15 Introduction à la mécanique du solide
15.1 Avant-propos
Bien sûr, le point matériel n’est qu’une idéalisation, et les mouvements des objets du quotidien sont liés à leur forme. Une balle de tennis, toute sphérique qu’elle soit, se déplace sous l’effet de la gravité dans la base de projection liée au terrain de tennis, mais elle subit également une rotation propre (le lift) qui génère une force additionnelle à la simple gravité et permet aux joueurs de varier les effets sans pour autant enfreindre les principes universels de la physique.
15.2 Modèle du solide indéformable
15.2.1 Définition
Par souci de simplification, nous ne traiterons ici que des solides qualifiés d’indéformables.
Solide indéformable
On appelle solide indéformablele solide S dont les points constitutifs restent à distance constante les uns des autres au cours du temps.
∀M1, M2 ∈ S2: dM1M2 dt = 0
15.2.2 Translation & rotation d’un solide indéformable
Comme un solide est défini par un ensemble de points, il est impossible de parler de « la » trajectoire d’un solide. Nous allons illustrer ce propos en définissant les termes de translation d’un solide et de rotation d’un solide.
On verra un peu plus loin qu’un point particulier appelécentre de massepermet néanmoins de discuter un peu plus simplement de trajectoires.
Mouvement de translation
Un solide S a un mouvement de translation, par rapport à un référentiel R, si pour tous points M1 etM2 de S le vecteur −−−−→
M1M2 garde une direction constante par rapport à R tout au long de son mouvement. On peut écrire :
∀M1, M2 ∈ S2: d−−−−→
M1M2 dt = #”0
15. Mécanique du solide 15.2. Modèle du solide indéformable
G• M1 •
• M2
G•
• M1
• M2
•G M1 •
• M2
Fig. 15.1 – Translation d’un solide
Parmi les innombrables mouvements de translation possible, on distinguera :
– le mouvement de translation rectiligne, où la trajectoire de chaque point Mi de S est une droite ; – le mouvement de translation circulaire, où la trajectoire de chaque point Mi de S est un arc de
cercle de même rayon.
La vidéo ci-dessous illustre ces deux types de translation :https://www.youtube.com/embed/67uB0t5WNGE Le mouvement de rotation autour d’un axe fixe se distingue de la translation circulaire par les varia- tions d’un vecteur−−−−→
M1M2 quelconque du solide au cours du temps.
Mouvement de rotation autour d’un axe fixe
Un solide S a un mouvement de rotation autour d’un axe fixe, noté ∆, si pour tous points M de S, et tout point Ade ∆, la distance AM est constante au cours du mouvement. On peut écrire :
∀M ∈ S,∀A∈∆ : dAM dt = 0
G• M1 •
• M2 G•
M1 •
• M2 G•
M1 •
• M2
G• M1 •
• M2
G• M1 •
• M2
G• M1 •
• M2
G• M1 •
• M2
G• • M1
• M2
ƥ
15. Mécanique du solide 15.3. Quantité de mouvement d’un solide
Fig. 15.2 – Rotation autour d’un axe fixe∆d’un solide La vidéo ci-dessous illustre ce type de rotation :
https://www.youtube.com/embed/DBujiHQrS9Q
15.3 Quantité de mouvement d’un solide
15.3.1 Définition
Avant d’exprimer la quantité de mouvement d’un solide, on introduit la notion de centre de masse, qui simplifiera les expressions à venir.
Centre de masse d’un système de points
On appelle centre de masse, d’un système de pointsS, le pointG, barycentre des points Mi deS, pondérés par leur massemi. On peut définir ce point de deux façons équivalentes :
X
i
mi
−−→GMi = #”0 ⇔−−→ OG=
P
i
−−→OMi
P
imi
On peut alors définir la quantité de mouvement d’un solide comme somme des quantités de mouvement des pointsMi qui le composent et généraliser cette définition.
Quantité de mouvement d’un solide
On appellequantité de mouvement d’un solide S le vecteur #”pS défini par :
#”pS =mtot#”v(G)
où mtot est la masse totale deS.
La quantité de mouvement d’un solide ne suffit pas à caractériser son mouvement, il faut également connaître son moment cinétique.
Exemple
Une toupie en rotation autour d’un axe fixe et un stylo posé sur une table ont la même quantité de mouvement.
En effet, un solide de quantité de mouvement nulle, peut-être parfaitement immobile et #”v(G) = L#”O = #”0 , ou tourner autour d’un axe passant par G. Dans ce deuxième cas, la quantité de mou- vement est bien nulle, mais #”
LO 6= #”0 . Ce cas de figure ne peut-être rencontré en mécanique du pont.
15.3.2 Loi de la quantité de mouvement
Le principe des actions réciproques nous permet d’affirmer que les éventuelles forces exercées par les pointMi entre eux s’annulent deux-à-deux. Il ne reste donc que les forces dites « extérieures » au solide S qui peuvent modifier sa quantité de mouvement.
15. Mécanique du solide 15.4. Moment cinétique d’un solide
Loi de quantité de mouvement d’un solide
La quantité de mouvement d’un solide S, de centre de masse G, de masse mtot, soumis à une résultante des forces extérieures #”
Fext s’écrit : mtot
d#”v
dt (G) = #”
Fext
où #”v(G) est la vitesse instantanée du centre de masse deS.
Exemple
On s’intéresse à un ballon de foot, sphère de rayonR et de massem, lancé à la vitesse initiale #”v0. Dans une base de projection cartésienne, associée à un référentiel galiléen, on peut appliquer la loi de quantité de mouvement et écrire :
md#”v
dt(G) =m#”g
Une résolution pas à pas de cette équation différentielle amène à établir que :
−−→
OG(t) =−−→
OG(t= 0) + #”v0t+1 2
#”g t2
Cette équation est identique à celle obtenue pour un point matériel, à un détail près, qui est que si l’origine du repère est l’endroit où est posé le ballon à t= 0, alors −−→
OG(t= 0)6= #”0 . En orientant l’axeOz selon la verticale ascendante :
−−→
OG(t= 0) =
0 0 R
On peut voir dans cet exemple que la résolution de l’équation de la quantité de mouvement ne suffit pas à connaître complètement le mouvement deS, seulement celui de son centre de masseG.
Cette équation ne nous dit rien des éventuelles rotations deS autour de Glors de sa trajectoire.
15.4 Moment cinétique scalaire d’un solide en rotation autour d’un axe fixe
On s’intéresse dans ce paragraphe aux mouvements de rotation d’un solide S indéformable, tel que défini dans les paragraphes précédents. On note ˙θ=ω la vitesse angulaire du solide S.
15.4.1 Moment d’inertie
Comme pour la quantité de mouvement d’un solide, le moment d’inertie se conçoit plus facilement à partir d’un système composé d’un ensemble de points Mi de masse mi placés à la distance ri d’un axe
∆ de rotation. On a vu au chapitre « Théorème du moment cinétique » que le moment cinétique scalaire d’un point M, de masse m, placé à la distance r d’un axe ∆, par rapport à ce même axe ∆ s’écrit : L∆=mr2θ. On en déduit l’expression du moment d’inertie d’un ensemble de points.˙
15. Mécanique du solide 15.4. Moment cinétique d’un solide
Moment cinétique scalaire d’un ensemble de points
On appellemoment cinétique scalaire d’un ensemble de points Mi de masse mi placé à la distance ri d’un axe de rotation fixe ∆, la grandeur scalaire, exprimée en kg.m2.s−1, par la relation :
LS,∆=X
i
miri2θ˙
où ˙θest la vitesse angulaire des points Mi.
Cette écriture peut se généraliser à un ensemble continu de points et on définit alors le moment d’inertie.
Moment d’inertie
On appellemoment d’inertied’un solideS, par rapport à un axe fixe ∆, la grandeur scalaire notée J∆, exprimée en kg.m2 telle que :
LS,∆=J∆θ˙
Le moment d’inertie est une donnée du problème qui sera fournie par un énoncé. On trouvera un complément d’information sous ce lien :https://fr.wikipedia.org/wiki/Moment_d’inertie
15.4.2 Théorème du moment cinétique pour un solide en rotation autour d’un axe fixe L’utilisation du moment d’inertie permet de formuler le théorème du moment cinétiqueappliqué à un solideS en rotation autour d’un axe fixe ∆ sous la forme suivante :
Théorème du moment cinétique pour un solide en rotation autour d’un axe fixe Le théorème du moment cinétiqueappliqué à un solide S, de moment d’inertie J∆, en rotation autour d’un axe fixe ∆, à la vitesse angulaire ˙θ s’écrit :
J∆θ¨=X
i
M∆(#”
Fi)
où M∆(#”
Fi) est le moment scalaire de la force #”
Fi par rapport à l’axe ∆.
Exemple
On s’intéresse à une planche d’épaisseur enégligeable, de largeur` et de longueurL, de massem et de moment d’inertie J∆. On place cette planche sur un support fin à une distance L/3 de son extrémité, tel que représenté sur le schéma ci-dessous et on s’intéresse à son mouvement.
θ
• B F#”1
•G m#”g A•
∆ R#”N
e
L
Fig. 15.3– Rotation d’une planche autour d’un axe
Le théorème du moment cinétiqueappliqué à la planche s’écrit : J∆θ¨=M∆(m#”g) +M∆(#”
RN) +M∆(#”
F1)
Le calcul des divers moments de force gagne à être effectué grâce au bras de levier :
15. Mécanique du solide 15.5. Approche énergétique
– poids : M∆(m#”g) = −AGcos(θ)mg = −L6 cos(θ)mg, le signe − de déduisant du sens de rotation indirect imposé par le poids ;
– réaction du support :M∆(#”
RN) = 0 car le point d’application de la force est sur l’axe ; – force # ”
F1 : M∆(#”
F1) = ABcos(θ)F1 = 2L3 cos(θ)F1, le signe + de déduisant du sens de rotation direct imposé par cette force.
On en déduit l’équation différentielle suivante : J∆θ¨=Lcos(θ)
2 3F1− 1
6mg
Cette équation est non-linéaire et ne peut se résoudre simplement que sous l’hypothèse des petits angles ou cos(θ)'1. On peut néanmoins établir que la condition d’équilibre des forces se traduit par :
F1 = 3 12mg
15.5 Approche énergétique d’un solide en rotation autour d’un axe fixe
Conformément au programme officiel, nous limiterons notre propos aux solides en rotation autour d’un axe fixe, noté ∆.
15.5.1 Énergie cinétique d’un solide en rotation autour d’un axe fixe
L’expression de l’énergie cinétique se simplifie considérablement lorsqu’elle s’appuie sur la notion de moment d’inertie.
Énergie cinétique d’un solide en rotation autour d’un axe fixe
L’énergie cinétique d’un solideS en rotation autour d’un axe fixe∆, à la vitesse angulaire ˙θs’écrit : Ec,S,∆= 1
2J∆θ˙2
où J∆ est le moment d’inertie deS relatif à l’axe de rotation ∆.
15.5.2 Théorème de la puissance cinétique d’un solide en rotation autour d’un axe fixe Pour un solide en rotation atour d’un axe fixe, le théorème de la puissance cinétique se déduit directement de celui du moment cinétique.
Théorème de la puissance cinétique pour un solide en rotation autour d’un axe fixe Les variations temporelles d’énergie cinétique Ec,S,∆ d’un solide S, en rotation autour d’un axe fixe ∆ sont égales à la puissance des actions mécaniques qu’il subit :
dEc,S,∆
dt = ˙θX
i
M∆(#”
Fi)
où ˙θest la vitesse angulaire instantanée, et M∆(#”
Fi) est le moment scalaire de la force #”
Fi.
