Correction DS n˚2 - Quatrième - Octobre 2013
Correction Devoir Surveillé n˚ 2
Le théorème de Pythagore
Durée 1 heure - Coeff. 3
Exercice 1. Application directe du cours (3 points)
On considère le triangleDEF rectangle enDavecDE= 7cm etEF = 8cm.
1. [1 point] Construire le triangleDEF.
2. [2 points] Calculer la valeur exacte puis une valeur approchée au mm près leDF.
• Données.
Le triangleDEF est rectangle enD. L’hypoténuse est donc le côté[EF].
• Le théorème.
Donc d’après lethéorème de Pythagore:
EF2=ED2+DF2 82= 72+DF2 DF2= 82−72 DF2= 15
• Conclusion.
Et puisqueDF est une longueur, on a
DF =√
15≈3,9cm à0,1cm près.
Exercice 2. Application directe du cours (3,5 points)
1. On considère le triangleGHIavecGH = 5cm,GI = 6cm etHI= 7cm.
1. a. [0,5 point] Construire le triangleGHI.
1. b. [1,5 points] Le triangleGHIest-il rectangle?
• Données.
Si le triangle GHI est rectangle, c’est en G car [HI] est le plus grand côté.
• Le test.
HI2 = 72 = 49
HG2+GI2 = 52+ 62 = 61
• Conclusion.
On n’a donc pas égalité,HG2+GI26=HI2.
De ce fait, d’après lacontraposée du théorème de Pythagore, le triangle GHI n’est pas rectangle.
2. On considère le triangleKLMavecKL= 6km,KM = 8km etLM= 10km.
[1,5 points] Le triangleKLMest-il rectangle?
• Données.
Si le triangle KLM est rectangle, c’est en K car [LM] est le plus grand côté.
• Le test.
LM2 = 102 = 100
LK2+KM2 = 62+ 82 = 100
• Conclusion.
On a donc égalité,LK2+KM2=LM2.
De ce fait, d’après laréciproque du théorème de Pythagore, le triangle KLM est rectangle en K.
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Exercice 3. Déjà vu (5,5 points)
b
A
b B
bC
b
b
b
D
27 8
3 28 On a :
• AC= 8cm ;
• AB= 27cm ;
• CD= 3cm ;
• BD= 28cm.
1. [3,5 points] Le triangle BCD est-il rectangle? 1. a. [2 points] CalculonsCB.
• Données.
Le triangleABCest rectangle enA. L’hypoténuse est donc le côté[CB].
• Le théorème.
Donc d’après lethéorème de Pythagore:
CB2=CA2+AB2 CB2= 82+ 272 CB2= 793
• Conclusion.
Et puisqueCBest une longueur, on a BC=√
793≈28,2cm à0,1cm près.
1. b. [1,5 points] Le triangle BCD est-il rectangle?
• Données.
Si le triangle BCD est rectangle, c’est en D car [BC] est le plus grand côté.
• Le test.
BC2 = 793
BD2+DC2 = 282+ 32 = 793
• Conclusion.
On a donc égalité,BD2+DC2=BC2.
De ce fait, d’après laréciproque du théorème de Pythagore, le triangle BCD est rectangle en D.
2. [2 points] On note H le pied de la hauteur issue de A dans le triangle ABC. Calculer AH (on donnera une valeur approchée au mm près).
• D’une part, puisque ABC est rectangle enAon a : Aire(ABC) = AB×AC
2 = 27×8
2 = 108 cm2
• D’autre part, en considérant la base[BC]associée à la hauteur[AH]on a : Aire(ABC) = BC×AH
2 =
√793×AH 2 cm2 On peut donc écrire que :
√793×AH
2 = 108
√793×AH= 108×2 = 216 AH= 216
√793 AH= 216
√793≃7,7cm
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Exercice 4. Course à pied (5 points)
A (Départ)
B C D
E (Arrivée) 300m 400m
1 000 m
1 250 m
Calcul de la longueur réelle du parcoursABCDE:
• [1,5 points] LongueurBC:
Dans le triangleABCrectangle enA, le théorème de Pythagore permet d’écrire : BC2=AB2+AC2
BC2= 3002+ 4002 BC2= 250000
OrBCest positif car c’est une longueur donc BC =√
250000 = 500m
• [3 = 2 + 1points] LongueurDE:
Les droites(DE)et(AB)sont parallèles et la droite(AE)est perpendiculaire à(AB), elle est donc aussi perpen- diculaire à(DE). En effet par théorème :
Si deux droites sont parallèles et qu’une troisième droite est perpendiculaire à l’une, alors elles est perpendi- culaire à l’autre.
Théorème 1
Dans le triangleCDErectangle enE, le théorème de Pythagore permet d’écrire : CD2=CE2+ED2
1 2502= 1 0002+ED2 ED2= 1 2502−1 0002 ED2= 562 500
OrCDest positif car c’est une longueur donc CD=√
562 500 = 750m
• [0,5 points] LongueurABCDE:
ℓ(ABCDE) =AB+BC+CD+DE= 300 + 500 + 1250 + 750 ℓ(ABCDE) = 2800m
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Exercice 5. Problème de gazon (4 points)
Pierre vient d’acheter un terrain dont on peut assimiler la forme à la figure ci-contre :
Il souhaite mettre du gazon sur tout le terrain. Pour cela il veut acheter un produit qui se présente en sac de 15 kg où il est écrit « 1 kg pour 35 m2».
20 m
40 m
50 m
A B
C D
E 1. [2 points] Combien de sacs de gazon devra-t-il acheter?
On va donc calculer l’aire du domaine qui se compose du rectangle ABDE et du triangle rectangle en D, DBC.
• Aire du rectangle:Aire(ABDE) =AB×AE= 20×40donc Aire(ABDE) = 800m2 .
• Aire du triangle rectangle
Tout d’abord notons que le point D appartenant au segment [EC] on a :DC =EC−ED= 50−20 = 30m.
Dans le triangleBCDrectangle enD,
Aire(BCD) = DB×DC
2 = 40×30 2 donc
Aire(BCD) = 600m2
• L’aire du terrain est donc de :
Aire(ABCE) =Aire(ABDE) +Aire(BCD) = 800 + 600 Aire(ABCE) = 1 400 m2
• Combien de sacs de gazon devra-t-il acheter?
Il veut acheter un produit qui se présente en sac de 15 kg où il est écrit « 1 kg pour 35 m2». Donc à l’aide d’un de proportionnalité on a :
kg 1 kg ?
m2 35 m2 1 400 m2 Il faut donc 1×1 400
35 = 40kg de produit pour ce terrain.
Or les sacs sont de 15 kg et 40 15 ≈2,7,
il faudra donc 3 sacs de gazon .
2. [2 points] De plus, il voudrait grillager le contour de son terrain. Il dispose de 150 m de grillage, est-ce suffisant ? Justifier.Dans le triangleBCDrectangle enD, le théorème de Pythagore permet d’écrire :
BC2=BD2+DC2 BC2= 402+ 302 BC2= 2 500 OrBCest positif car c’est une longueur donc
BC =√
2 500 = 50m Le périmètre du terrain est donc de :
P=AB+BC+CE+AE= 20 + 50 + 50 + 40 P= 160 m
Il va donc manquer de grillage puisqu’il ne dispose que de 150 m .
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