I. Deux représentations de S

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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 1/14

Mines Maths 2 PC 2007 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Benoît Landelle (Doctorant en mathématiques) ; il a été relu par Tristan Poullaouec (ENS Cachan) et Paul Pichaureau (Professeur en CPGE).

Ce sujet d’analyse porte sur l’étude de certaines propriétés de la série de fonctions Sα(x) =⁺

∞

P

n=1

sin(nx)

n^α avec α >0 Il est constitué de deux parties indépendantes.

• L’enjeu de la première partie est d’établir une nouvelle écriture de Sα à l’aide d’une série entière et de fonctions trigonométriques élémentaires. On emploie des résultats de continuité pour les séries de fonctions, ainsi que des techniques habituelles sur les intégrales généralisées : méthodes de comparaison et théo- rèmes d’interversion série/intégrale et limite/série. Les cinq premières questions sont très classiques et ne présentent pas de grandes difficultés. La mise en œuvre des théorèmes d’interversion est plus délicate et impose de bien comprendre le comportement des suites de fonctions pour cibler les contraintes satisfaites et choisir les théorèmes à employer.

• La seconde partie propose d’étudier le comportement asymptotique des coef- ficients intervenant dans la nouvelle écriture de Sα. On travaille les relations de négligeabilité, l’usage des quantificateurs, les méthodes de changement de variable et les équivalents. Cette partie est sans doute moins intuitive que la première. Le maniement des quantificateurs est toujours quelque peu aride mais l’énoncé constitue un bon fil conducteur. Les transformations d’intégrales par changement de variable sont très classiques et la partie se termine par des questions sur les équivalents qui sont tout à fait abordables.

Ce sujet est de taille et de difficulté raisonnables. Il présente un large éventail des techniques autour du calcul intégral et des séries de fonctions. Les deux parties de l’énoncé forment un ensemble cohérent et amènent à des résultats intéressants sur la sérieSα. Il s’agit d’un très bon entraînement pour l’épreuve d’analyse.

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Indications

I. Deux représentations deSα

1 Vérifier que la série de fonctionsSαconverge normalement.

2 Utiliser le critère des équivalents aux bornes de l’intervalle] 0 ;⁺∞[.

3 Identifier dans l’expression deRN la somme des termes d’une suite géomé- trique.

5 Développer l’expression de Z +∞

0

RN(t, u) dt et faire apparaîtreΓ(α)par un changement de variable.

6 Calculer les parties imaginaires dans l’égalité (2) évaluée enu=e^ix. 7 Faire apparaître la fraction 1

1− u cht

et écrire son développement en série.

8 Considérer la norme infinie dehn(M) =uⁿ Z M

0

t^α−1 (ch t)ⁿ⁺¹.

II. Comportement asymptotique

10 Traduire la condition (5) avec des quantificateurs.

11 Utiliser l’inégalité triangulaire et faire apparaître les termes e⁻⁽ⁿ⁻^1)δ. 12 Additionner les relations établies aux questions 10 et 11. Traduire avec des

quantificateurs le fait que C(δ)

aΓ(λ)n^λe⁻⁽ⁿ⁻^1)δ−−−−−→

n→⁺∞ 0

13 Utiliser les changements de variablex= cht, puisx=e^s.

14 Écrire le développement limité dee^s à l’ordre 1 et l’appliquer à l’expression deB(s).

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I. Deux représentations de S

_α

1 Soitα >1. Introduisons la suite de fonctions(un)n∈N^∗ définie par

∀n∈N^∗ ∀x∈R un(x) =sin(nx) n^α . Vérifions la convergence normale de la sérieP

un pour la norme infinie sur R. On a la relation ∀n∈N^∗ kunk∞= 1

n^α. La série P

1/n^α est la série de référence dite de Riemann qui est convergente pour tout α > 1. Ainsi, la série P

un est normalement convergente. Comme la suite (un)n∈N^∗ est une suite de fonctions continues, d’après le théorème de conti- nuité d’une série de fonctions continues normalement convergente, la sérieP

un est continue, c’est-à-dire

Pour toutα >1, la fonctionSα est continue surR.

Il est fondamental de connaître la nature de la série P 1

n^α en fonction du paramètreα. On rappelle ce résultat majeur :

P

n>1

1

n^α converge ⇐⇒α >1

2 Pour tout t > 0, on a e^t > 1. Comme u est un réel de ]−1 ; 1 [, il s’ensuit que e^t−u est strictement positif ce qui assure que J(t) = t^γ−1/(e^t−u) est bien définie et clairement positive. Par ailleurs,Jest une fonction continue sur ] 0 ;⁺∞[ comme produit de fonctions continues. Elle est donc intégrable sur tout segment strictement inclus dans ] 0 ;⁺∞[. Il reste à étudier son comportement en 0 et ⁺∞.

La fonctionJest intégrable sur] 0 ;⁺∞[si et seulement si elle est intégrable sur] 0 ; 1 ] et sur[ 1 ;⁺∞[.

• En0: on a l’équivalentJ(t)∼t^γ−1/(1−u)et par suiteJest intégrable sur] 0 ; 1 ] si et seulement siγ−1>−1, c’est-à-direγ >0.

• En ⁺∞: on a J(t)∼t^γ−1e^−t = o(e^−t/2), ce qui implique que Jest intégrable sur[ 1 ;⁺∞[quelque soit γ.

Ainsi, on conclut que

La fonctionJest intégrable sur] 0 ;⁺∞[si et seulement siγ >0.

3 Signalons une petite erreur dans l’énoncé : vu queα >0, la quantitéRN(t, u)est définie pourt >0et non pourt>0.

SoitN∈N^∗. Pourt >0, on identifie, dans l’expression deRN(t, u), la somme des termes d’une suite géométrique de raisonue^−tqu’on peut écrire sous la forme

N−1

P

n=0

(ue⁻^t)ⁿ= 1−(ue^−t)^N

1−ue^−t =e^t1−u^Ne^−Nt e^t−u Téléchargé gratuitement surwww.Doc-Solus.fr.

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Il en découle RN(t, u) = u

e^t−u−u1−u^Ne^−Nt e^t−u

t^α−1

et par suite ∀t >0 RN(t, u) =u^N+1e^−Ntt^α−1 e^t−u

4 D’après le résultat de la question 3 et comme on a l’inégalité

∀t >0 e^−Nt61 en fixantγ=α, on obtient la majoration

∀t >0 |RN(t, u)|6 t^α⁻¹

e^t−u|u|^N+1= J(t)|u|^N+1

Puisqueα >0, on déduit de la question 2, d’une part, que la fonctiont7→RN(t, u) est intégrable sur] 0 ;⁺∞[et d’autre part, l’inégalité

Z +∞

0

RN(t, u) dt

6

Z +∞

0

J(t) dt

|u|^N+1 Enfin, comme le réeluappartient à l’intervalle]−1 ; 1 [, on a lim

N→+∞|u|^N+1= 0et par encadrement ∀u∈]−1 ; 1 [ lim

N→+∞

Z +∞

0

RN(t, u) dt= 0

5 Par définition de RN(t, u), on peut écrire Z +∞

0

RN(t, u) dt= Z +∞

0

ut^α−1

e^t−u−ue^−t

N−1

P

k=0

(ue^−t)^kt^α−1

dt

Les différents termes sous l’intégrale de droite sont intégrables sur] 0 ;⁺∞[. En effet, le premier terme est l’application t 7→ uJ(t) avec γ = α > 0 qui est intégrable d’après le résultat de la question 2. Le second terme est la différenceuJ(t)−RN(t, u), qui est intégrable en tant que différence de fonctions intégrables. Ensuite, par linéarité de l’intégrale, il vient

Z +∞

0

RN(t, u) dt = Z +∞

0

ut^α−1 e^t−udt−

Z +∞

0

ue^−t^N

−1

P

k=0

(ue^−t)^kt^α−1dt

= Z +∞

0

ut^α−1 e^t−udt−

N−1

P

k=0

u^k+1 Z +∞

0

e^−(k+1)tt^α−1dt.

C’est une erreur classique d’appliquer la linéarité de l’intégrale sans avoir vérifier l’intégrabilité des différents termes.

Le changement d’indicen=k+ 1dans la somme amène à l’égalité suivante Z +∞

0

RN(t, u) dt= Z +∞

0

ut^α−1

e^t−udt− P^N

n=1

uⁿ Z +∞

0

e^−ntt^α−1dt

Puis, le changement de variables=ntpermet d’obtenir

∀n∈[[ 1 ; N ]]

Z +∞

0

e^−ntt^α−1dt= Z +∞

0

e^−ss n

α−1 ds

n =Γ(α) n^α Téléchargé gratuitement surwww.Doc-Solus.fr.