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Submitted on 25 Apr 2007
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State estimation for a class of singular systems.
Application to data reconciliation
Michel Zasadzinski, Mohamed Darouach
To cite this version:
Michel Zasadzinski, Mohamed Darouach. State estimation for a class of singular systems. Application to data reconciliation. RAIRO - APII - Traitement du Signal, 1992, 26 (2), pp.107-124. �hal-00143554�
Estimation de l'état pour une classe de systèmes singuliers.
Application à la validation de données
State estimation for a class of singular systems. Application to data reconciliation
M. Z
ASADZINSKI,M . D
AROUACHC.R.A.N., C.N.R.S., U.A. 821 Université de Nancy I
I.U.T. de Longwy, route de Romain 54400 Longwy, FRANCE
Rubrique : Traitement du signal
Titre courant : Estimation de l'état des systèmes singuliers
R é s u m é /A b s t r a c t
Dans cet article, les auteurs proposent un nouvel algorithme d'estimation de l'état des systèmes singuliers décrits par une équation du type E Xk + 1 - B Xk = 0 où E peut être rectangulaire et le faisceau de matrices (sE - B) singulier. Les conditions de convergence et de stabilité de l'algorithme sont données. Une application à la validation des données est présentée. Dans ce cas, les conditions de convergence et de stabilité sont vérifiées.
In this paper we present a new state estimation algorithm for a class of singular systems described by the equation E Xk + 1 - B Xk = 0 where E can be rectangular and (sE - B) singular matrix pencil. Convergence and stability conditions of the algorithm are given. An application to data reconciliation is presented with convergence and stability conditions v e r i f i e d .
Mots clés/K e y w o r d s
Systèmes singuliers ; estimation de l'état ; fractions continuées matricielles ; conditions de convergence et de stabilité; validation des données.
Singular systems ; state estimation ; matrix continued fractions ; convergence and stability conditions ; data reconciliation.
I. Introduction
La validation de données se propose, à partir des équations de bilan d'un procédé, de corriger les mesures prises sur celui-ci et de fournir à l'opérateur des données fiables obéissant aux lois physiques de conservation de la matière et de l'énergie, afin d'améliorer la commande, l'identification et le diagnostic de ce processus. La plupart des travaux sur la validation de données concernent les équations de bilan, linéaires ou non, dans le cas statique (Hlavacek (1977), Mah (1981), Tamhane et Mah (1985) et Mah (1987), Ragot et al.
(1990)). Mais en pratique, le point de fonctionnement change continuellement et le régime statique est rarement atteint.
Un système en régime quasi-statique, décrit par un modèle algébrique, une équation de mesures et une équation de transition, définie par une promenade aléatoire, a été traité par Stanley et Mah (1977) en appliquant le filtre de Kalman. Darouach et al. (1988) ont proposé un algorithme basé sur le filtre de Kalman et sur l'adjonction de contraintes. Almasy (1989 et 1990) présente les équations de bilans dynamiques sous la forme d'une équation d'état standard où les entrées et les sorties sont décrites par une promenade aléatoire. Cette approche ramène la validation de données à un filtrage de Kalman comme pour les systèmes q u a s i - s t a t i q u e s .
Gertler et Almasy (1973) décrivent les relations de bilan dynamiques avec un modèle entrées-sorties. Pour cette représentation, Gertler (1979) a montré que la solution optimale est très complexe et propose une approche sous-optimale.
Dans cet article, les auteurs montrent que l'équation différentielle matricielle régissant les bilans dynamiques linéaires se discrétise sous la forme d'un système singulier. Cette modélisation permet de garder la dynamique du système et les lois de conservation exprimées par les bilans. Nous obtenons ainsi une équation d'état singulière sous-déterminée et non bruitée (les relations de bilan correspondent à des lois de conservation exactes) ainsi qu'une équation de mesures bruitée (Zasadzinski (1990a)).
Les systèmes singuliers ont été introduits pour décrire la dynamique de certains sytèmes linéaires pour lesquels la représentation d'état standard n'est pas applicable (Luenberger (1977 et 1978), Verghese et al. (1981), Campbell (1980 et 1982), Cobb (1984), Lewis (1986), Nikoukhah et al. (1987), Nikoukhah (1988) et Dai (1989a)). La plupart des auteurs ont abordé l'étude de ces systèmes en vue de leur commande (voir notamment Bender et Laub (1987a et b), Wang (1988), Dai (1989a et b) et Bernhard et al. (1990)).
Par contre peu d'auteurs ont abordé le problème du filtrage de ces systèmes. Ils se sont intéressés au cas où l'équation d'état singulière est discrète et bruitée. Le faisceau de matrices associé au système étant régulier, Dai (1989a et b) transforme le problème de filtrage des systèmes singuliers causaux et observables en un problème équivalent pour un système non singulier. En considérant des conditions limites aux deux bouts, Nikoukhah (1988 et 1989) propose un algorithme de lissage des systèmes singuliers dont le faisceau de matrices associé est régulier, la causalité et l'observabilité n'étant pas requises. Le lissage des systèmes singuliers est aussi abordé par Wang (1988) et Zasadzinski (1990b). Wang (1988) propose une extension du filtre de Kalman pour des systèmes singuliers causaux et discrets dont le faisceau de matrices associé peut être singulier et dont les matrices d'état peuvent être rectangulaires. De plus, Nikoukhah (1990) et Zasadzinski (1990b) ont développé une généralisation du filtre de Kalman pour ces mêmes systèmes, sans l'hypothèse de causalité.
Dans le cas de la validation de données des systèmes dynamiques, l'équation d'état n'est pas bruitée et décrit la dynamique d'une classe de systèmes singuliers (rectangulaires ou carrés) dont toutes les variables sont mesurées. Nous présentons dans cet article un algorithme d'estimation de l'état (filtrage et lissage) pour ces systèmes, le faisceau de matrices associé devant être surjectif.
Dans un premier temps, une solution optimale récursive de l'estimation au sens des moindres carrés est proposée. Ensuite les conditions de convergence et de stabilité du filtre
obtenu sont énoncées. L'application des systèmes singuliers aux bilans dynamiques permet de montrer que, dans ce cas, la convergence et la stabilité de l'algorithme sont garanties. Une simulation numérique illustre cette application.
II. Estimation de l'état des systèmes singuliers
Nous considérons un système singulier discret décrit par l'équation
E Xi+1 = B Xi ( 1 )
où Xi représente un vecteur (p,1) des valeurs vraies de l'état X à l'instant iT, E et B sont des matrices (n,p) avec n ≤ p (E est singulière si n = p). Nous supposons que les mesures sont entachées d'erreurs par un bruit additif
ε
i gaussien, centré et de variance V > 0 connue, toutes les variables d'état étant directement mesuréesZi = Xi +
ε
i ( 2 )où Zi est le vecteur (p,1) représentant la mesure de Xi. Nous posons Z = (Zi), X = (Xi),
ε
= (ε
i) etν
=
V 0 . . 0
. . . . . . . 0 V 0 . . . 0 V
pour i = 1 à k+1. Les équations (1) et (2) deviennent pour k+1 mesures
Φ
X = 0 ( 3 )Z = X +
ε
( 4 )o ù
Φ
=
B -E 0 . . . 0
0 B -E 0 . . 0 . . . . 0 . . . 0 B -E
( 5 )
est une matrice de dimension (kn,(k+1)p).
La résolution du problème de l'estimation de l'état du système singulier dynamique (1) et (2) peut être dérivée des algorithmes de la validation de données statique (Ragot et al. (1990)).
Le problème revient à minimiser J = 1
2 (X^
- Z)T
ν
-1( X^ -Z)T ( 6 )s o u s
Φ
X^ = 0 X^est donné par la relation X^
= (I -
ν Φ
TR-1Φ
) Z ( 7 )a v e c
R = (
Φ ν Φ
T) ( 8 )La matrice symmétrique R doit toujours être définie positive, donc, d'après (8),
Φ
doit être surjective quel que soit le nombre d'observations. D'après Gantmacher (1959), les lignes du faisceau de matrices (sE - B) sont linéairement liées s'il existe un vecteur ligne x non nul tel q u ex (sE - B) = 0 ( 9 )
où s est un nombre complexe et où x peut toujours s'écrire comme un polynôme fini en s x(s) = x0 - s x1 + s2 x2 - ... + (-1)j sj xj (xj ≠ 0) ( 1 0 ) où j est l'indice minimal tel que xj soit non nul. En substituant (10) dans (9) et en égalant à zéro les coefficients des puissances de s, on obtient l'équation suivante
(
x0 . . . xj)
Mj = 0 ( 1 1 )où Mj correspond à la matrice formée par les (j+1).n premières lignes de la matrice
Φ
. Mj, doncΦ
, est surjective quel que soit j entier si et seulement si le faisceau de matrices (sE - B) est surjectif (le rang d'un faisceau de matrices est égal à l'ordre du plus grand mineur de ce f a i s c e a u ) .En s'appuyant sur l'algorithme de validation de données statique avec additions de contraintes linéaires (Darouach (1989)), le faisceau de matrices (sE - B) étant surjectif, nous obtenons, pour (k+1) observations, l'algorithme récursif suivant
Pk+1 = I -
Σ
kΦ
Tk+1(Φ
k+1Σ
kΦ
Tk + 1)-1Φ
k + 1 ( 1 2 )Σ
k+1 = Pk+1Σ
k ( 1 3 )X^
k+1 = Pk+1
X
^ k
Zk+1 ( 1 4 )
a v e c
Φ
=
Φ
2
Φ
k+1: ( 1 5 )Φ
i =(
0 . . 0 B -E 0 . . 0)
( 1 6 )X^ k+1 =
X^ 1 / k
: X^
k / k Zk+1
( 1 7 )
e t
Σ
k+1 = E[(X^k - Xk)(X^k - Xk)T] ( 1 8 )
L'algorithme (12)-(14) est initialisé par
Σ
1 =ν
( 1 9 )X^ 1 =
Z1: Zk+1
( 2 0 )
Σ
k peut se décomposer ainsiΣ
k =
Σ
1 1k ..Σ
1 kk 0 .. .. .. ..Σ
k 1k ..Σ
k kk 0 0 .. 0 V( 2 1 )
où
Σ
kij est le bloc (i,j) de dimension (p,p). Avec ces notations, nous avonsΩ
k- 1 =Φ
k+1Σ
kΦ
Tk+1 =(
0 . . 0 B -E)
Σ
1kk BT
:
Σ
kkk BT-VET
= B
Σ
kkk BT + EVET ( 2 2 )La substitution des équations (16), (21) et (22) dans les équations (12) et (13) donne la r e l a t i o n
Pk+1 =
I 0 . 0 -
Σ
1kk BTΩ
kBΣ
1kk BTΩ
kE. . . .
0 . 0 I -
Σ
k(k-1)kBTΩ
kBΣ
(k-1)kk BTΩ
kE 0 . . 0 I-Σ
kkk BTΩ
kBΣ
kkk BTΩ
kE 0 . . 0 VETΩ
kB I-VETΩ
kE( 2 3 )
On peut remarquer que le calcul de
Ω
k et de Pk + 1 ne nécessite que la connaissance des p dernières colonnes deΣ
k. Des expressions (13) et (23), on déduit les p dernières colonnes deΣ
k+1.
Σ
1 ( k + 1 )k + 1
:
Σ
k ( k + 1 )k + 1Σ
( k + 1 ) ( k + 1 )k + 1 =
Σ
1kk BTΩ
kEV
:
Σ
kkk BTΩ
kEV V-VETΩ
kEV( 2 4 )
En notant X^
j / k l'estimation de l'état à l'instant j basée sur la connaissance des mesures Z1, Z2, ... , Zk, les équations (17) et (22)-(24) permettent de formuler l'algorithme suivant pour estimer récursivement l'état, le faisceau de matrices (sE - B) étant surjectif
- f i l t r a g e
X^
k+1/k+1 = V ET
Ω
k B X^k/k + (I - V ETΩ
k E) Zk + 1 ( 2 5 )Σ
(k+1)(k+1)k + 1 = V - V ETΩ
k E V ( 2 6 )Ω
k+1 = (BΣ
(k+1)(k+1)k+1 BT + E V ET)- 1 ( 2 7 )- lissage (j < k)
X^
j/k+1 = X^
j/k -
Σ
jkkBTΩ
k (B X^k/k - E Zk+1) ( 2 8 )Σ
j(k+1)k + 1 =Σ
jkk BTΩ
k E V ( 2 9 )Les équations (19) et (20) fournissent l'initialisation de l'algorithme
Σ
111 = V > 0 ( 3 0 )X^
1/1 = Z1 ( 3 1 )
Les formules (25)-(29) fournissent un estimateur au sens des moindres carrés. Il est donc non biaisé et à variance minimale.
Σ
kk k est la matrice de covariance de X^k / k. La matrice de covariance de la séquence (B X^
k/k - E Zk + 1) est
Γ
k =Ω
k- 1 = BΣ
kkk BT + EVET. X^j / k est l'estimation de Xj connaissant les mesures jusqu'à l'instant k.
Deux versions factorisées de cet algorithme, basées sur l'évolution de la racine carrée de la matrice de covariance de X^
k / k, ont été proposées (Zasadzinski (1990a et b)).
III. Analyse de la convergence et de la stabilité de l ' a l g o r i t h m e
Dans cette section, nous allons étudier la convergence et la stabilité du filtre donné par les équations (25)-(29). La matrice de transition du filtre,
Ψ
k = VETΩ
kB, est une fonction de la séquenceΩ
k (25). Le nouvel estimé X^j/k+1 est donné par l'estimé précédent X^
j/k plus un résidu pondéré des mesures (B X^
k / k - E Zk + 1) (28). Si la séquence
Σ
kj k converge vers zéro lorsque k croît, il n'y a pas de changement significatif dans le nouvel estimé X^j / k + 1. Ceci implique que la mémoire du filtre est limitée et donc que l'estimé X^
j/k+1 peut être calculé avec un nombre fixé de mesures.
L'équation (29) peut être réécrite comme une équation aux différences
Yk+1 =
Ψ
kYk ( 3 2 )a v e c
YTk =
Σ
jkk etΨ
k = VETΩ
kB.Les équations (25) et (32) montrent que la stabilité du filtre implique la convergence vers zéro de la séquence
Σ
kj k lorsque k croît. Cette stabilité est donnée par le théorème suivant (Willems (1970)).Théorème 1
Si
Ψ
k est bornée quel que soit k, alors la solution nulle du système (32) est uniformément asymptotiquement stable si et seulement s'il existe une fonction de Lyapunov non stationnaire, décroissante et définie positive, dont la différence le long des solutions del'équation (32) est donnée par une forme quadratique décroissante, non stationnaire et
définie négative. ❑
Pour étudier la stabilité du filtre, il faut étudier préalablement les propriétés asymptotiques des séquences
Σ
k kk ouΩ
k. A partir des équations (26) et (27), la séquenceΓ
k est donnée parΓ
k+1 = S - CΓ
k-1 CT = S - C(S - C( ... (S - CΓ
1-1CT)-1 ... )-1CT)-1CT ( 3 3 ) o ùΓ
1 = S = BVBT + EVET et C = BVET.Hallin (1984 et 1989) énonce le théorème suivant.
Théorème 2
Une fraction continuée matricielle définie positive est donnée par l'expression F
F = S0 - C0(S1 - C1(S2 - C2( ... )-1CT2)-1CT1)-1CT0 ( 3 4 ) Son approximant Fk s'écrit
Fk = S0 - C0(S1 - C1( ... Ck-1Sk- 1Ck-1T ... )-1CT1)-1CT0 ( 3 5 ) ( i ) tous les approximants Fk sont définis positifs.
Si, de plus, la matrice C est inversible, on a ( i i ) la suite des Fk est décroissante et monotone, ( i i i ) la limite F = l i m
k→ ∞Fk existe et est semi-définie positive, ( i v ) la fraction continuée définie positive
S1 - C1(S2 - C2( ... )-1CT2)-1CT1 ( 3 6 ) satisfait également à (i), (ii) et (iii). De plus, elle converge vers une matrice définie
p o s i t i v e . ❑
Le théorème 2 nous permet de déduire que la covariance de la séquence (B X^
k / k - E Zk + 1) ,
Γ
k, constitue une série monotone décroissante qui converge versΓ
, définie positive si l'équation (33) représente une fraction continuée définie positive. Une fraction continuée est définie positive si et seulement si la matrice R associée est définie positive (Hallin 1984 et 1989), oùR =
S0 C0 0 0 . . C0T S1 C1 0 . . 0 C1T S2 C2 . . 0 0 C2T S3 . . . . . . . . . .
( 3 7 )
Nous avons vu, dans la section 2, que la matrice R est toujours définie positive si et seulement si le faisceau de matrice (sE - B) est surjectif, ce qui est le cas. Nous pouvons alors formuler le théorème suivant.
Théorème 3
La séquence
Γ
k (33) constitue une fraction continuée définie positive et converge, de façon monotone et décroissante, vers la matriceΓ
définie positive si et seulement si le faisceau de matrices (sE - B) est surjectif et la matrice C inversible. ❑A partir de l'équation (27), le théorème 3 permet de démontrer que, si le faisceau de matrices (sE - B) est surjectif et la matrice C inversible, alors les
Ω
k forment une série monotone croissante qui converge versΩ
et lesΣ
kk k constituent une série monotone décroissante qui converge versΣ
.Ω
etΣ
sont définies positives.IV. Application à la validation de données des systèmes d y n a m i q u e s
IV . 1 . F
ORMULATION DU PROBLEMEConsidérons un système linéaire invariant représenté par un réseau de transport de matière constitué de n nœuds et de v voies, les équations de bilan matière en régime dynamique peuvent s'écrire ainsi
d W ( t )
d t = M Q(t) ( 3 8 )
où W(t) est le vecteur (n,1) des stocks à l'instant t, d W ( t )
d t est l'accumulation totale de masse à l'instant t, Q(t) est le vecteur (v,1) des flux à l'instant t et M est la matrice d'incidence (n,v) du réseau dont le rang est égal à n (les contraintes de bilan sont linéairement indépendantes).
Si nous approximons au premier ordre le modèle (38), nous obtenons un modèle discret
Wi+1 - Wi = M Qi+1 ( 3 9 )
où Wi et Qi représentent les valeurs de W(t) et de Q(t) à l'instant iT. Cette équation peut s'exprimer avec le formalisme de l'équation (1) en posant Xi =
WiQi , E =
(
I | - M et B =) (
I | 0 .)
La matrice V de covariance des erreurs de mesure est
V =
VW 00 VQ ( 4 0 )
où VW et VQ sont les matrices de covariance des erreurs de mesure de W et Q respectivement.
La matrice de covariance des erreurs d'estimation peut s'écrire
Σ
kkk =
Σ
WkΣ
WQk T
Σ
WQkΣ
Qk ( 4 1 )où
Σ
kW etΣ
kQ sont les matrices de covariance des estimés W^k / k et Q^
k / k respectivement et
Σ
kWQ est la matrice de covariance entre W^k / k e t Q^
k / k. Avec ces notations, les relations (25)-(29) d e v i e n n e n t
X^
k+1/k+1 =
W^
k + 1 / k + 1 Q^
k + 1 / k + 1 =
(I-VW
Ω
k)Wk+1 + VWΩ
kM Qk+1 + VWΩ
kW^
k / k (I-VQMT
Ω
kM)Qk+1 + VQMTΩ
kWk+1 - VQMTΩ
kW^k / k
( 4 2 )
Σ
(k+1)(k+1)k + 1 =
VW-VWΩ
kVW VWΩ
kMVQVQMT
Ω
kVW VQ-VQMTΩ
kMVQ ( 4 3 )Ω
k+1 = (Σ
Wk+1 + VW + MVQMT)-1 ( 4 4 )X^
j/k+1 =
W^
j / k + 1 Q^
j / k + 1 =
W^
j / k Q^
j / k
+
Σ
jkk
Ω
kWk+1 -Ω
kM Qk+1 -Ω
kW^
k / k
0 ( 4 5 )
Σ
j(k+1)k + 1 =Σ
jkk
Ω
kVW -Ω
kMVQ0 0 ( 4 6 )
IV . 2 . C
ONVERGENCE DE LA SEQUENCEΣ
k kkLes matrices E =
(
I | - M et B =) (
I | 0 étant surjectives, le faisceau de matrices (sE - B). La)
matrice C de l'équation (33) est régulière (C = VW > 0). Le théorème 3 garantit que la covariance de l'erreur d'estimation,
Σ
kk k (43), et la covariance de la séquence (B X^k / k - E Zk+1),
Γ
k =Ω
k-1 (44), forment deux suites décroissantes et monotones qui convergent vers des matrices symétriques définies positives.IV . 3 . C
ONVERGENCE DE LA SEQUENCEΣ
jkk (j < k) ET STABILITE DU FILTRELa convergences des séquences
Σ
kk k etΩ
k étant garantie pour la validation de données des systèmes linéaires dynamiques, la stabilité du filtre et la convergence de la séquenceΣ
kj k, en s'appuyant sur les équations (25) et (32) et sur le théorème 1, sont réduites aux conditions s u i v a n t e s-
Ψ
k doit être bornée,- l'existence d'une fonction de Lyapunov.
La matrice
Ψ
intervenant dans l'équation (32) s'écritΨ
k =
VWΩ
k 0-VQMT
Ω
k 0 ( 4 7 )Son rayon spectral est donné par celui de (VW
Ω
k). En utilisant l'expression (44), nous a v o n sVW
Ω
k = VW (Σ
Wk + VW + MVQMT)-1 ( 4 8 )La matrice
Σ
kW étant définie positive, nous avonsΣ
Wk + VW + MVQMT > VW ( 4 9 )L'inégalité (49) permet de déduire (Horn et Johnson (1990) p 471)
ρ(VW
Ω
k) < 1 ( 5 0 )Le rayon spectral de
Ψ
k étant inférieur à 1, la séquenceΨ
k est bornée.Pour compléter cette démonstration, nous prenons comme fonction de Lyapunov
L(xk) = xTk V-1 xk ( 5 1 )
nous allons démontrer que (L(xk + 1) - L(xk)) est négative. Cette différence est donnée par (L(xk+1) - L(xk)) = xTk(
Ψ
TkV-1Ψ
k - V-1) xk = xTkC xk ( 5 2 ) Nous devons maintenant prouver que la matrice C est définie négative. En substituant l'équation (47) dans l'équation (52) nous obtenonsC =
C1 00 - VQ- 1 ( 5 3 )
a v e c
C1 =
Ω
k[VW + MVQMT -Ω
k-1V
W-1Ω
k-1] ( 5 4 ) Avec l'expression (44), nous avonsΩ
k-1V
W-1Ω
k-1 = VW + MVQMT + G ( 5 5 )où G est une matrice symétrique définie positive. La substitution de l'équation (55) dans l'équation (54) donne C1 < 0. La matrice C (53) est donc définie négative.
V. Exemple numérique
Comme exemple, nous considérons un système représenté par un réseau de transport de matière (figure 1).
1 2 3 4 5
8 7
6
I II III IV
figure 1 : réseau de transport de matière
Ce système est formé de 8 voies et de 4 nœuds. Sa matrice d'incidence est
M =
1 - 1 0 0 0 1 0 0
0 1 - 1 0 0 0 1 - 1 0 0 1 - 1 0 - 1 0 0 0 0 0 1 - 1 0 - 1 0
Les mesures sont générées à partir des vraies valeurs, obéissant aux relations de bilan, en leur additionnant des bruits gaussiens, centrés, de matrices de variance VW et VQ égales à
VW =
100 0 0 0
0 4 9 0 0 0 0 6 4 0 0 0 0 8 1
VQ =
0.64 0 0 0 0 0 0 0
0 3 6 0 0 0 0 0 0
0 0 2 5 0 0 0 0 0
0 0 0 0.49 0 0 0 0
0 0 0 0 0.25 0 0 0
0 0 0 0 0 0.01 0 0
0 0 0 0 0 0 0.0081 0
0 0 0 0 0 0 0 0.0121
Les trois courbes de la figure 2 représentent les résultats numériques obtenus pendant 40 périodes d'échantillonnage pour l'évolution des stocks du nœud 1. Les mesures sont notées W 1j (j = 1 à 40). Les W^
1 k / k désignent les estimations de ces stocks à chaque période d'échantillonnage en prenant en compte toutes les mesures connues à cette période. Les W^
1j/40 correspondent aux estimations de ces stocks à chaque période d'échantillonnage en considérant l'ensemble des mesures effectuées pendant toutes ces périodes (ici 40). Il s'agit, dans ce cas, d'un lissage des mesures. Les évolutions des stocks des nœuds 3 et 4 et des flux de la voie 2 sont décrites d'une façon similaire dans les figures 3, 4 et 5. Pour les flux, la lettre Q remplace la lettre W.
Les normes ||
Σ
k kk || et ||Σ
kj k|| (la plus grande valeur singulière) caractérisent la convergence de l'algorithme.La figure 6 montre l'évolution de la norme ||
Σ
kk k||. La convergence de cette norme vers 54.21 est décroissante et monotone. La courbe de la figure 6 en illustre la rapidité : à partir de k = 4, ||Σ
(k+1)(k+1)k + 1 || - ||Σ
kk k|| < 1 et dès que k = 19, ||Σ
k + 1( k + 1 ) ( k + 1 )|| - ||Σ
kk k|| < 0.01. kc étant l'instantoù le seuil de convergence est atteint, pour k > kc, l'algorithme est réduit aux équations (42), (45) et (46).
L'évolution de la norme ||
Σ
kj k|| est représentée par les courbes de la figure 7 pour j = 1, 5, 10, 15, 20, 25, 30 et 35. La séquenceΣ
kj k est initialisée parΣ
jjj, k variant de j à 40. Ces courbes mettent en évidence le parallélisme de l'évolution de ces normes, de ||Σ
kkcckc|| (ici 54.21) vers zéro, la convergence vers zéro étant garantie dans le cas de la validation de données.
kf étant le nombre d'unités de temps requises pour que la séquence
Σ
kj k évolue deΣ
kkcckc vers zéro, l'estimation de W et de Q, pour j < k (c'est-à-dire le lissage), peut être calculée sur une fenêtre mobile de largeur kf. Ainsi, l'algorithme d'estimation est réduit aux équations (42) et (45).
VI. Conclusion
Nous avons présenté un nouvel algorithme d'estimation de l'état pour une classe de systèmes singuliers décrits par des modèles déterministes. Les conditions de convergence et de stabilité ont été établies. Les résultats obtenus ont été appliqués à la validation des données des systèmes dynamiques linéaires. Dans ce cas, les conditions de convergence et de stabilité sont vérifiées.
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