d’amplitude = 50 rad/s² pour σ = 0.01 α = 100 et β = 0. 76

Figure 3-45 : Commande MCS avec modification e avec perturbation extérieure rapide d’amplitude = 50 rad/s² et f=0.1 Hz pour σ = 0.01 α = 100 et β = 0. 77

Figure 3-46 : Commande MCS avec modification e avec perturbation extérieure rapide d’amplitude = 50 rad/s² et f=0.25 Hz pour σ = 0.01 α = 100 et β = 0. 77

Figure 3-47 : Commande MCS avec modification e avec perturbation extérieure rapide d’amplitude = 50 rad/s² et f=1 Hz pour σ = 0.01 α = 100 et β = 0. 78

Figure 3-48 : Commande MCS avec modification e avec perturbation extérieure lente d’amplitude = 50 rad/s² et f=0.1 Hz pour σ = 0.01 α = 100 et β = 0. 78

Figure 3-49 : Commande MCS avec modification e avec perturbation extérieure lente d’amplitude = 50 rad/s² et f=0.25 Hz pour σ = 0.01 α = 100 et β = 0. 79

(14)

Figure 3-50 : Commande MCS avec modification e avec perturbation extérieure lente d’amplitude = 50 rad/s² et f=1 Hz pour σ = 0.01 α = 100 et β = 0. 79

Figure 3-51: Commande MCSI sans aucune perturbation extérieure ou variation interne avec α = 10 et β = 1. 82

Figure 3-52: Commande MCSI avec perturbation extérieure constante d’amplitude 50 rad/s² avec α = 10 et β = 1. 82

Figure 3-53 : Commande MCSI avec perturbation extérieure rapide d’amplitude = 50 rad/s² et f=0.1Hz pour α=10 et β = 1. 83

Figure 3-54 : Commande MCSI avec perturbation extérieure rapide d’amplitude = 50 rad/s² et f=0.25 Hz pour α=10 et β = 1. 83

Figure 3-55 : Commande MCSI avec perturbation extérieure rapide d’amplitude = 50 rad/s² et f=1 Hz pour α=10 et β = 1. 84

Figure 3-56 : Commande MCSI avec perturbation extérieure lente d’amplitude = 50 rad/s² et f=0.1 Hz pour α=10 et β = 1. 84 Figure 3-57 : Commande MCSI avec perturbation extérieure lente d’amplitude = 50 rad/s² et f=0.25 Hz pour α=10 et β = 1. 85 Figure 3-58 : Commande MCSI avec perturbation extérieure lente d’amplitude = 50 rad/s² et f=1 Hz pour α=10 et β = 1. 85

(15)

Chapitre 1 : Modélisation du bras manipulateur classe 1.

Tableau 1.1 : Paramètres internes du bras manipulateur classe 1 à 2 degrés de liberté. 9

Chapitre 4 : Interprétation générale des résultats obtenus.

Tableau 4.1 : Résultats obtenus dans le cas sans aucune perturbation extérieure ou variation

des paramètres internes. 89

Tableau 4.2 : Résultats obtenus dans le cas d’une perturbation extérieure constante. 90

Tableau 4.3 : Résultats obtenus dans le cas d’une perturbation extérieure rapide. 93

Tableau 4.4 : Résultats obtenus dans le cas d’une perturbation extérieure lente. 94

Tableau 4.5 : Résultats obtenus dans le cas d’une variation sur les frictions. 95

Tableau 4.6 : Résultats obtenus dans le cas d’une variation sur les masses des bras. 97

(16)

1

Introduction générale

Les bras manipulateurs sont largement utilisés et employés dans les applications industrielles et non industrielles. Ils sont utilisés dans le but de gagner du temps, de l’effort, et pour faciliter les tâches difficiles et répétitives…etc. Ils sont d'une importance majeure, surtout dans les travaux dangereux, et dans les œuvres fastidieux et monotones.

A ces faits-là, les bras manipulateurs jouent des rôles clés dans plusieurs domaines comme la fabrication automobile, l’exploration spatiale, le traitement des déchets dans les centrales nucléaires. Pour ces raisons et à cause des vastes applications des manipulateurs robotiques, la modélisation et le contrôle des robots bras manipulateurs deviennent très importants.

L'élaboration d'une loi de commande pour un procédé physique nécessite la prise en compte de certains paramètres tels que le suivi de la consigne, le rejet du bruit et la robustesse du système dans la présence de différentes perturbations internes ou externes. La littérature propose une multitude de structure de commande. Chacune d'elles possède son application et également ses propriétés (cas linéaire, cas non linéaire, procède stable, consigne d'un type donné, …etc.).

Commander un processus, c'est donc déterminer les commandes à lui appliquer de manière à assurer aux variables d'états ou aux sorties qui nous intéressent un comportement précisé par un cahier des charges.

Dans ce même contexte, nous nous intéressons dans ce projet à l’étude de la robustesse des commandes de position d’un bras manipulateur de classe 1 à 2 degrés de liberté. Pour cela nous allons appliquer à notre bras des commandes classiques ainsi que des commandes non linéaires adaptatives, afin de tester l’influence des perturbations extérieures et la variation des paramètres internes de notre système par de telles commandes.

Ce travail est organisé en quatre chapitres, dans le premier chapitre nous allons déterminer un modèle pour notre système, puisque dans la plupart du temps la mise en œuvre

(17)

2 sera dans le domaine des espaces d’état, où les forces dynamiques sont prises en considération c’est-à-dire nous développons les équations dynamiques en utilisant l’équation de Lagrange, qui va être utiliser afin d’arriver à une représentation par une équation d’état classique de la forme : 𝐗’ = 𝐀𝐗 + 𝐁𝐔 + 𝐃.

Dans le deuxième chapitre nous nous intéressons à l'étude des commandes classiques les plus utilisées :

 La commande par retour d’état.

 La commande par retour d’état avec action intégrale SFBIA (State Feedback with Integral Action).

 La commande avec modèle de référence linéaire LMFC (Linear Model Following Controller).

Où pour chacune des différentes commandes citées ci-dessus et après avoir défini l’équation de la commande correspondante, nous exposerons notre bras manipulateur aux différentes perturbations extérieures additives et à la modification des paramètres internes, et nous déduirons la robustesse à partir des résultats obtenus par simulation de notre système non-linéaire, grâce au langage de simulation PYSIM.

Le troisième chapitre est consacré à l’application des commandes non linéaire adaptative suivantes à notre systèmes bras manipulateur :

 La commande adaptative avec modèle de référence MRAC (Model Reference Adaptatif Control).

 La commande MCS : Minimal Controller Synthesis.

Là aussi, la robustesse de ces deux commandes (MRAC et MCS) sera testée en exposant toujours notre bras manipulateur aux différentes perturbations extérieures additives et à la modification des paramètres internes, et les résultats de simulation obtenus seront comparés afin de tirer les performances de chaque commande.

(18)

3 Puis, après avoir interpréter et comparer les résultats de ces deux commandes (MRAC et MCS), et afin d’améliorer leur robustesse, nous introduirons la modification σ puis la modification e et enfin la commande MCS avec action intégrale, et nous recommencerons les tests précédents afin de déduire l’apport, que peut ramener de telles modifications sur la robustesse de la commande adaptative avec modèle de référence.

Le quatrième chapitre est réservé pour une interprétation générale des résultats obtenus sous forme des tableaux récapitulatifs basés sur les résultats des simulations, montrant les avantages et les inconvénients ainsi que les limites de chaque type de commande.

À la fin, nous terminerons ce mémoire, par une conclusion générale faisant la synthèse des principaux résultats obtenus et donnant quelques perspectives.

(19)

Chapitre 1

Modélisation du bras manipulateur classe 1

(20)

4

1.1 Introduction

Pour développer une stratégie de commande performante pour un système physique, en général, il est impératif de connaître sa dynamique. Pour cela, nous sommes amenés à décrire les différentes relations mathématiques qui permettent de définir les mouvements de ce dernier.

Dans ce présent chapitre nous allons déterminer la dynamique de notre bras manipulateur en se basant sur le formalise du Lagrange.

1.2 Le manipulateur classe 1

La classification des types de manipulateur présentés par Stoten [1], sont très utilisés en industrie. Dans les années quatre-vingts, la machine la plus populaire était le manipulateur classe 4 (Pick-and-place), puis vient en deuxième position, le manipulateur classe 1, qui peut être utilisées pour différentes taches tel que : la manipulation de matériaux, l’assemblage, processus de chaines, …etc.

Tout au long de notre travail, nous utiliserons une version de manipulateur classe 1, composé de deux bras planaires et lors de la déduction du modèle dynamique du bras manipulateur, les hypothèses suivantes seront posées :

 La friction est de nature linéaire et visqueuse.

 Tous les bras sont rigides.

 Tous les joints sont non-complaisants (non soumis).

 Tous les amplificateurs des moteurs sont idéals, c’est-à-dire que la force / torque est directement proportionnelle au signal de commande.

 Les transducteurs ont un gain unitaire et pas de composantes dynamiques.

La configuration générale de ce manipulateur est montrée dans la figure 1-1.

XL = Xi1 = [X11 X21]^T : vecteur de l’angle de rotation (correspond à la position de chaque bras).

XL’ = Xi2 = [X12 X22]^T : vecteur de la vitesse angulaire de chaque bras.

(21)

5 X^’2L = [X²12 X²22]^T : vecteur des forces centrifuges.

XX^’L = [X12X22] : vecteur de la force Coriolis.

Ji : moment d’inertie de bras i.

Ci : coefficient de friction visqueuse correspondant à chaque bras.

g : constantes gravitationnelle.

Ki : gain du moteur /amplificateur i.

mi : masse de bras i.

ui = [u1 u2]^T : vecteur de commande.

f1 Chap1

Figure 1-1 : La configuration générale de manipulateur classe 1 à 2 degré de liberté.

(22)

6

1.3 Application de l’équation de LAGRANGE au manipulateur classe 1

Les énergies potentielles et cinétiques (respectivement Ui et Ti, i= 1,2) pour chaque bras planaire du bras manipulateur sont définies comme suit :

𝐔_𝟏 = 𝐦_𝟏 𝐠 𝐥_𝟐 𝐜𝐨𝐬(𝐗_𝟏𝟏) (1-1) 𝐔_𝟐= 𝐦_𝟐𝐠 [𝐋_𝟏𝐜𝐨𝐬(𝐗_𝟏𝟏) + 𝐈_𝟐 𝐜𝐨𝐬(𝐗_𝟏𝟏+ 𝐗_𝟐𝟏)] (1-2)

𝐓_𝟏= (^𝟏_𝟐) 𝐉_𝐱𝟏𝐗²_𝟏𝟐 (1-3)

𝐓_𝟐= (^𝟏_𝟐) [ 𝐉_𝐱𝟐+ 𝐦_𝟐 𝐋²_𝟏+ 𝟐 𝐦_𝟐 𝐋_𝟏𝐥_𝟐 𝐜𝐨𝐬(𝐗_𝟐𝟏)]𝐗²_𝟏𝟐+ (^𝟏_𝟐) 𝐉_𝐱𝟐 𝐗²_𝟐𝟐+ [ 𝐉_𝐱𝟐+ 𝐦_𝟐 𝐋_𝟏 𝐥_𝟐 𝐜𝐨𝐬(𝐗_𝟐𝟏)]𝐗_𝟏𝟐 𝐗_𝟐𝟐 (1-4)

Avec : 𝐉_𝐱𝟏 = 𝐉_𝟏+ 𝐦_𝟏 𝐥²_𝟏 et 𝐉_𝐱𝟐= 𝐉_𝟐+ 𝐦_𝟐 𝐥²_𝟐

Nous définissons alors le Lagrangien de notre système comme suit :

𝐋 = ∑^𝟐_𝐢=𝟏(𝐓_𝐢− 𝐔_𝐢) = (𝐓_𝟏− 𝐔_𝟏) + (𝐓_𝟐− 𝐔_𝟐) (1-5) Puis nous appliquons l’équation de Lagrange, définie par :

_𝐝𝐭^𝐝 (_𝛛𝐱^𝛛𝐋

𝐢𝟐) −_𝛛𝐱^𝛛𝐋

𝐢𝟏= 𝐪_𝐢 i = 1,2 (1-6) Où 𝐱_𝐢𝟐= 𝐱_𝐢𝟏^′ et 𝐪_𝐢 = 𝐤_𝐢 𝐮_𝐢− 𝐜_𝐢𝐱_𝐢𝟐 : force généralisée

Nous obtenons alors, après regroupement des termes, l’équation suivante :

𝐌𝐱_𝐋^′′+ 𝐂𝐱_𝐋^′ + 𝐃𝐱_𝐋^′𝟐+ 𝐄 𝐱^′𝐱_𝐋^′ + 𝐅 𝐠 = 𝐊_𝐋 𝐔 (1-7)

Où M, C, D, E, F et KL sont des matrices (ou vecteurs) variables dans le temps, de dimension appropriées, avec :

(23)

7 Jx2+m2L1l2cos(x21) Jx2

C = diag [c1 c2] (1-9) KL = diag [k1 k2] (1-10)

D = 0 -m2L1l2sin(x21) (1-11) m2L1l2sin(x21) 0

E = -2m2L1l2sin(x21) 0 (1-12) 0 0

- (m1 l1+m2l1) sin (x11) - m2 l2 sin(x11+x21) (1-13) F= -m2 l2 sin(x11+x21)

Avec : 𝐉^∗_𝟏= 𝐉_𝐱𝟏+ 𝐦_𝟐 𝐋²_𝟏

La forme de l’équation de Lagrange obtenu de (1-7), ne nous facilite pas la simulation du système. Pour cela, nous allons lui faire subir certaines transformations afin d’aboutir à une forme plus pratique [1].

Regroupons les termes de l’équation (1-7) de la manière suivante :

𝐌(𝐱^′)𝐱_𝐋^′′+ 𝐇(𝐱, 𝐱^′)𝐱_𝐋^′ + 𝐆(𝐱) = 𝐓𝐔 (1-14)

Puis, décomposons les matrices M(x^’) et H(x,x^’) comme suit :

𝐌(𝐱^′) = 𝐌^∗+ 𝛅𝐌(𝐱^′) (1-15)

Où : M^*représente la partie invariante de M (x^’)

𝛅𝐌(𝐱^′) Représente la partie non-linéaire de M (x^’)

D’où : 𝐌^∗−𝟏 𝐌(𝐱^′) = 𝐈_𝟐+ 𝐌^∗−𝟏𝛅𝐌(𝐱^′) (1-16)

(24)

8 𝐇(𝐱, 𝐱^′) = 𝐇^∗+ 𝛅𝐇(𝐱, 𝐱^′) (1-17) Où : H^* représente la partie invariante de H(x,x’).

𝛅𝐇(𝐱, 𝐱^′)^:représente la partie non-linéaire de H(x,x’).

En multipliant l’équation (1-14) par M^*-1, nous obtenons :

𝐌^∗−𝟏𝐌 𝐱_𝐋^′′+ 𝐌^∗−𝟏 𝐇(𝐱, 𝐱^′) 𝐱_𝐋^′ + 𝐌^∗−𝟏 𝐆(𝐱) = 𝐌^∗−𝟏 𝐓 𝐔 (1-18)

Et en utilisant (1-15), (1-16) et (1-17), nous aurons :

[ 𝐈_𝟐+ 𝐌^∗−𝟏𝛅𝐌]𝐱_𝐋^′′+ [ 𝐌^∗−𝟏𝐇^∗+ 𝐌^∗−𝟏𝛅𝐇(𝐱, 𝐱^′)]𝐱_𝐋^′ + 𝐌^∗−𝟏𝐆(𝐱) = 𝐌^∗−𝟏 𝐓𝐔 (1-19)

D’où : 𝐈_𝟐𝐗_𝐋^′′ = −𝐌^∗−𝟏 𝐇^∗𝐱_𝐋^′ + 𝐌^∗−𝟏𝐓𝐔 − 𝐌^∗−𝟏[ 𝛅𝐌𝐱_𝐋^′′+ 𝛅𝐇𝐱_𝐋^′ + 𝐆(𝐱)] (1-20)

Posons maintenant :

AL = -M^*-1H^* (1-21)

BL = -M^*-1 T (1-22)

𝛅𝐀_𝐋 = −𝐌^∗−𝟏𝛅𝐌 (1-23)

𝛅𝐁_𝐋 = −𝐌^∗−𝟏𝛅𝐇 (1-24)

𝛅𝐝_𝐋= −𝐌^∗−𝟏 𝐆(𝐱) (1-25)

L’équation (1-20) s’écrira sous la forme : 𝐗_𝐋^′′ = 𝐀_𝐋𝐗_𝐋^′ + 𝐁_𝐋𝐔 + 𝐝_𝐋(𝐱) (1-26) Où 𝐝_𝐋(𝐱) = 𝛅𝐀_𝐋 𝐗_𝐋^′′+ 𝛅𝐁_𝐋(𝐱, 𝐱^′) + 𝛅𝐝_𝐋(𝐱) , représente les termes non-linéaires du bras manipulateur.

Mais sachant que 𝐗_𝐋^′′ = [ 𝐱_𝟏𝟐^′ 𝐱_𝟐𝟐^′ ]^T et que 𝐱_𝟏𝟐= 𝐱_𝟏𝟏^′ et 𝐱_𝟐𝟐= 𝐱_𝟐𝟏^′ Nous définissons un nouveau vecteur d’état : 𝐗 = [ 𝐱_𝟏𝟏 𝐱_𝟏𝟐 𝐱_𝟐𝟏 𝐱_𝟐𝟐 ]^T

L’équation (1-26) peut alors être généralisé au vecteur X et de là, elle s’écrira sous une forme classique connue : 𝐗^′(𝐭) = 𝐀 𝐗(𝐭) + 𝐁 𝐔(𝐭) + 𝐝(𝐭) (1-27)

(25)

9 A= 0 -c1/J^*1 0 c2/J^*1 (1-28)

0 0 0 1

0 c1/J1* 0 -c2 (1/J^*1 + 1/Jx2) 0 0

k1/J^*1 -k2/J^*1 (1-29) B= 0 0

-k1/j^*1 k2 (1/J^*1 +1/Jx2)

d = [0 d1 0 d2]^T (1-30) Avec :

d1 = (f2 – f1)/J^*1

d2 = -d1 – (f2 /Jx2) (1-31) Où:

f1 = (2m2 L1 l2 cos (x21)) x^’12 + (m2 L1 l2 cos (x21)) x^’22 - (m2 L1 l2 sin(x21)) x²22 – (2m2 L1 l2 sin (x21)) x12 x22 - [(m1 l1 + m2 L1) sin(x11) + m2 l2 sin(x11 + x21)] g (1-32)

f2 = (m2 L1 l2 cos (x21)) x^’12 + (m2 L1 l2 sin (x21)) x²12 - [m2 l2 sin (x11 + x21)] g (1-33) La valeur initiale du vecteur d’état 𝐗 = [ 𝐱_𝟏𝟏 𝐱_𝟏𝟐 𝐱_𝟐𝟏 𝐱_𝟐𝟐 ]^T est X=0, c’est-à-dire que les deux bras sont stationnaires et verticaux.

Tout le long de notre travail, les paramètres du bras manipulateur [2] utilisés sont : Bras 1 Bras 2

m1 = 2.530 kg L1 = 0.300 m l1 = 0.201 m J1 = 0.606 kg m² J^*1 = 0.746 kg m²

C1 = 9.33 Nms/rad K1 = 2.79 Nm/V

m2 = 0.426 kg L2 = 0.3 m l2 = 0.092 m J2 = 0.268 kg m² Jx2 = 0.272 kg m²

C2 = 1.81 Nms/rad K2 = 1.74 Nm/V Tableau 1.1 : Paramètres internes du bras manipulateur.

(26)

10

1.4 Outil et moyens utilisés tout au long de ce mémoire

1.4.1 Langage de simulation choisi

Pysim est une extension python, qui permet à l'utilisateur de créer des simulations pour des systèmes basés sur des équations différentielles et aux différences ordinaires [3].

Les systèmes peuvent être décrits par des sous-systèmes couplés qui sont eux-mêmes caractérisés par des équations différentielles ou par des équations aux différences.

Les équations différentielles sont modélisées en tant que systèmes. Chaque système contient des variables d’état et leurs dérivés du temps. Il peut contenir des paramètres à définir par les utilisateurs. Il peut également contenir des entrées et des sorties. Ce sont des variables non étatiques qui peuvent être utilisées pour connecter des systèmes au cours d'une simulation. Il est possible de stocker les entrées, les sorties et les états pendant la simulation et d'examiner les résultats ultérieurement. Les résultats sont exposés sous formes de courbes ou des valeurs sur l’écran.

1.4.2 Signal de référence utilisé

Tout au long de notre travail, nous imposons aux deux bras planaires (ou axes) des mouvements rapides et périodiques dans le temps.

Pour cela, nous avons choisi comme signal de référence, un signal carré d’amplitude

±1 radian et de fréquence fc = 0.25 Hz. Ce choix a été fait sur la base qu’un signal carré est un signal très riche en fréquence et présente des variations d’amplitudes très abruptes. Si la commande utilisée arrive à rejeter les différentes sortes de perturbations considérées, en imposant à notre bras manipulateur, des mouvements très difficiles, nous pouvons dire qu’elle est robuste et donnera de meilleurs résultats si le nous choisissait des mouvements plus simples.

(27)

11 Pour une perturbation constante dans le temps, le signal choisit pour simuler une telle perturbation, n’est autre qu’une constante, dont nous pouvons varier la valeur.

Pour simuler une perturbation rapide, nous utilisons un signal carré dont nous pouvons faire varier l’amplitude de la fréquence.

Pour simuler une perturbation lente, nous utilisons un signal sinusoïdal, dont nous pouvons varier l’amplitude et la fréquence aussi.

Il est à noter, que toutes au long des simulations entreprises, la fréquence du signal perturbateur extérieur, peut prendre trois valeur différentes, soient :

 f = 0.1 Hz, une fréquence inférieure à celle du signal de référence choisi.

 f = 0.25Hz, une fréquence égale à cette de la référence.

 f =1Hz, une fréquence supérieure à celle de la référence.

1.5 Conclusion

Nous avons présenté dans ce chapitre la description de la structure dynamique de notre bras manipulateurs classe 1 à deux degré de liberté, en utilisant l’équation de Lagrange.

Ensuite nous avons donné les valeurs des paramètres internes de notre système, ainsi que le langage de programmation utilisé, de plus du signal de référence et les signaux de perturbation. Dans le chapitre suivant, la théorie des commandes classiques va être discuté et appliquée pour tester la robustesse de notre système non linéaire.

(28)

Chapitre 2 Application des commandes classiques au bras

manipulateur classe 1

(29)

12 Dans ce chapitre, nous allons étudier la synthèse de quelques commandes classiques, lorsqu’ elles sont appliquées à notre système non linéaire, le bras manipulateur classe 1, puis nous testerons la robustesse de chaque commande lorsque nous faisons subir au bras manipulateur, différentes sortes de perturbations extérieures ou une variation de ses paramètres internes.

Notre étude se portera sur trois commandes classiques :

 La commande par retour d’état.

 La commande par retour d’état avec action intégrale SFBIA (State Feedback with Integral Action).

 La commande avec modèle de référence linéaire LMFC (Linear Model Following Controller).

2.2 La commande par retour d’état

2.2.1

Détermination de la commande

Le retour d’état est le moyen le plus classique d’envisager la commande d’un système modélisé par une représentation d’état. Il suppose que toutes les composantes Xi du vecteur d’état X sont accessibles à la mesure.

Soit notre système non-linéaire, le bras manipulateur classe 1, représenté par le système d’équation d’état suivant :

𝐗^′ = 𝐀 𝐗 + 𝐁 𝐔 + 𝐝 (2-1) 𝐘 = 𝐂 𝐗 (2-2)

Avec : 𝐗 = [𝐗_𝟏𝟏 𝐗_𝟏𝟐 𝐗_𝟐𝟏 𝐗_𝟐𝟐 ]^T

Où : X11, X12 sont, respectivement, la position et la vitesse angulaire du bras n°1.

X21, X22 sont, respectivement, la position et la vitesse angulaire du bras n°2.

(30)

13 Y = [X11 X21]^T: est le signal de sortie correspondant à la position de chaque bras.

U= [u1 u2]^T : est le signal de commande de système.

d= [0 d1 0 d2] : est le vecteur englobant les termes non-linéaire de notre système.

A partir du tableau 1 :

0 1 0 0 0 0 A= 0 -12.5 0 2.43 B= 3.74 -2.33 0 0 0 1 0 0 0 12.5 0 -9.08 -3.74 8.73

C = 1 0 0 0 0 0 1 0

La commande par retour d’état donnée par la figure 2-1, est définie par l’équation suivante [6] : 𝐔 = −𝐊 𝐗 + 𝐊_𝐫𝐫 (2-3)

K, Kr sont les matrices gains.

f2 Chap2

Figure 2-1 : Commande par retour d’état.

Nous appliquons alors, la commande par retour d’état définie par l’équation (2-3) à l’équation d’état du système (2-1) et nous obtenons :

𝐗^′ = ( 𝐀 − 𝐁 𝐊 )𝐗 + 𝐁 𝐊_𝐫 𝐫 + 𝐝 (2-4)

Et pour assurer la stabilité de notre système non-linéaire définie par les équations (2-2) et (2-4), nous déterminons les matrices gains K et Kr.

(31)

14 Pour déterminer la matrice K, nous procédons par la méthode de l’emplacement des pôles par retour d’état, c’est-à-dire que nous imposons les pôles de système et nous déterminons la matrice K.

THEOREME : Nous pouvons spécifier la carte des pôles d’un système bouclé par

retour d’état si et seulement si (A, B) est contrôlable, c’est-à-dire : rang [B AB ... A^n-1B] = n, où A est une matrice de dimension (n*n) [4].

Grâce à la structure des matrices paramètres A et B, déjà définie ci-dessus (forme canonique pour chaque degré de liberté), il est facile de voir que le système décrit par les équations (2-1) et (2-2) est contrôlable. Ensuite nous utilisons la fonction PLACE de MATLAB qui nous permet de déterminer la matrice K, en choisissant des valeurs propres qui assurent un temps de réponse de système égale à ts = 1s, pour des valeurs propres égales à 𝛌_𝐢 = −𝟒.

Nous choisissons le vecteur des valeurs propre suivant : P = [-4 ; -4 ; -20 ; -20] (2-5) Et nous obtenons :

29.1778 5.4111 7.7874 2.3386 K = PLACE (A, B, P) = 12.5000 3.7500 12.5000 2.7109 (2-6) Détermination de la matrice Kr :

Pour déterminer la matrice Kr, nous allons supposer que notre signal de référence r(t) est un échelon unité, alors l’équation (2-4) sera égale à :

𝐗^′= (𝐀 − 𝐁𝐊)𝐗 + 𝐁𝐊_𝐫 𝐫 + 𝐝 = 𝟎 (2-7)

Puis nous supposons que le terme représentant la non-linéarité de notre système est nul, c’est-à-dire : d(t) = 0, d’où : 𝐗 = − (𝐀 − 𝐁𝐊)^−𝟏𝐁𝐊_𝐫 𝐫 (2-8)

En remplaçant le résultat obtenu ci –dessus, dans l’équation (2-2), nous obtenons : 𝐘 = 𝐂 𝐗 = −𝐂 ( (𝐀 − 𝐁𝐊)^−𝟏𝐁𝐊_𝐫 𝐫 (2-9)

(32)

15 Et sachant qu’à l’infini, le signal de sortie est sensé d’être égale au signal de référence (y = r) nous avons alors : −𝐂(𝐀 − 𝐁𝐊)^−𝟏𝐁𝐊_𝐫 = 𝐈_𝟐 (2-10)

D’où : 𝐊_𝐫 = [−𝐂(𝐀 − 𝐁𝐊)^−𝟏𝐁]^−𝟏𝐁 𝐈_𝟐 (2-11) Après calcul nous obtenons :

29.1178 7.7874

Kr = (2-12) 12.5 12.5

2.2.2 Simulation et interprétation

En utilisant Pysim, nous simulons la réponse de notre système non linéaire commandé par le retour d’état à différentes perturbations. Cette réponse se traduit par la position des deux bras de notre manipulateur classe 1 à deux degrés de liberté (X11, X21).

Nous imposons à notre bras manipulateur des mouvements rapides et périodiques dans le temps. Pour cela, le signal de référence r(t) est un signal carré d'amplitude ± 1 radian et de fréquence fc = 0.25 Hz. Pour simuler une perturbation rapide, nous utilisons un signal carré dont nous pouvons faire varier l'amplitude et la fréquence et pour une perturbation lente, nous utilisons un signal sinusoïdal dont nous pouvons faire varier l'amplitude et la fréquence aussi.

Remarque : Pour la variation des paramètres internes toutes les figures pour cette commande et les commandes suivantes sont données en ANNEXE A.

La figure (2-2) : Montre le résultat de simulation d'une commande par retour d'état sans aucune perturbation extérieure ou variation des paramètres internes. Nous observons que les signaux de sorties correspondant à la position de chaque bras, soit X11 et X21 suivent le signal de référence (r1 et r2), mais avec un petit dépassement d'amplitude pour le premier bras et une petite diminution d'amplitude pour le deuxième. Ceci est la conséquence de fait que le terme de la non-linéarité de notre bras manipulateur d(t) n'a pas été introduit dans le calcul de la commande. Mais comme les signaux de sorties et les commandes u1 et u2 restent bornées, cela permet la stabilité du système.

(33)

16 perturbation s’interprète par des dépassements importants, cela permet l’augmentation de l’erreur de sortie, les commandes nécessaires sont supérieures à celles du cas sans perturbations mais restent bornées.

Les figures (2-4) à (2-6) : Présentent le degré d’influence d’un signal perturbateur extérieur rapide, d’amplitude égale à 50 rad/s², pour trois valeurs différentes de la fréquence du signal perturbateur (f=0.1Hz, f=0.25Hz, f=1.0Hz). Cette influence se caractérise par une augmentation de l'effet de la non-linéarité sur l'amplitude du signal de sortie qui devient plus importante. Nous observons aussi, le rôle que joue la fréquence du signal perturbateur (inférieure, égale puis supérieure à celle de la référence choisie) sur la forme du signal de sortie. Nous notons aussi, des signaux de commandes (u1, et u2) plus importants et présentent des variations très abruptes ce qui est néfaste en pratique.

Les figures (2-7) à (2-9) : Montrent le cas d’une perturbation extérieur lente, d’amplitude égale à 50 rad/s², pour trois valeurs distinctes de la fréquence inférieure, égale puis supérieure à celle de la référence choisie. La fréquence du signal perturbateur n’influe pas beaucoup sur la forme du signal de sortie qui présente des petites dépassements et diminutions. Nous observons que l’erreur reste bornée et les signaux de commandes restent aussi bornée mais présentent toujours des pics.

Les figures (A-1), (A-2) en annexe A : Présentent la variation des paramètres interne de notre système, les frictions des joints puis les masses des bras, nous observons que les signaux de sorties suivent la référence mais avec des dépassements pour le premier bras et des diminutions pour le deuxième, les commandes présentent des valeurs convenables en pratique.

En résumé, les résultats des simulations nous montrent que la commande par retour d’état de notre système non linéaire est insuffisante pour assurer la robustesse, où nous avons vu qu’avec n’importe quelle perturbation le système perte sa stabilité.

(34)

17 Figure 2-2 : Commande par retour d'état sans aucune perturbation extérieure ou

variation des paramètres internes.

Figure 2-3 : Commande par retour d'état avec une perturbation extérieure constante.

(35)

18 Figure 2-4 : Commande par retour d'état avec une perturbation extérieure rapide

d’amplitude = 50 rad/s² et f = 0.1 Hz.

Figure 2-5 : Commande par retour d'état avec une perturbation extérieure rapide d’amplitude = 50 rad/s² et f = 0.25 Hz.

(36)

19 Figure 2-6 : Commande par retour d'état avec une perturbation extérieure rapide

Figure 2-7 : Commande par retour d'état avec une perturbation extérieure lente d’amplitude = 50 rad/s² et f = 0.1 Hz.

(37)

20 Figure 2-8 : Commande par retour d'état avec une perturbation extérieure lente

Figure 2-9 : Commande par retour d'état avec une perturbation extérieure lente d’amplitude = 50 rad/s² et f = 1.0 Hz.

(38)

21

2.3 Commande par retour d'état avec action intégrale : SFBIA

2.3.1

Détermination de la commande

Soit toujours, notre bras manipulateur classe 1 défini par le système d’équations (2-1) et (2-2), définies dans la partie précédente.

Le signal de commande par retour d'état avec action intégrale représenté par la figure-2-10, est défini par [1], [2], [6] :

𝐔(𝐭) = −𝐊 𝐗(𝐭) + 𝐊_𝐢 𝐗_𝐢(𝐭) (3-1) Avec : 𝐗_𝐢(𝐭) = ∫ [ 𝐫(𝛕) − 𝐲(𝛕)]𝐝𝛕_𝟎^𝒕 (3-2)

Où r(t) est le signal de référence et y(t) les signaux de sorties correspondant à la position de chaque bras.

Figure 2-10 : Commande par retour d’état avec action intégrale.

Appliquant notre commande définie ci-dessus à l'équation d'état (2-1) de notre bras manipulateur classe 1, nous obtenons alors : 𝐗 = (𝐀 − 𝐁𝐊)𝐗 + 𝐁𝐊_𝐢𝐗_𝐢+ 𝐝 (3-3)

(39)

22 Pour déterminer K et Ki, nous augmentons le degré de notre système (2-1) sachant que :

𝐗_𝐢^′ = 𝐫(𝐭) − 𝐲(𝐭) = 𝐫(𝐭) − 𝐂 𝐗(𝐭) (3-4)

X' A – B K B Ki X d(t)

= + (3-5) Xi' - C 02*2 Xi r(t)

X' A 04*2 X B d(t)

= + u(t) + (3-6) Xi' -C 02*2 Xi 02*2 r(t)

C’est de la forme : 𝐗^′∗ = 𝐀^∗𝐗 + 𝐁^∗𝐔 + 𝐃^∗

Avec : 𝐔 = −𝐊^∗𝐗^∗ (3-7) Où : 𝐊^∗ = [𝐊 − 𝐊_𝐢] (3-8)

En utilisant toujours la fonction PLACE de MATLAB pour déterminer les matrices, après avoir bien sûr vérifié la contrôlabilité de notre nouveau système élargi (3-3), avec un vecteur de valeurs propres égal à P* = [-4 ; -4 ; -20 ; -20 ; -16 ; -16]^T pour calculer cette fois-ci la matrice K* et nous déduisons alors nos matrices de gain K et Ki :

169.2313 11.2467 45.1671 3.8961

K = (3-9)

72.5 6.25 72.5 5.2109

466.8449 124.5989

Ki = (3-10)

200 200

(40)

23

2.3.2 Simulation et Interprétation

Également pour la commande par retour d'état avec action intégrale, nous choisissons un signal de référence carré, d'amplitude ± 1 radian et de fréquence f=0.25Hz.

La figure (2-11) : En appliquant une commande par retour d'état avec action intégrale sans aucune perturbation extérieure ou une variation des paramètres internes. Les signaux de sorties suivent parfaitement le signal de référence, la commande SFBIA est donc plus robuste que la commande par retour d'état, elle arrive à annuler l'effet de la non-linéarité du système sur les signaux de sorties. Les deux commandes (u1 et u2) sont bornées et présentent des valeurs convenables en pratique et elles sont plus faibles par rapport à celles obtenues dans la commande par retour d'état. Les deux erreurs sont bornées et nulles au niveau de la borne supérieure et minimale (± 1 rad).

La figure (2-12) : Représente l’influence d’une perturbation extérieure constante d'amplitude 50 rad/s², nous observons un très bon suivi du signal de référence avec une erreur bornée. Les commandes (u1 et u2) restent bornées avec des valeurs convenables en pratique.

Les figures (2-13) à (2-15) : Représentent le cas d'une perturbation extérieure rapide, d'amplitude 50 rad/s² et de fréquence f respectivement égale à 0.1 Hz, 0.25Hz et 1Hz. Pour une fréquence f = 0.1 Hz et f = 0.25 Hz dans les deux cas rapides, nous observons une bonne poursuite de la référence par la sortie avec des petites erreurs dans le premier cas. Pour les

commande nous remarquons que pour f = 0.1 Hz la commande est supérieure à celle de f =0.25Hz qui prend la forme d’un signale carré, et pour une fréquence f = 1 Hz, nous avons

des petites oscillations dans la position de chaque bras et les signaux de commande prennent la forme du signale perturbateur et elles présentent des pics indésirables en pratique, avec une erreur toujours bornée.

Les figures (2-16) à (2-18) : Montrent le cas d'une perturbation extérieure lente, d'amplitude 50 rad/s² et de fréquence f respectivement égale à 0.1 Hz, 0.25Hz et 1Hz. Pour les trois cas de fréquence, nous observons une bonne poursuite de la référence, l’erreur reste bornée, les commandes engendrées sont aussi bornées et présentent des valeurs acceptables en pratique.

(41)

24 avons une très bonne poursuite, les commandes présentent des valeurs convenables en pratique et elles sont inferieures par rapport au cas de la commande par retour d’état. Les deux erreurs sont bornées et nulles au niveau de la borne supérieure et minimale (± 1 rad).

D’après les résultats de simulation nous pouvons dire que la commande SFBIA est plus robuste que la commande par retour d’état grâce à l’addition de l’intégrale d’erreur à la commande.

En revanche, la commande SFBIA perte sa robustesse lorsque le système est soumis à des perturbations de fréquence plus grande que la fréquence de la référence.

D’un autre côté, la commande SFBIA présente des matrices gains à des coefficients très grands, ce qui rend notre système plus sensible à la propagation du bruit.

(42)

25 Figure 2-11 : Commande SFBIA sans aucune perturbation extérieure ou variation

des paramètres internes.

Figure 2-12 : Commande SFBIA avec perturbation extérieur constante d’amplitude ext = 50 rad /s².

(43)

26 Figure 2-13 : Commande SFBIA avec une perturbation extérieure rapide

Figure 2-14 : Commande SFBIA avec une perturbation extérieure rapide d’amplitude = 50 rad/s² et f = 0.25 Hz.

(44)

27 Figure 2-15 : Commande SFBIA avec une perturbation extérieure rapide

Figure 2-16 : Commande SFBIA avec une perturbation extérieure lente d’amplitude = 50 rad/s² et f = 0.1 Hz.

(45)

28 Figure 2-17 : Commande SFBIA avec une perturbation extérieure lente

Figure 2-18 : Commande SFBIA avec une perturbation extérieure lente d’amplitude = 50 rad/s² et f = 1.0 Hz.

(46)

29

2.4 Commande avec modèle de référence linéaire : LMFC

2.4.1 Détermination de la commande

Dans la commande LMFC, le système est contrôlé de telle sorte que son comportement dynamique se rapproche d'un modèle spécifié. Le modèle fait partie du système et spécifie les objectifs de conception. Le contrôleur devrait forcer l'erreur entre la sortie du modèle et la sortie du système à zéro lorsque le temps tend à l'infini.

Soient toujours les équations d’état (2-1) et (2-2) qui représentent notre système non linéaire, le bras manipulateur classe 1 à 2 degré de liberté.

Le modèle de référence linéaire choisi [6] est défini par :

𝐗_𝐦 = 𝐀_𝐦 𝐗_𝐦+ 𝐁_𝐦 𝐫 (4-1)

Où : Xm = [Xm11 Xm12 Xm21 Xm22]^T, est le vecteur d’état de notre modèle de référence correspondant aux positions et vitesse désirés.

Am = diag [Am1: Am2] et Bm =diag [Bm1: Bm2] Avec:

0 1 0 Am1 = Am2 = et Bm1 = Bm2 = -am1 -am2 am1

Chaque degré de liberté de ce modèle (qui est de second ordre) a ses valeurs propres localisées en : λ = -λ1, -λ2 pour choix judicieux de am1 et am2.

Pour un amortissement critique, un mouvement coordonné pour chaque bras et un

temps de réponse choisi ts = 1s [1], nous avons alors :

a

m1

= λ

1

λ

2,

a

m2

= λ

1

+ λ

2,

où λ

i

≈ 4/t

s,

i = 1,2.

Pour un temps de réponse égal à 1s, nous aurons :

𝛌_𝟏= 𝛌_𝟐= 𝟒 => am1 = 16 et am2 = 8