Contrôle : Probabilités
EXERCICE 1
Une chaîne de salles de sport propose trois formules d’abonnement mensuel :
• Formule A : accès aux cours collectifs;
• Formule B : accès libre à la salle de musculation;
• Formule C : accès libre à la salle de musculation et aux cours collectifs.
On a observé que :
• 43 % des clients de cette chaîne sont des hommes;
• 13 % des hommes et 62 % des femmes ont choisi la formule A;
• 74 % des hommes et 20 % des femmes ont choisi la formule B;
Les autres ont choisi la formule C.
On choisit au hasard la fiche d’un client.
On considère les évènements suivants :
• F : « le client est une femme »;
• H : « le client est un homme »;
• A : « le client a choisi la formule A »;
• B : « le client a choisi la formule B »;
• C : « le client a choisi la formule C ».
1. Recopier et compléter l’arbre de probabilités ci-dessus : 2. a. Définir par une phrase l’évènement H ∩ A.
b. Calculer la probabilité p(H ∩ A). En donner la valeur exacte.
3. Montrer que p(A) = 0,4093.
4. Le client a choisi la formule A. Calculer la probabilité que ce soit un homme.
Le résultat sera arrondi à 10−4.
Exercice 2
Amateur de sudoku (jeu consistant à compléter une grille de nombres), Pierre s’entraîne sur un site internet.
30 % des grilles de sudoku qui y sont proposées sont de niveau facile, 40 % sont de niveau moyen et 30 % de niveau difficile.
Pierre sait qu’il réussit les grilles de sudoku de niveau facile dans 90 % des cas, les grilles de sudoku de niveau moyen dans 55 % des cas et les grilles de sudoku de niveau difficile dans 40 % des cas.
Une grille de sudoku lui est proposée de façon aléatoire.
On considère les évènements suivants : F : « la grille est de niveau facile » M : « la grille est de niveau moyen » D : « la grille est de niveau difficile »
R : « Pierre réussit la grille » et R son évènement contraire.
1. Traduire les données de l’énoncé à l’aide d’un arbre pondéré.
2. a. Calculer P (F ∩ R), P (M ∩ R) et P (D ∩ R) puis traduire ces probabilités en langage courant.
b. Calculer la probabilité que la grille proposée soit facile et que Pierre ne la réussisse pas.
c. Montrer que la probabilité que Pierre réussisse la grille proposée est égale à 0,61.
3. a. Calculer P (R).
b. Sachant que Pierre n’a pas réussi la grille proposée, quelle est la probabilité que ce soit une grille de niveau moyen ?
4. Pierre a réussi la grille proposée. Sa petite sœur affirme : « Je pense que ta grille était facile ».
Dans quelle mesure a-t-elle raison ? Justifier la réponse à l’aide d’un calcul.
