´Etendre le corps Daniel Ferrand Juillet 2007

Etendre le corps ´

Daniel Ferrand Juillet 2007

Non, non, il s’agit seulement de Math´ematiques !

Pr´ecisement, ´etant donn´ees une extension de corpsK→Let une matrice A∈M_pq(K), vue comme une application K-lin´eaire

A:K^q −→ K^p,

le probl`eme est de d´eterminer les propri´et´es de l’application A qui sont transmises `a l’application L- lin´eaire associ´ee `a la mˆeme matrice

A:L^q −→ L^p,

et, inversement, les propri´et´es de cette derni`ere qui s’imposent `a l’application K-lin´eaire initiale. Ces questions sont famili`eres pour l’extensionR⊂C, mais un agr´egatif peut aussi les rencontrer pour une extension finie de corps (K→K[X]/(P), avecP irr´eductible), ou pour une extension de corps finis, mais aussi pour l’extension transcendante K→K(X).

Comme le produit tensoriel (qui donne lieu `al’extension du corps de base V 7→L⊗KV) n’est plus au programme, nous ne parlerons pas d’applications lin´eaires de fa¸con intrins`eque, mais uniquement par le biais de matrices, car pour ces derni`eres l’extension du corps de base est simplement l’inclusion d’anneaux

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evidente : Mpq(K)⊂Mpq(L).

Il faut souligner que lesdonn´ees sont relatives au corps de baseK, et que les ´enonc´es comparent des propri´et´essurK et surL. On ne dira rien du«probl`eme de descente» des applications, qui cherche des conditions sur une matrice `a coefficients dansL, pour que ses coefficients soient, en fait, dans le sous-corps K. Pour l’extensionR⊂C, la r´eponse est l’invariance par conjugaison. Une r´eponse dans le cas g´en´eral obligerait `a sortir du programme.

1.- ´Enonc´es

Pour simplifier les ´enonc´es on noteraA_K la premi`ere application (celle qui estK-lin´eaire), etA_L la seconde.

On va montrer les ´equivalences suivantes : 1.1)AK est injective⇐⇒AL est injective.

1.1’)AK est surjective⇐⇒ AL est surjective.

Plus g´en´eralement, soitB∈M_pr(K) une autre matrice ; alors

1.2) Il existe une matrice X ∈ M_rq(K) telle que A_KX = B_K si et seulement si il existe une matrice Y ∈M_rq(L) telle queA_LY =B_L.

1.3) rang(AK) = rang(AL).

Les ´enonc´es suivants portent sur les matrices carr´ees ; on suppose donc quep=q, et queArepr´esente un endomorphisme deK^p; on identifie aussi l’anneau des polynˆomesK[X] `a un sous-anneau deL[X].

1.4) det(A_K) = det(A_L) ; plus g´en´eralement, Pol.car(A_K, X) = Pol.car(A_L, X).

1.5) Pol.min(AK, X) = Pol.min(AL, X)

Les ´equivalences pr´ec´edentes d´ecoulent de raisonnements d’alg`ebre lin´eaire tr`es ´el´ementaires ; les sui- vantes sont plus profondes.

1.6) L’espaceK^p est cyclique pourA_K si et seulement siL^p est cyclique pourA_L.

1.7) Consid´erons une seconde matrice de mˆeme format A⁰ ∈Mp(K). Alors AK et A⁰_K sont semblables (i.e sont conjugu´ees par un ´el´ement de GLp(K)) si et seulement siAL etA⁰_L sont semblables.

2.- Injectivit´e

Lemme 2.1 Consid´erons une matriceA∈Mpq(K).

i)A est injective si et seulement si il existe une matriceB ∈Mqp(K) telle que BA=I_q

ii) A est surjective si et seulement si il existe une matriceC∈Mqp(K)telle que AC =Ip

iii) Aest injective si et seulement si sa transpos´ee^tA est surjective.

La relationBA=Iq implique visiblement que l’application K-lin´eaireA:K^q −→ K^p est injective.

R´eciproquement, si A est injective, cette application ´etablit un isomorphisme entre K^q et Im(A), et le choix d’un suppl´ementaireV de Im(A) dansK^p, permet de construire l’application

B:K^p= Im(A)⊕V −→K^q, qui est l’inverse de Asur Im(A), et est nulle surV; on a bienBA=Iq.

De mˆeme, si AC = I_p alors A est surjective, et si, r´eciproquement, l’application A est surjective, on peut choisir p´el´ements dans K^q dont les images parA forment la base canonique de K^p; d’o`u une application C:K^p−→K^q telle queAC =I_p.

La propri´et´eiii)d´ecoule des deux premi`eres et du fait que la transposition renverse l’ordre des facteurs d’un produit.

2.2. L’implication :A_L injective⇒A_K injective.

Elle se voit sur le diagramme commutatif

K^{q AK} //

K^p

L^q _A

L

//L^p

dont les fl`eches verticales sont les injections canoniques.

2.3. L’implication :AK injective ⇒AL injective.

La d´emonstration repose sur l’´egalit´e de 2.1.i): si A_K est injective, il existeB telle queB_KA_K =I; ce produit de matrices donne aussi B_LA_L=I, doncA_L est injective.

2.4. Attention ! Il est en g´en´eral faux queqvecteurs deL^p, qui sont lin´eairement ind´ependants surK, le soient aussi sur L; par exemple, {1, i} ⊂ C est une partie qui est libre sur Ret pas sur C. Dans le langage qui pr´ec`ede, cela signifie qu’une application K-lin´eaire injectiveK^q →L^p (celle associ´ee aux q vecteurs K-libres), ne se factorise en g´en´eral pas en

K^qDDDDDDDD//""K^p

can.

L^p o`u la fl`eche verticale d´esigne l’inclusion canonique.

3. Surjectivit´e

Pour d´emontrer l’´equivalence (1.1’), on peut se ramener par transposition `a l’´enonc´e analogue sur l’injectivit´e, en utilisant la partieiii)du lemme.

Mais on peut aussi utiliser une r´etraction K-lin´eaire de K → L : plus pr´ecisement, choisissons un sous-K-espaceV suppl´ementaire de K dans L, de sorte que l’on a une d´ecomposition L= K⊕V; on d´efinit alors une applicationK-lin´eaire

t:L−→K

en posant t(x) = x si x ∈ K, et, par exemple, t(x) = 0 si x ∈ V ; bien entendu, cette application ne respecte pas les produits. On prolonge t en une application K-lin´eaire M_rq(L) → M_rq(K). Pour l’extension R⊂C, on peut prendre pourtla partie r´eelle.

D´emontrons alors (1.2) (ce qui entraˆınera (1.1’) qui en est un cas particulier) ; l’implication directe⇒ est ´evidente ; supposons, inversement, qu’il existe une matrice Y ∈M_rq(L) telle que A_LY =B_L. Cette

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egalit´e se d´eploie enpr´egalit´es de la forme

a_i1y_1j+a_i2y_2j+· · ·+a_iqy_qj=b_ij.

Lesy_kjsont dansL; en prenant l’image par l’applicationK-lin´eairet(qui est l’identit´e surK), on trouve a_i1t(y_1j) +a_i2t(y_2j) +· · ·+a_iqt(y_qj) =b_ij.

Cela s’´ecrit aussiA_Kt(Y) =B_K.

4. ´Egalit´e des rangs

Soitrle rang de la matriceAK; en choisissant une base de l’espace Im(AK)⊂K^p, on peut d´ecomposer la matriceAen le produit A=BC,

K^q −→^C K^r −→^B K^p,

o`u la matrice B<sub>K</sub> repr´esente une application injective, et C<sub>K</sub> une application surjective. D’apr`es (1.1) et (1.1’), l’application B_L est injective, et C_L est surjective ; par suite, la d´ecomposition A_L = B_LC_L montre queBL induit un isomorphismeL-lin´eaire deL^rsur lm(AL). D’o`u l’´egalit´e des rangs.

Cette ´egalit´e peut se d´eduire aussi du crit`ere portant sur le format maximum d’un mineur inversible extrait deA; mais ce serait utiliser une th´eorie bien compliqu´ee pour un r´esultat aussi simple.

5. Egalit´´ e des polynˆomes

L’´egalit´e des d´eterminants et des polynˆomes caract´eristiques (1.4) est mise pour m´emoire ; elle provient de ce que le d´eterminant est une expression polynomiale (compliqu´ee, certes, mais polynomiale) en les coefficients de la matrice.

SoitP(X)∈K[X] le polynˆome minimal deA_K; il est caract´eris´e par le fait que l’application K[X]/(P) −→ Mp(K), X 7→AK,

est bien d´efinie (i.eP(A) = 0), et est injective. En posant r = deg(P), l’espace de gauche admet pour base les classes {1, x, . . . , x^r−1}, et celui de droite a une base canonique `a p² ´el´ements ; cette applica- tion s’exprime donc, sur ces bases, par une matrice M ∈M_p2,r (qu’il n’est pas question d’expliciter !) ; l’application

L[X]/(P) −→ M_p(L), X 7→A_L,

est donn´ee par la mˆeme matrice ; c’est ML. D’apr`es (1.1), ML est injective, donc P est le polynˆome minimal deAL.

6. Espaces cycliques et similitude

Les ´enonc´es (1.6) et (1.7) reposent sur des th´eor`emes difficiles : le premier dit que l’espace K<sup>p</sup> est cyclique pour un endomorphisme AK si et seulement si le polynˆome minimal de AK est ´egal `a son polynˆome caract´eristique (rappelons que cela utilise l’existence d’un ´el´ement dont le polynˆome annulateur est ´egal au polynˆome minimal) ; comme les polynˆomes minimal et caract´eristique sont conserv´es par extension du corps de base, il en est de mˆeme de la cyclicit´e, d’o`u (1.6).

Venons-en `a la similitude (1.7). Il est ´evident que si A_K et A⁰_K sont semblables, alors A_L et A⁰_L le sont. La r´eciproque utilise la th´eorie des invariants de similitude : il existe une unique suite de po- lynˆomes unitaires deK[X], (P1, P2, . . . , Ps) telle quePidivisePi+1 pouri < s, pour laquelle il existe une d´ecomposition en somme directe

K^p =E1⊕E2⊕ · · · ⊕Es

o`u chaqueE_i est stable et cyclique pourA_K, et de polynˆome minimalP_i.

Une telle d´ecomposition en sous-espaces stables cycliques se transporte de K^p `a L^p, si bien que la suite (P1, P2, . . . , Ps) donne les invariants de similitudes de AL en vertu de l’unicit´e de cette suite ; il est alors clair queAK etA⁰_K sont semblables si et seulement si AL etA⁰_L sont semblables.

Il faut souligner qu’une ´egalit´e de la forme A⁰_L =Q.AL.Q⁻¹, avec Q ∈ GLp(L), ne permet pas de trouver directement une matrice P ∈ GLp(K) qui conjugue AK et A⁰_K; il faut le long d´etour de la th´eorie des invariants de similitude pour pouvoir en affirmer l’existence ; cependant, lorsque K est un corps infini, un argument de densit´e permet de contourner cette th´eorie ; le voici, quelque peu r´esum´e : soit V ⊂Mp(K) leK-espace vectoriel form´e des matricesP telles que

P.AK =A⁰_K.P.

Il faut voir que V contient une matrice inversible, c’est-`a-dire que l’application polynomiale detV : V −→ K

est non nulle, et, en particulier queV 6= 0. Le terme : ”application polynomiale” signifie ceci : si on choisit une base (v1, . . . , vn) deV, tout ´el´ement de cet espace est de la formex=P

xivi et on peut ´ecrire det(x) = det(x1v1+· · ·+xnvn) =P(x1, . . . , xn)

o`u P est un polynˆome homog`ene de degr´e pen ces n variables. Admettons que le sous-L-espaceW ⊂ M_p(L) engendr´e parV soit ´egal `a l’espace des matricesQ∈M<sub>p</sub>(L) telles queQ.A<sub>L</sub> =A<sup>0</sup><sub>L</sub>.Q(C’est un bon exercice pour v´erifier si on a compris 1.1) et 1.2) !). Par hypoth`ese, l’application polynomiale

detW : W −→ L

est non nulle ; comme elle s’exprime, relativement `a une base choisie dansV, par la mˆeme formule que detV, ce dernier polynˆomeP(X1, . . . , Xn) est lui aussi non nul ; mais, sur un corps infini, un tel polynˆome non nul prend une valeur non nulle surKⁿ.