2010-2011
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L.S.Marsa Elriadh
Correction du Devoir de Synthèse n°1
M : Zribi
3
èmeMaths
2012-2013Exercice 1 (4 points) : 1) Df=IR/{-2}
2) x x x 2 x 2
lim f (x) 3 ; lim f (x) ; lim f (x) et lim f (x) .
3)
x x x
lim f (x) (2x 1) 0 donc lim f (x) 2x 1 0 donc lim f (x) 2x 1
4)
x
x
x 2
x
i) lim 1 Faux
f (x) 2x 1
ii) lim 1 vrai
f (x) 3
iii) lim 1 0 vrai f (x)
iv) lim f (x) 2x 1 0 Faux
Exercice 2 (6 points) : 1) a)
x² 2x 8 0 ( 0)
x² 2x 8 4 sig x² 2x 8 16 sig x² 2x 8 0 sig x 2 ou x 4 Df IR / {2, 4}
b)
(x² 4) x² 2x 8 4 (x² 4) x² 2x 8 4 f (x)
x² 2x 8 ( x² 2x 8 4)( x² 2x 8 4)
(x 2)(x 2)( x² 2x 8 4) (x 2)( x² 2x 8 4)
(x 2)(x 4) (x 4)
.
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c) x 2 x 2
(x 2)( x² 2x 8 4) 16 lim f (x) lim
(x 4) 3
donc f est prolongeable par
continuité en 2 . h(x) f (x) si x 2 h(2)16
3
2) a)
continuité de g sur ] , 2[:
g est continue sur IR / {2,3} et en particulier sur ] , 2[
continuité de g sur ]2, [:
x x² 4 continue sur ]2, [
x x² 2x 8 continue et positive sur ]2, [ donc x x² 2x 8 continue sur ]2, [ de plus x² 2x 8 4non
nulle sur ]2, [
donc g continue sur ]2, [
Montrer que g est continue sur les intervalles ]-∞,2[ et ]2,+∞[.
b)
x 2 x 2 x 2 x 2
2x² 8x 24 2(x 2)(x 6) 2(x 6) 16
lim g(x) lim lim lim
3x² 15x 18 3(x 2)(x 3) 3(x 3) 3
c) f est continue en 2 si et seulement si a =16 3 . 3)
A( 6, 0) et B(2,16) 3
6 2
1 1
Air det(OA, OB) 16 16
2 2 0
3
Exercice 3 ( 4points) : 1) a) 2625⋀360 =15.
b) D2625∩D360=D15={1,3,5,15}
2) soit d un diviseur commun de a et b ; d divise a+b=47 donc d est 1 ou 47 et comme a≠0 et b≠0 alors d=1. donc a b 1 donc a et b sont premiers entre eux.
3)
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a b 195 a b 15
a 15a ' ; b 15b ' et a ' b ' 1 a ' b ' 13
donc a ' b ' 1
a’ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
b’ 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
d’où 4)
4.0 2 2.0 1
4n 2 2n 1 4(n 1) 2 2(n 1) 1
4(n 1) 2 2(n 1) 1 4n 2 2n 1 4n 2 2n 1
4n 2
on a 3 4 9 4 5 divisible par 5 sup posons que 3 4 est divisible par 5 montrons que 3 4 est divisible par 5
on a 3 4 81.3 16.4 (16.5 1).3 (5.3 1).4
5(16.3
3.42n 1) 34n 2 42n 1 5k 5k ' divisble par 5
Exercice 4 ( 6 points):
1)
f ( ) 2 cos 2 sin 0
8 4 4
97 97 97
f ( ) 2 cos( ) 2 sin( )
12 6 6
3 1 6 2
2 cos 2 sin 2 2
6 6 2 2 2
.
2) 2 cos(2x ) 2 cos 2x cos sin 2x sin 2 cos 2x 2 sin 2x f (x)
4 4 4
3)
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5 6 2
f ( ) 2 cos 2 cos
12 6 4 12 2
5 6 2
donc cos
12 4
5 5
cos 2 2 cos ² 1
24 24
6 2 5
2 cos ² 1
4 24
6 2 4 5 5
cos ² et cos 0
8 24 24
5 6 2 4
donc cos
24 8
I) 1)
A(2, ) x 2 cos 2 2 2 y 2sin 2 donc A( 2, 2)
4 4 2 4
1 3
B(1, 3) r 1² ( 3)² 2 cos sin donc
2 2 3
donc B(2, ) 3
2)
3) a)
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D D
D D
x 1
OADB un parallè log ramme donc OA BD donc 2
y 3
2 donc x 2 1 et y 2 3 donc D 2 1, 2 3
.
b)
2 2
OD 2 1 2 3 8 2 2 2 6
i, OD [2 ] 24
D( 8 2 2 2 6 , ) 24
c) cos 2 1
24 2 4 2 6
3 2
sin24 2 4 2 6
( 2 6) 4 ( 2 6)
5 2 6
cos( ) cos( )
24 4 24 2 2 4 2 6 2 2 4² ( 2 6)²
( 2 6) 4 2 6 4 2 6
2 2 8 2 12 2 2
.
