[PDF] Guide pour apprendre à faire des calcules avec le logiciel Matlab | Cours informatique

Table des matières

1 Introduction 1

1.1 Workspace de Matlab . . . 1

1.2 Les nombres en Matlab . . . 3

1.3 Simple et double précision . . . 5

1.3.1 Annulation . . . 5

2 Les fonctions 7 2.1 Fonction inline et anonymous . . . 8

2.2 Vecteurs et matrices . . . 9

2.2.1 Vecteurs . . . 9

2.2.2 Matrices . . . 11

2.3 Instructions conditionnelles, boucle for et boucle while . . . . 13

2.3.1 Instruction conditionnelle simple . . . 13

2.3.2 Instruction conditionnelle alternative . . . 14

2.3.3 Boucle for . . . 14

2.3.4 Boucle while . . . 15

2.3.5 Expressions logiques . . . 15

2.4 Plot . . . 16

1

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Introduction

MATLAB ("MATrix LABoratory") est un environnement de dévelope-ment utilisé en calcul numérique et en statistique. Il est développé par la société Mathworks.

Le but de cette introduction est de donner certaines bases pour créer quelques simples programmes numerique.

Le lecteur qui ne veut pas utiliser MATLAB peut utiliser l’alternative OC-TAVE, un environnement numérique qui est très similaire à MATLAB et qui peut utiliser les mêmes programmes sans avoir de grands problèmes de syntaxe.

Pour en savoir d’avantage sur OCTAVE on peut consulter le site : https://octave.sourceforge.io/.

Il y a aussi un guide (en anglais) pour MATLAB sur le site de Mathworks : https://ch.mathworks.com/moler/chapters.html.

1.1

Workspace de Matlab

1 >>a=5;

Ici Matlab a assigné la valeur 5 à la variable a et, puisque nous avons placé le symbole " ;" il ne va rien afficher.

Si nous écrivons la même chose sans le point-virgule, il va afficher la valeur assigné à la variable.

1 >>a=5

2 a =

3 5

4 >>

Mais nous pouvons aussi écrire plusieures choses à la fois sur la même ligne :

1 >>a=5; b=pi; a+b

2 ans = 3 8.1416

Il est possible d’utiliser les opérations arithmetiques des nombres — + : addition ;

— - : soustraction ; — * : multiplication ; — / : division ; — ∧ : exponentation.

Il y a aussi beaucoup d’autres fonctions standards : — abs : valeur absolue ;

— sin : sinus ; — cos : cosinus ; — tan : tangente ; — cot : cotangente ; — asin : arc sinus ; — acos : arc cosinus ; — atan : arc tangente ; — sinh : sinus hyperbolique ; — cosh : cosinus hyperbolique ; — tanh : tangente hyperbolique ; — sqrt : racine carrée ;

— exp : exponentielle ; — log2 : logarithme de base 2 ; — log10 : logarithme de base 10 ; — log : logarithme naturel ;

— fix : arrondi à l’entier le plus proche de 0 ; — round : arrondi au plus proche entier ; — floor : arrondi au plus grand entier inférieur ; — ceil : arrondi au plus petit entiere supérieur ; — sign : signe ;

— rem : reste de la division ; Et autres encore !

Si on a besoin d’une fonction, mais qu’on ne sait pas si cette fonction existe sur Matlab et si oui, quel est le nome de la fonction, on peut faire une re-cherche Google !

Si par contre on connaît le noms d’une fonction mais qu’on ne sait pas ce que va faire cette fonction, il est possible d’utiliser help

Exemple : nous ne savons pas ce que fait la fonction floor. En écrivant help floor, on obtient

1 >> help floor

2 floor Round towards minus infinity.

3 floor(X) rounds the elements of X to the nearest integers

4 towards minus infinity.

5

6 See also round, ceil, fix.

7

8 Reference page for floor

1.2. LES NOMBRES EN MATLAB 3

Ou, on peut aussi écrire la commande floor et appuyer F1 sur le clavier.

1.2

Les nombres en Matlab

MATLAB utilise une représentation numérique en double précision (i.e. avec 64 bit), en suivant la norme IEEE floating point.

Les nombres qui peuvent être représentés sont donc dans un intervalle [realmin, realmax] et nous pouvons aussi voir quels sont ces nombres sur MATLAB.

Si nous utilisons les commandes realmin et realmin dans la workspace, on obtient : 1 >>realmin 2 ans= 3 2.2251e-308 4 >>realmax 5 ans= 6 1.7977e+308

Une chose qui est importante sur MATLAB est la précision de la machine, c’est-à-dire la valeur  (eps sur MATLAB) tel que si x ∈ [realmin, realmax] nous avons que la répresentation de x dans la machine, f l(x), est telle que

f l(x) = x(1 + δ) |δ| ≤  ou

x − f l(x)

x = δ |δ| ≤ .

Sur MATLAB cet  est

1 >>eps

2 ans=

3 2.2204e-16

On peut voir cela en calculant sin(π), car nous avons

1 >>sin(pi) 2 ans=

3 1.2246e-16

et donc on a effectivement 0.

Les cas intéresssants se produisent quand nous sortons de l’intervalle [realmin, realmax], c’est-à-dire les situations de overflow et underflow. Nous avons, par exemple,

Exemple : Prenons a = 1.0e+308, b = 1.1e+308 et c = −1.001e+308, et effectuons la somme de deux manières différentes.

On obtient : 1 _{>> a=1.0*10^(308); b=1.1*10^(308); c=-1.001*10^(308);} 2 >> (a+b)+c 3 ans = 4 Inf 5 >> a+(b+c) 6 ans = 7 1.0990e+308 8 >>

D’autres grandeurs importantes sur MATLAB sont la valeur pi (π),Inf (Infinity), NaN (Not A Number).

1 >>43/0 2 ans= 3 Inf 4 >>0/0 5 ans= 6 NaN 7 >>pi 8 ans= 9 3.1416

On peut noter que pi est écrit comme 3.1416, la raison étant que MAT-LAB a différents formats d’affichage des nombres.

Il y a les formats suivants :

— format short : représentation en notation décimale avec 4 chiffres après la virgule

— format short e : représentation en notation exponentielle avec 4 chiffres après la virgule

— format short g : le meilleur des deux précédents

— format long : représentation en notation decimale avec 15 chiffres après la virgule avec double précision, et 7 avec simple précision — format long e : représentation en notation exponentielle avec 15

chiffres après la virgule avec double précision, et 7 avec simple pré-cision

— format long g : le meilleur des deux précédentes Exemple :

1 >>format short

2 >>pi

3 ans=

1.3. SIMPLE ET DOUBLE PRÉCISION 5 5 >>format short e 6 >>pi 7 ans= 8 3.1416e+00 9 >>format short g 10 >>pi 11 ans= 12 3.1416 13 >>format long 14 >>pi 15 ans= 16 3.141592653589793 17 >>format long e 18 >>pi 19 ans= 20 3.141592653589793e+00 21 >>format long g 22 >>pi 23 ans= 24 3.14159265358979

1.3

Simple et double précision

Généralement on n’utilise pas la simple précision, mais il se peut que l’on ait besoin d’écrire un nombre en simple précision. Sur Matlab, il est pos-sible d’imposer cette précision avec la commande single

1 >>format long e 2 >> pi 3 ans = 4 3.141592653589793e+00 5 >>single(pi) 6 ans = 7 single 8 3.1415927e+00 9 >> pi-single(pi) 10 ans = 11 single 12 -8.7422777e-08

Pour retourner à l’utilisation de la double précision, il faut utiliser la com-mande double.

1.3.1 Annulation

Un ordinateur va arrondir les nombres quand il fait la somme, c’est-à-dire, quand nous prenons la somme de x et y, il va faire la chose suivante

Donc les nombres sont arrondis automatiquement une première fois, en-suite la somme est prise et finalement le résultat est encore une fois ar-rondi.

Ce processus peut avoir des effets surprenants. Exemple : on considère x = 0.1234 · 10−2 et on pose

((1 + x) − 1) x Nous obtenons alors

1 _{>> x=0.1234*10^(-2);} 2 >> format long e

3 >> ((1+x)-1)/x 4 ans =

5 9.999999999999654e-01

Donc nous avons une situation d’annulation si nous calculons ((1+x)−1)_x − 1.

1 >> ((1+x)-1)/x-1 2 ans =

2

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Les fonctions

Sur Matlab, il est possible de définir des fonctions. Pour cela, il est néces-saire d’ouvrir l’éditeur de Matlab, de créer un fichier et de l’enregistrer avec l’extension .m.

Exemple : si nous voulons écrire une fonction qui fournit le numéro succes-sif de la suite des nombres, on peut écrire la chose suivante :

1 function y=plusun(x)

2 y=x+1; %je definis l'output comme le nombre suivant

3 end

La structure d’une function sur Matlab est la suivante

1 function [OUTPUT]=plusun(INPUT) 2 ...

3 corps de la fonction ou je vais donner un valeur a tout les ...

outputs

4 ...

5 end

Évidemment, il est nécessaire de donner une valeur à toutes les variables dans l’output, sinon Matlab va signaler une erreur.

Par exemple :

1 function y=plusun(x)

2 z=x+1; %je definis l'output comme le nombre suivant

3 end

Si maintenat, on essaye d’utiliser cette fonction, on obtient

1 >> s=plusun(3)

2 Output argument "y" (and maybe others) not assigned during ...

call to "plusun".

3 4 >>

Pour certaines fonctions, il est necessaire qu’une personne interagisse avec l’ordinateur en donnant en input un nombre ou autres.

Pour faire cela, nous avons besoin de la fonction input. La fonction input prend en entrée une chaîne optionnelle. Exemple :

1 >> s=input('Mettre quelque chose dans s: \n')

2 Mettre quelque chose dans s:

La chaîne est le texte alphanumérique entre deux apostrophes ’. Le sym-bole \n est l’ordre d’aller "à la ligne".

Après la commande input permet d’écrire un nombre qui va être enregistré dans la variable s.

1 >> s=input('Mettre quelque chose dans s: \n')

2 Mettre quelque chose dans s:

3 1 4 5 s = 6 7 1 8 >>

Attention ! Ne pas utiliser une fonction pour des ordres trop simples, parce que si vous pouvez écrire la fonction en une ligne il n’y a pas besoin de créer un nouveau fichier .m .

Créer un ficher .m pour utiliser une fonction est comme avoir une boîte qu’il faut ouvrir à chaque fois que l’on veut utiliser cette fonction. Si l’on commence à créer trop de boîtes que MATLAB va devoir ouvrir succes-sivement, on perd du temps. Parfois, il est nécessaire de faire recours à cette méthode, mais souvent quand on utilise des fonctions simples, il vaut mieux l’écrire directement.

2.1

Fonction inline et anonymous

Si nous voulons écrire une fonction mathématique sur Matlab d’une ou plusieres variables, nous pouvons utiliser les fonctions anonymous ou in-line.

Elles sont plus flexibles que les fonctions à fichier .m car il est possible d’utiliser d’autres fonctions Matlab en même temps, alors que cela n’est pas possible avec les fichiers .m . De plus, à choisir entre les deux, Matlab préfère les fonctions anonymous.

2.2. VECTEURS ET MATRICES 9

1 >> f=inline('expression','variable1','variable2', ..)

Quant à elle, la structure d’une fonction anonymous est

1 >> f=@(variable1,variable2, ..) expression

Exemple : La fonction f (x) = sin(x) + 2

1 >> f1=inline('sin(x)+2','x');

2 >> f2=@(x) sin(x)+2;

Ici, f 1 et f 2 représentent la même chose. Et donc nous pouvons calculer f (π) = 2 comme ça : 1 >> f1(pi) 2 ans = 3 2 4 >> f2(pi) 5 ans = 6 2 7 >>

On peut aussi utiliser la fonction feval

1 >> feval(f1,pi) 2 ans = 3 2 4 >> feval(f2,pi) 5 ans = 6 2 7 >>

2.2

Vecteurs et matrices

Sur Matlab, un vecteur est représenté par composantes. La syntaxe pour les vecteurs est la suivante :

1 >> v=[1,2,3,4] %vecteur ligne 2 v = 3 1 2 3 4 4 >> v=[1;2;3;4] %vecteur colonne 5 v = 6 1

7 2

8 3

9 4

10 >>

Les composantes sont séparées par des blancs (dangereux), ou par des vir-gules pour les vecteurs lignes et par des points-virvir-gules pour les vecteurs colonnes.

Pour transposer un vecteur on ajoute une apostrophe ’ après à la fin.

1 >> v=[1;2;3;4] %vecteur colonne 2 v = 3 1 4 2 5 3 6 4 7 >> v' 8 ans = 9 1 2 3 4 10 >>

Avec deux vecteurs, il est possible d’utiliser les opérations habituelles.

1 >> v=[1,2,3]; w=[2,3,4]; %deux vecteurs lignes

2 >> v+w % somme

3 ans =

4 3 5 7

5 _{>> v.*w} % produit des composantes terme a terme

6 ans =

7 2 6 12

8 >> v./w % division des composantes terme a terme 9 ans =

10 0.5000 0.6667 0.7500

11 _{>> v*w'} % produit scalaire euclidien

12 ans =

13 20

14 >> v.^2 % mise a la puissance 2 de chaque composante

15 ans =

16 1 4 9

17 >> sum(v) % somme des composantes

18 ans =

19 6

20 >> prod(v) % produit des composantes

21 ans =

22 6

23 >>

Attention : Il est important de faire attention aux dimensions des vec-teurs !

2.2. VECTEURS ET MATRICES 11

1 >> v=[1,2,3]; w=[2,3]; % deux vecteurs ligne de dimensions ... differentes

2 >> v+w

3 Matrix dimensions must agree.

4 >>

Il existe sur Matlab un certain nombre de fonctions prédéfinies spécifique-ment pour les vecteurs.

1 >> v=[1,2,3,4];

2 >> length(v) 3 ans =

4

5 4

L’instruction length donne la longueur du vecteur.

1 >> v(end) 2 ans = 3 4 4 >> v(1) 5 ans = 6 1 7 >>

Pour changer ou voir une composante spécifique, il est nécessaire de spéci-fier la composante entre parenthèses, et si nous avons besoin de la dernière composante on peut utiliser la commande end.

Si nous avons besoin de discrétiser un intervalle [a, b] en n points nous de-vons créer un vecteur avec n nombres dans cet intervalle. Nous ade-vons deux possibilités.

1 >> v=1:0.5:2 % vecteur qui commence par 1 et continue avec ... pas 0.5 jusqu'a 2

2 v =

3 1.0000 1.5000 2.0000

4 >> w=linspace(1,2,3) %vecteur qui commence par 1 et finit a ... 2 avec 3 points distincts

5 w =

6 1.0000 1.5000 2.0000

7 >>

2.2.2 Matrices

Les matrices ont la même syntaxe que les vecteurs : les composantes des lignes sont séparées par des virgules et chaque ligne est séparée de l’autre par un point virgule.

En gros, pour Matlab, les vecteurs sont simplement des matrices avec une colonne ou une ligne.

Pour voir cela on peut utiliser l’instruction size qui nous rend les dimen-sions du vecteur (ou de la matrice).

1 >> A=[1,2;3,4] 2 A = 3 1 2 4 3 4 5 >> v=[1,2] 6 v = 7 1 2 8 >> size(A) 9 ans = 10 2 2 11 >> size(v) 12 ans = 13 1 2 14 >>

Pour les matrices, il y a les mêmes fonctions que pour les vecteurs, mais aussi d’autres.

1 >> A=[1,2;3,4]; B=[2,3;4,5];

2 _{>> A*B} % produit des matrices

3 ans =

4 10 13

5 22 29

6 _{>> A.*B} %produit des matrices composante par composante

7 ans = 8 2 6 9 12 20 10 >> A./B 11 ans = 12 0.5000 0.6667 13 0.7500 0.8000 14 >> A+B 15 ans = 16 3 5 17 7 9

18 >> A.^2 %exponentielle composante par composante

19 ans =

20 1 4

21 9 16

22 >> A^2 _{% A*A produit matricielle}

23 ans =

24 7 10

25 15 22

26 >> diag(A) %vecteur avec les elements diagonals de A

27 ans =

2.3. INSTRUCTIONS CONDITIONNELLES, BOUCLE FOR ET BOUCLE WHILE13

29 4

30 >> C=zeros(2,2) % matrice de dimension 2x2 avec que des 0

31 C =

32 0 0

33 0 0

34 >> D=ones(2,2) % matrice de dimension 2x2 avec que des 1

35 D =

36 1 1

37 1 1

38 >> F=eye(2,2) % matrice identite 2x2 39 F =

40 1 0

41 0 1

42 >> A(1,:) %exctraction de la premiere ligne

43 ans =

44 1 2

45 >>

2.3

Instructions conditionnelles, boucle for et boucle

while

2.3.1 Instruction conditionnelle simple L’instruction conditionnele simple a la forme suivante

1 if <expression logique> 2 <proces>

3 end

Donc, si l’expression logique est vraie, Matlab effectue le processus entre le if et l’end.

Exemple :

1 >> a=5;

2 if(a>0)

3 fprintf('a est positif \n');

4 end

5 a est positif

6 >>

L’instruction fprintf va affichier la chaîne entre parenthèses. Mais si l’expression logique n’est pas vraie, il ne va rien faire.

1 >> a=-5;

2 if(a>0)

3 fprintf('a est positif \n');

5 >>

2.3.2 Instruction conditionnelle alternative La structure est la suivante :

1 if <expression logique>

2 <proces 1> 3 else

4 <proces 2> 5 end

Ici, si l’expression logique est vraie, Matlab effectue le processus 1, sinon il va passer aux processus 2.

Exemple :

1 >> a=-5 2 if(a>0)

3 fprintf('a est positif \n'); 4 else

5 fprintf('a n''est pas positif \n');

6 end

7 a =

8 -5

9 a n'est pas positif

10 >>

Enfin, il est possible d’utiliser plusiers if et else et de creér une instruction conditionnelle multiple.

2.3.3 Boucle for

La boucle for répète un processus en suivant un certain vecteur d’indices. La syntaxe est la suivante.

1 for variable=vecteur 2 <proces> 3 end Exemple : 1 >> s=0; 2 for j=1:10 3 s=s+j; 4 end 5 >>

2.3. INSTRUCTIONS CONDITIONNELLES, BOUCLE FOR ET BOUCLE WHILE15 À la fin la valeur de la variable s est 55, car la boucle for va faire la chose

suivante.

Lors du premier pas, nous avons que j = 1 donc s = 0 + 1. Maintenant s = 1, donc le pas suivant nous avons que j = 2 et s = 1 + 2, et cela va continuer jusqu’à ce que j = 10. Donc s =P10

j=1j.

2.3.4 Boucle while

Contrairement à la boucle for, la boucle while répète un procés du temps qu’une expression logique est vraie. On utilise la syntaxe suivante.

1 while <expression logique>

2 <proces> 3 end Exemple : 1 >> a=4; 2 while(a>0) 3 a=a-1 4 end 5 6 a = 7 3 8 a = 9 2 10 a = 11 1 12 a = 13 0 14 >>

Dans ce cas, tous les pas de la boucle sont affichés, et la boucle va sous-traire 1 de la variable jusqu’à ce que la condition a > 0 est fausse. À ce moment, Matlab va sortir de la boucle.

2.3.5 Expressions logiques

Sur Matlab les expressions logiques sont très importantes.

Elles sont des propositions logiques auxquelles Matlab attribue la valeur 1 quand elles sont vraies et la valeur 0 quand elles sont fausses.

Exemple :

1 >> a=5;

2 >> a==5

3 ans =

5 1 6 >> a==4 7 ans = 8 logical 9 0 10 >>

Il est possible de composer des expressions et de créer des expressions plus compliquées à travers l’utilisation des opérateurs logiques suivants.

— && and — || or — ∼ not

2.4

Plot

Pour effectuer le graphe d’une fonction en deux dimensions, on utilise l’ins-truction plot

Il faut fournir deux vecteurs à l’instruction plot, un pour l’abscisse et un pour l’ordonnée, et une chaîne avec des options graphiques (facultatives) Exemple :

1 >> f=@(x) exp(x).*sin(x); 2 >> x=-5:0.05:5;

3 >> ff=f(x);

4 >> plot(x,ff)

Si nous voulons superposer plusiers graphes, nous pouvons utiliser l’ins-truction hold on.

1 >> x=0:0.05:4; 2 >> f=sin(x); 3 >> plot(x,f,'bd') 4 _{>> f=@(x) exp(x).*sin(x);} 5 >> x=-5:0.05:5; 6 >> ff=f(x); 7 _{>> g=@(x) 0*x;} 8 >> gg=g(x); 9 >> plot(x,ff); 10 hold on; 11 plot(x,gg,'r-');

Pour voir les options graphiques, il suffit d’utiliser l’instruction help de Matlab.

1 >> help plot

2.4. PLOT 17

3 plot(X,Y) plots vector Y versus vector X. If X or Y is ...

a matrix,

4 then the vector is plotted versus the rows or columns ...

of the matrix,

5 whichever line up. If X is a scalar and Y is a vector, ...

disconnected

6 line objects are created and plotted as discrete points ...

vertically at

7 X.

8

9 plot(Y) plots the columns of Y versus their index.

10 If Y is complex, plot(Y) is equivalent to ...

plot(real(Y),imag(Y)).

11 In all other uses of plot, the imaginary part is ignored.

12

13 Various line types, plot symbols and colors may be ...

obtained with

14 plot(X,Y,S) where S is a character string made from one ...

element

15 from any or all the following 3 columns:

16 17 b blue . point - ... solid 18 g green o circle : ... dotted 19 r red x x-mark -. ... dashdot 20 c cyan + plus -- ... dashed 21 m magenta _* star ... (none) no line 22 y yellow s square 23 k black d diamond

24 w white v triangle (down)

25 ^ triangle (up) 26 < triangle (left) 27 > triangle (right) 28 p pentagram 29 h hexagram 30 31 ... 32

33 The X,Y pairs, or X,Y,S triples, can be followed by

34 parameter/value pairs to specify additional properties 35 of the lines. For example, ...

plot(X,Y,'LineWidth',2,'Color',[.6 0 0])

36 will create a plot with a dark red line width of 2 points.

37 38 Example 39 x = -pi:pi/10:pi; 40 y = tan(sin(x)) - sin(tan(x)); 41 plot(x,y,'--rs','LineWidth',2,... 42 'MarkerEdgeColor','k',... 43 'MarkerFaceColor','g',...

44 'MarkerSize',10)

45

46 ...

47 48 >>

Pour faire un graphe de fonctions en trois dimensions, il est nécessaire d’utiliser l’instruction plot3 ou, mesh, ou surf, mais les deux dernières nécéssitent l’indication d’un maillage de l’espace (voir l’instruction mesh-grid ).

I thank Jonathan Wermelinger for helping me to check and correct the French of this small tutorial.

Bibliographie

[1] "Matlab - Un ambiente per il calcolo scientifico"of S. De Marchi, http://www.math.unipd.it/~demarchi/CorsoMatlab/dispense.pdf [2] Postel M. - Introduction au logiciel Matlab https://www.ljll.math.

upmc.fr/postel/matlab/

[3] Notes of the course "Calcolo Numerico" Y.2016-17 of A. Somma-riva, http://www.math.unipd.it/~alvise/DIDATTICA/didattica_ INFO1617.html

[4] A. Quarteroni, F. Saleri P. Gervasio "Calcolo Scientifico - Esercizi e problemi risolti con MATLAB e Octave", Springer 2012

[5] A. Quarteroni, F. Saleri P. Gervasio "Scientific computing with MAT-LAB and Octave", Springer 2016

[6] A. Quarteroni, F. Saleri P. Gervasio "Calcul Scientifique - Cours, exercices corrigés et illustrations en MATLAB et OCTAVE", Sprin-ger 2006