LISTE DES COMPETENCES CODE DENOMINATION D101 3 : DERIVATION

(1)

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47

Douala Mathematical Society : www.doualamaths.net : Workbook : Premières C & D : 2015-2016

LISTE DES COMPETENCES

CODE DENOMINATION

D101 savoir déterminer le nombre dérivé en un point D102 Savoir calculer la dérivée dune monôme

D103 Savoir calculer la dérivée dune polynôme

D104 Savoir calculer la dérivée d’une fonction homographique D105 Savoir calculer la dérivée d’un produit de deux fonction D106 Savoir calculer la dérivée d’une somme de fonction D107 Savoir calculer la dérivée d’un quotient de deux fonctions D108 Savoir calculer la dérivée de l’inverse d’une fonction

D109 Savoir écrire l’équation de la tangente à une courbe en un point D110 Savoir déterminer graphiquement le nombre dérivé en un point.

D111 Savoir déterminer les extrema d’une fonction D112

D113

D114 Savoir déterminer le nombre de racine d’un polynôme, en étudiant les variations D115 Savoir encadrer la racine d’un polynôme entre deux entiers consécutifs

D116 D117 D118 D119 D120 D121 D122 D123 D124

3 : DERIVATION

(2)

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48

Exercice n° 1

Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions définies sur  (Attention à l’ensemble de dérivation 1. f x( ) 2x³ x 2 et ² 1

( ) 2 3

g x x x

   2.

2 1

( ) 2 3 h t t  et

3 2

( ) 3 2 5 2

x x x

y x 

   

3. u définie. Sur ] 0 :+  [ par 1 ² ( ) 4

u x x

x 

  

Exercice n° 2

f est une fonction définie sur  par ^{f x}^{( )}^



^x²^¹



^²^x³^³^x^⁷



^.^{On écrit} ^{f x}^{( )}^^{u x v x}^{( ) ( )}^ ^.

1) a) Recopier et compléter : ( )

u x = … v x( ) = … ( )

u x = …… v x( )= …..

b) Calculer alors f x( ) pour tout réel x.

2) Développer l’expression de f , dériver et retrouver le résultat du 1b) Exercice n° 3

1. Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes et l’ensemble de dérivation.

a. f définie sur ^ par ^{f x}^{( )}^



^x²^²



^x

b. g définie sur ^ par ^{g x}^{( )}^



^x³^²^x

 

^x^¹



2. Donner une équation des tangentes à C_f et C_g au point d’abscisse 1 Exercice n° 4

f est la fonction définie sur  par ^{f x}^{( )}^



²^x²^{ }^x ⁴



²

1. Développer f x( ) et calculer f x( )pour tout réel x.

2. Autre méthode

a. On écrit f x( )u x( )². Donner l’expression de u x( )

b. Calculer f x( )avec la formule

 

^u² ^ ^²^uu^

3. Quelle est la méthode la plus rapide ? Exercice n°5

Déterminer la fonction dérivée après avoir précisé l’ensemble de définition et de dérivation de chacune des fonctions définies par :

1.

1 2 2

( ) 2 4

f x x

x

  

   

2. ( ) ^{1 2}

2 4

g x x x

x

  

    Exercice n°6

f est la fonction définie sur ^^{\ 0}

 

par ² 1 ( )

f x x

 x 1. Déterminer la fonction dérivée de f .

2. Déterminer une équation de la tangente à C_f au point d’abscisse 2.

3. La droite d’équation y x 1est-elle tangente à la courbe Cf ? Si oui en quel point ?

(3)

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49

Exercice n°7

f est la fonction définie sur ]0 ; + [ par f(x) = x x + 2 1. Déterminer la fonction dérivée de f .

2. La courbe C_f admet-elle une tangente horizontale ? Si oui en quel point ?

Exercice n°8

f est la fonction définie sur ]0 ; + [ par f(x) = 1 x 1. Déterminer la fonction dérivée de f .

2. Déterminer une équation de la tangente à C_f au point d’abscisse 4.

3. La courbe C_f admet-elle une tangente horizontale ? Si oui en quel point ?

Exercice n°9

f est la fonction définie sur  par 1 ²

( ) 2

f x   x de courbe C_f . 1. Déterminer la fonction dérivée de f .

2. Déterminer une équation de la tangente T à C_f au point d’abscisse 1. On note y ax b  cette équation.

3. Soit d la fonction définie sur  par d x( ) f x( ) ( ax b )

Etudier le signe de d x( )et en déduire la position de C_f par rapport à T.

Exercice n°10

f est la fonction définie sur  par f x( )ax³bx² cx d Déterminer les réels a, b, c et d sachant que :

- C_f coupe l’axe des ordonnés au point d’ordonnée 20, et

- que C_f passe par le point A(-1 ;18) et admet en ce point une tangente de coefficient directeur 3., et - que C_f admet une tangente horizontale au point d’abscisse 0.

Exercice n°11

Déterminer la fonction dérivée f de la fonction f dans chacun des cas : 1)

2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

9) ₂ 5

( ) 1

f x x x

 



10) 2 4

( ) 3 1 f x x

x

 



11) f x( ) (2 x3)(3x7) 12) f x( ) 4 x²3x1 13) f x( ) 3 x⁴2x³5x4 14) ( ) x

f x  x x

 15) f x( ) x x

16) 1

( )

f x  x x

 17)

1 3

( ) 1

f x x

 

   

18) f x( ) x 1 ¹ x

 

   

19) 20) 21) 22) 23) 24) ( ) 3

f x  ( ) 3 f x  x

( ) 5 f x 2x

( ) 2

f x x ( ) 7

f x x ( ) 2 3

f x  x ( ) 3 2 f x  x

( ) 1 f x x

  x

2 7

( ) 2

f x    x x ( ) 4

f x  x

4

( ) 1 f x  x

( ) 2 5

f x  x  x

 

²

( ) 3 2

f x  x x ( ) ( 2 1)( 1) f x   x x

(4)

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50

Exercice n°12

Répondez directement sur la feuille par V (vrai) ou F (faux).

Chaque question a une réponse.

Toute réponse bonne vaut 1 point, toute réponse fausse vaut – 0,5, pas de réponse vaut 0.

Dans chacun des exercices suivants, toutes les réponses peuvent être vraies ou fausses.

1. La courbe représentative de la fonction f ci-dessus permet de dire que :

f est impaire. f’ s’annule deux fois.

f’(−1)=1. Si f(x) est un polynôme, il est au moins

de degré 4.

existe et est comprise entre 10 et 15.

La tangente en –1 a un coefficient directeur négatif.

L’équation f(x)=0 n’a pas de solutions. Il n’existe aucun point de C d’ordonnée inférieure à –30.

La dérivée f’ est croissante sur l’intervalle [−2 , −1].

L’équation f(x) = 20 a deux solutions sur [−2, +2].

Le coefficient directeur de la tangente en est égal à 10.

La fonction f admet un extremum relatif en 1.

Quand x  [0, 1], la courbe de f est en

dessous de sa tangente en tout point. f(2) = 60.

2. Soit , définie sur . C sa courbe représentative. Alors :

. f’(0)=0.

f change de sens de variation en 0. f’ s’annule en .

Pour tout réel x, . La courbe de f a trois tangentes horizontales.

Il existe plus de une tangente à C

parallèle à la droite (y= –x). f(−10¹⁰⁰⁰)>f(−10¹⁰⁰¹).

3. Soit . Alors :

La dérivée de g est définie sur . g est strictement décroissante sur .

x y

-2 -1 0 1 2

0 20 40

0

lim ( )

x

f x x



1 2

3 2

( ) ( 1)

f x x  x 

'( ) 2(1 )(3 5 ) f x x x  x

1 x2 ( ) ( )3

f x f 5

( ) 1 2

g x   x

] , ]1

  2

] , ]1

  2

(5)

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51

. La tangente à la courbe représentative

de g a une tangente orthogonale à (y = x) en 0.

La tangente à Cg en est horizontale. Les coefficients directeurs des tangentes à Cg sont tout positifs.

4. Soit . H sa courbe représentative.

H est symétrique par rapport à l’axe (O

y). La droite y= –x est asymptote de H.

h est strictement croissante sur l’intervalle ]0, [.

La courbe H est toujours en dessous de la droite (y = x).

La dérivée seconde de h est

strictement négative. La courbe H coupe la droite (x = 0).

5. On se donne une fonction f qui possède les caractéristiques suivantes :

*Ef = –{–1, 1} ;

*f est impaire ;

*f est croissante sur ] , −3], décroissante sur [−3, −1[, croissante sur ]−1, 0] ;

*La tangente à Cf en 0 a pour coefficient directeur 1 ;

*La droite (y = x) est au dessus de Cf pour x < 0 ;

*La tangente à Cf au point d’abscisse –2 a pour équation y = −2x−9.

Tracer une courbe Cf correspondant à ces conditions dans le repère suivant : Exercice n°13

Dans chacun des cas calculer le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse a et tracer cette tangente.

1) 2) 3) 4) 5)

6) 7) 8)

Exercice n°14

Soit 5

( ) 2 7 f x x

x

 



Déterminer les points de la représentation graphique en lesquels les tangentes ont pour coefficient directeur m 1) m 17

2) m15 Exercice n°15

Soit f x( ) 4 x³5x²2x3

1) Donner une équation de la tangente au point d’abscisse x₀ 5

2) Déterminer s’il existe des points en lesquels la tangente est parallèle à l’axe des abscisses.

Exercice n°16 ( ) 5 2 3 7

f x  x  x et ( )C sa courbe représentative.

Déterminer en quel point de ( )C la tangente à ( )C est parallèle à la droite d’équation y  7x 2

'( ) 2 g x 1 2

 x



1 2 ( ) 1

h x x

 x







: 3 2 2 1 3

f x x  x a 

: 2 1

f xx a

2 1

: 4 4 5

f x x  x a4

  

: 1 2 3 7 0

f x  x x a

2 1

: 3

f x x x a 3

2

: 3 1

2 3

f x a

x

  

 

: 2 1 1

f x x a

: 1 1

3 4

f x x a

x

  

 

(6)

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52

Exercice n°17

 

²

2

( ) 4 3

2 3 5

f x x

x x

 

  ^et( )C sa courbe représentative.

Déterminer les coordonnées des points de ( )C où les tangentes sont horizontales. Donner les équations de ces tangentes.

Exercice n°18

Etudier les variations des fonctions suivantes.

1) f x( ) 5 x²3x9 2) f x( ) 3x² x 11 3) f x( ) 2 x³9x²12x3 4) f x( ) 5x³3x²4x5 5) f x( ) 3 x⁴4x³24x²48x3 6) f x( )  x⁴ 2x²8x5

7) f x( ) x1

8) 3 1

( ) 2 5 f x x

x

 



9) 2

( ) 4 1 f x x

x

 



10) 9

( ) 3

f x x 2

  x

 11)

2 4 2

( ) 3

x x

f x x

 

 

12)

2 2

8 24

( ) 4

x x

f x x

 

 

13) ^{f x}^{( )}^



^{11 4}²^x^^⁵^x



Exercice n°19

Dans chacun des cas, on considère une fonction f définie sur un intervalle I. déterminer l’ensemble sur lequel f est dérivable et calculer f’(x) où f’ est la fonction dérivée de f.

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16)

17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 26) : 3 2 2 1:

f x x  x I 

4 2

: 2 3 :

f x x x  x I 

2 3

: 1 3 3 3 :

f x  x x  x I 

5 2 2 3

: :

6

x x

f x   I 

: (3 5)( 2 1) : f x x x  I 



²



²

: 1 2 :

f x  x I 

3 2

: 4 (11 2 1)( 1) : f x x x  x x  I 

: 5 2 : 2

f x x x  x I ^

  ^ ^

: 1 1 :

f x x x I ^

2

3 1

: :

1

f x x I

x

 

  

 

2 2

: : ;1

1

f x x I

x

  

 

5 4

: : ;

3 4 3

f x I

x

   



 

3 2 5

: : ; 2

2 4

f x x I

x

   

 

 

: 3 : 0;

f x x x x I  

 

5

: 5: ;0

f x I

x

  



: 2 :

f x x x I 

  

: 2 3 2 :

f x x x I ^

3 2 23

: :

14 x x

f x   I 



²



²



²

: 3 2 3 :

f x x  x  x I 

 

²

: 2 1 3 : f x x  x I 



²¹²

 ^{ }

: : 1;1

f x 1 I

x

  

 

 

²

: 2 :

f x x I ^

 

: x 12: 0;

f x I

x

  



2

: 5 :

f x 1 I

x x

 

   

 

: 2x : 0;

f x I

x  





²

 ^ ^

: 2 3 3 : 0;

f x x x  x I  

(7)

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53

Exercice n°20

Dans chacun des cas donner une équation de la tangente au point d’abscisse 1)

2) 3) 4) 5) 6)

Exercice n°21

Dans chaque cas, etudierle sens de variations de la fonction



10 ;10



. 10

63 6

= )

(x x³ x² x g

6 24 3

= )

(x x³ x² x q

3 2 18

= 15 )

(x x³ x² x k

x x

f 162

2 3 63

= )

( ³ ²

9 2 72

= 15 )

(x x³ x² x p

9 216 15

2

= )

(x x³ x² x k

1 36 15 2

= )

(x x³ x² x f

5 27 12

= )

(x x³ x² x p

7 2 54

3 63

= )

(x x³ x²  x g

8 216 39

2

= )

(x x³ x² x p

Exercice n°22

Dans chaque cas, on donne une fonction sur



10 ;10



(a) Justifier que la fonction est définieet dérivablesur I. (b) Déterminer la dérivée pour tout x[10 ;10]. (c) Déduire le sens de variations de la fonction sur I .

a)

4 3

3

= 2 )

( 

 x x x g

b)

3 5

= 2 )

(  



 x x x

f

9 3

1

= 5 )

( 



 x x x g

c)

7 4

= 5 )

( 



 x x x f

d)

7 2

1

= 4 )

(  



 x x x

f

e)

1 2

7

= 2 )

(  



 x x x

g

f)

3 4

8

= 3 )

( 

 t t t h

g)

8 2

6

= 2 )

( 

 t t t h

h)

6 3

9

= 5 )

(  

 x x x

k

i)

9 4

9

= 5 )

( 

 x x x k Exercice n°23

est la fonction définie sur . est sa courbe représentative.

1. Donner une équation de la tangente T à au point A d’abscisse 3.

2. a) Etudier le signe de f (x) − (−8x + 18).

b) En déduire la position relative de par rapport à T.

x0

3 2

: 1 ; 0 0

f xx x  x  : 2 ( 3) 1 ; 0 2 f x x x  x  

0

: 2 ; 1

1

f x x x

x 

 

3

0

: ; 1

f x x x x  2 : 2 3 ; 0 4 f x x x 

0

: 2 ; 2

f x x

x

 



f  C_f

Cf

(8)

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54

Exercice n°24

Soit la fonction définie sur par . En revenant à la définition du nombre dérivé, montrer que est dérivable en 0. Préciser .

b. A l’aide des formules de dérivation, vérifier que est dérivable sur et exprimer pour . Préciser alors l’ensemble des réels pour lesquels est dérivable.

Exercice n°25

est la fonction . Montrer que l’approximation affine locale de au voisinage de 0 est égale à .

b. En déduire des approximations des nombres suivants : et . Exercice n°26

Soit la fonction trinôme telle que . Déterminer les réels a, b, c tels que sa courbe Cf

admette au point une tangente de coefficient directeur égal à −2 ainsi qu’une tangente horizontale au point d’abscisse 1.

Exercice n°27

Etudier les variations de la fonction sur (calcul de la dérivée, étude de son signe, variations de f). On donnera l’équation de la tangente à Cf au point d’abscisse −1.

Exercice n°28

Soit la fonction définie sur par

Soit (C) la courbe représentative de la fonction et soit (D) la droite d’équation 1) Calculer où est la fonction drivée de

2) Résolvez dans l’équation

3) Montrer que (C) admet une tangente (T) parallèle à (D).

4) Déterminer les coordonnées de deux points de (T) Exercice n°29

Soit (C) la courbe représentative de la fonction dans un repère orthogonal 1) Calculer où est la fonction drivée de

2) Résolvez dans l’équation

3) Montrer que (C) admet deux tangente (T) parallèles à l’axe des abscisses.

4) Déterminer les coordonnées de deux points de chacune d’elles.

Exercice n°30

1. Calculer où est la fonction drivée de 2. Déterminer le signe de sur

Exercice n°31

1. Calculer où est la fonction drivée de , puis résolvez l’équation 2. Déterminer le signe de .

f ^{  }^{1 ;}  ^{f x} ^^{x x}^¹

f f' 0 

f   ^{1 ;}  ^f^' ^x

1

x  x f

f 1₂

xx

 ²

1 2h 1

4

h

 ²

1

1, 997  ²

1 2, 001

f ^{f x} ^ax² ^{bx c}

 ^{2 ; 5}

A  

4 3

: 2 3

f x x  x 

f  f x( ) 3 x²2x1

f y  2x 3

'( )

f x f ' f

 f x'( ) 2

f  f x( )x³2x1

f



^{O i j}^{; ,}^{ }



'( )

f x f ' f

 f x'( ) 0

f  f x( ) 3 x2

'( )

f x f ' f

'( )

f x ^

f  f x( ) x²2x31 '( )

f x f ' f f x'( ) 0

'( ) f x

(9)

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55

Exercice n°32

Tracer la courbe d'une fonction f vérifiant

f(0) =12; ; f(2) =2 f(5) =1 f(-2) = 1 f'(0) =0 ; ; f'(2) =1 f'(5) = -3; f'(-2) = - 12;

Exercice n°33

On considère la fonction définie sur par : . Soit . Étudier la dérivabilité de en et donner, s'il existe, le nombre dérivé en .

Exercice n°34

On considère la fonction définie sur par : .

On rappelle que si , on a et si , .

Tracer la représentation graphique de .

Soit . Étudier la dérivabilité de en et donner la valeur éventuelle de (On pourra envisager plusieurs cas)

Exercice n°35

On considère la fonction définie sur par . 1°) Donner, suivant les valeurs de , le signe de .

2°) En déduire, suivant les valeurs de , une expression de n'utilisant pas la valeur absolue.

3°) Tracer la représentation graphique de 4°) En utilisant GeoGebra :

a) Tracer la courbe représentative de et vérifier la courbe tracée à la question précédente. Avec GeoGebra l'expression de s'écrit abs( )

b) Définir un curseur .

c) Tracer la tangente T à la courbe au point d'abscisse . Pour cela on pourra écrire dans le champ de saisi e : T= tangente[ ,f]

d) Déplacer le curseur a et constater le déplacement de la tangente. Quelle est l'équation de la tangente lorsque prend la valeur 1 ? lorsque prend la valeur 2 ?

5°) Étudier la dérivabilité de f en 1 et en 2 et comparer avec les résultats de la question précédente.

Exercice n°36

Soit définie sur par :

1°) Tracer la courbe en utilisant GeoGebra.

2°) Placer sur la courbe le point d'abscisse 1.

Définir un curseur mallant de -10 à 10 par pas de 0,5 et tracer la droite d passant par et de coefficient directeur m. On pourra pour cela écrire dans le champ de saisie la commande d=droite[ , +(1,m)]

En faisant varier , vérifier que la valeur correspond à la tangente à la courbe au point . 3°) En utilisant la méthode précédente et en déplaçant le point , compléter le tableau :

abscisse du point A : 2 1 0 -1

coefficient directeur de la tangente -1

f  f x( ) 3 x5 x₀ f

x0 x₀

f  f x( ) x

0

x f x( )x x0 f x( ) x f

x0 f x₀ f x( )₀

 f x( ) x²4

x x²4

x f x( )

f f ( )

f x x²4

a

a a

f  f x( )x³2x²2 A

A A A

m m 1 A

A x

'( ) f x m

(10)

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56

4°) Dans le champ de saisie de GeoGebra écrire l'expression Vérifier, dans la fenêtre d'algèbre, que l'expression de est . En utilisant cette expression, calculer ; ; et

et vérifier les valeurs du 3°).

Exercice n°37

Soit définie sur par : On pose

1°) Le tableau de variations de est donné ci-dessous (on ne demande pas de le justifier) :

a) Quel est le minimum de sur ?

b) En déduire que la fonction est définie sur .

c) Déterminer les valeurs exactes de g(-1) ; g(0) et g(2) et en donner des valeurs approchées à près.

2°) a) Tracer avec une calculatrice ou un grapheur la courbe représentative de et vérifier qu'elle correspond au tableau de variations donné.

b) Tracer sur le même graphique la courbe représentative de . c) Conjecturer, d'après le graphique, le tableau de variation de Exercice n°38

Soit définie sur par : . On pose

1°) Donner le sens de variation de . Justifier que est définie sur .

2°) a) Tracer avec une calculatrice ou un grapheur les courbes représentatives de et de . b) Conjecturer, d'après le graphique, le sens de variation de

Exercice n°39

La fonction f est donnée par le tableau de variation ci-dessous :

1°) Déterminer le tableau de variations de la fonction définie par 2°) Déterminer le tableau de variations de la fonction définie par

'( ) f x '( )

f x 3x²4x f '(2) f '(1) f '(0)

'( 1) f 

f  1 ⁴ 1 ³ ²

( ) 3

4 3

f x  x  x x 

( ) ( )

g x  f x

f

f 

g 

10^3

f g

g

f  ² 3

( ) 2

f x x  1

( ) ( ) g x  f x

f g 

f g

g

g g x( ) 3 ( ) 10f x  h h x( ) f x( ) 2

(11)

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57

Exercice n°40

On considère la fonction f définie et dérivable sur ^I ^



^0;^



^par ^{f x}^{( )}^^{x x}^.

a) Déterminez sa fonction dérivée.

b) En déduire la limite de quand x tend vers 4.

Exercice n°41

On considère la fonction f définie par ^{f x}^{( )}^^x



¹^^x



sur . 1) Démontrer que 1

( ) 4

f x  pour tout x.

2) En déduire que la fonction f admet un maximum en 1 x 2. 3) Démontrer que

1 1 2

( ) 4 2

f x  x  .

4) En déduire que la fonction f est croissante sur l’intervalle ;¹ 2

 

 

 et décroissante sur ¹; 2

 

 

 . Exercice n°42

On considère la fonction définie par f x( )x² x 1. On note

 

^C^f sa courbe représentative.

On considère également la fonctiongdéfinie par g x( ) 3 x. On note ( )D sa représentation graphique.

1) Calculer la dérivée fde f .

2) Déterminer une équation de la tangente ( )T à la courbe

 

^C^f au point d’abscisse x₀ 2 3) Résoudre par le calcul l’équation g x( ) f x( ).

4) Préciser les coordonnées des points d’intersections de

 

Cf et ( )D . 5) Tracer sur un même repère les droites ( )T , ( )D et la courbe

 

^C^f ^.

Exercice n°43

Soit f la fonction définie sur^^{\ 1}

 

^{par :} ^{( )} ² ³

1 f x x

x

 

 . On note (C_f)sa courbe représentative.

2) Soit A le point d’intersection de (C_f)avec l’axe des abscisses.

Calculer les coordonnées de A, puis une équation de la tangente

 

TA à la courbe (C_f) au point A 3) Soit B le point d’intersection de (C_f)avec l’axe des ordonnées.

Calculer les coordonnées de B, puis une équation de la

 

TB à la courbe (C_f)au point B. 4) Tracer sur un même repère

 

TA ,

 

TB et (C_f).

Exercice n°44

Soit f la fonction définie par f x( )x³ x 2sur l’intervalle



^^2;2



^.

Soit

 

Cf sa courbe représentative.

1) Donner, en justifiant, l’équation de la tangente

 

^T à

 

Cf au point A d’abscisse 0.

2) Tracer dans un même repère la

 

^C^f et la tangente

 

^T sur l’intervalle



^^2;2



^.

4 8



 x

x x

(12)

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58

Exercice n°45

1) Dresser le tableau de variations de la fonction f définie sur  par : f x( )x²3x2. 2) Résoudre l’équation f x( ) 0 .

Exercice n°46

On considère la fonction f définie sur  par f x( )x³4x²4x. 1) Calculer la dérivée f de f .

2) Etudier le signe de la dérivée f.

3) En déduire le tableau de variations de la fonction f . On précisera les éventuels extremums.

4) Tracer soigneusement la représentation graphique de la fonction f sur l’intervalle



^^1;3



5) Déterminer par le calcul les coordonnées des points d’intersection

 

^C^f avec l’axe des abscisses.

Exercice n°47

On considère les deux fonctions f et g définies sur  par : ( ) 2 3

f x x  x g x( )x³3x 1) Etude de f .

a) Calculer la dérivée fde f . b) Etudier le signe de la dérivée f.

c) En déduire le tableau de variations de la fonction f . 2) Etude de g.

a) Calculer la dérivée gde g. b) Etudier le signe de la dérivée g.

c) En déduire le tableau de variations de la fonction g. 3) Comparaison des deux fonctions.

a) Graphiques.

i. Tracer soigneusement, dans un même repère, les courbes

 

Cf et

 

Cg représentant les fonctions f et g. On se limitera à l’intervalle



^^2;2



^.

ii. A l’aide du graphique, essayer de répondre aux questions suivantes : A. Combien y a-t-il de points d’intersections entre

 

Cf et

 

Cg ? B. Quelles sont leurs coordonnées ?

b) Pour avoir plus de précision, on se propose de retrouver ces résultats par le calcul.

i. Résoudre l’équation f x( )g x( ).

ii. En déduire, par calcul, les coordonnées des points A et B d’intersection de

 

^C^f ^et

 

^C^g

Exercice n°48

On considère la fonction f définie par ( ) ₂ 1 f x x

 x

 sur . 1) Démontrer que f est une fonction impaire.

3) Quel est le signe du dénominateur f x( )? 4) Résoudre l’inéquation f x( ) 0 .

5) Dresser le tableau de variations de la fonction f en précisant la valeur M de son maximum et la valeur mde son minimum.

6) Tracer soigneusement la représentation graphique de la fonction f sur l’intervalle



^^4;4



(13)

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59

Exercice n°49

On considère la fonction f définie sur  par : f x( )x³3x3. On note

 

^C^f sa représentation graphique.

1) Calculer la dérivée fde f puis étudier son signe.

2) Dresser le tableau de variations de la fonction f .

3) Déterminer une équation de la tangente

 

^T ^à

 

^C^f au point d’abscisse 0.

4) Tracer

 

^T ^et

 

^C^f dans un même repère.

5) Démontrer que l’équation f x( ) 0 admet une solution unique  dans l’intervalle

 

^2;3

6) Donner une valeur approchée de , par défaut, à 10^¹près.

Exercice n°50

On considère un rectangle dont le périmètre P est égal à 4 m.

1) Déterminer ses dimensions (longueur L et largeur l) sachant que son aire S est égale à ³ ² 4cm .2) On recherche maintenant les dimensions du rectangle de façon que son aire S soit maximale.

a) Exprimer S en fonction de l.

b) On considère la fonction l définie sur  par f x( )x(2x). Calculer la dérivée fde f puis étudier son signe.

Dresser le tableau de variations de la fonction l .

Tracer la représentation graphique

 

^C^f de la fonction f sur [0 ; 2].

c) En déduire les dimensions du rectangle dont le périmètre P est égal à 4 m et l’aire S est maximale.

Exercice n°51

Soit

 

^P la parabole définie par la fonction f x( )x²3x1. Calculer les coordonnées de son sommet S .

Exercice n°52

Soit f la fonction définie sur  par f x( )x⁴2x1.

 

Cf sa courbe représentative.

1) Donner, en justifiant, l’équation de la tangente

 

^T à la courbe

 

^C^f ^{au point}^A d’abscisse 0.

2) Tracer dans un même repère la courbe

 

^C^f et la tangente

 

^T sur l’intervalle



^^1;1,5



Exercice n°53

On considère la fonction f définie ^* f x( ) x 2 ⁴

  x. 1) Calculer la dérivée fet étudier son signe.

3) Tracer la représentation graphique

 

^C^f de la fonction f sur



^^4;0

  

^ ^{0; 4}

(14)

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60

Exercice n°54

Soit

 

^C^f la représentation graphique de la fonction f définie sur ^^{\ 2}

 

^{par :}

2

( ) , ,

2 x ax b

f x a b

x

 

 

 

1) Déterminer f x( ).

2) Déterminer a et b tels que la droite d’équation y8soit tangente à

 

^C^f au point d’abscisse 3.

3) Déterminer les limites suivantes : lim ( )

x f x

 ; lim ( )

x f x

 ;

22

lim ( )

xx f x

 ;

22

lim ( )

xx f x



4) Déduire de la question précédente que

 

^C^f admet une asymptote dont on précisera une équation.

5) Question facultative : déterminer l’abscisse de l’autre point de

 

^C^f où la tangente est horizontale.

Exercice n°55

Question préliminaire : factoriser le polynôme P x( )x²2x3. On considère les fonctions f et g définies sur  par :

( ) 2 2 1

f x   x  et g x( )x³3x1. 1) Etudier la parité des fonctions f et g.

2) Etudier les limites en  et en des fonctions f et g. 3) Calculer les dérivées fet g. Etudier leur signe.

4) Dresser les tableaux de variations des fonctions f et g.

5) Tracer les courbes

 

^C^f ^et

 

^C^g des fonctions f et g. On se limitera à l’intervalle



^^3;3



6) Résoudre, par le calcul, l’inéquation f x( )g x( ). On pourra utiliser la question préliminaire.

Exercice n°56

On considère la fonction f définie sur ^^{\ 2}

 

^{par :} ^{( )} ² ³ ⁶

6

x x

f x x

 

  :

1) Etudier les limites de la fonction f en , et 2 par valeurs inférieures et supérieures.

Préciser les éventuelles asymptotes horizontales et verticales.

2) Calculer la dérivée fet étudier son signe.

4) Le but de cet question est de démontrer que la courbe

 

^C^f admet une asymptote oblique

 

^ ^.

a) Déterminer trois réels a b, et c tels que : ( )

2 f x ax b c

  x

 :

b) En déduire que la droite

 

^ d’équation y x 1 est une asymptote oblique à la courbe

 

^C^f ^en^^et

en .

5) Tracer

 

Cf et ses asymptotes.

Exercice n°57

Soit f la fonction définie ^*par : f x( ) ¹ 2

 x : 1) Montrer que f est dérivable en 2.

2) Déterminer une équation de la tangente ( )T à la courbe

 

^C^f représentant f au point d’abscisse 2.

(15)

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61

Exercice n°58

On considère la fonction f définie sur ^^\

 

^⁴ ^{par :} ^{( )} ³ ²

f x 4

 x 

 :

On note

 

^C^f la courbe représentative de f dans un repère orthogonal



^{O i j}^{; ,}^{ }



^.

1) Etudier les limites de f en ,  et en 4 par valeurs inférieures et supérieures.

Préciser les équations des éventuelles asymptotes.

2) Calculer la dérivée fde la fonction f et préciser son signe.

3) Dresser le tableau de variations complet de la fonction f . On n’oubliera pas d’y reporter les limites calculées à la question 1) ainsi que la valeur interdite ...

4) Tracer la courbe

 

^C^f avec ses éventuelles asymptotes.

Conseil : tracer d’abord les asymptotes, s’il y en a ...

Exercice n°59

On considère la fonction f définie sur ^^{\ 1}

 

^{par :} ^{( )} ² ³

f x 1

 x 

 :

On

 

^C^f la courbe représentative de f dans un repère orthonormé



^{O i j}^{; ,}^{ }



^.

1) Etudier les limites de f en  et en .

2) Etudier les limites de f en 1 par valeurs inférieures et supérieures.

3) Calculer la dérivée fde la fonction f . Quel est son signe ? 4) Dresser le tableau de variations complet de la fonction f .

5) Déterminer l’équation de la tangente

 

^T à la

 

Cf au point d’abscisse 3.

6) Tracer la tangente

 

^T , la courbe

 

^C^f avec ses éventuelles asymptotes.

7) Résoudre graphiquement l’inéquation f x( ) 1 . Exercice n°60

On considère la fonction f définie sur



^0;^



^{par :} ^{f x}^{( )}^ ^x²^³_x^x^¹^:

On

 

^C^f la courbe représentative de f dans un repère



^{O i j}^{; ,}^{ }



^.

1) Résoudre l’équation f x( ) 0 . 2) Vérifier que f x( ) x 3 ¹

   x.

3) Etudier la limite de f quand x tend vers 0. En déduire que

 

Cf admet une asymptote

 

^D ^{dont on}

précisera une équation.

4) Etudier la limite de f quand x tend vers . 5) Calculer ^lim



^{( ) (} ³⁾



x f x x

   .

En déduire que

 

^C^f admet une asymptote oblique

 

^ ^en^ dont on précisera l’équation.

Quelle est la position de

 

Cf par rapport à

 

^ ^?

6) Calculer la fde f et montrer que l’on a : ( ) ⁽x ¹⁾⁽₂x ¹⁾

f x x

 

  :

7) Etudier le signe de fpuis en déduire le tableau de variations de f .

(16)

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62

Exercice n°61

On considère la fonction f définie par : f x( ) x²4x On note

 

Cf sa représentation graphique dans un repère



^{O i j}^{; ,}^{ }



^.

1) Déterminer le domaine de définition D_fde la fonction f . 2) Etudier les limites de f en 4 et en .

3) Etude de la fonction f sur



^4;^



a) Etudier de la dérivabilité de la fonction f au point x₀ 4.

b) Calculer la dérivée f (pour x4). Etudier le tableau de variations de f sur l’intervalle



^4;^



^.

c) Tracer la courbe

 

^C^f représentant f sur l’intervalle



^4;10



^.

Exercice n°62

Sur le graphique ci-dessous sont représentées la courbe

 

Cf de la fonction f définie sur  par :

4

( ) 1 2 f x   x

  ainsi que la tangente

 

^T ^à

 

^C^f au point d’abscisse x₀ 4. 1) Donner, par lecture graphique, et sans justifications, la valeur du nombre f(4). 2) Déterminer, à l’aide du calcul de la dérivée de f , la valeur du nombre f(3).

Exercice n°63

Soit f la fonction définie sur  par f x( )  x³ 3x²9x. 1) Calculer la dérivée fet étudier son signe.

(17)

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63

Exercice n°64

Soient f et g deux fonctions dérivables sur l’intervalle ^I ^

 

^0;1 telles que : f(0)g(0) et fgsur I .

Démontrer que f gsur I . On pourra étudier les variations de g f . Exercice n°65

On considère la fonction f définie sur  par : ( ) 1 f x x

 x

 : 1) On s’intéresse à la dérivabilité de f en 0.

a) Calculer le rapport f h( ) f(0) h

 .

b) En déduire que f est dérivable en 0. Que vaut ce nombre dérivé ? c) Déterminer une équation de la tangente

 

^T ^à

 

^C^f ^{en 0.}

2) Tracer la droite

 

^T et la courbe

 

^C^f représentative de la fonction f sur l’intervalle



^^8;8



Exercice n°66

Soit n un entier naturel fixé et t un nombre positif.

Le but de l’exercice est de prouver l’inégalité de Bernoulli :



¹^^t



ⁿ ^{ }¹ ^nt^.

1) Vérifier que l’inégalité est vraie pour n et n1.

2) On suppose n2 et on considère sur



^0;^



la fonction  définie par :

 

( )t 1 t ⁿ 1 nt

    

a) Calculer ( )t ( )t .

b) Montrer que pour tout t0, on a  ( ) 0t . c) En déduire l’inégalité.

3) Conclure et faire une interprétation graphique de ce résultat pour quelques valeurs de n. Exercice n°67

On considère la fonction f définie par : f x( )ax²bx c dont la parabole

 

^C^f passe par les points

 

^0;1

A et ^B

 

^2;3 . Les tangentes en Aet B se coupent au point ^C



^{1; 4}^



. 1) Déterminer une équation des tangentes à

 

^C^f . En déduire f(0) et f(2). 2) Exprimer f x( ) en fonction de a b, et c.

3) A l’aide des valeurs de f(0), f(2) et f(0), trouver trois équations vérifiées par a, b et c puis déterminer l’expression algébrique de la fonction f .

Exercice n°68

On considère la fonction f définie sur  par ( ) ₂ 1 f x x

 x

 . 1) Calculer les limites de f en  et en .

2) Calculer la dérivée fde f et étudier son signe.

3) Dresser le tableau de variation de la fonction f .

(18)

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64

Exercice n°69

La courbe

 

^C^f représentée ci-contre est une partie de la représentation

graphique de la fonction f définie sur

*par ( ) c f x ax b

  x où les coefficients sont à déterminer.

1) Déterminer graphiquement f(1), (1)

f , f(2) et f(2).

2) Déterminer f x( ) en fonction de , et

a b c.

3) Montrer que les réels a b, et cvérifient le système :

4 3

4 0

a b c a c

a c

  

   

  



.

4) Déterminer l’expression de f x( ).

Exercice n°70

On considère la fonction f définie sur  par : f x( )x³3x²4. On appelle

 

^C^f sa courbe représentative.

1) Etudier les variations de f .

2) a) Déterminer l’équation réduite de la tangente

 

^D à la courbe

 

Cf au point d’abscisse 1.

b) Vérifier que



^x^¹



³ ^^x³^³^x²^³^x^¹^.

En déduire la position relative de

 

^C^f par rapport à

 

^D ^.

3) La courbe

 

^C^f a-telle un centre de symétrie ? Justifier.

Exercice n°71

1) Etudier le sens de variation de la fonction f définie sur  par : f x( ) x(1x). 2) En déduire un encadrement de f x( ) sur

 

^{0; 2} ^.

Exercice n°72

Soit f la fonction définie sur ^^\

 

^² par

2 3 3

( ) 2

x x

f x x

 

  :

On appelle

 

^C^f sa courbe représentative dans un repère



^{O i j}^{; ,}^{ }



^.

1) Déterminer les réels a b, et ctels que ( )

2 f x ax b c

  x

 .

2) Calculer la dérivée de f et étudier les variations de f . Dresser son tableau de variations.

3) Montrer que le point ^I



^{ }^{2; 1}



est le centre de symétrique de

 

Cf .

(19)

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65

Exercice n°73

Une parabole

 

^P admet dans un



^{O i j}^{; ,}^{ }



une équation du type :

2 ( 0)

y ax bx c a  :

Déterminer les coefficients a b, et csachant que

 

^P coupe l’axe des abscisses au point A d’abscisse 3, l’axe des ordonnées au pointBd’ordonnée 2 et qu’elle admet en ce point la droite d’équation y2x2pour tangente.

Indiquer l’abscisse du second point d’intersection de

 

^P ^avec

 

^Ox

Exercice n°74 1. On donne

x x x

f sin

2 cos

=1 )

( 

, Déterminer D_f et calculer lim ( )

0 f x

x

2. Calculer les expressions des dérivées des fonctions suivantes.

(a) f(x)=sin²x5sinx (b) g(x)=(x² 3)tanx

(c) h(x)=2cos²x5sin⁵x

Exercice n° 75

La courbe ci-contre est celle de la dérivée ′ d’une fonction définie et dérivable dans ℝ et on note ( ) la courbe de .

1. Conjecturer un élément de symétrie de la courbe de

′. Que peut-on alors conclure quant à la courbe de la fonction définie dans ℝ par ( ) = ( ) − 2 ? 2. Déterminer le signe de ( ) suivant les valeurs de x

et en déduire les variations de .

3. Sachant que pour tout réel x, ( ) = + + + + , Calculer les réels a, b, c et d.

Dans toute la suite on prendra = ; = 0 ; = − ; = 2.

4. Calculer les limites de en +∞ et en -∞ puis dresser le tableau de variation de .

5. Montrer que ( ) admet deux points d’inflexion dont on précisera les coordonnées.

6. Ecrire les tangentes (T) et (T’) aux points d’abscisses -1 et 0 respectivement.

7. Dans 4n repère orthonormé (O, I, J) du plan construire (T), (T’) et ( ) (On placera les points

LISTE DES COMPETENCES CODE DENOMINATION D101 3 : DERIVATION

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LISTE DES COMPETENCES

3 : DERIVATION

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











 







 

 

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 

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  

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 







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   

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

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



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

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

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 

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 

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 ^ ^