HAL Id: jpa-00214803
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Submitted on 1 Jan 1971
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INSTABILITE DISSIPATIVE LIEE A LA PRESENCE D’ELECTRONS PIEGES DANS LES
CONFIGURATIONS DU TYPE TOKAMAK
J. Adam, G. Laval, R. Pellat
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J. Adam, G. Laval, R. Pellat. INSTABILITE DISSIPATIVE LIEE A LA PRESENCE
D’ELECTRONS PIEGES DANS LES CONFIGURATIONS DU TYPE TOKAMAK. Journal de
Physique Colloques, 1971, 32 (C5), pp.C5b-84-C5b-86. �10.1051/jphyscol:1971584�. �jpa-00214803�
INSTABILITE DISSIPATIVE LIEE A L A PRESENCE D!ELECTRONS PIEGES DANS LES CONFIGURATIONS D U TYPE TOKAMAK
J,C. Adam, G. Laval. R. Pellat.
ASSOCIATION EURATOM-CeA
Dâpwbmenl de h W u e du P i a a ~ ~ ei de h Fwion CmWée Centre d'Ekrde8 Nucléaires
Bottr P m b
ne 6- 01 Fontonmy-aux-Roses
(France)Résumé
Nous étudions l'influence des collisions sur une instabilité locali- sée liée
àl'existence d'électrons piégés dans une configuration tororda- le. On suppose la période d'oscillation comprise entre le temps de transit des ions et des électrons entre 2 points miroirs.
Abstract
We investigate the influence of collisions on a localized instability due to trapped electrons in a toroydal configuration. We suppose that the frequency of the instability is greater than the ion bounce frequency but
lûwer t han the electron one.
Il a été montré théoriquement que On utilise le système de coordonnées habi, dans une configuration d e type toroydal il tuel et on se place dans l'approximation
01pouvait exister une instabilité en flute du les surfaces magnétiques définies parV=ctr type de celle existant dans les machines
àsont des tores concentriques. L e rapport miroirs magnétiques, instabilité liée
èd'aspect 2- est pris comme petit paramètre
R
l'existence d e particules piégées oscillant On écrit le champ magnétique sous la forme le long des lignes d e force, Rappelons que B ~ n y q - 4 q ~ w e on tient compte de t cette oscillation est due
àla variation du l'existence d'un potentiel électrique d'é- module de Ë le long d'une ligne d e champ, quilibre due
àla diffusion @ ( v ) .
variation elle même due
àl'existence d e la L'équation cinétique utilisée est transformée rotationnelie. Dans le travail l'équation de Vlasov avec au second membre cité on s'intéressait
èdes ondes dont la un opérateur de type Fokker Planck dans l e - fréquence est inférieure
àla fréquence quel on a négligé les termes de friction d'aller retour des ions entre 2 points dans l'espace des vitesses. La résolution miroirs.Dans notre cas nous considérons des de cette équation se fait en utilisant la ondes dont la fréquence est comprise entre mlthode exposée par Friemann et Rutherford la fréquence d'aller retour des ions et [ 1 1 pour les configurations magnétiques celle des électrons. le-s plus générales. On utilise comme c o o r -
données dans l'espace des vitesses les i n - u
2variant. & =+ m v 2 + q ~ (V) 'rt
2 6
L a fonction d e distribution d'équi- libre est une fonction de la quantité
( V + YU'?) puisque cette quantité est une constante du mouvement dans un tore. A l'ordre le plus bas la dépendance en éner- gie est maxwellienne.0n considère des p e r - turbations du type
y-@,($) - p t ( s - w t ) S = t [~-~(v)fJ+k*
Après calcul de la densité des ions et des électrons o n obtient en négligeant dans une première étape l'influence des collisions l'équation de dispersion s u i -
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:1971584
INSTABILITE DISSIPATIVE LIEE A LA P R E S E N C E D ' E L E C T R O N S PIEGES
vante.
rest la fréquence moyenne d'aller retour des ions
C W '
,=
<"D,D I,(b)e-b est. le terme d e dérive magnétique liée
àla courbure
-les crochets désignent des quantités moyen- nées sur la fonction de distribution.
Afin d'éliminer l'influence d e s hear nous cherchons des modes localisés le long des lignes d e force. Pour cela on d é - veloppe la fonction
7au voisinage de son maximum il vient alors
On cherche alors une solution d u type cgu2 ce qui détermine d et
Ol'expression de
dmontre que même avec bni -& il est possible d e localiser u n mode a u fond d u puits magnétique. Il c o n - vient d e souligner que l'existence du n o m - bre d'onde r a d i a l k est indispensable pour satisfaire
àla condition
W ncte.condi- tion indispensable pour avoir un mode v é - ritable et n o n u n paquet dlondes.Le point d e localisation dépendant d u signe d e k il s'agit d'un mode convectif.
l e mode ainsi obtenu est margi*
lement stable il'devient instable si on i n - t'roduit une partie dissipative liée a u t e r -
m e de collisions électrons ions dans la densité électronique. I l est facile de m o n - trer que les collisions électrons-électrons restent négligeables.0n utilise l'opéra- teur de collision de type Lorentz qui s'é- crit
- 9 est une fréquence d e collision e f - fective qui tient compte du fait qu'on s'in- téresse exclusivement aux particules p i é - gées. L a forme de - *L pour ces particules. C (C) tient compte d e
Dans le cas d e collisions faibles (G <<
O) il est possible d e traiter le terme de collisioas comme une perturbation et donc d'utiliser pour Co la
solution
àl'ordre le plus bas.Le calcul du taux de croissance se fait ensuite en construisant la forme quadratique associée
à
la nouvelle relation de dispersion obte- nue. O n obtient ainsi :
Ei est la fonction exponentiel-intégral.
Pour des b petits le premier terme est n é - gligeable et le mode est stable si est du signe de O*, Il est important d e * al- remarquer que si on avait pris une fréquen- ce de collision indépendante de l'énergie le mode obtenu serait instable car les t e r - mes en=s1é1iminent alors rigoureusemait
3v Dans le cas des fortes collisions la méthode précédente est inappliquable et il convient de résoudre l'équation en t e - nant compte du terme C (f)
àl'ordre le plus bas. En tenant compte du fait que pour les électrons piégés, l'énergie parallèle est très petite devant l'énergie perpendicu laire il est possible d'exprimer C (£1 en fonction de la position de la particule sur la ligne de force et d e la position du point miroir.
L a condition d e parité de la
fonction d e distribution perturbée nous
conduit alors
àune équation d e type Bessel
J.C. ADAM, C. LAVAL, R . PELLAT
avec second membre dont une solution p a r - ticulière est la fonction de Struve [ 2 ]
En construisant comme précédem- ment la forme quadratique associée
àla relation de dispersion on obtient le taux de croissance pour r > r v d d
O n constate qu'il est indépendant d e 3 et des termes de gradient d e température.
Lorsque f devient très grand d e v a n t a les approximations qui ont conduit au résultat précédent changent et le
calcul donne comme taux d e croissance
L
le taux de croissance décroit donc comm2) r,
et le terme d e gradient d e température d e - vient déstabilisant.
Les caiculs précédent3 ont été fait compte tenu d e l'hypothèse d'un c i - saillement modéré. Pour un cisaillement fort les calculs deviennent beaucoup plus compliqués mais les résultats dans les trois régimes demeurent,à des coefficients numériques près.
A la différence du mode non 10- calisé étudié dans t 3 2 la localisation radiale du mode n'est pas fixée par la c i - saillement. Elle correspond ici en fait
?ila condition
O= cte. ce qui assure une localisation par le gradient d e densité et donc d u même ordre, que le longueur carac- téristique de gradient. Dans ces conditions ses conséquences peuvent ê t r e importante en ce qui concerne la diffusion même si le taux de croissance est faible.
BIBLIOGRAPAIE
r i 1 RUTHERFORD (P.H.) et FRIEMAN (E.A.). Phys. Function
L .l
