Examen du 28 Mai 2018

Universit´e Paris-Dauphine M´ethodes num´eriques

D´epartement MIDO Ann´ee/

DE MI2E deuxi`eme ann´ee

Examen du 28 Mai 2018

Les documents de cours, calculatrices, t´el´ephones et ordinateurs sont interdits.

Il sera tenu compte de la pr´esentation de la copie et de la r´edaction dans l’´evaluation.

Dur´ee : 2 heures.

Exercice 1: Factorisation LU d’une matrice (4.5 points).

Soit

A=





1 3 2

3 13 4 2 4 14



, b=



 6 20 20



.

Questions :

1. Calculer la d´ecomposition LU de A.

2. Calculer le d´eterminant deA. La matrice est-elle inversible ? 3. R´esoudre le syst`eme Ax=b en utilisant la d´ecomposition LU.

4. La matriceA admet-elle une d´ecomposition de Cholesky ? Si oui, la calculer en partant de la d´ecomposition LU pr´ec´edemment calcul´ee.

Exercice 2: Impl´ementation sur Python (5 points).

Soit la fonction de Runge

f(x) = 1

1 + 25x², ∀x∈[−1,1].

1. Quelle est la condition n´ecessaire et suffisante pour que p_n ∈Pn soit le polynˆome d’interpo- lation def aux points de Chebyshev x_i = cos_(2i+1)π

2n+2

, i= 0, . . . , n? 2. Exprimer cette condition sous forme de syst`eme lin´eaire.

3. ´Ecrire une fonctioninterpolation(n,x)qui calcule pn(x), le polynˆome d’interpolation def au pointx∈[−1,1] de degr´enet aux points d’interpolation de Chebyshevx_i = cos_(2i+1)π

2n+2

, i= 0, . . . , n. Remarques :

— On pourra penser `a se servir du syst`eme lin´eaire ´ecrit pr´ec´edemment.

— L’utilisation de la commande interpde Python n’est pas accept´ee pour r´epondre `a la question.

4. ´Ecrire une fonction erreur(n,x)qui calcule l’erreur d’interpolation en(x) =|f(x)−pn(x)|.

5. ´Ecrire une suite de commandes permettant de visualiser E_n = max_x∈[−1,1]e_n(x) pour n = 0, . . . ,10.

1

Exercice 3: M´ethode de Steffensen (6 points).

Soit f :R7→R une fonction de classeC²(R) qui poss`ede un z´ero simplex<sup>∗</sup>, c’est `a dire tel que f(x^∗) = 0, f⁰(x^∗)6= 0.

On cherche `a approcher x^∗ par la m´ethode de Steffensen, un algorithme de point fixe de la forme ( x_n+1 =φ(x_n), n≥0

x0 donn´e, avec

φ(x) =x− f²(x)

f(x+f(x))−f(x), ∀x∈R.

On admet que xn est bien d´efini pour tout n≥0. L’objectif de cet exercice est de prouver que si xn→x^∗, alors la convergence est au moins quadratique au sens o`u

n→∞lim

|e_n+1|

|e_n|² =c∈R, avec en:=xn−x^∗ pour toutn≥0.

Questions :

1. En faisant un d´eveloppement de Taylor-Lagrange def(x_n+f(x_n)) `a l’ordre 2 autour du point xn, prouver qu’il existe ξn∈]x_n, xn+f(xn)[ tel que

en+1=en− f(xn)

f⁰(x_n) +^f00(ξ₂ⁿ⁾f(x_n).

2. Par un d´eveloppement de Taylor-Lagrange appropri´e, prouver qu’il existeξ^∗_n∈]x_n, x^∗[ tel que f(xn) =f⁰(xn)en−1

2f⁰⁰(ξ^∗_n)e²_n et en d´eduire que

e_n+1= 1 2

e_nf(x_n)f⁰⁰(ξ_n) +f⁰⁰(ξ_n^∗)e²_n f⁰(x_n) +^f00(ξ₂ⁿ⁾f(x_n) .

3. Par un d´eveloppement de Taylor-Lagrange appropri´e, prouver qu’il existeξ^†n∈]x_n, x^∗[ tel que f(x_n) =f⁰(ξ_n^†)e_n

et en d´eduire que

en+1= e²_n 2

f⁰⁰(ξn)f⁰(ξn^†) +f⁰⁰(ξ_n^∗) f⁰(xn) +¹₂f⁰⁰(ξn)f(xn). 4. En d´eduire que six_n→x^∗, alors

n→∞lim

|e_n+1|

|e_n|² =c∈R, avec une constantec que l’on explicitera.

2

5. Rappeler l’algorithme de Newton et expliquer pourquoi l’algorithme de Steffensen peut ˆetre consid´er´e comme une variante de celui-ci. Quel est l’avantage de l’algorithme de Steffensen par rapport `a celui de Newton ?

Exercice 4: Interpolation polynomiale d’Hermite (9 points).

L’interpolation polynomiale d’Hermite est une m´ethode d’interpolation qui utilise non seulement les valeurs de la fonction `a approcher mais aussi celles de sa d´eriv´ee. Soientn+ 1 points distincts x₀ <· · ·< x_nde l’intervalle [a, b] et f ∈ C¹([a, b]). Nous nous int´eressons au polynˆomep_n de degr´e 2n+ 1 tel que

pn(xi) =f(xi) et p⁰_n(xi) =f⁰(xi), i= 0, . . . , n.

Nous allons montrer dans un premier temps quep_n s’´ecrit pn(x) =

n

X

i=0

f(xi)hi(x) +

n

X

i=0

f⁰(xi)ehi(x), (0.1) avec

hi(x) = (1−2`<sup>0</sup><sub>i</sub>(xi)(x−xi))`²_i(x) et ehi(x) = (x−xi)`<sup>2</sup><sub>i</sub>(x), i= 0, . . . , n, et la fonction`_i est la i-`eme fonction de Lagrange associ´ee aux pointsx₀, . . . , x_n. Pour cela :

1. Montrer que pour touti, j = 0, . . . , n,

(hi(xj) =δi,j, h⁰_i(xj) = 0, eh_i(x_j) = 0, eh⁰_i(x_j) =δ_i,j.

2. En d´eduire que le polynˆomepnd´efinit en (0.1) est l’unique polynˆome de degr´e 2n+ 1 v´erifiant les conditions requises.p_n est appel´e le polynˆome d’interpolation d’Hermite def. Pour cela : (a) Prouver que le polynˆomep_nd´efini en (0.1) satisfait bien les conditions d’interpolation.

(b) Supposer l’existence d’un autre polynˆome g ∈P2n+1 tel que p_n(x_i) =g(x_i) etp⁰_n(x_i) = g⁰(x_i) et montrer que g=p_n.

On fixe `a pr´esentn= 1 et on suppose quef ∈ C⁴([a, b]). Nous allons prouver un r´esultat sur l’erreur d’interpolation. Pourx fix´e dans ]a, b[, on introduit la fonction φd´efinie sur [a, b] par

φ(t) :=f(t)−p₁(t)− (t−x₀)²(t−x₁)²

(x−x₀)²(x−x₁)²(f(x)−p₁(x)).

3. Montrer queφ s’annule enx0,x1 etx et en d´eduire que φ⁰ s’annule en deux points distincts de [a, b] diff´erents de x0 etx1.

4. Montrer queφ⁰(x0) =φ⁰(x1) = 0.

5. En d´eduire qu’il existeξ∈[a, b] tel queφ⁽⁴⁾(ξ) = 0.

6. Montrer qu’alors on a

f(x)−p1(x) = (x−x0)²(x−x1)²

24 f⁽⁴⁾(ξ).

7. En d´eduire que pour toutx∈[a, b],

|f(x)−p₁(x)| ≤ (b−a)⁴

24 max

a≤ξ≤b|f⁽⁴⁾(ξ)|

3

8. En s’inspirant de la d´emarche suivie pour n = 1, prouver que pour une valeur quelconque n≥1, sif ∈ C⁽²ⁿ⁺²⁾([a, b]), alors

|f(x)−pn(x)| ≤ maxa≤ξ≤b|f⁽²ⁿ⁺²⁾(ξ)|

(2n+ 2)! |q_n(x)|², o`u q_n est un polynˆome que l’on explicitera.

4