Math´ematiques pour l’Ing´enieur Examen final du 12 janvier 2017
Seul document autoris´e : formulaire sur la transform´ee de Laplace Exercice 1. Calculer l’int´egrale suivante en utilisant la formule des r´esidus
Z 2π 0
1 + cos 2θ
√2−sinθdθ.
Exercice 2. On va calculer l’int´egrale impropre (∗)
Z +∞
−∞
cost 1 +t2dt.
1. Justifier la convergence de cette int´egrale.
2. On introduit la fonction analytique z 7→ f(z) = 1+zeiz2 et le contour γ = γ1 ∪ γ2 compos´e du segment γ1 = [−R, R] et du demi-cercle γ2 centr´e en 0 et de rayon R parcouru dans le sens trigonom´etrique positif. Calculer par la formule des r´esidus
Z
γ
f(z)dz.
3. D´eterminer limR→+∞R
γ1f(z)dz.
4. Montrer que limR→+∞Rγ
2f(z)dz = 0.
5. En d´eduire la valeur de l’int´egrale impropre (*).
Exercice 3.On consid`ere un syst`eme lin´eaire, stationnaire et causal dont la fonction de transfert est donn´ee par
H(s) = 3s+ 4 s2−2as+a2 + 1, o`u a est un param`etre r´eel.
1. D´eterminer la r´eponse impulsionnelle de ce syst`eme.
2. Pour quelles valeurs dea ce syst`eme est-il stable ?
Exercice 4. En utilisant la transform´ee de Laplace, r´esoudre l’´equation diff´erentielle
y00(t)−3y0(t) + 2y(t) = e−t, t≥0, y(0) = 0, y0(0) = 1.
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