Principe Fondamentale de la dynamique. Le principe fondamental de la dynamique

Le principe fondamental de la dynamique

Principe Fondamentale de la dynamique

Objectif général

• Nous avons vu dans les chapitres précédent qu’il existait un lien entre les actions mécaniques exercées sur un système et la cinématique de celui- ci :

• Il y a une relation entre les équations de la statique et celles de la cinématique

Principe Fondamentale de la dynamique

Exemple n°1 : La moto

• Le 31 mars 2008, l'Australien Robbie Maddison a battu son propre record de saut en longueur à moto à Melbourne. La Honda CR 500, après une phase d'accélération, a abordé le tremplin avec une vitesse de 160 km.h⁻¹ et s'est envolée pour un saut d'une portée égale à 107 m. Dans cet exercice, on étudie les trois phases du mouvement (voir figure 1), à savoir :

Principe Fondamentale de la dynamique

Quel était l’effort exercé par la roue sur la route (engendrée elle-même par le moteur) permettant d’obtenir la loi de mouvement ci-dessus, ayant permis au motard de réaliser ce bond de 107 m ????

Le Principe Fondamental de la Dynamique

Définition

Soit un système S₀ subissant l’action de plusieurs AME.

Grâce au PFD, nous pouvons affirmer que :

Principe Fondamentale de la dynamique

     

1 2

1 0 2 0

...

n

S  S A S  S A Sn  S A

T T T

𝒯 _𝑆

_→𝑆

+ 𝒯 _𝑆

_→𝑆

+ ⋯ + 𝒯 _𝑆

_→𝑆

= 𝒟 _𝑆

_𝑅

Torseur Dynamique de S0/R

Torseur Dynamique

• On appelle Torseur Dynamique de 𝑆_0/𝑅:

m = la masse du solide isolé

Γ_{𝑆0 𝑅} = accélération au centre d’inertie

J_S/Δ0 = moment d’inertie du système isolé exprimé au centre d’inertie.

Attention : Le Moment dynamique ne s’exprime seulement qu’autour d’un axe fixe Δ0 fixe par rapport au Repère Galiléen

Principe Fondamentale de la dynamique

𝒟 _𝑆

_𝑅 = 𝑚. Γ _𝑆

_𝑅

𝐽 _𝑆/Δ0 . 𝜃 _𝑆

_𝑅

Théorème de la résultante dynamique

• Théorème de la résultante dynamique

Soit un système matériel 𝑆₀, de masse m et de centre de gravité G, en mouvement de translation rectiligne dans un référentiel Galiléen 𝑅₀.

ΣF _Ext/𝑆

= m. Γ _S

_R

Principe Fondamentale de la dynamique

Exemple n°2 : Décélération d’un véhicule

• Une FERRARI fait un poids approximatif de 1,5 tonnes. On souhaite

déterminer l’effort de freinage nécessaire, pour que le véhicule passe de 100 à 0 Km/h sur 55 m (afin d’éviter un autre véhicule arrêté). On fera

l’hypothèse que la FERRARI avance en ligne droite et que la décélération est constante

Principe Fondamentale de la dynamique

La décélération

permettant de faire passer le véhicule de 100 Km/h à 0 sur 55m est :

7,1 / ² ax   m s

15000 ( 7,1) 106 500

freinage x

F   m a      N

Calcul de l’effort de freinage :

Moment d’inertie

Prenons un balai. Si on essaye de le faire tourner autour de deux axes différents.

Ces deux cas sont matérialisés par les repères 1 et 2.

On remarque immédiatement qu’il est beaucoup plus facile de faire tourner le balai autour de l’axe 1 qu’autour de l’axe 2.

Principe Fondamentale de la dynamique

Moment d’inertie

Le moment d’inertie définit la répartition de la masse :

 Autour des axes du repère

 Par rapport aux plans (x,y) (y,z) et (z,x)

Le calcul des moments d’inertie

nécessite des outils mathématiques abordées post bac : matrice, intégrale double et triple.

Dans les problèmes que nous traiterons, les moments d’inertie seront donnés ou pour des solides simples.

Principe Fondamentale de la dynamique

Son unité est le : kg·m²

La patineuse & le tabouret d’inertie

• Lorsque la patineuse tourbillonne sur elle-même, on remarque qu’elle augmente sa vitesse de rotation. Cela vient du fait qu’elle diminue son moment d’inertie. C’est

exactement la même chose que pour l’expérience du tabouret d’inertie (faites tourner une personne assise sur une chaise et portant une masse. En rapprochant ou en éloignant celle-ci il va modifier sa vitesse de rotation

Principe Fondamentale de la dynamique

Exemples de moment d’inertie

Principe Fondamentale de la dynamique

Théorème du moment dynamique

• Théorème du moment dynamique

Soit un système matériel 𝑆₀, en mouvement de rotation autour d’un axe (O,𝑍) dans un référentiel Galiléen 𝑅₀, de moment d’inertie selon l’axe (O,𝑍) égal à 𝐽_𝑂𝑧

ΣMF _Ext/𝑆

= 𝐽 _{𝑆/𝑂𝑍} . 𝜃 _𝑆

_𝑅

Principe Fondamentale de la dynamique

Vocabulaire

•

La deuxième loi de Newton

•

Le principe fondamental de la dynamique

•

Théorème de la force et du moment dynamique

•

Relation fondamentale de la dynamique

Principe Fondamentale de la dynamique

Les cas particuliers

Solide animé d’un mouvement de translation

Principe Fondamentale de la dynamique

Les cas particuliers

Solide animé d’un mouvement de rotation autour d’un axe

Rem : L’utilisation de ces deux formules implique le fait que le solide soit animé d’un mouvement de rotation, et que le centre d’inertie de ce solide

soit sur l’axe de rotation. _Princi

pe Fondamentale de la dynamique

Solide en équilibre : Le Principe Fondamental de la Statique

• Soit un système S₀ en équilibre sous l’action de plusieurs AME.

• Celui-ci est en équilibre si et seulement si :

• Le PFS comme il écrit ci-dessous donne deux égalités vectorielles :

Principe Fondamentale de la dynamique

     

1 2

1 0 2 0

...

n

S  S A S  S A Sn  S A

T T T

 ^

 

^{ }

 

^{ }



^{ ... }  ^



^{   0}

Energie cinétique

• Energie cinétique d’un solide en translation

𝐄 _𝐜 = 𝟏

𝟐 . 𝐦. 𝐯²

• Energie cinétique d’un solide en Rotation

𝐄 _𝐜 = 𝟏

𝟐 . 𝐉 _{𝐒/𝚫𝟎} . 𝛚²

Principe Fondamentale de la dynamique