cours 20
2.8 ÉQUATIONS
TRIGONOMÉTRIQUES
Exemple
Une équation trigonométrique est une équation qui fait intervenir des rapports trigonométriques.
3 sin ✓ = cos ✓
4 cos2 ✓ cos ✓ = 7
4 tan ✓ + 2 = tan ✓ 5
Sont des équations trigonométriques
De la même manière que lors des résolutions des équations qu’on a déjà vues, notre objectif est d’isoler la variable.
Or pour ce faire on devait effectuer les opérations inverses x + 2 = 5 () x + 2 2 = 5 2
2x = 5 () 2x
2 = 5 2 x2 = 4 () p
x2 = ±p 4
On doit donc essayer de comprendre comment inverser le processus nous permettant de trouver les rapports trigonométriques.
Mais on utilise surtout ceux-là
On note
arcsin x = ✓ arccos x = ✓ arctan x = ✓
() sin ✓ = x () cos ✓ = x () tan ✓ = x arcsecx = ✓
arccscx = ✓ arccotx = ✓
() sec ✓ = x () csc ✓ = x () cot ✓ = x
Les valeurs de arcsin x sont comprises entre ⇡2 ⇡ et 2
L’autre valeur ⇡ ✓
Les valeurs de arccos x sont comprises entre 0 et ⇡
L’autre valeur ✓
Les valeurs de sont comprises entre ⇡2 ⇡ et 2
arctan x
L’autre valeur ✓ + ⇡
1 p3
p3 3 tan ⇡
4 =
p2 p2
2 2
= 1
= p 3
= 1 p3 tan ⇡
3 =
p3 2 1 2
tan ⇡
6 =
1 p2
3 2
=
p3 p3p
3
=
p3 3
Faites les exercices suivants
arcsin
p2 2
arccos
p3 arcsin 2
p3 2
!
arccos
✓ 1 2
◆
arctan 1
arcsecp 2 arcsin 0
arccos 1
Évaluer a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
px2 = |x|
arcsin(sin ✓) =
(✓ si ⇡2 ✓ ⇡2 ,
⇡ ✓ si ⇡2 < ✓ < 3⇡2 .
arctan(tan ✓) =
(✓ si ⇡2 ✓ ⇡2 ,
✓ + ⇡ si ⇡2 < ✓ < 3⇡2 . arccos(cos ✓) =
(✓ si 0 ✓ ⇡,
✓ si ⇡ < ✓ < 2⇡.
px2 6= x
Un peu comme mais plutôt
on a
Par contre lorsqu’on cherche les solutions d’une équation on doit trouver toutes valeurs qui rendent cette équation vraie.
Ajouter un ou des tours à l’angle nous amène au même point sur le cercle et donc au même rapport trigonométrique.
Donc dès qu’on a une solution, additionner un multiple de ou en soustraire un nous donne aussi une solution. 2⇡
Exemple
2 sin ✓ + 1 = 0 () 2 sin ✓ = 1() sin ✓ = 1 2 () ✓ = arcsin
✓ 1 2
◆
✓ = ⇡ et
6 ✓ = 7⇡
6
+ k2⇡, k 2 Z + k2⇡, k 2 Z
Exemple
posons x = cos ✓2x2 + x 1 = 0
2 cos2 ✓ + cos ✓ 1 = 0 x = 1 ± p
1 + 8
4 = 1 ± 3
4
x = 1 x = 2
4 = 1
= cos ✓ 2 = cos ✓
✓ = ⇡ + k2⇡, k 2 Z
+ k2⇡, k 2 Z
+ k2⇡, k 2 Z
✓ = ⇡ 3
✓ = ⇡ 3
Exemple
sec ✓ + 4 csc ✓ = 5 csc ✓
() sec ✓ = csc ✓ () 1
cos ✓ = 1 sin ✓ () sin ✓ = cos ✓ () sin ✓
cos ✓ = 1 () tan ✓ = 1
✓ = ⇡ 4
✓ = 5⇡
4
+ k2⇡, k 2 Z
+ k2⇡, k 2 Z
Faites les exercices suivants
p. 517 Ex. 13.10
