Reconstruction 3D de sources de chaleur volumiques à partir des champs de température de surface mesurés par thermographie InfraRouge

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partir des champs de température de surface mesurés par thermographie InfraRouge

Marie-Marthe Groz

To cite this version:

Marie-Marthe Groz. Reconstruction 3D de sources de chaleur volumiques à partir des champs de tem- pérature de surface mesurés par thermographie InfraRouge. Thermique [physics.class-ph]. Université de Bordeaux, 2019. Français. �NNT : 2019BORD0135�. �tel-03270759�

pr´esent´ee `a

L’UNIVERSIT´ E DE BORDEAUX

Ecole Doctorale des Sciences Physiques et de l’Ing´´ enieur par

Marie-Marthe GROZ

pour obtenir le grade de

Docteur

Sp´ecialit´e : M´ecanique

Reconstruction 3D de sources de chaleur volumiques

`

a partir des champs de temp´ erature de surface mesur´ es par thermographie InfraRouge

Apr`es avis de :

M. A. CHRYSOCHOOS, Professeur, Universit´e de Montpellier M. D. MAILLET, Professeur ´em´erite, Universit´e de Lorraine

Rapporteur Rapporteur

Le 17 septembre 2019, devant la commission d’examen form´ee de : Mme A. MENDIOROZ, Professeur, Universit´e du Pays Basque M. A. CHRYSOCHOOS, Professeur, Universit´e de Montpellier M. D. MAILLET, Professeur ´em´erite, Universit´e de Lorraine Mme E. ABISSET-CHAVANNE, Professeur, Arts&M´etiers ParisTech M. C. PRAD `ERE, Directeur de Recherche, CNRS

Mme A. MEZIANE, Professeur, Universit´e de Bordeaux Mme B. LEVASSEUR, Responsable d’ ´Etude CND, DGA

Pr´esidente Rapporteur Rapporteur Examinatrice Directeur Co-Encadrante Invit´ee

- 2019 -

sont une probl´ematique industrielle tr`es importante dans les domaines du transport, de l’a´eronautique et du spatial, et dans le milieu m´edical. La thermographie infrarouge ac- tive est une technique d’E.C.N.D. qui consiste `a apporter une excitation ext´erieure afin d’entraˆıner une ´el´evation de temp´erature dans le mat´eriau, puis `a ´evaluer le champ de temp´erature r´esultant `a la surface. Cependant, les excitateurs optiques utilis´es (lampes flash, halog`ene, laser) agissent uniquement sur la surface du mat´eriau. Plusieurs syst`emes de conversion d’´energie peuvent en revanche mener `a l’apparition de sources volumiques : on peut citer en particulier les ph´enom`enes de thermo-acoustique, de thermo-induction, de thermom´ecanique ou de thermochimie. Par exemple, une excitation par ondes ultraso- nores peut entraˆıner des sources thermiques volumiques si le mat´eriau est visco´elastique ou s’il y a pr´esence de d´efaut. La reconstruction de ces sources est donc la premi`ere ´etape permettant de remonter aux param`etres responsables de l’´echauffement. Caract´eriser une source thermique consiste `a reconstruire sa g´eom´etrie et la puissance qu’elle g´en`ere. Ce- pendant, l’identification de sources thermiques volumiques par la mesure des champs de temp´erature de surface est un probl`eme math´ematiquement mal pos´e. Le caract`ere diffusif de la temp´erature en est le principal responsable. Dans ce travail, la reconstruction 3D des sources volumiques `a partir du champ de temp´erature r´esultant `a la surface, mesur´e par InfraRouge, est ´etudi´e. Tout d’abord, une analyse du probl`eme physique permet de sp´ecifier les limites de la reconstruction. En particulier, un crit`ere sur la r´esolution spatiale atteignable est d´efini et une limitation de reconstruction pour les sources en profondeur est mise en lumi`ere. Ensuite, une m´ethode de reconstruction par approche probabiliste est propos´ee et compar´ee aux m´ethodes d’inversions existantes. Le temps d’ex´ecution et la sensibilit´e au bruit de mesure sont ´etudi´es pour chacune de ces m´ethodes. Des applications num´eriques et exp´erimentales seront enfin pr´esent´ees pour illustrer les r´esultats.

Mots-cl´es : Contrˆole Non Destructif, Thermographie InfraRouge, M´ethodes Inverses

Abstract

Non Destructive Testing (N.D.T.) of materials and structures is a very important industrial issue in the fields of transport, aeronautics and space and in the medical domain.

Active infrared thermography is a N.D.T. method that consists in providing an external excitation to cause an elevation of temperature field in the material and then to evaluate the resulting temperature field at the surface. However, thermal exciters used (flash lamps, halogen, lasers) act only on the surface of the sample. Several energy conversion systems can on the other hand lead to the generation of volumetric sources : the phenomena of thermo-acoustic, thermo-induction, thermomechanic or thermochemistry can be cited.

For instance, ultrasonic waves can generate volumetric heat sources if the material is viscoelastic or if there is a defect. The reconstruction of these sources is the initial process for the quantification of parameters responsible of the heating. Characterizing a heat source means reconstructing its geometry and the supplied power. For example, a defect in a structure and / or the viscoelasticity of a material can be detected and quantified by this technique if it acts directly on temperature field. However, identification of volumetric heat sources from surface temperature fields is a mathematical ill-posed problem. The main cause of that is the diffusive nature of the temperature. In this work, the 3D reconstruction of the volumetric heat sources from the resulting surface temperature field, measured by InfraRed, is studied. First, an analysis of the physical problem enables to specify the limits of the reconstruction. In particular, a criterion on achievable spatial resolution is defined and a reconstruction limitation for in-depth sources is highlighted. Then, a probabilistic approach for the reconstruction is proposed and compared to existing inverse methods. The computation time and noise sensitivity are studied for each of these methods. Numerical and experimental applications will thus be presented to illustrate the results.

Keywords : Non-Destructive Testing, InfraRed Thermography, Inverse Problems

Cette th`ese a ´et´e effectu´ee `a l’Universit´e de Bordeaux (UB), au sein de l’Institut de M´ecanique et d’Ing´enierie (I2M). Elle a ´et´e co-financ´ee par la Direction G´en´erale de l’Ar- mement (DGA) fran¸caise et la r´egion Nouvelle-Aquitaine.

En pr´eambule `a ce travail, je souhaiterais adresser mes remerciements `a toutes les per- sonnes qui m’ont apport´e leur aide et leur soutien pendant ces trois ann´ees.

J’exprime mes plus sinc`eres remerciements `a mes encadrants. J’ai ´et´e heureuse de pouvoir compter sur une ´equipe d’encadrants aussi comp´etente tant sur le niveau profes- sionnel que personnel. Je tiens `a remercier mon directeur de th`ese Christophe Prad`ere pour son aide pr´ecieuse, son soutien, son humour et sa profonde humanit´e. Je remercie Anissa Meziane pour sa grande disponibilit´e, ses conseils, son analyse pr´ecieuse sur tous les probl`emes rencontr´es et son ´eternelle bonne humeur. Je remercie ´egalement Emma- nuelle Abisset-Chavanne qui a rejoint l’´equipe lors de ma derni`ere ann´ee de th`ese, et qui m’a beaucoup aid´ee `a d´evelopper l’approche bay´esienne. La conspiration pour diriger le monde via Bayes a d´emarr´e ! Je remercie ´egalement Alain Sommier pour tous les ´echanges et discussions, et pour tout le temps qu’il a pris pour r´efl´echir aux manips, `a les mettre sur pieds et `a les faire tourner. C’´etait un tr`es grand plaisir de travailler avec vous.

Je tiens aussi `a remercier tous les membres du jury. Je remercie en particulier Andr´e Chrysochoos et Denis Maillet qui ont accept´e le rˆole de rapporteur pour mon manuscrit de th`ese et Arantza Mendioroz qui a accept´e le rˆole de Pr´esidente du Jury. Je remer- cie ´egalement ma tutrice D.G.A. B´en´edicte Levasseur pour nos divers ´echanges pendant l’avancement de ma th`ese.

Je remercie ´egalement tous mes coll`egues de l’I2M. Mon sujet de th`ese ´etant interdisci- plinaire, j’appartenais `a deux ´equipes du laboratoire : l’´equipe APY (Acoustique Physique) et TREFLE (Transfert Fluide Energ´etique). J’ai appr´eci´e travailler dans ces deux ´equipes : l’ambiance et les relations au sein de chacune de ces ´equipes ´etaient tr`es agr´eables. Ainsi, je remercie Olivier Poncelet et Wahbi Jomaa de m’y avoir accueillie. J’aimerai remercier tous mes coll`egues pour les discussions et les bons moments v´ecus : merci `a Thomas Bru- net, Bertrand Audoin et Michel Castaings avec qui j’ai partag´e des heures d’enseignement

`

a Matmeca et qui ´etaient toujours disponibles en cas de besoin. Merci aussi `a Marie Tou- zet, Pierre Lubin, Pierre Fabrie et Marc Phalippou pour leur confiance et les ´echanges concernant ces enseignements. Je remercie ´egalement les bons moments pass´es avec mes coll`egues : merci `a Cathy pour toutes les discussions, merci `a Sandrine Guit, B´eatrice Desoudin, Virginie Gu´enard, Catherine Fonfride, Elise Keou, Muriel Bore. Merci aussi `a Christine Biateau, J´er´emy Guitard, Mathieu Renier, Marie-Fraise Ponge, Samuel Rodri- guez, Eric Ducasse, Isabelle Aubert, Alain Sommier, St´ephane Chevalier, Jean-Christophe Batsale et Jean-Luc Battaglia.

Je tiens aussi `a remercier tous les doctorants et post-doctorants pour leur sympathie, les repas partag´es, les parties de Molkky, les parties de Tarot, les repas ”internationaux”, les discussions anodines autour de la machine `a caf´e qui permettent de se d´etendre : merci

`

a L´ena Verch`ere, Louise Le Ridant, Francois Bruno, Olivier Lombard, Victor Gayoux, Ludovic Alha¨ıtz, Arthur Racot, Julien Bourbon, Pierre Plumel, Justine Bertrand, Sarah Benart, Jordan Santangelo, Enrico Panettieri, Torquato Garulli, Aurore Nicolas, Timoth´ee

bin Yin.

Merci aussi `a tous les doctorants, post-doctorants et stagiaires avec qui j’ai partag´e le bureau. Merci pour tous les fou-rires, les potins, les discussions s´erieuses et moins s´erieuses, les moments d’humour et les moments de soutien. Pour le bureau cˆot´e APY je remercie Abdulaye Ba, Karim Saidoun et Benoˆıt Tallon qui finissaient leur th`ese quand je suis arriv´ee. Merci `a Yabin Yin, Valentin Serey, Fiona Somoreau, Dorra Nouira ainsi qu’aux stagiaires qui ont anim´e les ´et´es Walid Amrane, Elise Maillot, Alan Tronchon, Adrien Santoire, Anthony Blot, Sarah Tessier, Marwanne Dherbecourt, Julien et Enguerran.

Pour le cˆot´e TREFLE je remercie tous les visiteurs ´eclair´es de la salle de manip (que voulez-vous, on fait de l’InfraRouge, on rayonne tous ;-) ) : je cite en particulier Mohammed Bensalem, Moncef Lehtihet, Hamza Aouali, Valentin Tramu, Lucie Lindingre, M´elanie et bien-sˆur Emmanuelle Abisset-Chavanne, Alain Sommier, St´ephane Chevalier, Christophe Prad`ere, Jean-Luc Battaglia et Jean-Christophe Batsale.

En dehors de l’universit´e, je salue ´egalement mes amis qui m’ont soutenue pendant ces trois ann´ees : merci `a L´ena et Victor, Fiona, Valentin, Micka¨el et Emilie, Guillaume, F´elix, Xavier, Joan, Claire M. et Laurent, Francois et Lucile, Aurore, Jeff et Sophie, Julie, Co- rentin, Louis-Marie et Claire G. pour les soir´ees ”Pizzazaki” (m´elange savant entre Pizza et Miyazaki), les JDR, les aprem et soir´ees jeux de soci´et´es, les sorties plages et kayak, les soir´ees pubs, les spectacles `a l’Op´era de Bordeaux pour les diverses repr´esentations (Op´era ou Ballet), les soir´ees ”spi” et les repas ”doctorants-ex-enseirbiens”. Merci `a S´egol`ene et Alain pour les nombreuses invitations, merci `a Th´eophile. Et merci `a Gwenaelle, Audrey, Chlo´e et Lynn pour les retrouvailles entre ”les vieilles du lyc´ee”. Enfin, un grand merci au groupe de ”fraternit´e de quartier” : Catherine et Paul A., Catherine G., Clotilde et Germain G., Monique et Jacques R., Marick et Herv´e B.

Je remercie ´egalement toute ma famille : mes parents, mes fr`eres et ma soeur pour leur soutien sans faille et leur humour. Merci `a mes oncles et tantes. Merci `a mon parrain R´emi d’avoir fait le d´eplacement et assist´e `a ma soutenance. Merci `a ma marraine Blandine pour son soutien. Merci aussi `a Denise, une amie de la famille, tr`es proche par la pens´ee malgr´e la distance qui nous ´eloigne (c’est que le Qu´ebec, c’est loin !).

Pour terminer, je suis enchant´ee d’avoir effectu´e et achev´e cette th`ese. Ce n’est pas mentir que de dire qu’une th`ese est un travail de longue haleine, avec des ”hauts” et des

”bas”, mais le sujet que j’ai trait´e ´etait passionnant, effectu´e dans une atmosph`ere tr`es agr´eable. Ainsi, je terminerai ces propos par une citation tir´ee de l’op´era ”Les Brigands”

de Jacques Offenbach qui traduit mes pens´ees :”C’est un peu vif, mais si c’´etait `a refaire, je le referais ! V’l`a mon caract`ere.”

Nomenclature . . . x

1 Introduction g´en´erale 1 2 Etat de l’art´ 5 Introduction . . . 6

2.1 Contexte . . . 7

2.1.1 La thermographie infrarouge . . . 8

2.1.2 Les principaux types d’excitateurs utilis´es en thermique . . . 9

2.1.3 Les sources thermiques volumiques . . . 18

2.2 Syst`emes de conversion d’´energie . . . 20

2.2.1 L’induction . . . 21

2.2.2 La thermom´ecanique . . . 24

2.3 M´ethodes inverses . . . 29

2.3.1 D´efinition et mise en place des probl`emes inverses . . . 29

2.3.2 Application `a la reconstruction de sources thermiques . . . 32

Conclusion et positionnement du travail de th`ese . . . 42

3 Analyse du probl`eme th´eorique et crit`ere de r´esolution 43 Introduction . . . 44

3.1 M´ethodologie de l’inversion . . . 45

3.1.1 Etude du probl`´ eme direct en 1D . . . 47

3.1.2 G´en´eralisation au probl`eme 3D . . . 50

3.1.3 Probl`eme inverse . . . 52

3.2 Mise en ´evidence d’un crit`ere d´ependant du nombre de Fourier . . . 54

3.2.1 Influence du nombre de Fourier en 1D . . . 54

3.2.2 Influence de l’excitation temporelle utilis´ee . . . 63

3.2.3 G´en´eralisation au probl`eme 3D . . . 65

3.3 Cas particulier : la profilom´etrie thermique . . . 72

3.3.1 Principe de la m´ethode . . . 72

3.3.2 M´ethode inverse . . . 74

3.3.3 G´en´eration des sources thermiques . . . 75

3.3.4 Balayage spatial . . . 77

3.3.5 Applications et r´esultats . . . 79

Conclusion . . . 88

4.1 Traitement du bruit . . . 91

4.1.1 Inversion en pr´esence de bruit . . . 91

4.1.2 Etude param´´ etrique de l’influence du bruit . . . 93

4.1.3 Traitement du bruit par S.V.D. du champ de temp´erature . . . 98

4.2 Algorithme d’inversion avec r´egularisation . . . 102

4.2.1 Fonctions de r´egularisation . . . 102

4.2.2 Choix du param`etre de r´egularisation . . . 107

4.2.3 Application de la r´egularisation sur un exemple 1D et 3D . . . 110

4.3 Reconstruction de sources : m´ethode probabiliste . . . 116

4.3.1 Approche bay´esienne . . . 116

4.3.2 Etude et g´´ en´eralisation de la m´ethode 1D . . . 123

4.4 G´en´eralisation et perspectives . . . 128

4.4.1 G´en´eralisation 3D de la m´ethode probabiliste . . . 129

4.4.2 Points forts et limitations de chaque m´ethode . . . 131

4.4.3 Perspectives pour la reconstruction de sources volumiques . . . 133

Conclusion . . . 136

5 Applications num´eriques et exp´erimentales 137 Introduction . . . 138

5.1 Pr´esentation du probl`eme . . . 139

5.2 Application num´erique . . . 140

5.2.1 Mise en place du probl`eme thermique . . . 140

5.2.2 Reconstruction de la source volumique . . . 143

5.2.3 Etude sur l’influence du nombre de Fourier . . . .´ 149

5.3 Application exp´erimentale . . . 155

5.3.1 Mise en place du probl`eme thermique . . . 156

5.3.2 Probl`eme 2D : profondeur suppos´ee connue . . . 161

5.3.3 Probl`eme 3D : profondeur suppos´ee inconnue . . . 171

Conclusion . . . 179

6 Conclusion et perspectives 181 6.1 Conclusion sur le travail r´ealis´e . . . 182

6.2 Perspectives . . . 184

Annexes 186 A Calcul de la solution analytique : probl`eme Dirac 187 A.1 Passage dans les domaines de Fourier et Laplace . . . 188

A.2 R´esolution du probl`eme . . . 189

B Calcul des fonctions de transfert 1D 193 B.1 Transformation de Laplace et quadripˆoles thermiques : rappels . . . 193

B.2 Transfert 1D dans une plaque d’´epaisseur finie g´en´er´e par une source sur- facique plane interne de chaleur . . . 195

B.3.1 Cas d’un milieu infini . . . 198 B.3.2 Cas d’un milieu semi-infini . . . 199 C Abaque des temps optimaux d’acquisition pour la reconstruction de

sources 201

D Informations syst`eme des ordinateurs utilis´es 203

Op´erateurs

math´ematiques D´efinitions Unit´es

: Double produit tensoriel contract´e

·^∗ Variables adimensionn´ees

χ Fonction caract´eristique

k · k₂ Norme euclidienne

k · k₁ NormeL₁

Abr´eviations D´efinitions

E.C.N.D. Evaluation et Contrˆ´ ole Non Destructifs

S.H.M. Structural Health Monitoring

IR Infra-Rouge

I.R.T. InfraRed Thermography

P.F.D. Principe Fondamental de la Dynamique

M.C.O. Moindres Carr´es Ordinaires

SNR Signal to Noise Ratio (Ratio Signal `a Bruit) 1D, 2D, 3D Une Dimension, Deux Dimensions, Trois Dimensions

S.V.D. D´ecomposition en Valeurs Singuli`eres (Singular Value Decomposition)

MCMC Monte-Carlo par Chaˆınes de Markov

Symboles grecs D´efinitions Unit´es

λ Longueur d’onde m

ρ Masse volumique kg.m⁻³

π Constante d’Archim`ede

θ Temp´erature K

Ω R´epartition r´eelle de la source thermique Ω_th Source reconstruite sans bruit

Ω_b Source reconstruite avec bruit

β Coefficient d’absorption optique

α_{T k},α_L1,α_TSVD Coefficients de r´egularisation (Tikhonov,L1 et par troncature du spectre)

Γ Covariance du bruit de mesure

r Vecteur contenant les coordonn´ees cart´esiennes m

t Temps s

C_p Chaleur sp´ecifique J.K⁻¹.kg⁻¹

L_x,L_y et L_z Dimensions du mat´eriau selon x,y,z m a_x,a_y eta_z Coefficients de diffusion selon les directionsx,y etz m².s⁻¹ F o_x,F o_y etF o_z Nombres de Fourier selon les directionsx,y etz

Q Distribution de densit´e d’´energie J.m⁻¹

t0 Temps initial de l’exp´erience s

tf Temps final de l’exp´erience s

I Matrice op´erateur contenant le mod`ele U,S,V D´ecomposition en valeurs singuli`eres de la matriceI

M Modes de la S.V.D.

si Valeurs singuli`eres

m Nombre de lignes de la matrice op´erateur I n Nombre de colonnes de la matrice op´erateur I

nt Nombre de pas de temps

n_x,n_y,n_z Nombre de points de discr´etisation selon x,y etz n_φ Nombre optimal de points-sources recherch´es

J Fonction de r´egularisation

P_Ω Probabilit´e de r´epartition de la source Ω

E Evidence correspondant aux donn´´ ees (temp´erature) K H Hypoth`ese : position et intensit´e de la source

Lk Likelihood : probabilit´e connaissant l’hypoth`eseH

CHAPITRE

1 1

Introduction g´ en´ erale

Ce travail de th`ese s’inscrit dans le domaine de l’´Evaluation et du Contrˆole Non Des- tructifs (not´e E.C.N.D.), tr`es important dans les secteurs industriels du transport, de l’a´eronautique et du spatial, ou encore dans les domaines de la biologie et du m´edical.

En effet, l’´evaluation d’un mat´eriau, d’une structure ou d’un milieu biologique permet de connaˆıtre ses caract´eristiques et son contrˆole permet d’y d´etecter des d´efauts ou des anomalies. Dans les milieux industriels des transports, la mise en circulation de structures fragiles ou d´efectueuses peut alors ˆetre ´evit´ee. Une inspection de structures en service ou du milieu biologique doit ´evidemment laisser la structure ou le milieu biologique intacts, d’o`u la n´ecessit´e d’une ´evaluation et d’un contrˆole non destructifs.

De nombreuses techniques d’E.C.N.D. sont aujourd’hui utilis´ees, exploitant diff´erents ph´enom`enes physiques tels que l’optique, l’´electromagn´etisme, l’acoustique, la thermody- namique, etc. Dans ce travail de th`ese, c’est l’utilisation de la thermique comme moyen d’E.C.N.D. qui sera principalement abord´ee.

La thermographie infrarouge active est un moyen largement utilis´e en E.C.N.D. Elle consiste `a exciter le milieu ´etudi´e `a l’aide d’un apport d’´energie ext´erieur, puis `a re- cueillir la temp´erature r´esultante `a la surface. Depuis la moiti´e du XIX<sup>`eme</sup> si`ecle, ces me- sures de temp´erature ´etaient essentiellement faites `a l’aide de thermocouples : les donn´ees, ponctuelles, ´etaient par cons´equent peu nombreuses par exp´erience. Depuis une vingtaine d’ann´ee, l’essor des cam´eras thermiques a permis d’augmenter consid´erablement le nombre de donn´ees par exp´erience, car les mesures effectu´ees sont faites sur l’ensemble de la surface visible par la cam´era. Cependant, un des inconv´enients de l’E.C.N.D. thermique est que

qui n’agissent qu’`a la surface du mat´eriau, rendant l’acc`es aux informations dans le vo- lume du mat´eriau difficile. Plusieurs syst`emes de conversion d’´energie peuvent en revanche mener `a l’apparition de sources volumiques dans un mat´eriau : les ph´enom`enes de thermo- acoustique, de thermo-induction, de thermom´ecanique ou de thermochimie peuvent ˆetre en particulier cit´es. Par exemple, une excitation par ondes ultrasonores peut entraˆıner des sources thermiques volumiques dans un mat´eriau si celui-ci est visco´elastique ou s’il contient un d´efaut.

Ainsi, pour caract´eriser ce d´efaut, ou tout ´el´ement responsable de l’´echauffement, la premi`ere ´etape consiste `a caract´eriser la source thermique volumique `a partir des donn´ees surfaciques de temp´erature fournies par la cam´era IR. Cette phase de caract´erisation de ces sources thermiques `a partir du champ de temp´erature r´esultant mesur´e `a la surface du milieu ´etudi´e constitue l’objectif de cette th`ese. Il s’agit d’un probl`eme math´ematiquement mal pos´e, principalement en raison du caract`ere diffusif de la temp´erature. Les m´ethodes de reconstruction existantes sont aujourd’hui confront´ees `a deux limitations : le bruit de mesure, in´evitable lors de l’exp´erience, et la profondeur. En effet, plus le niveau de bruit est ´elev´e et/ou plus la source est profonde, plus la reconstruction est erron´ee. Dans ce tra- vail, un crit`ere physique expliquant la raison de la limitation en profondeur ainsi qu’une m´ethode de reconstruction peu sensible au bruit de mesure sont propos´es.

Cette th`ese de doctorat est organis´ee comme suit : le chapitre 2 constitue l’´etat de l’art. Les principaux types d’excitateurs utilis´es en thermique et leurs applications pour l’E.C.N.D. sont pr´esent´es. La d´efinition d’une source thermique volumique est donn´ee et les diff´erents syst`emes de conversion d’´energie sont pass´es en revue. Le principe et le fonctionnement des m´ethodes inverses sont explicit´es et les m´ethodes existantes pour la reconstruction de sources volumiques sont mises en avant.

Le chapitre 3 propose une m´ethode de reconstruction bas´ee sur la r´eponse thermique

`

a une excitation impulsionnelle. Une analyse de cette m´ethode est effectu´ee dans le cas th´eorique, permettant de mettre en ´evidence un crit`ere de reconstruction d´ependant du nombre de Fourier. Il est en effet montr´e dans ce chapitre que le nombre de Fourier dans la direction de la profondeur est un param`etre d´eterminant pour la reconstruction des sources thermiques. La derni`ere partie de ce chapitre pr´esente un cas particulier de la m´ethode de reconstruction. Cette derni`ere peut en effet se d´evelopper de mani`ere `a former

un profilom`etre thermique sans contact.

L’´etude du probl`eme dans le cas r´eel, en particulier en pr´esence de bruit de mesure, est effectu´ee au chapitre4. L’influence du bruit de mesure sur les mesures et son impact sur la m´ethode d’inversion d´ecrite au chapitre 3 sont explicit´es. En premier lieu, des techniques de traitement du bruit afin de le minimiser sont pr´esent´ees. Ensuite, deux m´ethodes pour reconstruire les sources en pr´esence de bruit sont d´ecrites. La premi`ere m´ethode est bas´ee sur celle pr´esent´ee au chapitre 3, mais n´ecessite des techniques de r´egularisation pour stabiliser l’inversion. La seconde m´ethode est d´evelopp´ee dans ce chapitre de mani`ere `a s’affranchir des techniques de r´egularisation. Il s’agit d’une m´ethode probabiliste qui se base sur l’approche bay´esienne. La comparaison de ces m´ethodes est effectu´ee `a la fin de ce chapitre et les perspectives envisag´ees pour la suite sont pr´esent´ees.

Des applications num´eriques et exp´erimentales sont men´ees dans le chapitre 5. La premi`ere partie du chapitre consiste `a g´en´erer des sources thermiques de mani`ere num´erique

`

a l’aide du logiciel de calcul par ´el´ement finis COMSOL Multiphysics. L’exemple ´etudi´e est celui de sources induites par la propagation d’ondes ultrasonores dans un milieu visco´elastique. La seconde partie traitera des donn´ees exp´erimentales o`u les sources ther- miques sont g´en´er´ees par effet Joule.

La conclusion et les perspectives de cette th`ese sont r´edig´ees dans le chapitre 6.

CHAPITRE

2 2

Etat de l’art ´

Table des mati` eres

Introduction . . . 6

2.1 Contexte . . . 7

2.1.1 La thermographie infrarouge . . . 8

2.1.2 Les principaux types d’excitateurs utilis´es en thermique . . . 9

2.1.3 Les sources thermiques volumiques . . . 18

2.2 Syst`emes de conversion d’´energie . . . 20

2.2.1 L’induction . . . 21

2.2.2 La thermom´ecanique . . . 24

2.3 M´ethodes inverses . . . 29

2.3.1 D´efinition et mise en place des probl`emes inverses . . . 29

2.3.2 Application `a la reconstruction de sources thermiques . . . 32

Conclusion et positionnement du travail de th`ese . . . 42

”Quis, Quid, Ubi, Quibus auxiliis, Cur, Quomodo, Quando” sont les sept questions qui d´efinissent les circonstances d’une situation [1]. Elles constituent l’hexam`etre de Quinti- lien, rh´eteur latin du I<sup>er</sup> si`ecle apr`es J-C (de son vrai nom Marcus Fabius Quintilianus).

R´epondre `a ces questions, pouvant se traduire par ”Qui, Quoi, O`u, Par quels moyens, Pour- quoi, Comment, Quand” permet d’appr´ehender le contexte de la situation et de mieux la comprendre.

Cette m´ethode est devenue un outil utilis´e dans de nombreux domaines. Appliqu´ees `a une enquˆete polici`ere par exemple, ces questions deviennent : qui est le coupable ? Quel est le crime ? O`u a-t-il ´et´e commis ? Par quels moyens ? Quel est le mobile ? De quelle mani`ere ? `A quel moment ? Dans le domaine scientifique, ces mˆemes questions sont uti- lis´ees et adapt´ees `a chaque probl`eme afin d’en mesurer le niveau de connaissance que l’on poss`ede. Laissons entrer l’accus´e : l’interrogatoire (scientifique ? !) va d´ebuter.

Le but du projet est de caract´eriser des sources thermiques volumiques pr´esentes au sein d’un mat´eriau. Les sept questions d´efinissant les circonstances peuvent alors s’´ecrire :

• Quid : qu’est-ce qu’une source thermique ? Que signifie ici caract´eriser ?

• Cur : pourquoi caract´eriser ces sources thermiques ? Dans quel but ?

• Quis : qui cette ´etude va t’elle concerner ? Quelles vont ˆetre les applications ?

• Quibus auxiliis : quels sont les moyens n´ecessaires pour les caract´eriser ?

• Quomodo : comment les caract´eriser ?

• Quando : quand faut-il les caract´eriser ?

• Ubi : o`u peuvent elles ˆetre caract´eris´ees ? Dans quels mat´eriaux ? `A quelle profon- deur ?

Les trois derni`eres questions constituent le cœur du sujet et seront trait´ees et d´ebattues tout au long du manuscrit, en particulier dans les chapitres3et4. Les premi`eres questions permettent quant `a elles de comprendre et de mettre en place la probl´ematique, et vont par cons´equent ˆetre d´etaill´ees dans ce chapitre.

2.1 Contexte

Les industries a´erospatiales et des transports s’orientent vers une utilisation massive de mat´eriaux l´egers et r´esistants, tels que les composites. Le d´eveloppement de mat´eriaux ayant une dur´ee de vie extrˆemement longue est en effet un des objectifs prioritaires. Ainsi, afin de garantir une dur´ee de vie en service, il est n´ecessaire de maˆıtriser les propri´et´es thermo-m´ecaniques de ces mat´eriaux ainsi que leur ´evolution au cours de leur utilisation.

De la mˆeme mani`ere, la d´etection de d´efauts au sein d’une structure est primordiale afin d’´eviter les accidents. Des inspections r´eguli`eres des structures sont donc n´ecessaires. Pour y arriver, les m´ethodes d’´Evaluation et de Contrˆole Non Destructifs (E.C.N.D.) sont lar- gement utilis´ees.

Comme leur nom l’indique, les m´ethodes d’E.C.N.D. sont utilis´ees principalement pour deux raisons : la caract´erisation et le contrˆole des mat´eriaux. La caract´erisation d’un mat´eriau m`ene `a la connaissance de celui-ci afin de trouver, ou r´ecup´erer, ses donn´ees in- trins`eques. Par exemple, on peut chercher `a connaˆıtre la masse volumique, la visco´elasticit´e, ou encore les caract´eristiques thermiques d’un mat´eriau. Parall`element, contrˆoler une structure consiste `a v´erifier l’int´egrit´e de celle-ci : il peut s’agir de chercher une fissure ou toute autre anomalie.

LeStructural Health Monitoring (S.H.M.), ou contrˆole de sant´e des structures, est une approche compl´ementaire aux m´ethodes d’E.C.N.D. qui a pour objectif de maintenir et prolonger la dur´ee de vie des infrastructures, de d´etecter et pr´edire leurs d´efaillances.

Contrairement aux m´ethodes classiques d’E.C.N.D. qui n´ecessitent la plupart du temps une mise en arrˆet de la structure le temps du contrˆole, le S.H.M. cherche `a int´egrer les capteurs de mani`ere permanente `a la structure [2–4], permettant de la contrˆoler `a tout moment.

Les m´ethodes d’E.C.N.D. et de S.H.M. sont tr`es nombreuses, exploitant des ph´enom`enes physiques tels que l’optique, la thermodynamique, l’´electromagn´etisme, l’acoustique, ou encore la thermique. Cependant, il est important de souligner que malgr´e ce caract`ere pluridisciplinaire, il n’existe pas de m´ethode optimale ou unique : chacune des m´ethodes a ses avantages et ses inconv´enients. Dans ce travail, c’est l’utilisation de la thermique comme moyen d’E.C.N.D. qui sera principalement abord´ee.

2.1.1 La thermographie infrarouge

La Thermographie InfraRouge (I.R.T.) doit son origine `a Sir William Herschel [5], as- tronome du roi George III d’Angleterre. En 1800, il a cherch´e `a ´etudier la chaleur apport´ee par la lumi`ere. Avec un prisme optique, il a d´ecompos´e la lumi`ere blanche du soleil et a mesur´e la temp´erature de chaque couleur `a l’aide d’un thermom`etre dont le r´eservoir avait

´et´e noirci. Il a remarqu´e que le violet ´etait la couleur la plus froide et que la temp´erature augmentait pour toutes les couleurs de l’arc-en-ciel de mani`ere continue jusqu’au rouge, la couleur la plus chaude. Il d´ecouvrit `a ce moment-l`a qu’au-del`a du rouge, il existait une zone plus chaude que toutes les autres. Il d´ecida de la nommer infrarouge, du latininfra :

”dessous” donc en-dessous du rouge. La figure 2.1 donne le spectre de la lumi`ere blanche en fonction des longueurs d’ondes λ.

Figure 2.1 – Spectre de la lumi`ere blanche.

Ce n’est cependant qu’`a partir de la seconde moiti´e du XIX<sup>e</sup>si`ecle que se d´evelopperont les capteurs infrarouges, permettant alors de d´efinir la bande de fr´equences du rayonne- ment infrarouge. Le mot thermographie vient du grec ”thermos” signifiant ”chaud” et

”graphein” signifiant ”dessiner, ´ecrire”. La d´efinition donn´ee par l’Association fran¸caise de normalisation (Afnor) est la suivante :

La thermographie infrarouge est une technique permettant d’obtenir, au moyen d’un appareillage appropri´e, l’image thermique observ´ee dans un domaine spectral de l’infra- rouge. (D´efinition Afnor [6]).

Les cam´eras thermiques utilis´ees aujourd’hui ne mesurent pas directement la temp´erature, mais la luminance du champ thermique observ´e. Cependant, cette cartographie obtenue peut se convertir sous forme d’un thermogramme. De nos jours, sur les cam´eras IR les plus performantes, il est possible de d´etecter des diff´erences de temp´erature de l’ordre de 10 mK.

Les m´ethodes d’E.C.N.D. par I.R.T., explicit´ees par [7–10], peuvent se scinder en deux cat´egories : la thermographie passive et la thermographie active.

• La thermographie passive permet d’observer les effets thermiques de surfaces.

Elle met en ´evidence les transferts de chaleur par conduction et rayonnement ther- miques sur la structure ´etudi´ee sans apporter d’´energie suppl´ementaire. Elle est g´en´eralement utilis´ee pour le contrˆole de l’isolation thermique des bˆatiments ou des installations ´electriques [11, 12]. La figure 2.2 donne deux exemples de cette technique : en (a) la thermographie d’un syst`eme ´electrique permet de visualiser un fusible d´efectueux, tandis qu’en (b) l’image thermique du bˆatiment permet de contrˆoler l’isolation de celui-ci.

Figure 2.2 – Thermographie passive d’un syst`eme ´electrique (image issue de [11]) (a) et d’une maison (image issue de [12]) (b).

• La thermographie active n´ecessite l’apport d’une excitation ext´erieure afin de provoquer l’apparition de sources thermiques. L’analyse du champ de temp´erature `a la surface de la structure ´etudi´ee permet de mettre en ´evidence les d´efauts (fissures, d´elaminages...) ou bien de caract´eriser les propri´et´es du mat´eriau.

Les m´ethodes d’E.C.N.D. par I.R.T. ont de nombreux avantages [13–15] : elles sont, entre autres, non destructives, non intrusives, sans contact, rapides et facilement adap- tables en fonction des besoins industriels. Dans le paragraphe suivant, les principales m´ethodes d’excitation utilis´ees en thermique pour la thermographie active sont pr´esent´ees.

2.1.2 Les principaux types d’excitateurs utilis´ es en thermique

Dans le domaine de la thermique et plus particuli`erement de la thermographie active, les excitateurs utilis´es pour l’E.C.N.D. sont surfaciques. Parmi les principaux, on peut citer les m´ethodes d’excitation par flash, lock-in ou encore `a l’aide d’un laser. Ces m´ethodes, pr´esent´ees par la suite, ont ´et´e d´evelopp´ees pour la caract´erisation thermique de grandeurs

thermophysiques dans la profondeur tels que la conductivit´e, la diffusivit´e, l’effusivit´e thermiques ou encore la chaleur massique, mais peuvent aussi ˆetre utilis´ees pour le contrˆole non-destructif des milieux ´etudi´es.

M´ethodes Flash

Les m´ethodes Flash consistent `a exciter la surface d’un mat´eriau par une impulsion photothermique de courte dur´ee (type Dirac). Parmi les m´ethodes Flash se distinguent deux cat´egories en fonction de si l’on mesure le champ de temp´erature sur la face excit´ee de l’´echantillon ou sur la face oppos´ee : on parle de m´ethode Flash face avant eta contrario de m´ethode Flash face arri`ere.

a) Flash face arri`ere

Un des exemples d’E.C.N.D. bien connu dans le monde de la thermique utilisant le Flash face arri`ere est la m´ethode propos´ee en 1961 par W. J. Parkeret al.. Ils ont propos´e une technique permettant de mesurer la diffusivit´e thermique par m´ethode Flash face arri`ere [16]. L’analyse du champ de temp´erature mesur´e sur la face arri`ere du mat´eriau va permettre l’estimation de la diffusivit´e thermique du mat´eriau. Cette approche s’applique

`

a l’ensemble des mat´eriaux solides et opaques `a la longueur d’onde d’excitation du flash.

La figure2.3 illustre le principe de cette m´ethode.

Figure 2.3 – Sch´ema du principe de la m´ethode Flash de Parker (figure issue de [17]).

Les hypoth`eses consid´er´ees dans la m´ethode de Parker sont que le flux d’excitation est uniforme sur l’ensemble de la surface et de courte dur´ee (excitation de type Dirac).

Ensuite, le mat´eriau est consid´er´e adiabatique, autrement dit les pertes convectives sont consid´er´ees n´egligeables. Sous ces conditions, le maximum de sensibilit´e `a la diffusivit´e thermique est atteint au temps de demi-mont´ee t_1/2 du thermogramme, comme illustr´e par la figure2.4.

La m´ethode propos´ee par Parker consiste `a d´eterminer la diffusivit´e thermique du mat´eriau `a l’aide de la formule (2.1) :

a= 0.139 e² t1/2

(2.1) o`u a est la diffusivit´e du mat´eriau (m².s⁻¹) et e son ´epaisseur (m).

Figure 2.4 – Thermogramme en face arri`ere, courbe de sensibilit´e r´eduite et temps de demi-mont´ee [18].

La m´ethode de Parker est l’une des plus anciennes m´ethodes de caract´erisation de la diffusivit´e thermique sans contact par Flash face arri`ere. Elle est toujours largement uti- lis´ee en raison de sa simplicit´e de mise en œuvre et sa grande robustesse. Cependant, les hypoth`eses qu’elle n´ecessite ne sont pas toujours r´ealisables : en particulier les conditions aux limites adiabatiques sont rarement v´erifi´ees. D’autres m´ethodes ont ´et´e propos´ees par la suite pour palier `a ces difficult´es. La m´ethode des temps partiels avec pertes convectives propos´ee par Degiovanni [19] ou encore l’approche des d´eveloppements asymptotiques pro- pos´ee par Mourand [20] en sont des exemples.

b) Flash face avant

Les m´ethodes d’excitation par Flash face avant suivent le mˆeme principe que celles par face arri`ere. Elles sont utilis´ees quand, par exemple, la face arri`ere du mat´eriau n’est pas accessible. Dans ce cas, l’excitation et les mesures se font sur la mˆeme surface de

l’´echantillon. Sous les mˆemes conditions (excitation de type Dirac, uniformit´e spatiale de l’excitation et conditions aux limites adiabatiques), l’´evolution de champ de temp´erature en fonction du temps suit, en ´echelle logarithmique, une d´ecroissance lin´eaire aux temps courts et atteint une asymptote horizontale aux temps longs, comme illustr´e par la figure 2.5.

Figure2.5 – R´eponse au flash face avant en ´echelle logarithmique et d´efinition d’un temps caract´eristique `a l’intersection des deux asymptotes [18].

La caract´erisation du coefficient de diffusion par flash avant consiste `a se servir du temps caract´eristiquet_c obtenu par le croisement des deux comportements asymptotiques [21]. Il est d´efini par l’´equation (2.2) :

tc= e²

a. (2.2)

Cette m´ethode est tr`es facile `a mettre en œuvre. Cependant, tout comme la m´ethode de Parker, elle comporte certains inconv´enients. En effet, elle ne prend pas en compte les pertes thermiques par convection, et surtout, l’estimation des asymptotes n’est pas tou- jours facile `a d´eterminer en raison du bruit de mesure.

Les excitations par Flash peuvent aussi ˆetre utilis´ees pour d´etecter des d´efauts dans le mat´eriau. On peut par exemple citer les travaux de D. Balageas [22], de J.M. Roche [23], ou encore de X. Maldague [24] qui ont d´evelopp´e des m´ethodes pour d´etecter et imager des d´efauts en profondeur `a l’aide d’une excitation Flash face avant.

M´ethode ”Lock-In”

La m´ethode Lock-In est une technique qui a ´et´e propos´ee pour la premi`ere fois par G.

Busse en 1979 [25] en opto-acoustique pour la d´etection de d´efauts `a diff´erentes profondeurs dans de l’aluminium. Comme illustr´e sur la figure2.6, la face avant du mat´eriau est excit´ee thermiquement `a l’aide de deux lampes halog`enes. Chaque lampe est reli´ee `a un g´en´erateur basse fr´equence qui permet de cr´eer une modulation sinuso¨ıdale p´eriodique. L’excitation thermique r´esultante prend donc la forme d’un sinus centr´e sur une composante moyenne.

La cam´era infrarouge qui mesure l’´evolution du champ de temp´erature r´esultant sur la face avant du mat´eriau est elle aussi synchronis´ee avec le g´en´erateur.

Figure 2.6 – Principe d’une mesure thermographique de type ”Lock-in” [26].

L’un des avantages de la m´ethode Lock-in est qu’elle est tr`es peu sensible au bruit de mesure. En effet, de par le caract`ere p´eriodique de l’excitation, les mesures effectu´ees peuvent ˆetre moyenn´ees sur un grand nombre de p´eriodes.

En revanche, cette m´ethode peut ˆetre longue `a mettre en œuvre. Le lock-in permet en effet de caract´eriser des d´efauts dans la profondeur. Or, la longueur de p´en´etration thermique d´epend directement de la fr´equence de modulation de l’excitation thermique [21]. En effet, la profondeur µ<sub>d</sub> (m) du d´efaut peut ˆetre calcul´ee `a l’aide de la formule suivante :

µd=c

s a

πf (2.3)

o`u c est une constante, a (m².s⁻¹) la diffusivit´e thermique du mat´eriau et f (Hz) la fr´equence d’excitation.

La figure 2.7 montre les r´esultats obtenus par R. Montanini sur un ´echantillon de plexiglas contenant des d´efauts (trous) `a diff´erentes profondeurs.

Figure 2.7 – ´Echantillon de plexiglas contenant plusieurs trous (num´erot´es de 1 `a 16) situ´es `a diff´erentes profondeurs(a). Cartographie de chaque trou (b). R´esultats suite aux mesures obtenues avec la m´ethode Lock-in Thermography (LT)(c) [26].

Comme on peut l’observer, avec une fr´equence non adapt´ee (f = 2.25 Hz) les d´efauts ne sont pas visibles. Pour une fr´equence ´elev´ee, ce sont les d´efauts les plus proches de la surface qui seront d´etect´es, tandis que les fr´equences faibles permettront de sonder la profondeur du mat´eriau, ce qui est coh´erent avec l’´equation (2.3).

Ainsi, pour pouvoir d´etecter des d´efauts `a toutes les profondeurs, il faut effectuer plusieurs fois l’exp´erience en balayant la fr´equence d’excitation, ce qui peut s’av´erer long si le mat´eriau est ´epais.

Excitation par laser

Les lasers sont aussi r´eguli`erement utilis´es pour exciter thermiquement les surfaces des mat´eriaux. Leur avantage est que l’on peut les focaliser de mani`ere `a exciter une petite partie de la surface, contrairement aux lampes plus classiques qui excitent le mat´eriau sur un large domaine spatial. De la mˆeme mani`ere que pr´ec´edemment, plusieurs types d’excitation peuvent ˆetre employ´ees, comme l’excitation impulsionnelle ou modul´ee. Il est aussi possible de d´eplacer le laser pour balayer la surface d’´etude.

a) Flying Spot

En 1998, J.C. Krapez propose en effet de d´eplacer la source laser `a vitesse constante pour d´etecter les fissures transverses se trouvant sur une pi`ece m´etallique [27, 28]. Le dispositif exp´erimental propos´e, illustr´e par la figure 2.8, consiste `a d´eplacer le faisceau laser `a la surface de l’´echantillon par le biais d’un syst`eme de miroirs de balayage. Une cam´era infrarouge permet ensuite de mesurer le champ de temp´erature r´esultant. Cette m´ethode est aussi appel´ee Flying Spot.

Figure 2.8 – Sch´ema du principe du Flying Spot [27].

Lors du passage du laser sur une fissure, un gradient de temp´erature apparaˆıt. La fissure peut en effet se mod´eliser comme une r´esistance thermique. L’un des inconv´enients de cette m´ethode est qu’une irr´egularit´e de surface, comme une rayure par exemple, va ˆetre d´etect´ee comme une fissure car leurs signatures thermiques sont similaires. La solution propos´ee par Krapez est alors de balayer la surface en effectuant un aller-retour. Le gradient au niveau de la fissure va augmenter en raison de l’accumulation de chaleur, ce qui ne sera pas le cas pour la rayure. De cette mani`ere, en effectuant la soustraction des mesures obtenues

entre l’aller et le retour, la signature thermique de la rayure sera supprim´ee, mais pas celle de la fissure. Cette technique est appel´ee Flying Spot Normalis´e. La figure 2.9 illustre les r´esultats obtenus entre la m´ethode Flying Spot et la m´ethode Flying Spot Normalis´e pour la d´etection d’une fissure accol´ee `a une rayure.

Figure 2.9 – Signature thermique d’une fissure verticale `a la surface de mesure (a).

Signature thermique d’une fissure et d’une rayure(b). Signature thermique d’une fissure et d’une rayure apr`es traitement de Flying Spot normalis´e (c)[29].

L’inconv´enient de cette m´ethode est qu’elle est uniquement qualitative : les fissures sont d´etect´ees, mais pas caract´eris´ees. De plus, la mise en œuvre est assez d´elicate dans le sens o`u il est difficile de synchroniser avec pr´ecision le laser et la cam´era infrarouge.

b) M´ethode de la gaussienne

Le laser peut aussi ˆetre utilis´e de mani`ere puls´ee. Au d´ebut des ann´ees 2000, P. Bisonet al.[30,31] propose une m´ethode utilisant une excitation impulsionnelle laser pour mesurer des diffusivit´es thermiques dans le plan de couches minces. Le dispositif exp´erimental d´evelopp´e par Bison permet de cr´eer une source thermique surfacique de forme gaussienne [31].

Figure 2.10 – Sch´ema d’une excitation laser impulsionnelle [32].

L’´etude du rayon de la gaussienne permet de d´eterminer les diffusivit´es thermiques dans le plan.

Concernant la caract´erisation quantitative des fissures, en 2016, N.W. Peach-May et al. d´eveloppent une technique qui consiste `a utiliser une excitation puls´ee permettant de calculer la r´esistance thermique des fissures. Le principe de la m´ethode consiste `a envoyer excitation thermique de type Dirac par un faisceau de forme gaussienne `a proximit´e du plan vertical contenant la fissure, comme illustr´e par la figure 2.11 en(a).

Figure 2.11 – Sch´ema du principe permettant de quantifier une fissure `a l’aide d’un faisceau laser de rayonaexcitant la surface du mat´eriau `a une distanced de la fissure(a).

Illustration du champ thermique r´esultant(b). Profil selon l’axey de la temp´erature pour des tailles de fissures allant de 1µm `a 25µm(c) [33].

La connaissance de la formule analytique de la r´eponse thermique r´esultante permet de caract´eriser l’ouverture de la fissure. En effet, lorsque le laser se rapproche de la fis- sure, son profil gaussien pr´esente une discontinuit´e qui est directement li´ee `a la r´esistance thermique de celle-ci. Une r´egression du profil gaussien obtenu `a partir de la formule ana- lytique connue et de la mesure effectu´ee permet en effet de l’estimer. La r´eponse thermique obtenue ainsi que les profils de temp´erature selon l’axe y r´esultants sont illustr´es en (b) et(c) sur la figure2.11.

Les modes d’excitation utilis´es pour l’E.C.N.D. en thermique sont nombreux et sont pertinents pour mesurer des donn´ees intrins`eques du mat´eriau tels que les coefficients de diffusion, ou encore pour d´etecter des d´efauts sur ou proche de la surface. En revanche, l’inconv´enient majeur est que ces techniques excitent uniquement la surface des mat´eriaux.

La caract´erisation de donn´ees volumiques ou de d´efauts qui se trouvent en profondeur (fis- sures, d´elaminages...) est donc difficile `a effectuer.

Plusieurs syst`emes, faisant intervenir divers ph´enom`enes physiques, permettent de cr´eer des sources thermiques volumiques au sein d’un mat´eriau. Les paragraphes suivants, et en particulier la partie §2.2, permettent d’avoir un aper¸cu de ces techniques.

2.1.3 Les sources thermiques volumiques

La temp´erature mesur´ee `a l’aide de la thermographie infrarouge est toujours issue d’une source de chaleur. La d´efinition de ces sources est donc n´ecessaire pour pouvoir comprendre le ph´enom`ene ainsi que la probl´ematique ´etudi´es.

Une source thermique volumique Ω, aussi appel´ee source interne, est d´efinie par la puissance qu’elle g´en`ere par unit´e de volume dans le milieu en fonction du temps [34]. Elle s’exprime en W m<sup>−3</sup> et se traduit par une dissipation ou une conversion d’´energie dans le mat´eriau, menant `a une ´el´evation de temp´erature dans ce milieu. Plusieurs syst`emes de conversion d’´energie, pr´esent´es par le paragraphe §2.2, peuvent mener `a l’apparition de ces sources thermiques.

Les sources ´etudi´ees dans cette th`ese sont volumiques : les caract´eriser consiste `a les localiser, `a d´eterminer leurs g´eom´etries dans le milieu ainsi que leur r´epartition de puissances (que l’on va appeler ici intensit´es) en chacun des points. La figure 2.12 illustre le principe de la caract´erisation de ces sources : une (ou plusieurs) source thermique vo- lumique est pr´esente au sein d’un mat´eriau. La chaleur r´esultante va diffuser dans tout

le mat´eriau. La cam´era IR peut alors mesurer le champ de temp´erature `a la surface en fonction du temps. `A partir de ces donn´ees et de la connaissance des propri´et´es ther- miques du milieu, l’objectif (repr´esent´e `a droite sur la figure) est de retrouver toutes les caract´eristiques de la source via des m´ethodes inverses. Un aper¸cu de quelques m´ethodes inverses est effectu´e au paragraphe §2.3.

Figure 2.12 – Sch´ema explicatif du principe de reconstruction de sources thermiques volumiques.

Comme cela va ˆetre d´etaill´e au paragraphe suivant (§2.2), les sources thermiques peuvent r´esulter de la pr´esence d’un d´efaut, d’un changement de phase, de la visco´elasticit´e du milieu... Ainsi, si la source thermique vient d’un d´efaut, la connaissance de ses pro- pri´et´es (intensit´e, g´eom´etrie...) permettra de remonter aux caract´eristiques du d´efaut. Si la source est issue de la visco´elasticit´e, on pourra remonter aux propri´et´es m´ecaniques et ainsi de suite. De ce fait, la caract´erisation des sources thermiques est la premi`ere ´etape dans l’E.C.N.D. des milieux ´etudi´es.

2.2 Syst` emes de conversion d’´ energie

Le principe de conservation de l’´energie stipule que l’´energie totale d’un syst`eme isol´e est invariante au cours du temps. Autrement dit, on ne peut pas la produire `a partir de rien : on ne peut que l’´echanger ou la transformer d’une forme `a une autre. Ce que r´esume la maxime d’Antoine de Lavoisier, c´el`ebre chimiste du XVIII^e si`ecle [35] : ”Rien ne se perd, rien ne se cr´ee, tout se transforme.” Les sept principales formes d’´energies ainsi que quelques types de conversions sont d´etaill´es par la figure 2.13.

Figure 2.13 – Conversions des sept formes principales d’´energies et leurs convertisseurs.

Dessin de Xavier H¨ue - Archives Larousse [36].

• L’´energie nucl´eaire est stock´ee au cœur des atomes. Elle est directement issue des liaisons entre les protons et les neutrons contenus dans le noyau des atomes.

• L’´energie rayonnante, aussi appel´ee radiative, repose sur le principe du rayonne- ment ´electromagn´etique, lui-mˆeme bas´e sur les d´eplacements de photons. Elle peut- ˆ

etre ´emise par le soleil ou une lampe par exemple.

• L’´energie chimique est associ´ee aux liaisons entre les atomes, qui constituent les mol´ecules.

• L’´energie m´ecaniquepeut se d´ecomposer elle-mˆeme en deux cat´egories : l’´energie cin´etique et l’´energie potentielle.

• L’´energie hydraulique, comme son nom l’indique, est fournie par le mouvement de l’eau : les cascades, les courants marins et la mar´ee en sont des exemples.

• L’´energie ´electriqueest due aux d´eplacements des ´electrons. Les piles et les alter- nateurs fournissent ce type d’´energie.

• L’´energie thermiqueest caus´ee par l’agitation des mol´ecules et des atomes au sein de la mati`ere.

Comme explicit´e pr´ec´edemment, chacune de ces ´energies peut se convertir d’une forme

`

a l’autre. L’objectif de la th`ese est de caract´eriser les sources thermiques : on va donc se focaliser sur les syst`emes permettant de mener `a l’´energie thermique. Il est impossible de tous les citer (il en existe une multitude) : seuls quelques exemples vont donc ˆetre explicit´es par la suite.

2.2.1 L’induction

Le chauffage par induction est une application directe de deux lois physiques : la loi de Lenz-Faraday et l’effet Joule. La forme locale de la loi de Lenz-Faraday s’appelle l’´equation dite de ”Maxwell-Faraday”, propos´ee par le math´ematicien et physicien ´ecossais James Clerk Maxwell [37]. Elle s’´ecrit :

−→

rotE~ =−∂ ~B

∂t (2.4)

o`u E~ est le champ ´electrique, B~ le champ magn´etique et t le temps. La formule (2.4) constitue l’une des quatre ´equations de Maxwell et est pos´ee comme un postulat de l’´electromagn´etisme. De la mˆeme mani`ere que pour la loi de Lenz-Faraday, l’effet Joule peut s’´ecrire sous forme locale :

p=~j·E~ (2.5)

avecp la puissance par unit´e de volume,~j la densit´e de courant etE~ le champ ´electrique.

Ainsi, toute substance conductrice de l’´electricit´e plong´ee dans un champ magn´etique variable (qui peut ˆetre cr´e´ee par une bobine inductrice ou un inducteur) est le si`ege de courants ´electriques induits, ce qui est traduit par l’´equation (2.4). Ces courants induits sont appel´es courants de Foucault [38]. Le d´eplacement des ´electrons formant ces courants dissipe de la chaleur par effet Joule (c.f.´equation (2.5)) dans le milieu o`u ils ont ´et´e cr´e´es.

En r´esum´e, les trois ph´enom`enes physiques suivants entrent en jeu successivement :

• Transfert de l’´energie par voie ´electromagn´etique de l’inducteur vers le mat´eriau `a chauffer.

• Transformation de cette ´energie ´electrique en chaleur par effet Joule.

• Diffusion par conduction thermique de la chaleur au sein du mat´eriau.

La seule contrainte pour qu’il y ait naissance d’une source thermique est que le mat´eriau ou une partie du mat´eriau ´etudi´e soit conducteur `a l’´electricit´e.

Les courants de Foucault ont une longueur de p´en´etration δ (m), aussi appel´ee ”effet de peau”, d´efinie par :

δ = 1

√πµσf (2.6)

o`u µ est la perm´eabilit´e magn´etique (H.m<sup>−1</sup>), σ la conductivit´e ´electrique (S.m<sup>−1</sup>) et f la fr´equence d’excitation (Hz). Ainsi, l’´echauffement par effet Joule n’aura lieu que sur cette petite ´epaisseur δ, qui d´epend des propri´et´es du mat´eriau et de la fr´equence d’excitation. Pour avoir un ordre de grandeur, l’´epaisseur de peau pour de l’Aluminium Al 2014 est d’environ 0.34 mm `a une fr´equence de 100 kHz, tandis que pour les m´etaux ferromagn´etiques, elle est d’environ 0.04 mm `a la mˆeme fr´equence. En revanche, pour des Polym`eres Renforc´es en Fibre de Carbone (PFRC), l’´epaisseur de peau est beaucoup plus

´elev´ee : elle avoisine en effet les 50 mm pour une fr´equence de 100 kHz [39].

Figure2.14 – Sch´ema du dispositif pour la d´etection de d´efauts par couplage thermogra- phie - induction [39].

Des m´ethodes d’E.C.N.D. par couplage induction-thermographie et en particulier la d´etection de d´efauts dans des alliages m´etalliques sont, par exemple, d´etaill´es par [39,40]. `A titre d’exemple, la figure2.14illustre le dispositif utilis´e en thermo-induction. Le mat´eriau est excit´e thermiquement `a l’aide d’une bobine, entraˆınant l’apparition d’une source ther- mique ´etendue (repr´esent´ee en rouge sur la figure) sur une des faces avec une profondeurδ.

La cam´era peut ˆetre plac´ee d’un cˆot´e ou de l’autre du mat´eriau, ce qui permet d’observer la r´eponse thermique r´esultante en face avant ou en face arri`ere.

Si l’´epaisseur de peau est faible, le probl`eme se r´esout de la mˆeme mani`ere que pour une excitation Flash. L’avantage de cette technique par rapport `a l’excitation par lampe Flash est que l’apparition des courants de Foucault, qui sont r´epartis sur toute la surface sup´erieure du mat´eriau, entraˆınent forc´ement une r´epartition spatiale uniforme de l’excita- tion. Dans ce cas, les r´eponses thermiques en face avant et face arri`ere peuvent se calculer

`

a partir du mod`ele 1D analytique. En l’absence de d´efaut, les solutions obtenues en face avant et face arri`eres sont donn´ees respectivement par les ´equations (2.7) et (2.8) [41] :

T(t) = Q ρC_pL

"

1 + 2

∞

X

n=1

(−1)ⁿexp −n²π² L² αt

!#

(2.7) T(t) = Q

ρC_pL

"

1 + 2

∞

X

n=1

exp −n²π² L² αt

!#

(2.8) o`uQrepr´esente l’´energie (J.m⁻²),ρla masse volumique (kg.m⁻³),C_p la chaleur sp´ecifique (J.K⁻¹.kg⁻¹),Ll’´epaisseur du mat´eriau (m),αle coefficient de diffusion thermique (m².s⁻¹) et t le temps (s).

La figure2.15trace les r´eponses thermiques obtenues par Y. Heet al [39] pour diff´erents positions de d´efauts (´epaisseur et profondeur variables). En (a) se trouve le tableau synth´etisant les param`etres de chacun des cinq cas effectu´es. Les r´eponses thermiques mesur´ees en face arri`ere sont trac´ees en(b), et pour la face avant en(c). Comme on peut l’observer, la pr´esence d’un d´efaut entraˆıne un d´ecalage dans la r´eponse thermique. Pour d´eterminer la profondeur du d´efaut, la m´ethode TSR (Thermal Signal Reconstruction) est utilis´ee [42]. Elle consiste `a utiliser le logarithme temporel de l’´evolution de la temp´erature en face avant et de la comparer avec la r´eponse th´eorique analytique (sans d´efaut). L’´etude de la d´eriv´ee premi`ere permet de rep´erer la profondeur du d´efaut. Cette m´ethode est ce- pendant tr`es sensible au bruit.

Une m´ethode plus robuste a ´et´e propos´ee en 2003 par S.M. Shepard. Il propose en effet

dans [43] d’effectuer un r´egression polynomiale logarithmique du thermogramme mesur´e et d’en calculer la d´eriv´ee seconde pour pouvoir d´eterminer les param`etres du d´efauts avec une plus grande pr´ecision que la m´ethode TSR classique.

Figure 2.15 – Tableau recensant les param`etres des diff´erents d´efauts (se r´ef´erer `a la figure2.14)(a). R´eponse thermique en face arri`ere (b). R´eponse thermique en face avant,

´echelle logarithmique(c) [39].

2.2.2 La thermom´ ecanique

On parle de couplage thermom´ecanique lorsque les probl`emes de m´ecanique et de ther- miques sont li´es entre eux. Par exemple quand on chauffe une pi`ece, elle se dilate et donc se d´eforme. Si la pi`ece ne peut se d´eformer librement, il y a cr´eation de contraintes. Une sollicitation thermique peut donc provoquer une contrainte ou une d´eformation m´ecanique.

A l’inverse, la d´` eformation m´ecanique d’un mat´eriau peut entraˆıner l’´echauffement d’une partie ou de la totalit´e de celui-ci. Ainsi, une sollicitation m´ecanique peut engendrer un effet thermique [44].

La mise en ´equation d’un probl`eme m´ecanique peut se faire `a l’aide du Principe Fonda- mental de la Dynamique (P.F.D.) propos´e par Isaac Newton en 1687 [45, 46]. L’´equilibre m´ecanique peut s’´ecrire, sous forme locale, par :

divσ+ρ ~g =ρ ~γ (2.9)

o`u ρ est la masse volumique du mat´eriau (kg.m<sup>−3</sup>), ~g l’acc´el´eration due `a la pesanteur (m.s⁻²),σ le tenseur des contraintes (Pa) et~γ le champ d’acc´el´eration (m.s⁻²). `A cette loi d’´equilibre s’ajoutent les lois de comportements li´ees au mat´eriau. Les lois de comporte- ment lient les param`etres. Par exemple, la contrainte du mat´eriau σ peut, en fonction du ph´enom`ene ´etudi´e, s’exprimer en fonction de la d´eformationε, de la vitesse de d´eformation

˙

ε et de la temp´erature :

σ=f(ε,ε, T˙ ) (2.10)

En injectant l’´equation (2.10) dans l’´equation (2.9), on peut directement voir que la thermique peut modifier le comportement m´ecanique du mat´eriau.

L’´equation de la chaleur, quant `a elle, peut se d´eterminer `a l’aide des principes de la thermodynamique [44]. La forme locale du premier principe s’´ecrit :

ρe˙ =σ: ˙ε−div ~q (2.11)

o`u ρ est la masse volumique (kg.m⁻³), e l’´energie interne (J), σ le tenseur de contrainte (Pa), ˙εla vitesse de d´eformation et~q le flux de chaleur (W). L’´energie interne du mat´eriau s’´ecrit elle-mˆeme en fonction des variables d’´etat (temp´erature, d´eformation, variables d’´ecrouissage...) [44].

Un mat´eriau subissant une contrainte m´ecanique peut se d´eformer ´elastiquement et/ou plastiquement, ce qui d’apr`es l’´equation (2.11), va pouvoir engendrer des effets thermiques et donc a fortiori l’apparition de sources thermiques. De nombreux travaux se servant de la thermique pour ´etudier des ph´enom`enes m´ecaniques ont d´ej`a ´et´e effectu´es, comme par exemple les m´ecanismes de fatigue sur les soudures d´evelopp´es par T. Ummenhoferet al.

[47], l’´etude de propagation des fissures [47–52] ou encore sur la localisation de contraintes m´ecaniques, propos´ee par A. Chrysochoos et al. [53, 54]. Parmi les diff´erentes m´ethodes existantes se trouve aussi la vibro ou sono-thermographie, pr´esent´ee par la suite.

La vibro et sono-thermographie

Les m´ethodes d’excitations par ondes acoustiques peuvent se scinder en deux cat´egories en fonction de leur fr´equence : les m´ethodes ultrasonores (entre 20 kHz et 10 MHz) et les m´ethodes vibratoires (de 100 Hz `a 20 kHz). Ces m´ethodes ont ´et´e introduites `a la fin des ann´ees 1970 comme un nouveau moyen d’E.C.N.D. pour d´etecter les d´efauts tels que les fissures ou les d´elaminages [55–58] dans les mat´eriaux. Contrairement aux m´ethodes ther- miques d’E.C.N.D. plus classiques qui r´ealisent une excitation thermique en surface `a l’aide de sources de chaleur ext´erieures (lampes, diode laser...) [16,59–61], les ondes acoustiques permettent de cr´eer des sources de chaleur volumiques `a l’int´erieur du mat´eriau.

Dans les mat´eriaux visco´elastiques, une partie de l’´energie m´ecanique inject´ee par les ondes (ultra)sonores est d´egrad´ee sous forme de chaleur par dissipation visco´elastique, qui peut alors ˆetre imag´ee par thermographie infrarouge. Il a ´et´e montr´e dans [62] que le terme de dissipation visco´elastique est d´efini par :

σ:∂tε^v (2.12)

o`u ∂t repr´esente la d´eriv´ee par rapport au temps, ” : ” est le double produit tensoriel contract´e,σle tenseur des contraintes etε^vla part visco´elastique du tenseur de d´eformation.

Ce terme donn´e par (2.12) est directement transform´e en chaleur.

En pr´esence de d´efaut (fissure, d´elaminage...), les ondes acoustiques vont introduire de la friction et/ou avoir pour cons´equences d’augmenter la concentration de contraintes au niveau de ce d´efaut. L’excitation m´ecanique engendr´ee va alors se convertir et devenir une source thermique interne, situ´ee `a l’endroit-mˆeme du d´efaut.

Les sources volumiques de chaleur cr´e´ees en vibro et sonothermographie ont l’avantage de g´en´erer un signal thermique qui vient directement de l’int´erieur de la structure. La quantit´e de chaleur produite par les sources et la diffusion de cette chaleur d´ependent di- rectement des propri´et´es m´ecaniques et thermiques du mat´eriau. En cons´equence, l’analyse par thermographie infrarouge du champ thermique induit par les sources thermiques vo- lumiques constitue une approche pertinente pour l’´evaluation des propri´et´es m´ecaniques et/ou thermiques du mat´eriau ou pour la d´etection de d´efauts. [63–67] sont quelques exemples de travaux dans ce domaine.

Par exemple, les travaux r´ealis´es par S. Rodriguezet al.[64] sur l’exp´erience des plaques

de Chladni permettent de bien illustrer ces techniques. Au d´ebut du XIX^e si`ecle, Ernst Chladni [68] ´etudie les vibrations des structures. L’exp´erience de Chladni consiste `a prendre une plaque et `a la fixer en son centre sur un support. Les bords de la plaque, pos´ee horizontalement, sont libres. Du sable est alors r´eparti de mani`ere homog`ene sur la plaque, puis celle-ci est mise en vibration. E. Chladni avait utilis´e un archet qu’il avait frott´e verticalement sur le bord de la plaque. Sous l’excitation de l’archet, la plaque vibre, et le sable migre alors vers les lignes nodales permettant de voir les modes vibratoires de la plaque. La modification de la position du point d’excitation, ainsi que forcer un (ou plusieurs) point de d´eplacement nul en positionnant un doigt sur la plaque, permet de choisir un mode vibratoire particulier.

Figure2.16 – Dispositif classique de l’exp´erience de Chladni sur les plaques(a). R´esultats observ´es pour l’exp´erience classique de Chladni (avec du sel) `a une fr´equence de 1 080 Hz (b). Dispositif thermique propos´e pour l’exp´erience (c). Champ de temp´erature mesur´e apr`es 80 s, pour une fr´equence de 1 080 Hz [64].

L’´etude propos´ee par S. Rodriguez et al. consiste `a reprendre cette exp´erience, mais en l’´etudiant `a l’aide d’une cam´era IR pour mesurer le champ de temp´erature r´esultant `a la surface. Dans ces travaux, la plaque est excit´ee `a l’aide d’un pot vibrant, permettant de choisir la fr´equence, et donc le mode vibratoire. La figure 2.16 illustre les dispositifs exp´erimentaux (Chladni classique et Chladni thermique) ainsi que les r´esultats obtenus.