A UML-Based Method for Deciding Finite Satisfiability in Description Logics

+ ,!"-/.!"0%!* 1!"$2 34!6578!"/$9:&/!"

?

;=<><>?A@CBD?FE*?FG>GH?AIKJLBNMOEP?RQS?FTU?FVK?AI

W8XZY[]\A^`_Pa3bAcPde_Pf]c*_gS_P[ih%aj^`Y_PfF^

k _Pfmlon\ma`dpXZfrqf]dpst_ua`vjdp^xw/X>yz^`{m_S|_*}>_*s~ k _*_PajlobA{m_*sZh€>‚Aƒ6„t…~i†‡bAˆ3‰Š‹

Œ]>ŽA>F‘t’ “•”F–>—“xF‘˜“jZ™

~

Œ%Žt‘t’˜“•”F–%—“oF‘˜“‡Z™

š›œ*ž*Ÿ" i¡>žZ¢£¤O¥]¤U¦x§¨u©>¦ª¤U¨¬«©t­P¤ª®¤U¦ª¯ dpf7g_*vjcPa`dp[m^`dpXZf7‹KXZ}Zdpc*vSh>fi°dpf±q²R‹Lc*³eh%vjv

°Ad¬h%}>a´h%Yvdpv^`{]_,[Aa`XZµm³e_PY¶X>y·°m_Pc*de°mdpf]}r¸¹{m_P^`{]_uaHhºc*XZfmc*_*[m^»•hrcP³¬h%vjv´¼={]h>v½h

¾]f]d¿^`_Z~f]X>fmlÀ_*Y[m^xwL_PÁF^`_*fmvjdpXZf:dpfÂvjXZY_rYXF°A_*³ªÃÄ4{]_R[Aa`XZµ]³p_*YdevÅFfmX"¸¹fD^`X

µ_3{ih%a´°ÆÃ]bF^´h>f]°]h"a´°/gS‹±a`_6h%vjXZfm_Pa`v¹°mXf]X>^8a`_6h>vjX>fRh>µX>\m^4¾]f]d¿^`_v`h"^`dpv‡¾h>µmdp³ed¿^xwÃ

†xf±^`{mdpvSh%aj^`dpc*³p_½¸4_½def^ja`XF°A\]c*_½c*³eh>vjv°Adeh>}>a´h%YÇ^ja´h>fmvj³eh%^`dpXZfmvyUX%aY/h"ÈoX>aXZ[_Pa´h"l

^`X%a`v8dpf°m_*vjcPa`dp[A^`deX>f/³eX>}Zdpc*v*~mh>f]°,_PÁF^`_*fi°Hh=[Aa`_*sFdpXZ\]vq²R‹r¾]f]d¿^`_3v`h"^`dpv‡¾h>µmdp³ed¿^xw

°A_*c*dpvjdpXZf±h>³p}>X>a`d¿^`{]YÉ^`X,{]h>fi°A³p_^`{]_*vj_S^ja´h%f]vj³eh%^`dpX>f]v*Ã

Ä4{m_,c*XZf^ja`dpµ]\A^`dpXZfX%y8^`{mdev=h"aj^`dpc*³p_devdpf7[ma`_*vj_PfF^`dpfm}Rh>f#_PÊc*dp_*f^Y_u^`{]XF°yUX>a

°A_*c*de°mdpf]}¾]f]d¿^`_3v`h"^`dpv‡¾h>µmdp³ed¿^xw/defh"^`XZYdpcZ~[Aa`deYd¿^`dpst_¹ÅFf]X6¸¹³p_6°m}>_µ]h>vj_*vX>y [XZ[ml

\m³¬h"a°A_*vjcPa`dp[m^`dpXZf±³pXZ}>dpc*v*~Æ\]vjdpf]}/h,^ja´h%f]vj³eh%^`dpXZf^`X/q²R‹LcP³¬h%vjvS°Ad¬h%}>a´h%Yv*ÃÆÄ4{]_

Y_P^`{mXF°h>[m[]³pdp_*v^`X/c*³eh>vjv{mde_ua´h%a`c´{]dp_*v^`{]h%^°mX/f]X%^Sdpf]c*³p\]°m_½cPwAc*³p_*v¸¹d¿^`{Ë ¤U¨´Ì

Í6Î ¤U¥]¦ X>a7Ï Î>Ð3Ñ ®e§u¦x§ c*XZfmv‡^ja´h>dpf^`v*Ã8Ä4{m_Rvjc*X>[_c6h>fµ_°m_u^`_Pa`Ydpf]_6°Ndpf:h7[ma`_Pl

[Aa`Xc*_*vjvjdpf]}Lv‡^`_P[ ÃÄ4{]_ºvj\]}Z}>_*v‡^`_6°Y_P^`{]XF°Ddpv,sZh%³p\ih>µm³p_Rvjdpf]c*_Rv‡^´h%fi°mh%a´°Dg‹

a`_6h%vjXZfm_Pa`v°AX,f]X%^Òa`_6h>vjX>f±h>µX>\m^Ò¾ifmd¿^`_v`h%^`dpv‡¾h%µ]dp³pdp^xw~

ÓNÔmÕzÖº×KØÙ8ÚAÛ

Ü

GZÝuÞ%EuMOßàuMOáAIT¬ámâAMUÞ%Ý>ãä½BåCÞ"TU?AÝPÝJÆMO?AâAE*?F@Lã=æKIKMeàPGçÝP?àuMUÝ´æ ?FVÆMOTOMeà`èmã½@éKTeàPM¬ßÆTOMUÞ"M¬à`èêÞ"áAIÆë

Ý`àPEP?AM¬I]àPÝ>ã4Þ"TU?AÝPÝ/ìÆMOG%E*?FE*Þ*ìiè:Þ%áAIKÝ´àuE*?FMOI]àPÝ>ãâAG>IÆG%E*?FTOMO<>?àPM¬ámIíÝ´G%àRÞ%áAIKÝ´àuE*?FMOI]àPÝ>ã?AÝPÝuáiÞ%MO?FàuMOáAI

Þ"TU?AÝPÝÞ"áAI Ý`àPEP?AM¬I]àPÝ>ãÞ"TU?AÝPÝìÆM¬G>EP?AEPÞ*ìiè±Ý´àuEPéKÞ6àPéÆEPGAãTOM¬IÆGZ?FEßÆEPáAâmEP?A@R@rMOIÆâºEuGZJéKÞ6àPM¬ámIïî

ð ñ]ò·óôÆõö÷½ø˜óÆù`õ·ò

ú¹ûªü ûªý‡þ3ÿFýxûUÿ"ûeûªý M¬I

Ü

G>ÝPÞ"EPM¬ßÆàuMOáAIåïámâAMUÞ%Ý

Ü

åݝMUݝàuìKG¹ßÆEPáAVÆTOG%@ áJG>Þ%MOJMOIÆâìÆG%àuìÆG>E

?iIÆáTOG>JÆâAGrVK?AÝuGRìK?AÝ?#æKIÆM¬àuGmãïIÆámIëoG>@Rßà`èN@RáiJÆG%ToîSìÆGßÆEPáAVÆTOG%@ MUÝiIÆáIàuáNV˜G

ìK?FE*J !#"`B$ÒëjÞ"ám@RßÆT¬G%àuG•ámEàuìKG&%(')+*,

Ü

å.-0/Aã21ã435oî76iàP?FI JÆ?FE*J

Ü

åíEPG>?mÝ´ámIÆG%E*Ý

JáRIÆáFà=EPG>?mÝ´ámI#?FV˜áAéÆàæ IÆMeàPG/Ýu?FàuMUÝ`æ˜?FVÆMOT¬M¬à`èAî

8 TO?mÝuݝVK?mÝ´GZJHEuG>ßÆEuGZÝ´G>I]àP?àPM¬ámIKÝ>ãPTOM0AG¹ä½Bå±Þ"TU?AÝPÝzJMU?FâAE*?F@Ýz?AIKJ9¹I]àuM¬à`èmë;:G>TO?FàuMOáAIKÝuìÆMOß

Ü å<JMO?AâAE*?F@Ý>ãKìK?>=mG?7ÝuM¬@RMOTO?AE ·üKûªýjþºÿýoûUÿ+?%ûpûªý@ ßKEuámVÆT¬G>@A7B ìÆG%àuìÆG>E?7JMU?FâmEP?A@

ìK?Aݺ?æKIÆM¬àuG#?AIKJ IÆámIëoG>@Rßà`èÂMOIKÝ´àP?AIKÞ"GCED8M¬âméÆEuG$/%ë‡?KãïßÆEPG>ÝuG%I]àPÝ?DÝ´@?AT¬T3áAI]àuámT¬ámâAèDMOI

?

bA\m[][X>aj^`_*°µw/^`{]_‹ÆwAf]fRh%fi°GFídp³e³pdeh>YIHma´h%f]Åt_P³KcP_*f^`_Pa¹yUX>aW8X>Y[]\m^`_ua3bAc*dp_*fmc*_*v*Ã

J

Ä4{]_Ò[Aa`XZµ]³p_*Y a`_LK\mdpa`_Pvï^`{]h%^ïyUX%a8_Pst_Pajw½c*³eh>vjv^`{]_Pa`_Òdpvh>f,dpf]v‡^´h%f]c*_ÒdpfH¸¹{mdpcu{d¿^{ih%vh¾]f]d¿^`_Z~

f]X>fmlÀ_*Y[m^xw=_PÁF^`_*f]vjdpX>f à k \m^d¿^8c6h%f,µ_¹vj{]X6¸¹fH^`{]h%^yUX>aq²R‹ºc*³eh>vjv4°Adeh>}>a´h%Yv*~Z^`{mdevdpY[]³pdp_*v

{ih6sFdpf]}Sh·³p_*}th%³mdpf]v‡^´h%f]c*_8def½¸¹{]dpc´{,h>³p³Ac*³eh>vjvï_PÁF^`_*fmvjdeX>f]vïh"a`_4¾if]d¿^`_8h>fi°=f]X>fmlÀ_*Y[A^owNM‚m~Z…A~PORQÀÃ

VÆM¬TOM¬à`è ßÆEPáAVÆTOG%@V6î"‡àMOIKÞ"TOéKJGZÝ?@ºéÆT¬àuMOßÆT¬MUÞ"M¬à`è ?AIKJ ìKM¬G>EP?AEPÞ*ìièíÞ"ámIKÝ`àPEP?AM¬I]àRÞ"èÞ"TOGàuìK?Fà

M¬IW=AámTX=mG>Ý,àPìÆGLÞ"TU?AÝPÝ´GZÝY)Z þ[ºû]\_^(`½þ?\%ýxû]aFü^ ) Fýbc PdZþe`½þ\"ýoû]aü4^(fSüWd [Rþ ?AIKJhg+i aj

ý‡þ%ûªü îk"jIKÝ´àP?AIKÞ"GZݺá?)Z þ[rû]\l @ºéKÝ´àrV˜GLEuG>TO?FàuG>J àuá `½þ?\%ýoû]aü MOIKÝ`à*?FIKÞ%G>Ý>ãkìÆMOÞ*ì)?FEPG

?FTUÝ´áLMOIKÝ`à*?FIKÞ%G>Ý,á?&) ý;m Pd>þeP`½þ?\%ýxû]aFü ãnìÆámÝuGRM¬I Ý`à*?FIKÞ%G>Ý@ºéKÝ`à/V˜GEPG%TU?àuGZJzãïGZ?AÞ*ìïãàPá

ào3á

füpd [Rþ

MOIKÝ`à*?FIKÞ%G>Ý>ãìÆMUÞ*ì ?FEPGD?FTUÝ´áíMOIKÝ´àP?AIKÞ"GZÝáqg+i

aFý‡þ%ûªü

?AIKJ á$)Z

þ[rû]\l

î

8

?FEPGR•éÆTz?FI ?FTOèiÝuMUݹEPG=AGZ?FTUÝÒàPìK?àMOI7G=mG%EPèRIÆáAIë‡G%@Rßà`èræKIKMeàPGHMOIKÝ´àP?AIKÞ"GáïàPìÆMOÝJÆMO?AâAE*?F@Lã

àuìÆG#I]éK@V˜G%E

E

á

füpdR [þ

M¬I Ý`à*?FIKÞ%G>Ý?AIKJ:àuìKG7IiéÆ@V˜G%E

R

á?

`½þ?\%ýoû]aü

M¬IKÝ´àP?AIKÞ"GZÝ%ã

@éKÝ´àÝP?àuMUÝr•è±àuìKG/EuG>TO?FàuMOáAIKÝuìÆMOßKÝ

E = 2R

^?AIKJ

E ≤ R

î7"jIKJG>G>JzãKàuìÆGÞ%TO?mÝuÝJÆMO?AâAE*?F@ MUÝ

\laFüÆÿ6ûUÿ6ý‡þ%üKý

ãÆMoîGmî¬ãKìK?AÝ=?RIKáAIë‡G%@Rßà`è±MOIKÝ´àP?AIKÞ"GtsFãÆVÆéÆà½M¬INGP=AG>Euè±MOIKÝ´àP?AIKÞ"Gmã

`½þ?\%ýoû]aü

?AIKJ

füWd [þ

JG>IÆáFàPGG%M¬àuìÆG>EG%@Rßà`è7ámESM¬Iæ IÆMeàPGÝuG"àPÝ>ãMO@rßKT¬èiMOIÆâRàuìK?FààuìÆGÞ%TO?mÝuÝJMU?FâmEP?A@¶MOÝ

IÆáFà

·üKûªýjþRc rÿýoûUÿR¬þ

î

uv0w ¢xi¢

‰)W8³eh>vjv·gSdeh>}>a´h%Yɸ¹dp^`{RhNHdpf]d¿^`_½bmh"^`dev‡¾ih>µmde³pd¿^ow&yza`XZµ]³p_*Y

Q3G>EP?AEPJÆM=G"àN?FToî -czt5‡ãßÆEuá=iMUJGDæ IÆMeàPGÂ@RáJG>TßÆEPG>ÝuG%El=iM¬IKâ EuGZJéKÞ"àuMOáAIKÝ#áàPìÆG{% '#)

JG>ÝPÞ"EPM¬ßÆàuMOáAIíTOáAâAMUÞ±MOI]àuáäBDå Þ"TU?AÝPÝJMU?FâmEP?A@RÝ>ã?AIKJíá½?EuGZÝ`àPEuMUÞ6àPG>J|=mG%E*Ý´MOáAI}•@RMOIÆáAE

EuGZÝ`àPEuMUÞ6àPM¬ámIKÝláàuìKGTU?à´àPG%E#M¬I]àuá àuìÆG:JG>ÝPÞ"EPMOßàuMOáAI TOáAâmMOÞ~% '#)#*,6î#SìÆG%EPGR•ámEuGmãÒæKIÆM¬àuG

Ýu?FàuMUÝ`æ ?AVÆMOT¬M¬à`è±á4ä½BDåíÞ%TO?mÝuÝJÆMO?AâAE*?F@Ý·MUÝ=?ATOÝuáq!(!#"`B$¹ë‡Þ%áA@RßÆTOG"àuGmî

 G=mG%EuàuìÆG>T¬GZÝuÝ>ã4àuìKG%EPGD?FEPGLÝuG=mG%E*?FTS@RG"àPìÆáJÆÝE•áAE#JG>Þ%MOJMOIÆâ æKIKMeàPGÝu?FàuMUÝ`æ˜?FVÆMOT¬M¬à`è MOI

•EP?mÞ6àuMOáAI ݺá?ä½Bå Þ%TO?mÝuÝRJMU?FâmEP?A@Ý%îkSìÆG%EPGL?FEPG7àoáÂ@?AM¬I)?FßÆßÆEPám?mÞ*ìÆG>݀•áAEREPG>?mÝ´ámIë

M¬IÆâ±?AV áméàSæKIÆM¬àuGÝP?àPMOÝ´æ ?AVÆM¬TOM¬à`è±á4Þ"TU?AÝPÝJMO?AâAE*?F@ÝPWSìKG pûªü˜þ i ûªü˜þR‚4pûªýoûÀþ6ÿqƒ?ƒ i aP\ Z

?FIKJ àuìÆG$„i lƒ Z ÿ"þe{ƒ?ƒ i aP\ Z…-†Æã‡KãnˆKã+/t‰>5‡îkSìKG7æKE*Ý´àr?FßKßÆEuá]?AÞ*ìíEPG>Jé Þ"G>ÝàuìKG7æÆë

IÆMeàPG#ÝP?àPMOÝ´æ ?FVKM¬TOMeà`è:ßÆEPáAVÆTOG%@ àuáDàuìÆG#ßÆEuámVÆTOG%@ áæKIKJÆM¬IÆâ:?DÝuáATOéàuMOáAI àPáÂ?DÝuèÝ`àPG%@ á

T¬MOIÆG>?AEºMOIÆGtŠmé ?FTOMeàPM¬GZÝ%îSìÆGÝ´GZÞ"áAI J ?FßKßÆEuá]?AÞ*ìíJG%àuG>Þ"àPÝrMOIæKIÆM¬à`è Þ%?AéKÝuM¬IÆâÂÞ"èÞ"TOG>ÝrMOI àuìKG

JMO?AâAE*?F@LãK?AIKJLß á]ÝuÝuMOVÆT¬èLÝuéÆâAâmG>Ý´àPÝEPG%ßK?AM¬E=àuE*?FIKÝr•áAEP@?àuMOáAI Ý%îÆ;½T¬T8@RG"àuìKáiJKݽ?FßKßÆT¬èáAIKT¬è

àuáA•E*?FâA@RG>Imà*Ýáä½Bå Þ"TU?AÝPÝ/JMU?FâmEP?A@RÝ>î Ü GZÞ"MUJMOIÆâNæKIÆM¬àuG#Ýu?FàuMUÝ`æ ?AVÆMOT¬M¬à`èéÆIKEuGZÝ`àPEuMUÞ6àPG>J

Þ"TU?AÝPÝJMO?AâAE*?F@Ý3MOÝ=Ý´àuMOTOT?FIáAߘG%ILMUÝuÝuéÆGAî

SìÆG‹•éKIKJÆ?F@RG>Imà*?FT#áAElÂMOI àPìÆGT¬MOIÆG>?AEºMOIÆGtŠmé ?FTOMeàPM¬GZÝr?AßÆßÆEPám?mÞ*ìíMOݺàuì ?àá€-†Æã‡5

"‡àR?AßÆßÆTOM¬GZÝàPá

fSüKýoûªý j]`þRXFýxû]aFüÆÿ Z ûƒ

f`

ºJÆMO?AâAE*?F@ÝGM¬àuìçVÆM¬I ?FEPè

[q‚ppýoûƒ2eû]\"ûªý@ |\aFü4j

Œ

Ä4{]_[Aa`XZµ]³p_*Y a`_LK\]d¿a`_*v^`{ih"^yUX>a_*sZ_Pajwc*³eh>vjv^`{]_Pa`_dpv/h%f dpf]v‡^´h>fmc*_dpf¸¹{mdec´{:d¿^{ih%vh

f]X>fmlÀ_*Y[m^xw½_PÁF^`_*f]vjdpXZfKà k \m^8d¿^4c6h%fµ_·vj{]X6¸¹f/^`{ih"^8yUX%aÒq²R‹c*³eh%vjvÒ°mdeh>}%a´h>Yv8^`{mdpv8dpY[]³pdp_*v

{ih6sFdpf]}h³e_P}th>³zdpfmv‡^´h>f]cP_Hdpf¸¹{]dpcu{7h%³e³˜c*³eh>vjv_PÁF^`_*fmvjdeX>f]vh%a`_½f]XZfAlÀ_*Y[m^xwÃibF\]c´{dpf]v‡^´h>fmc*_*v

T¬MOIÆG>?AE·MOIÆGPŠ]éK?AT¬M¬àuMOG>Ý!ìÆámÝuG=ÝuM¬<>G½MUݹߘáATOè]IKáA@RMO?ATÆMOIàuìÆGHÝ´MO<%G½áàuìÆGHJMU?FâAE*?F@Lî 8 ?ATX=?AIÆG>ÝuG

?FIKJ:åïG>IÆ<%G>EuMOIÆMoãzM¬I-X//L5‡ãzGRŽiàuG>IKJÂàuìÆMUÝ,@RG"àuìKáiJàuáN?AßÆßÆTOèNàuáNJMU?FâmEP?A@RÝ M¬àuìíÞ"TU?AÝPÝHìÆMeë

G%E*?FE*Þ*ì]èLÞ"ámIKÝ´àuE*?FMOImà*Ý%=áG=mG%EZãKàPìÆGÝ´MO<%Grá·àuìÆGREPG>ÝuéÆTeàPM¬IKâÝuèÝ`àPG%@ áM¬IKGPŠ]éK?FTOM¬àuMOG>ÝHMOÝ

GRŽß ámIÆG%I]àPMO?ATzM¬IàuìKG/Ý´MO<%G,á8àuìKG/Þ"TU?AÝPÝJÆMO?AâAE*?F@Lî

BD?FE*?FG>G7?FIKJ Q?ATO?AVK?FI ?ATOÝuáGŽiàuG%I JíàuìKG~-†5@RG"àuìKáiJ àuá:ìK?FI JT¬GÞ"TU?AÝPݺJÆMO?AâAE*?F@Ý

MeàPìçÞ"TU?AÝPÝ/ìKM¬G>EP?AEPÞ*ìièÂÞ%áAIKÝ´àuE*?FMOI]àPݺ?FIKJ âmG%IÆG>EP?AT¬MO<>?FàuMOáAI ÝuG"àrÞ%áAIKÝ´àuE*?FMOI]àPݑ-_’ãk“5‡îkSìÆMOÝ

@rG%àuìÆáJzãiàPG%EP@RG>JàPìÆG&”–•;—k•o˜T™›šœ7˜?AT¬âmáAEPMeàPìÆ@Lãmì ?AÝS?ߘáATOèiIÆáA@RMU?FTÞ"ám@rßKT¬GŽiM¬à`èAãiVÆéÆàSM¬àPÝ

ÝuÞ%áAߘGrMUÝTOM¬@RM¬àuGZJ:àuáNÞ"TU?AÝPÝ,ìÆMOG%E*?FE*Þ*ìÆM¬GZÝ9MeàPìÆáAéà/éKIKJMOEuGZÞ6àuGZJ Þ"èÞ"TOG>ÝNM¬àuì eFûUÿžaFûªüKý ámE

\la[–ƒ¬þ%ý‡þ Þ%áAIKÝ´àuE*?FMOI]à>îtSìÆMOÝ4ÝPÞ"ámß GÞ%?FIV GSJG"àPG%EP@RM¬IÆGZJViè?½ßÆEPG%ßKEuáÞ"GZÝuÝuMOIÆâßÆEPáiÞ%G>JéKEuGmî

"jIçàPìÆMUݱ?FEuàuMUÞ"TOGA3GNGŽ]àPG%IKJçàPìÆG~%(') àPá Þ"TU?AÝPÝJMU?FâAE*?F@ݺàuE*?FI Ý´TU?àPM¬ámIçá?&-czP5=àPá

M¬IKÞ%T¬é JG#@ºéÆT¬àuMOßÆT¬MUÞ"M¬à`è Þ%áAIKÝ´àuE*?FMOI]àáAߘG%E*?àPáAE*Ý/MOI)JGZÝuÞ%EuMOßàPM¬ámI T¬ámâAMUÞ%Ý>ã8?AIKJ GŽiàuG%I JíàuìKG

”–•;—n•o˜l™›škœ2˜º?FTOâAáAEPM¬àuìÆ@Ÿ-_’>5ÒàuáLìK?AIKJTOG?AÝPÝ´áÞ"MU?àPM¬ámIÞ"TU?AÝPÝ,Þ"ámIKÝ`àPEP?AM¬I]à*Ý%îSìÆGRGRŽiàPG%IKJGZJ

=AG%E*ÝuM¬ámINìK?FIKJÆT¬GZݽ?FTOT8áÒàuìKGºÞ"ámIKÝ´àuE*?FMOImà*Ý=éKÝuG>JDM¬INàPìÆGRJG>ÝPÞ"EPM¬ßÆàuMOáAINTOáAâAMUÞ,àPEP?AIKÝ´TU?àPM¬ámIKÝ>î

SìÆG%EPGR•ámEuGmã%àPìÆGSGRŽiàuG>IKJG>JV”–•;—k•o˜T™›šœ7˜·?FTOâAáAEPM¬àuìÆ@ÉÞ%?AIV˜G3é Ý´GZJ/àPáHJGZÞ"MUJG3æKIÆM¬àuGÝu?FàuMUÝ`æKë

?FVÆMOT¬M¬à`èrM¬I±JGZÝuÞ%EuMOßàPM¬ámIT¬ámâAMUÞ#]IKáT¬GZJâAGVK?mÝ´GZÝ%ãAßÆEuá=iMUJG>JºàPìK?à3àuìÆG>M¬EÞ"TU?AÝPÝÒìÆMOG%E*?FE*Þ*ìÆM¬GZÝ

À?FTOTïM¬IàPìÆGÝuÞ%áAߘGáN”–•;—k•o˜T™›šœ7˜tî

SìÆGÞ"áAI]àPEuMOVÆéàPM¬ámIÂá?3àPìÆMOÝ?FEuàuMUÞ"TOGrMUÝMOI ßÆEuGZÝ´G>I]àuMOIÆâN?FI:GR ±Þ"MOG%I]à/@RG"àPìÆáJ¡•ámE/JG"ë

Þ"MUJM¬IKâDæKIÆM¬àuGNÝP?àPMOÝ´æ ?FVKM¬TOMeà`è:MOIç?àPáA@RMUÞFã8ßÆEuMO@RMeàPMX=mGiIÆáTOG>JÆâAG±VK?mÝ´GZÝá?=ß ámßÆéÆTU?FERJG"ë

ÝuÞ%EuMOßàuMOáAITOáAâmMOÞ>Ý%ãméKÝuM¬IÆâº?àuE*?FI Ý´TU?àPM¬ámIºàPáºäBDåÞ%TO?mÝuݹJÆMO?AâAE*?F@Ý%îSìÆG½@RG"àPìÆáJ±?FßKßÆT¬MOG>Ý

àuá#Þ%TO?mÝuÝ=ìÆM¬G>EP?AEPÞ*ìKM¬GZÝSàuìK?FàHJá7IÆáFàHM¬IKÞ%T¬é JGéÆI JM¬EPG>Þ"àuGZJDÞ"èÞ"TOG>Ý(MeàPì

eûUÿaFûªüKý ámE

\a[&j

ƒ2¬þ%ý‡þ

Þ"ámIKÝ´àuE*?FMOImà*Ý%îSìKGDÝuÞ%áAߘGDÞ%?FI V˜GJG%àuG%EP@RM¬IKG>J)M¬I ? ßÆEPG%ßKEuáÞ"GZÝuÝuMOIÆâíÝ`àPG%ßïî!SìKG

Ý´éÆâmâAGZÝ`àPG>J@RG"àuìKáiJLMUÝ=?FTOéK?AVÆT¬G/ÝuMOIKÞ"GÝ´àP?AIKJÆ?AEPJ

Ü å EuGZ?AÝuáAIÆG>EPÝSJá±IKáFà=EPG>?AÝuáAIL?FV˜áAéÆà

æKIÆM¬àuG/ÝP?àuMUÝ´æ ?FVÆMOTOMeà`èmî

6iG>Þ"àuMOáAI¢1LJG>ÝPÞ"EPMOV GZÝ/?LæKIÆM¬àuG7@ráJG>T·ßÆEPG>ÝuG%El=iM¬IKâ#EPG>Jé Þ6àuMOáAIíá?S?

Ü

å}iIÆáTOG>JâmG

VK?AÝuG=MOImàPá?/äBDåÞ%TO?mÝuÝ3JMO?AâAE*?F@Lî6iGZÞ6àPM¬ámIV3/JG>ÝPÞ"EPMOV GZÝ·?FIGŽiàuG%I Ý´MOáAIá?áméÆE·ßKEuGP=]MOáAé Ý

3ámETã2•áAEJÆG>Þ"MUJMOIÆâæKIÆM¬àuG7ÝP?àPMOÝ´æ ?AVÆM¬TOM¬à`èDM¬IíäBDå Þ"TU?AÝPÝJMU?FâAE*?F@Ý9M¬àuìíÞ"ámIKÝ`àPEP?AM¬IKG>J

âAG%IKG%E*?FTOM¬<Z?àuMOáAIRÝuG"àPÝ3?FIKJ?mÝuÝuáÞ"MU?àPM¬ámIrÞ%TO?mÝuÝuG>Ý>î6iGZÞ6àuMOáAI‘†ß˜áAMOI]àPݹàuá•éàPéÆEPG½GRŽiàPG%IKÝuM¬ámIKÝ>î

£ ¤¦¥q§?¨>óõk¨>©«ª¬¥

Q3G>EP?AEPJÆMG%à?ATxîOãM¬I-czP5oãïÝuìÆáG>JLàPìK?à/JGZÞ"MUJMOIÆâÞ%áAIKÝuMUÝ`àPG%IKÞ%èNáäBDå)Þ"TU?AÝPÝHJÆMO?AâAE*?F@Ý

MOÝ((!#"`BYÒë‡Þ%áA@RßÆTOG"àPGAîSìÆGßKEuáiáÒMUÝ=ámVàP?AM¬IÆGZJLViè#ßÆEPá=iMOJÆM¬IÆâEPG>JÆéKÞ6àPM¬ámIKÝàPáW­t•EPáA@

ìK?FE*J$® þ"ÿ\ i ûƒýxû]aFü ' a „ û]\"ÿ î2SìÆG>èÝuìÆá àuìK?Fà½àPìÆGJGZÝuÞ%EuMOßàuMOáAINTOáAâmMOހ% '#)êÞ>?FINV˜G/G%Ië

Þ"áJG>JLVièLÞ"TU?AÝPݽJMU?FâmEP?A@Ý%ãÆ?AIKJNÞ"TU?AÝPݽJMU?FâmEP?A@ÝÞ%?FINV˜GG>IKÞ"áJGZJLM¬IDàuìÆGrJG>ÝPÞ"EPM¬ßÆàuMOáAI

T¬ámâAMUÞ

DLR if d

îSìÆGEPG>JÆéKÞ6àPM¬ámIKݽßKEuGZÝ´G>ET=mG/Þ"áAI Ý´MUÝ`àPG%IKÞ%èAãKæKIÆM¬àuGRÝu?FàuMUÝ`æ ?AVÆMOT¬M¬à`è?AIKJNTOáAâAë

MOÞ>?FT¹MO@RßÆT¬MUÞ%?FàuMOáAIïînDÆámEàuìÆG7ßÆéÆEPß á]Ý´Gá?àPìÆMUÝGáAEl˜ãG7?AEuGRMOImàPG%EPG>Ý´àuGZJ M¬IíEPG>Jé Þ6àuMOáAI Ý

•Euám@CJG>ÝPÞ"EPMOßàuMOáAIT¬ámâAMUÞ%ÝSMOI]àuáä½BDåíÞ%TO?mÝuÝSJMU?FâmEP?A@Ý%î

SìÆGE% '#)êMOI]àuá#äBDå EPG>JÆéKÞ6àPM¬ámIDá–-czt54MO݁VK?mÝ´GZJNáAID?±àuE*?FIKÝuTO?FàuMOáAINá?·?FI Fýba[ºû]\

ƒ i û[rûªýxû¯þ %('#)«•áAEP@éÆTU?ºM¬I]àuáÞ%TO?mÝuÝJMU?FâAE*?F@Ý9X°u?àPáA@RMOÞL±@RG>?AIKÝ3àuìK?FààPìÆGÝ´éKVKÝ´éK@rGZJ

Þ"áAI Þ"G%ßÆàSMOIN?q•áAEP@éÆTU?MUÝ?àPáA@RMUÞFãÆ?FI J&°´ßÆEPM¬@RM¬àuM0=AGL±,@RG>?FI ÝàuìK?FààPìÆG%EPG,MOÝ=IÆáRáAߘG%E*?àuámE

IÆG>Ý´àuMOIÆâ›"î+SìKG$•áAEP@éÆTU?FGLàPEP?AIKÝuTO?FàuG>J MOI²-czP5?FEPG?

A v ¬B, A v B ₁ t B ₂ , A v

∀R.B, A v ∃R.B

î<SìÆGEPG>Jé Þ6àuMOáAIíÞ>?FIÆIÆáAà/V G7G>?AÝuMOT¬èÂGRŽiàuG>IKJG>JÂàPáDIÆáAIÆë‡?FàuáA@RMUÞráAE IÆáAIë‡ßÆEPM¬@RM¬àuM0=AGN•ámEu@ºéÆTO?AGÝuM¬IKÞ%G/M¬àMUÝ=IÆáAàÞ"ám@rߘámÝuM¬àuMOáAIK?AT4SìKG/àuE*?FI Ý´TU?àPM¬ámIMUݽ?AßÆßÆTOM¬GZJ

MOÝ´æ ?FVKM¬TOMeà`è ßÆEPáAVKT¬G>@RÝR?AEuG7Þ>?FéKÝuG>J Viè Þ%èÞ"TOG>Ýrá=@ºéÆTeàPM¬ßKT¬MUÞ"M¬à`è Þ"ámIKÝ´àuE*?FMOImà*Ý%ãIÆáAIÆëxæKIKMeàPG

Ýu?FàuMUÝ`æ ?AVÆMOT¬M¬à`è±MOIY% '#)ÉMUÝ=Þ%?AéKÝuG>J#V]è#M¬I Þ"áAI Ý´MUÝ`àPG%IKÞ%èAãMoîGmî¬ã TO?mÞ±á4IÆámIëoG>@Rßà`è±@RáJG%TUÝ%ã

?FIKJ IÆáAà/VièÂTU?AÞÂáæKIÆM¬àuG7@RáJG>TOÝ>îSìÆG>EuG•áAEPGAã³G±JG=mG%TOáAßíÞ"ámIKÝuMOÝ´àuG>IKÞ"è:?FIKJÂæKIÆM¬àuG

Ýu?FàuMUÝ`æ ?AVÆMOT¬M¬à`èRßÆEuGZÝ´G>ET=iMOIÆâ,àuE*?FI Ý´TU?àPM¬ámIKݹá??àuám@RMOÞAãmßÆEPMO@rM¬àuM0=AG Ü å¡•áAEP@éKTO?AG–MeàPì7@ºéÆTeë

àuMOßÆT¬MUÞ"M¬à`èºÞ%áAIKÝ´àuE*?FMOI]àPÝ>ãF?FIKJrÝuìÆá ìÆáçáAéÆEÒ@RG%àuìÆáJRÞ%?AIrV˜G=?FßKßÆT¬MOG>Jq•ámE¹JG>Þ%MOJMOIÆâHæKIÆM¬àuG

Ýu?FàuMUÝ`æ ?AVÆMOT¬M¬à`è±MOILJÆG>ÝPÞ"EPM¬ßàPM¬ámI7TOáAâmMOÞ>ÝàuìK?Fà=M¬IKÞ%T¬é JG,àuìÆGZÝ´G,ámß G>EP?FàuáAE*Ý>î

´ ص¶8ÚP·µp¸P¹x×7¶C×7ºVµ¸>×2»¢¹]¼4½ ¾8ع]»¢¹]¸P¹¿˜Ô.ÀÁº‡× Ø>»ÄÃn·]µÆÔ}¹¶¿ ×2·¿³¹]¶nŅ»ÄÃ<·]¸P¹¾k·]¹¼?¹]¸PÕ

¼A×2¶ÚP¸%ص¹¶¸>Ú¢µ¶8Ù¶Ø×2·ÀÔ¦¹¶¿ Ô]ØÚ>Ô ×4¾·Ô]صp¸Z×KØÚ

SìÆGàuE*?FIKÝuTO?FàuMOáAIKÝR?AEuGM¬I Ý´ßÆMOEPG>J Viè

àuìÆG,àPEP?AIKÝ´TU?àPM¬ámIKÝM¬I|-czP5‡î

/Aî

A v B ₁ u B ₂

4SìÆGHàPEP?AIKÝ´TU?àPM¬ámI7MUÝâAM0=AG>I#MOIADMOâAéKEuGG1tëj?Æî 1î

A v≤ nR

A v≥ nR

^ã

A v= nR

LnSìÆG>ÝuGE•áAEP@éKTO?AG±Ý`à*?àuGRàPìK?ààuìÆG7Þ%áAIKÞ%G%ßà

A

MUݽÝuéÆVKÝuéÆ@RG>JLViè#àuìÆGÞ%áAIKÞ%G%ßàá¹?FTOTG>ImàPMeàPM¬GZÝàPìK?à?AEuGEuG>TO?FàuG>JÆ=iMU?RàuìÆGEuámT¬G

R

àuá?à@RámÝ´àGÀ?FàSTOG>?mÝ`àZãGRŽÆ?AÞ"àuTOè

n

G%I]àuM¬àuMOG>Ý>îSìÆGHàuE*?FI Ý´TU?àPM¬ámI7MOIÆD8MOâAéÆEPGN1ëoVLÝußÆT¬M¬àPÝ àuìÆG

R

?AÝPÝ´áÞ%MO?FàuMOáAILÞ"TU?AÝPÝ%ãiàPìK?à½Ý´àP?AIKJÆÝ+•áAE=àuìÆG

R

EPáATOGAãMOI]àuá±JMUÝ]Ç`áAMOImà½ÝuéÆVëjÞ"TU?AÝPÝuG>Ý>ã

R

^È

A ¯

^?FIKJ

R

^È

A

ãAàuìK?Fà3Þ"á=mG%E

R

?AIKJRMUJG%I]àuMX•èR?FTOT

R

ß ?FMOEPÝ4àPìK?àÝ`à*?FEuà·M¬I

A ¯

ã]?FIKJRMOI

A

ãmEuGZݴߘG>Þ"àuM0=AG%TOèAî?=AG>Euè

A

G>I]àuM¬à`èìK?mݹ?à¹@RámÝ´à

n R

TOM¬I4iÝ·Ý´MOIKÞ"G=àuìÆGßK?AM¬E*ÝÒMOI

R

^È

A ¯

JáIÆáAà·Ý`à*?FEuà¹M¬I

A

G>ImàPMeàPM¬GZÝ%î?"jIrámEPJÆG%E4àuá/?mÞ%Þ%áAéÆI]à•áAE4àPìÆG

≥

?FIKJºàuìKG

=

ámß G>EP?FàuáAE*Ý>ã àuìÆGL@ºéÆTeàPM¬ßKT¬MUÞ"M¬à`èçÞ%áAIKÝ´àuE*?FMOI]àºáAIçàuìKG

R

^È

A

?AÝPÝ´áÞ"MU?àPM¬ámIçÝuìÆáAéKTOJ V GNÞ*ìK?AIÆâAGZJíàuá

n..∗

^?FIKJ

n

ãEPG>Ýuß GZÞ6àuM0=AG>T¬èmî

uv0w ¢PÉK¢ Ä4{]_=Ä a´h%f]v‡yOX>a`Y/h%^`dpX>fX>y

A v B ₁ u B ₂

^h>f]°

A v≤ nR

^{^`X,qS²R‹}

3Æî

A v≤ nR.B

A v≥ nR.B

^ã

A v= nR.B

LSìÆG>ÝuG•áAEP@éÆTU?FGÝ`à*?àuG7àuìK?FàRàuìÆG

Þ"ámIKÞ"G>ßà

A

MOÝSÝuéÆVKÝuéÆ@RG>JVièRàPìÆGHÞ%áAIKÞ%G%ßàá?AT¬TG%I]àPMeàPM¬GZݹàPìK?à?FEPG½EPG%TU?àPG>J‘=iMU?àuìKG EuámT¬G

R

àuá?Fà8@RámÝ´àÀ?àÒTOG>?mÝ`àZãZGŽÆ?AÞ6àPT¬è

n

G%I]àPMeàPM¬GZÝMOI

B

îSìÆGàuE*?FI Ý´TU?àPM¬ámI/M¬IED8M¬âméÆEPG 3#ÝußÆTOMeà*݁àuìÆG?AÝPÝuáiÞ%MO?FàuMOáAIDÞ%TO?mÝuÝ

R

^È

A

MOIÂ?Ý´MO@RM¬TU?FE9?tèN?m݁?AV á=mGAî

R

^È

A

MOÝ,ÝußÆTOMeà M¬I]àPáJMUÝ]Ç`áAMOImàÝuéÆVëjÞ"TU?AÝPÝ´GZÝ%ã

R

^È

A B ¯

^?AIKJ

R

^È

AB

ã˜àPìK?àÞ"á=mG%E

R

^È

A

?FIKJMOJÆG%I]àuMX•è

?FTOT

R

^È

A

ßK?FMOE*ÝSàuìK?Fà½G%I JLM¬I

B ¯

^{ã ?AIKJM¬I}

B

ã EPG>Ýuß GZÞ6àPMX=mG%TOèAî=mG%EPè

A

G>I]àuM¬à`è#ìK?mÝ=?à

@RámÝ´à

n R

T¬MOI݁M¬I

B

ÝuM¬I Þ"G/àPìÆGrßK?FMOEPݽM¬I

R

^È

A B ¯

Já#IKáFàG>IKJDMOI

B

G%I]àuM¬àuMOG>Ý>î"jI

≥ =

áAI#àuìÆG

R

^È

AB

?mÝuÝuáÞ"MU?àPM¬ámI#ÝuìÆáAéÆTUJ#V G/Þ*ìK?AIÆâAGZJàPá

n..∗

^?AIKJ

n

ãÆEuGZݴߘG>Þ"àuM0=AG>T¬èmî

uv0w ¢ÊÆ¢

Ä4{]_=Ä a´h%f]v‡yUX%a`Y/h%^`dpXZfX%y

A v≤ nR.B

^`X,q²R‹

†Kî

R ⁻

?"jIámEPJG>E4àuá?mÞ%Þ%áAéÆI]à•áAE¹àuìÆG

R ⁻

ámß G>EP?FàuáAEZãtàuìKG%EPG=MOÝ3?,IÆG%GZJràuáàPEP?AIKÝuTO?FàuGSàuìKG

?FV˜á=AG@éÆT¬àuMOßÆTOMOÞ%Meà`è7Þ%áAIKÝ´àuE*?FMOI]à!•ámEu@ºéÆTO?AG(M¬àuì#EuGZݴߘG>Þ"à3àPá

R ⁻

îpSìÆGHàuE*?FI Ý´TU?àPM¬ámIKÝ

?FEPG7âmMX=mG%IíViè àuìÆGL?FV˜á=AG#ä½BDå Þ"TU?AÝPÝJMU?FâmEP?A@Ý%ã<MeàPì àuìKGÝuM¬IKâATOG7@RáJMeæ˜Þ%?àPM¬ámI

àuìK?FààuìÆG@ºéÆT¬àuMOßÆT¬MUÞ"M¬à`è#Þ%áAIKÝ´àuE*?FMOI]àPÝS?FEPG,@Rá=AG>J±àuáRàPìÆG

A

Þ"TU?AÝPÝ?AÝPÝ´áÞ"MU?àPM¬ámI7G>IKJzî

)

0û[‘Ë

;½IR?Fàuám@rMUÞSÞ"ámIKÞ"G>ßà

A

MOÝ8æKIKMeàPG%TOèÝu?FàuMUÝ`æ˜?FVÆTOGSM¬IR?FIR?àPáA@RMOÞßÆEPMO@rM¬àuM0=AG(% '#)#*,

Ü

åÄiIÆáTOG>JâmG=VK?AÝuGAãiMX8?AIKJ±ámIÆT¬èRMX8Þ%TO?mÝuÝ

A

MOÝ3æKIÆM¬àuG>T¬è±ÝP?àPMOÝ´æ ?AVÆT¬GHMOI±àuìKG,äBDå:Þ"TU?AÝPÝ JMO?AâAE*?F@LãÞ"ámIKÝ`àPEué Þ6àuGZJ7VièàPìÆG/?FV˜á=AGàuE*?FI Ý´TU?àPM¬ámIïî

Ì ÍÆζøzùoÏò3óh¤}Ïøzùr§iù`õ·òõÐÆÑù´òùjópϲÒ#Ó8óùT§Ô ÓkՁùTÖ´ùjó?×Cù´òØ©¦ª¬¥ÚÙ|ÖoÓ§W§

¤ ùrÓkÛ¹ôÓÜݧ

SìÆG7åïG>IÆ<%G>EuMOIÆM?FIKJ  áAVÆMOT¬M3@RG"àuìKáiJ.-†5S?FßÆßKT¬MOG>Ý/àuá fü ýxûªý@ j]`½þXýoû]aüKÿZ ûƒ f` /JÆMO?Fë

âAE*?F@ÝM¬àuì fü ýxûªý@ ÄÞ lƒÆþ"ÿ ) 0tÿ*ÿ%þ6ÿ "ãß ûªü i &`þR0ýoû]aüÆÿ Z ûƒ ÿPà î<b% ÿ*ÿaP\%û]ýoû]aüKÿ 6ãz?AIKJ

[q‚ppýoûƒ2eû]\"ûªý@ ) aFüÆÿ6ýiûªü ýÀÿ î>SìÆG·@RG"àPìÆáJ,àuE*?FI Ýo•ámEu@ݝàPìÆG3@ºéÆT¬àuMOßÆT¬MUÞ"M¬à`èÞ"ámIKÝ`àPEP?AM¬I]à*ÝzM¬I]àPá

?ÝuèÝ`àPG%@ áKTOMOIÆG>?AE8MOIÆGtŠmé ?FTOMeàPM¬GZÝìÆá]Ý´GSÝuM¬<>G·MUÝߘáATOèiIÆáA@RMU?FTiMOI/àuìKGÝuM¬<>G3á?ÆàuìKGSJÆMO?AâAE*?F@A

/AîDÆámE·G=mG%EPèG>ImàPMeà`èráAE?AÝPÝ´áÞ%MO?FàuMOáAIºà`è]ߘG

T

ãAMOIKÝ´G>E´à?=?FEPMO?AVÆT¬G

t

?AIKJràuìKG½MOIÆGPŠ]éK?AT¬M¬à`è

t > 0

^î

1îDÆámEï@éÆT¬àuMOßÆTOMOÞ%Meà`è,Þ"ámIKÝ´àuE*?FMOImà*Ý

r(rn ₁ : C ₁ [min ₁ , max ₁ ], rn ₂ : C ₂ [min ₂ , max ₂ ]),

•MO@Rß á]Ý´GZJNáAID?AID?AÝPÝ´áÞ"MU?àPM¬ámI

r

V˜G"àoG%G>IDÞ"TU?AÝPÝ´GZÝ

C ₁

^?AIKJ

C ₂

ã7MeàPìDEuámT¬GZÝIK?A@rGZJ

rn ₁

^?FIKJ

rn ₂

ãKEuGZݴߘG>Þ"àuM0=AG%TOè6ãMOIKÝuG%EuààPìÆGMOIÆGPŠ]éK?AT¬M¬àuMOG>ÝP

á

DÆámE

min ₂ > 0 : r ≥ min ₂ · c ₁

^?AIKJV•ámE

max ₂ 6= ∗ : r ≤ max ₂ · c ₁

^î

â

Ä4{]_Pwh>³p³pX"¸íh>³pvjXHfAloh"ajwHa`_*³eh"^`deX>f]vj{mde[mv*~Fµ]\A^¸¹d¿^`{/f]X>fmlÀv‡^´h>f]°]h%a´°»ªY_*Yµ_Pa`vj{]dp[i¼˜vj_*Y/h>f^`dpc*v

á

min ₁ > 0 : r ≥ min ₁ · c ₂ max ₁ 6= ∗ : r ≤ max ₁ · c ₂

8 ?FT0=t?AIÆG>ÝuG?AIKJ7åG%IÆ<>G%EPM¬IKMxãiMOI¡-0/?/L5‡ãGRŽiàuG>IKJàPìÆG,M¬IKGPŠ]éK?FTOM¬àuMOG>ÝVK?AÝuG>J±@rG%àuìÆáJ#á!-†5

àuáº?AßÆßÆTOèàPáºJMU?FâmEP?A@ÝMeàPì7Þ"TU?AÝPݹìKM¬G>EP?AEPÞ*ìièºÞ%áAIKÝ´àuE*?FMOI]àPÝ>î?SìÆGGRŽßK?FI Ý´MOáAIMOI]àuEPáiJÆéKÞ"GZÝ

?q=?AEuMU?FVÆTOG–•ámEG=mG%EPèß á]ÝuÝuM¬VKT¬G,Þ"TU?AÝPÝM¬I]àuG>EPÝuG>Þ"àuMOáAI?F@RáAIÆâRÝuéÆV˜Þ%TO?mÝuÝuG>Ýá?8?rÝ´éÆߘG%E*Þ"TU?AÝPÝ>ã

?FIKJÂÝ´ßÆTOM¬àPÝHEuG>TO?FàuMOáAIKÝuìÆMOßKÝH?AÞ%Þ%áAE*JMOIÆâATOèAî2SìÆG%EPGR•ámEuGmãKàPìÆGrÝuMO<%Grá¹àPìÆGºEPG>ÝuéÆT¬àuMOIÆâ#ÝuèÝ`àPG%@

áMOIÆGtŠmé ?FTOMeàPM¬GZÝSMOÝGRŽߘáAIÆG>I]àuMU?FTzMOI7àPìÆGÝ´MO<%G,áàuìÆGÞ%TO?mÝuÝSJMU?FâmEP?A@îWSìÆGÝuM¬@RßÆTOMeæ˜Þ%?àPM¬ámI

ák-X/>1t5 EPG>Jé Þ"G>ÝÒàuìÆGá=mG%E*?FTOTI]éK@V˜G%E¹á?˜IÆGP)Þ%TO?mÝuÝ·?FIKJR?AÝPÝuáiÞ%MO?FàuMOáAI&=?FEPMO?AVÆT¬GZÝ%ãVKéà¹àuìKG

3ámEPÝ´àSÞ>?AÝuG,MOÝ=Ý´àuMOTOTzGRŽß ámIÆG%I]àPMO?ATxî

"jI àPìÆMOÝÝuG>Þ"àuMOáAI3GNJGZÝuÞ%EuMOV˜G#àPìÆGĔ–•;—k•o˜T™›šœ7˜7GR ±Þ"MOG%I]à7?AT¬âmáAEPMeàPìÆ@Ÿ•áAEJGZÞ"MUJM¬IKâ

æKIÆM¬àuGNÝu?FàuMUÝ`æ˜?FVÆMOT¬M¬à`èíMOI)äBDå Þ"TU?AÝPÝrJÆMO?AâAE*?F@Ý%îkSìÆGNÝPÞ"áAߘGá½àPìÆGN?FTOâAámEuM¬àuìÆ@ MUÝRJG"ë

æKIÆG>J VièàuìÆGÝ`àPEuéKÞ"àuéÆEPGáàuìKG7Þ"TU?AÝPÝìÆMOG%E*?FE*Þ*ìièDM¬I ?AiIÆáTOG>JÆâAGRVK?AÝuGAãEP?FàuìÆG>EàuìK?AI

V]è)?~•EP?AâA@RG%I]àáHàuìÆGNTU?FIKâAéK?AâAGAîD8MOEPÝ´à>ãGNßÆEPG>ÝuG%I]à±?FI MO@rßKEuá=mG>J¢=mG%E*Ý´MOáAI)áHàuìKG

-’5?FTOâAámEuM¬àuìK@ãìKMOÞ*ì ?AßÆßÆTOM¬GZÝàuáÂÞ"TU?AÝPÝ/JMU?FâAE*?F@ÝNM¬àuì [&‚ppýoûƒ2pû]\%ûªý |\aüÆÿ6ý iûªü ýÀÿ‹aFü

"ûªü i hÿPÿat\"û]Fýxû]aFüÆÿ^E\XÿPÿ Z ûÀþ i i \ Z .\laFüÆÿ6ýi ûªü ýÀÿ ã3?AIKJÝã þ"üþ i pûXdtýoû]aüåäþ%ý Rã ä

\laFüÆÿ6ý

i

ûªü ýÀÿ

îSìKG%Iïã3GDGŽiàuG%I J)àuìÆG:?FTOâAáAEPM¬àuìÆ@ àuá ìK?AIKJTOG?FTUÝuáh%

ÿ*ÿaP\%û]ýoû]aü

)

Xtÿ*ÿ

@%q)

\aüÆÿ6ý

i

ûªü ýÀÿ

îámâAG%àuìÆG>E M¬àuìàuìÆMUÝHGRŽiàuG>IKÝ´MOáAIãKàPìÆMOÝ,?AT¬âmáAEPMeàPìÆ@Þ>?FIDV˜GréKÝ´GZJ$•ámE

JG>Þ%MOJMOIÆâ½æKIÆM¬àuGSÝu?FàuMUÝ`æ ?AVÆMOT¬M¬à`è,M¬I?Fàuám@rMUÞFãZßÆEPM¬@RM¬àuM0=AG

Ü

å‹iIÆáT¬GZJâAG·VK?AÝuG>ÝàuìK?Fà8MOIKÞ%T¬éKJÆG

•áAEP@éÆTU?&MeàPì#àPìÆGáAߘG%E*?àPáAE*ݹàPìK?à½?AEuGHàPEP?AIKÝ´TU?àPG>J7M¬IàuìKGßÆEuGP=iM¬áméKÝSÝ´GZÞ6àuMOáAIî

æ³çè

´Gé Ô ”–•;—k•o˜T™›šœ2˜€ê ·Å × Ø¹¸ é »

SìÆGA”–•;—k•o˜T™›šœ7˜r?FTOâAámEuM¬àuìK@ GRŽiàuG>IKJÆÝ,àPìÆG7?FTOâAámEuM¬àuìK@ áåïG%IK<%G%EPIÆM·?AIKJ



áAVKM¬TOM–-†5¹àPá

ìK?FIKJÆT¬G?FTUÝ´á½Þ%TO?mÝuÝìÆMOG%E*?FE*Þ*ì]èHÞ"ámIKÝ`àPEP?AM¬I]à*Ýï?FIKJqë6/Þ"ámIKÝ´àuE*?FMOImà*Ý%îPSìÆG!=mG%E*Ý´MOáAIßÆEPG>ÝuG%I]àPG>J

V G>T¬á MO@rßKEuá=mG>ݘàuìKG–-’5=mG%E*Ý´MOáAIHViè½ìK?>=iMOIÆâ=?=ÝuM¬IÆâmT¬G¹Ý´àP?AâAG–ÀáA@RMeàuàuMOIÆâàPìÆG¹MOImàPG%EP@RG>JMU?àPG

Ý`à*?FâAG,á?-_’>56ãK?AIKJ7ßKEuáJéKÞ%M¬IKâR?RÝuM¬@RßÆTOG%EMOIÆGtŠmé ?FTOMeà`è7ÝuèÝ`àPG%@Lî

ê ·]Å˜× Ø>¹]¸

é » èíì+î

™$”–•;—k•o˜Tškœ2˜Nï‹ðmñ2ò7ó?•o˜

îô

õ —ök÷<˜lø7% \Xtÿ*ÿNeFû] „?i[

CD

^{ù ûªýZ "ûªü i} &[q‚peýxûƒpû]\"ûªý@ ‘\laFüÆÿ6ý iûªü ýÀÿ^k\XÿPÿ Z ûÀþ i i \ Z

\laFüÆÿ6ýi ûªü ýÀÿ^üe ã äÄ\aüKÿ6ýi FûªüKýxÿË

ú ÷<˜]ön÷n˜Tø% eûªü˜þ i ûªüþl‚4eûªý RÿL tÿ6ý‡þ[

Ψ ^CD

û ™›˜

î

òWüø

ý ËHúa i þ¯tþ i Æ\XÿPÿ^–tÿ*ÿaP\%û]ýoû]aü4^a i [&‚ppýoûƒ2pû]\%ûªý $\aüKÿ*ýi FûªüKý^+\ i þlFý‡þ&¯ i û]ROþ6ÿ‘ü2e

ûªü˜þ‚4pûªýoûÀþ6ÿq\\la i eûªü „ ýbaRýZ þ ' þ"üpd>þ i ûªüKû!Fü2e&þ€a"ûpû![Rþ%ýZ aPeË

ÿ ËHúa

i

þ¯tþ

i

Æ\Xtÿ*ÿ

Z

ûÀþ i i \ Z

B ≺ A

^{\aüKÿ6ýi FûªüKý^}

B

^{*þ%ûªü „ ýZ þÿ‚4\Xtÿ*ÿ ù ûªýZ ¯ i ûj}

?¬þ

b

^{^qüe}

A

^{*þ"ûªü „ ýZ þDÿL‚tƒÆþ i \RXÿ*ÿ ù ûªýZ ¯ i û]R¬þ}

a

^{^þAýjþ%ü2e ýZ} þDûªü˜þR‚4pûªý@

ÿL tÿ*ýjþ[

ù

ûªýZ ýZ þûªü˜þ‚4pûªýoûÀþ6ÿ

a ≥ b

^Ë

ËHúa i þR¯þ i ã ä.\laFüÆÿ6ýi ûªü ý

GS(C, C ₁ , ...C n ; Const)

^{^}

C

^{*þ"ûªü „ ýZ þÿ‚tƒKþ i jr\RXÿ*ÿl^}

C i

ÿq*þ%ûªü „ ýZ þÿ‚4\Xtÿ*ÿ%þ"ÿl^#ü2e

Const

^{*þ"ûªü „ ýZ þ ã} ä¢\laFüÆÿ6ý iûªü ý]^3þmý‡þ%ü2e±ýZ þûªü7j þR‚4pûªý ±ÿ tÿ6ýjþR[q^!tÿRaXa

ù ÿ ø

á ) aüKÿ*ý eûUÿaûªü ý ø

C ≥ P n j =1 C j

á )

aüKÿ*ý \la[–ƒ¬þ%ý‡þ

ø

C ≤ P n j =1 C j

á ) aüKÿ*ýûªü2\a[(ƒ2¬þ%ýjþ ø

∀j ∈ [1, n].C > C j

á ) aüKÿ*ý a¯þ i Xƒ?ƒûªü „›ø ûªýZ a‚ýûªü˜þ‚4pûªý@

á

eûUÿaFûªüKý^3ûªü2\a[–ƒ¬þ"ýjþ ø

C > P n j =1 C j

Ë

á

eûUÿaFûªüKý^#\a[(ƒ2¬þ%ýjþ ø

C = P n j =1 C j

Ë

á

a¯þ i Xlƒƒ˜ûªü „ ^–\la[–ƒ¬þ%ý‡þ ø

C < P n j =1 C j

Ë

á

a¯þ

i

Xlƒƒ˜ûªü

„

^Sûªü2\a[(ƒ2¬þ%ýjþ

ø

∀j ∈ [1, n].C > C j

Ë

¹Euá=iMOIÆâràuìÆGºÞ"áAEPEPG>Þ6àPIÆG>ÝPÝá8àuìÆGV”–•;—n•o˜l™›škœ2˜H?FTOâAámEuM¬àuìÆ@CEuGtŠméKM¬EPG>Ý?AIK?FTOèÝ´MUÝSá4àuìKG

Ý`àPEuéKÞ"àuéÆEPGráÞ%TO?mÝuÝHìÆMOG%E*?FE*Þ*ìÆMOG>Ý>î2DKáAEHàuì ?àßÆéÆEPß á]Ý´Gmã3GÞ"ámIKÝuMOJG>E½àPìÆGâAE*?FßKìDáSÞ"TU?AÝPÝ

ìÆM¬G>EP?AEPÞ*ìièÞ"ámIKÝ´àuE*?FMOImà*Ý3?AT¬ámIÆGAãiMOIìKMOÞ*ìIÆáJG>ÝEPG%ßÆEPG>ÝuG%I]àÞ"TU?AÝPÝ´GZÝ3?AIKJJM¬EPG>Þ"àuGZJ7GZJâAGZÝ

EuG>ßÆEuGZÝ´G>I]à

ISA

Þ%áAIKÝ´àuE*?FMOI]àPÝ>ãKJMOEuGZÞ6àPG>J•Euám@ÝuéÆߘG%E*Þ"TU?AÝPÝ´GZÝSàuá±àuìÆG>M¬EHÝ´éÆVÞ"TU?AÝPÝuG>ÝGx?AÝPÝ´áAë Þ"MU?àuMOáAIíTOMOIÆG>Ýr?FEPGEuG>@Rá=AG>J76îB:G#Þ%áAIKÝuMUJG%EàoáY=mG%E*Ý´MOáAIKÝ/á=Ý´é Þ*ì âAE*?FßÆì Ý

Ü

MOEuGZÞ6àuGZJ

?FIKJ#éÆIKJMOEPG>Þ6àPG>Jzî7SìÆEuG>GÞ"TU?AÝPÝSìÆM¬G>EP?AEPÞ*ìièÝ´àuEPéKÞ6àPéÆEuGZÝ?FEPGH?AIK?FTOèi<%GZJ

/Aî

Þ i þPþq\R0tÿ*ÿ

Z

ûÀþ

i i \ Z 7SìÆGJMOEuGZÞ6àPG>J±âmEP?AßÆì7á?ïàuìKG,Þ%TO?mÝuÝìÆMOG%E*?FE*Þ*ìi耕ámEu@ÝS?àuEPG%GAã

?AÝSMOI$DMOâAéKEuGE/Aî

1î(% \ ?\pû]\ \Xtÿ*ÿ Z ûÀþ i i \ Z ûÀþ"ÿ 9SìÆG éÆIKJMOEuGZÞ6àPG>J âAE*?FßÆì á/àPìÆG Þ"TU?AÝPÝ7ìKM¬G>EP?AEPÞ*ìiè MOÝ

?AÞ%èiÞ%T¬MUÞFî"jI¦D8M¬âméÆEuG¡†Fëj?ÆãÒàPìÆGJMOEuGZÞ6àPG>J Þ"TU?AÝPÝìÆMOG%E*?FE*Þ*ìiè MUÝ7IÆáAà#?:àuEPG%Gmã3?mÝ

F

MOÝ

?ÝuéÆV Þ%TO?mÝuÝá=V˜áFàuì

C

?FIKJ

D

ãVÆéÆàºàPìÆG7éÆI JM¬EPG>Þ"àuGZJ Þ"TU?AÝPÝ/ìÆMOG%E*?FE*Þ*ìièâmEP?AßÆìíMOÝ

?AÞ%èiÞ%T¬MUÞEÀ?ºàuEPG%G>6î

3ÆîE) ?\Rpû]\9\Xtÿ*ÿ Z ûÀþ i i \ Z ûÀþ"ÿ ?SìKG3éÆI JM¬EPG>Þ"àuGZJâAE*?FßÆìáÆàPìÆGÞ%TO?mÝuÝìÆMOG%E*?FE*Þ*ì]èHMUÝÞ%èiÞ%T¬MUÞFî

BNéÆT¬àuMOßÆTOGMOIÆìÆG>EuM¬àP?AIKÞ"G=MUݹéKIÆEuGZÝ`àPEuMUÞ6àPG>Jzãi?AݹàuìÆGéÆIKJMOEPG>Þ6àPG>JMOIKJé Þ"G>J±âAE*?FßÆìÞ%?AI±V˜G

Þ"èÞ"TOMUÞFî"jI¢D8MOâAéÆEPG‘†Fë‡VïãÞ%TO?mÝuÝ

F

^ìK?mÝàoá

ISA

ß ?àuì ÝàuáNM¬àPݺݴéKß G>EPÞ%TO?mÝuÝ

A

^î<SìÆG

ISA

^{ß ?àuì}

A, B, F, C, A

•ámEu@Ý?AI#éÆI JM¬EPG>Þ"àuGZJ

ISA

Þ"èÞ"TOGAî

u!vXw ¢ ˜¢

qfmc*XZfmv‡^ja´h>dpf]_*°dp_Pa´h"a`cu{wrbF^ja`\mcP^`\ma`_Pv

SìÆGNÞ"áAEPEPG>Þ6àPIÆG>ÝPÝrá,;=TOâAáAEPM¬àuìÆ@ ”–•;—k•o˜l™šœ2˜±MUÝßÆEPá=AGZJ¢=iMU?:?:EPG>Jé Þ6àuMOáAI)áHàuìKG

æKIÆM¬àuG½ÝP?àPMOÝ´æ ?FVKM¬TOMeà`èáz?Þ"TU?AÝPÝÒJMO?AâAE*?F@

CD

àPá,àuìÆGæ IÆMeàPG=Ýu?FàuMUÝ`æ˜?FVÆMOT¬M¬à`èá??,Þ%TO?mÝuݹJÆMO?Fë âAE*?F@

CD ⁰

ãAàuìK?FàJáiGZݹIÆáAà·M¬I Þ"TOéKJGÞ%TO?mÝuÝ·ìÆMOG%E*?FE*Þ*ìÆM¬GZÝ%ãF?AIKJràuìKG%EPGR•áAEPGAãAàuìÆG€-†?5˜@RG"àPìÆáJ

?FßÆßÆTOMOG>ÝSàPáMeàZî

CD ⁰

MOݽÞ"EPG>?àPG>JL?AÝ+•ámT¬TOá=ÝP"jIÆM¬àuMU?FTOM¬<>G

CD ⁰

^Viè

CD

î7:G>ßÆTU?AÞ"G/?AT¬TÞ"TU?AÝPÝ ìÆM¬G>EP?AEPÞ*ìièDÞ%áAIKÝ´àuE*?FMOI]àPÝNM¬àuì IÆGÇEPG%âAéKTO?AEVÆM¬I ?FEPè?AÝPÝ´áÞ%MO?FàuMOáAIKÝEªàPG%EP@RG>J:ìÆG%I Þ"GR•ámE´àPì

ISA

?AÝPÝ´áÞ"MU?àPM¬ámIKݘV G%ào3G>G%IàPìÆGÝuéÆߘG%E*Þ"TU?AÝPݝàuá½àuìÆGÝ´éKV˜Þ%TO?mÝuÝuG>Ý>îPSìÆG3@éÆT¬àuMOßÆTOMOÞ%Meà`è/Þ%áAIë Ý`àPEP?AM¬I]àPÝ,ámI:àuìÆGZÝ´G±?mÝuÝuáÞ"MU?àuMOáAI Ý?FEPGÆ/mî¬î0/RßK?FEuàuMUÞ"MOßK?FàuMOáAI Þ"áAI Ý`àPEP?AM¬I]àN•áAEàPìÆG7ÝuéÆVÞ"TU?AÝPÝ

EPMeàuàuG%IámIRàuìÆGÝ´éÆߘG%EÞ"TU?AÝPÝÒG%I JRM¬IRàPìÆG½JMU?FâmEP?A@‘4?AIKJE‰ÆîOîX/ß ?FEuàuMUÞ"MOßK?àPM¬ámIRÞ%áAIKÝ´àuE*?FMOI]à

•áAESàuìKG/Ý´éÆߘG%E=Þ%TO?mÝuÝ>îD8M¬âméÆEPG&/%ëoVLÝuìÆá=Ý3àuìÆGEPG>Jé Þ"G>JÞ"TU?AÝPÝJMU?FâmEP?A@¶áDMOâAéKEuG&/"ëj?Æî

Á·ÔW»¢»¢µ

è2ç

ú·ûªü ûªý‡þHÿFýxûUÿ"ûeûªý ‘a

CD

^{ûUÿ i}þe‚4\%û]ROþ,ûªüKý;aºýZ þk¹üKûªýjþ½ÿýoûUÿ+?%ûpûªý@ ‘a

CD ⁰

^Ë

IÆáAIë‡G%@Rßà`è æKIÆM¬àuGÂT¬G>âm?FT½M¬IKÝ´àP?AIKÞ"GZÝ

I

^?FIKJ

I ⁰

^á?

CD

^?AIKJ

CD ⁰

ã·EPG>ÝuߘG>Þ6àPMX=mG%TOèAî!SìKG àuE*?FIKÝuTO?FàuMOáAIKݱEuG>T¬èçáAI ?í@?FßKßÆM¬IKâ

T

^{À?FI J} Meà*Ý7MOIW=AG%E*ÝuG

T ⁻¹

^E•Euám@

I ⁰

^àPá

I

^{ã!ìÆMUÞ*ì}

Þ"áATOTU?FßKÝuG>ÝH?LÝ`àPEuéKÞ"àuéÆEPGrá

ISA

ë‡TOM¬ImG>JáAVpÇ`GZÞ6àPÝHMOI

I ⁰

MOI]àuáN?#ÝuMOIÆâATOGºámVpÇ`G>Þ"àM¬I

I

^î³SìKG

M¬I]àuéKMeàPM¬ámIDMOݽàuì ?à

CD ⁰

ÝußÆTOMeà*݁?±ÝuMOIÆâATOGMOIKÝ´àP?FI Þ"G/ámVpÇ`G>Þ"à½á

CD

MOI]àuá#Meà*݁Þ%áA@Rß ámIÆG%I]à*Ý M¬ILM¬àPÝ=?AIKÞ"GZÝ`àPáAEÞ"TU?AÝPÝ´GZÝ%î

; Þ"EPéKÞ%MO?ATmßÆEPáAߘG%Euà`èHáÆàPìÆG

T

àPEP?AIKÝuTO?FàuMOáAI/MUÝïàPìK?à

ISA

ë‡T¬MOIAGZJáAVÇ`G>Þ6à*ÝMOI

I ⁰

Ý´ìKáAéÆTUJ IÆáFàMOIKÞ"TOéKJGRàoáLáAVpÇ`GZÞ6àPÝ •EPáA@ àPìÆG±ÝP?F@RGÞ"TU?AÝPÝ%îSìÆMUÝ,ßÆEPáAߘG%Euà`èAãàuG>Eu@RGZJDàPìÆG ä ûªü „ ¬þ

) 0tÿ*ÿ(ƒ i alƒKþ i ý ãzG>IKÝ´éKEuGZݽàPìK?àHàuìKG

T

@R?AßÆßÆMOIÆâ@R?AßKÝ,?FIÂM¬IKÝ´àP?AIKÞ"G

I ⁰

^á

CD ⁰

^àPá?AI

M¬IKÝ´àP?AIKÞ"G

I

á?

CD

îSìÆGL@?FMOIçßKEuámVÆT¬G>@ MOÝÝuìÆáMOIÆâÂàuìK?FàràPìÆGN@?FßÆßKM¬IÆâ:ßÆEPG>ÝuG%El=AGZÝ

@éÆT¬àuMOßÆTOMOÞ%Meà`è7Þ%áAIKÝ´àuE*?FMOI]àPÝ9•áAàuìÆG>ETMUÝ´GmãpìÆMOT¬G,Þ"ámT¬TU?FßKÝuG>J7M¬I]àPáR?rÝuM¬IÆâmT¬GHáAVÇ`G>Þ6àMOI

I

ãiàuìKG

T¬MOIÝSá8ào3áRámVpÇ`G>Þ"àPÝ?FEPG,Þ"áA@ºVÆMOIÆG>JMOImàPáRT¬MOIÝSáÒ?RÝ´MOIÆâATOG,áAIÆG>6î4DKéÆTOTïßÆEPá]á?MOI|-“>5‡î

SìÆGLEuGZJéKÞ6àPM¬ámIçMUÝRßÆEPá=AGZJ Viè Þ"ámIKÝ´MUJG>EuMOIÆâÂàuìÆGLàPìÆEuG>GƕáAEP@RÝRá?HÞ%TO?mÝuÝrìÆMOG%E*?FE*Þ*ìiè

âAE*?FßÆìKÝ>î4DKáAE=àPEuG>G>݁?FIKJƕámE?AÞ%èÞ"TOMOÞìKM¬G>EP?AEPÞ*ìÆMOG>Ý>ãàPìÆGºÝuM¬IKâATOGÞ"TU?AÝPÝßÆEPáAߘG%Euà`è7ìÆámTOJKݖ•ámE

G=AG>Euè,MOIKÝ´àP?FI Þ"GAî>DÆámEÒÞ"èÞ"TOMOÞ3Þ"TU?AÝPÝìKM¬G>EP?AEPÞ*ìÆMOG>Ý>ã%M¬à4MOÝ4ÝuìÆáIàuì ?àÒMm˜?½JMU?FâmEP?A@ MUÝæKIÆM¬àuG>T¬è

Ýu?FàuMUÝ`æ ?AVÆTOGAãiàuìKG%ILMeà=ì ?AÝ?FIMOIKÝ`à*?FIKÞ%GHàuìK?Fà½Ýu?FàuMUÝ`æKGZÝàuìÆG/ÝuMOIÆâATOGÞ"TU?AÝPÝ3ßKEuámß G>E´à`èmî

·µ¹]» è

”–•;—k•o˜T™›šœ7˜

¼A× ØtØtÔW¼?¸P¶8Ô]ÚZÚ

á

֑¹¸ é ×2ø¼A×2¶ÚP¸%ص¹¶¸>Ú

%

\RXÿ*ÿEeû]j

„i

[

ù

ûªý

Z

%ûªü2

i

9[&‚ppýxûƒpû]\%ûªý N\laFüÆÿ6ý

i

ûªü ýÀÿFü2e9\RXÿ*ÿ

Z

ûÀþ i i \ Z

N\aüKÿ6ý

i

FûªüKýxÿ¹ûUÿ4¹ü ûªý‡þc

ÿRFýxûUÿ+?¬þ/ûqü2eaü7c û,ý

Z

þ/ûªüþR‚4pûªý RÿL tÿ6ýjþR[Ø\laFüÆÿ6ý

i

‚4\"ýjþeVR

% „ a i

ûªý Z [

”–•;—k•o˜T™

škœ2˜

ûUÿHÿac¯>ROþPË

g+iataRË 6WmG"àPÞ*ìKG>J4+ëHMX=mG%I?Þ"TU?AÝPÝJMO?AâAE*?F@

CD

ãÞ"ámIKÝ´àuEPéKÞ6àS?ºÞ%TO?mÝuÝJMU?FâAE*?F@

CD ⁰

^?mÝ

?FV˜á=AGAãàPáYìÆMUÞ*ì:àuìÆG±MOIÆGtŠmé ?FTOMeàPM¬GZÝ@RG"àuìKáiJ á?9-†5MOÝ?FßÆßÆTOMOG>JzîQS?mÝ´GZJÂámIíåïG%@R@?|/Aã

CD

MOÝ/æKIÆM¬àuG%TOè Ýu?FàuMUÝ`æ ?AVÆTOGMm=?FI J áAIÆTOèMXSàuìÆG#M¬IÆGtŠ]éK?FTOMeà`è:Ý´èÝ´àuG>@ á-†5•ámE

CD ⁰

^MOÝ

Ý´ámTX=?FVKT¬Gmî4"‡àMUÝ=IKáFàì ?FE*Jàuá7ÝuìÆá àuìK?Fà½àPìÆMO݁MOIÆGPŠ]éK?AT¬M¬à`èÝuèÝ`àPG%@MO݁GPŠ]éÆM0=?FTOG%I]à=àPá±àuìKG

M¬IÆGtŠ]éK?FTOMeà`è#Ý´èÝ´àuG%@ Þ"áAI Ý`àPEuéKÞ"àuGZJ7Viè~”–•;—n•o˜l™›škœ2˜tî

SìÆGEuGZÝ´éKTeà*Ý,áàuìÆMUÝ/Þ"TU?FMO@ Þ>?FI:V G7GRŽiàuG>IKJG>J~•ámE/Þ"TU?AÝPÝJMO?AâAE*?F@Ý9MeàPì¢ë6 Þ"áAIÆë

Ý`àPEP?AM¬I]àP݁?FIKJ?AÞ"èÞ%T¬MUÞÞ%TO?mÝuݽìÆM¬G>EP?AEPÞ*ìièÝ`àPEuéKÞ"àuéÆEPGAã˜áAEHÞ"èÞ"TOMUÞÝ´àuEPéKÞ6àPéÆEuGM¬I~ìÆMOÞ*ìÂÞ"TU?AÝPÝ

ìÆM¬G>EP?AEPÞ*ìièÞ%èÞ"TOG>ÝJÆáDIÆáFàºM¬IKÞ%T¬é JG eûUÿaFûªüKý ámE \a[(ƒ2¬þ%ýjþ Þ%áAIKÝ´àuE*?FMOI]àPÝ>îSìÆG7ÝPÞ"ámß G7á

àuìÆGE”–•;—k•o˜T™›šœ2˜½?AT¬âmáAEPMeàPìÆ@¶MOݽJG"æKIKG>JM¬IàPìÆGN•áATOT¬áMOIÆâRÞ"TU?FMO@A

·µ¹]» µØ>¸t¹]µ·¼m×KØtØÔW¼¸P¶8ÔiÚ>Ú

á

h¼m×7¶8Ú¸>ص¹]¶¸ZÚ?½¼FÕ³¼·]¹¼ é ¹xÔmصؼ é Õ

%

\cj

tÿ*ÿ eû] „i [

ù

ûªýZ %ûªü2 i q[q‚peýxûƒpû]\"ûªý@ &\aFüÆÿ6ýi ûªüKýxÿ^<\R0tÿ*ÿ Z ûÀþ i i \ Z E\aüKÿ6ýi FûªüKýxÿ^<ü2e

ã ä¡\aüKÿ6ýi FûªüKýxÿ^ûªü

ù Z û]\Z \Xtÿ*ÿ Z ûÀþ i i \ Z ‹\ ?\ROþ6ÿHûªü2\c‚4eAþGeFûUÿaûªüKý+a i \la[–ƒ¬þ%ý‡þG\aFü4j

ÿ*ý

i

FûªüKýxÿl^ûUÿ7ü2aFýjc·üKûªýjþRc DÿRFýxûUÿ+?¬þû±ý

Z

þûªüþl‚4eûªý ÿ tÿ6ýjþR[¬\aüKÿ6ý

i

‚4\%ý‡þeÄR

% „

aj

i

ûªý Z [

”–•;—k•o˜T™›šœ2˜

ûUÿü2aFý·ÿam¯>R¬þtË

g+iataRË "jI#Þ"èÞ%T¬MUÞ½Þ%TO?mÝuÝ3ìÆMOG%E*?FE*Þ*ìÆM¬GZÝ%ãFàuìÆG eûUÿaûªü ý ámE \a[–ƒ¬þ"ýjþ ã ä ëjÞ"ámIKÝ´àuE*?FMOImà*ÝÒ@RM¬âmì]à

ìK?>=AG?FIRMO@RßÆT¬MUÞ"M¬à¹âATOáAV ?FTGG>Þ"à·áAIráFàPìÆG%E·âAG%IKG%E*?FTOM¬<Z?àuMOáAIrÝ´G%àPÝ4MOI±?,Þ"èÞ"TOGAî?SìKG%EPGR•áAEPGAãMX

àuìÆG,MOIÆGPŠ]éK?AT¬M¬à`è±Ý´èÝ´àuG>@ JáiG>ÝIÆáFàSìK?>=mG?rÝ´ámT¬éàPM¬ámIïã]àuìÆGÞ%áAEPEuGZݴߘáAIKJÆM¬IÆârJMU?FâAE*?F@ JáiG>Ý

IÆáFàrìK?>=AG7?T¬G>âm?AT·æKIKMeàPG#IÆámIë‡G%@Rßà`è:M¬IKÝ´àP?AIKÞ"GmãVKéàR?ÂÝ´ámT¬éÆàuMOáAI{•ámEàPìÆG7MOIÆGPŠ]éK?AT¬M¬àuMOG>Ý

@rMOâAì]à=@RMUÝuÝàPìÆGM¬@RßÆTOMUÞ"M¬à½Þ"áAI Ý`àPEP?AM¬I]àPÝ>î

f W[(ƒ2¬þ

ý Ë 8 áAIKÝuMUJG%EàuìÆGLÞ"TU?AÝPݺJÆMO?AâAE*?F@ MOIhD8MOâAéÆEPGƒë‡?Kî<SìÆG eûUÿaFûªüKý Þ%áAIKÝ´àuE*?FMOI]à

M¬@RߘámÝuG>JáAIàuìKGâAG%IKG%E*?FTOM¬<Z?àuMOáAIÝ´G%à

{A, B, C, D}

MO@rßKT¬MOG>ÝSàPìK?àM¬ILG=mG%EPèM¬I Ý`à*?FIKÞ%GAã

E D

áHÞ%TO?mÝuÝ

E

?FEPG#@?FßKß GZJ MOI)?h/?0/@R?AIÆIÆG>EºàPá @rG>@V˜G%E*Ýrá

D

ãÒM¬@RßÆTOèiM¬IÆâ:àPìK?àRàuìKG Ý´G%àPÝìK?>=AG½àuìÆGÝP?F@RGÝuMO<%G,?AÝSÝ´ìKáI±M¬IAD8M¬âméÆEPG9’të‡VïîpSìÆGHáAIÆTOè±ÝuáATOéàuMOáAI‹•áAESßÆEPáAߘG%ESÝ´G%à

M¬IKÞ%T¬é Ý´MOáAIÆMeàPìLGPŠ]éK?FTïÝuMO<%G,MOÝàPìK?àSàPìÆG/Ý´G%àPÝ?AEuGHG%M¬àuìÆG>EG%@Rßà`è#áAESM¬IÆæKIÆM¬àuGAî7SìÆG%EPGR•ámEuGmã

àuìÆGJMO?AâAE*?F@ MOݺIÆáFàæKIÆM¬àuG%TOèíÝu?FàuMUÝ`æ˜?FVÆTOGAî  G=mG%EuàuìÆG>T¬GZÝuÝ>ãzàPìÆGY”–•;—k•o˜T™›šœ2˜R;=TOâAáAEPM¬àuìÆ@

è]MOG%TUJÆÝ,?7ÝuáAT0=?FVÆTOGMOIÆGtŠmé ?FTOMeà`èDÝuèÝ`àPG%@Lã˜?m݁ÝuìÆáIÂM¬IÄDMOâAéKEuGE’tëjÞFîSìÆGºEPG>?mÝ´ámIA•áAEHàuìKG

À?FMOT¬éÆEPG,á+”–•;—k•o˜T™›šœ7˜½T¬MOG>ÝSMOIàuìÆGßKEuá?Ç`G>Þ6àPM¬ámI7á?àPìÆG

eûUÿaûªü ý

Þ"áAI Ý`àPEP?AM¬I]à#•Euám@¶àuìKG

A

ë6±àPáràuìÆG

E

ë6ãìKMOÞ*ìLMUÝSIÆáFà=EPG>Þ%áAE*JG>J7M¬I#àuìÆGMOIÆGtŠmé ?FTOMeà`è7ÝuèÝ`àPG%@Lî

uv0w

¢"!K¢ Hdefmd¿^`_rbAh%^`dpv‡¾h%µ]dp³pd¿^owÆyïa`X>µ]³p_*Y¶^`{ih"^Hdpv½f]X>^½ˆ·_*c*X>}Zf]d$#*_*°LµFw±^`{m_

u!v&%2v

ž(')K mž ‰·³e}>X>l

a`d¿^`{mY

·µ¹]»

æ*

×7»{¾k·ÀÔ+³¹]¸PÕ ×2º¸

é Ô ”–•;—k•o˜l™šœ2˜ µ·Å × Ø¹¸

é

»,åÞ Z þ\aüKÿ*ýi ‚4\%ýxû]aFü&a3ýZ þ

ûªü˜þR‚4pûªýoûÀþ6ÿ& ”–•;—k•o˜l™šœ2˜^Fü2e#ýZ þ%ûi ü4‚p[‘*þ i ûUÿ

O(n)

^{^ ù Z þ i þ}

n

^{ûUÿýZ þºü4‚p[‘*þ i a}

\laFüÆÿ6ýi ûªü ýÀÿ,ûªüýZ þ&\R0tÿ*ÿ€eû] „?i[EË

g+iataRË =AG>Euè7Þ%áAIKÝ´àuE*?FMOI]àSÞ%áAI]àuEPMOVÆéàuGZÝ?RÞ"áAI Ý`à*?FI]àI]éK@V˜G%Eá4MOIÆGPŠ]éK?AT¬M¬àuMOG>Ý>î

?AVÆT¬GE/ÝuéÆ@R@R?AEuMO<%GZÝáAéÆEEPG>ÝuéÆT¬àPÝSá8àuìKG/?FV˜á=AG,Þ"TU?FMO@RÝ>î

n3a´h%[]{b^ja`\]cP^`\Aa`_ F dp^`{.-–Fíd¿^`{mXZ\m^nb/c*XZfmv‡^ja´h>dpf^`v /1032406578:9;5¹c*X%aja`_*cP^`fm_*vjv

‰ÒcPwAc*³pdec F dp^`{mXZ\A^ ¡=<iŸ"Ÿ'm¡>ž

¸¹d¿^`{ ¡=<iŸ"Ÿ'm¡>ž

WwAc*³pdpc F dp^`{mXZ\A^ ¡=<iŸ"Ÿ'm¡>ž

|3XRË ¤O¨Í*Î ¤U¥]¦ X>aÏ Î>ÐÑ ®e§u¦x§ dpfRcPwAc*³p_*v ¡=<iŸ"Ÿ'm¡>ž

Ë ¤U¨

Í6Î

¤U¥m¦ X%aHÏ

Î>Ð3Ñ

®e§u¦x§ dpfºcPwAc*³p_*v œ(<?> %A@CB<iŸD> % œ* mž vœEz ]› v&FžvžHG

I  ]› F'$xi¢

Ä4{m_½bAc*X>[_X>yïÄ4{m_J/1032406578:9;53‰3³p}>X>a`d¿^`{]Y

æ³ç KL+¸>ÔW¶Út¹À×2¶ ×7º

”–•;—n•o˜l™›škœ2˜

¸Z×M$µ¶8Ù<·xÔ

ê

ÚZÚ>׳¼¹]µp¸t¹À×2¶ ·µÆÚ>Ú ×2¶ÚP¸%ص¹¶¸>Ú

;½ÝPÝ´áÞ"MU?àPM¬ámIçÞ%TO?mÝuÝuG>Ýr?FEPGÞ%TO?mÝuÝuG>ÝqìÆá]Ý´GM¬I Ý`à*?FIKÞ%G>ÝR?FEPG#MUJG>ImàPMeæ G>JçV]è àPéÆßÆTOG>ÝRá?½àuìKG

1 : 1 r

?AÝPÝ´áÞ"MU?àPG>J ?AÝPÝuáiÞ%MO?FàuMOáAI Þ"TU?AÝPÝ

AC ^r

î<SìÆG#Ý´G>@R?AI]àuMUÞ%Ýá?äBDå JMUÞ6à*?àPG>Ý,àPìK?àR?NÞ"TU?AÝPÝ ìÆM¬G>EP?AEPÞ*ìièNÞ"ámIKÝ´àuE*?FMOImàHV G%ào3G>G%I ?AÝPÝ´áÞ%MO?FàuMOáAIÞ%TO?mÝuÝuG>Ý

AC ^r ≺ AC ^q

EuGtŠ]éÆM¬EPG>݁àPìK?à,àuìKG Ý´éÆVÆë‡?mÝuÝuáÞ"MU?àuMOáAI

r

ÝP?àPMOÝ´æKGZÝÒ?FTOTÆá˜àuìÆG=Þ%áAIKÝ´àuE*?FMOI]àPÝ8MO@rߘámÝuG>JrámIºàPìÆG=ÝuéÆß G>E´ëj?AÝPÝuáiÞ%MO?FàuMOáAI

q

ÀIÆáFàPG=àPìK?à¹àPìÆMUÝ·JáiG>Ý·IÆáFà3IÆG>Þ%G>ÝPÝu?AEuMOT¬èºG%Ip•ámEPÞ%G>ݹ?ÝuéÆVKÝuG"àÞ"áAI Ý`àPEP?AM¬I]à¹V˜G"àoG%G%I

r

^{?FI J}

q

6î"jILßK?AE´àPMOÞ%éÆTO?AE>ã]àPìÆMOݽ?FßÆßÆTOMOG>Ýàuá±?mÝuÝuáÞ"MU?àPM¬ámI±@éÆT¬àuMOßÆTOMOÞ%Meà`èÞ"ámIKÝ`àPEP?AM¬I]à*ÝN

ŽiàuG%I JM¬IKâ.”–•;—n•o˜l™›škœ2˜±àuáí?AÞ>Þ"áAéKImà&•áAE±?mÝuÝuáÞ"MU?àPM¬ámI Þ"TU?AÝPÝRÞ"áAI Ý`àPEP?AM¬I]àPÝrMOIW=AáAT0=AGZÝ

àuìÆG‘•ámT¬TOáMOIÆâD?AJÆJÆMeàPM¬ámIíá=Ý`àPG%ß

(4)

ã<ìÆMOÞ*ì ?mÞ%Þ%áAéÆI]àPݕáAE/àPìÆG±MUJG%I]àPMeæ Þ>?àPM¬ámIíáSàuìÆG

?AÝPÝ´áÞ"MU?àPM¬ámI#Þ%TO?mÝuÝ+M¬àuìLMeà*Ý=?AÝPÝuáiÞ%MO?FàuMOáAIïã?AIKJV•ámESàuìÆG,MOIÆìÆG>EuM¬àP?AIKÞ"G,á8àuìKG@éÆT¬àuMOßÆTOMOÞ%Meà`è

Þ"áAI Ý`àPEP?AM¬I]àPÝP

”–•;—n•o˜l™›škœ2˜Gê

·]Ř×Kع]¸ é »POQKL+¸>ÔW¶8ÚP¹x×7¶h¸>×

ê

Ú>ÚZ׳¼?¹µp¸P¹x×7¶ ·]µÆÚZÚ

R

DKáAEGP=AG%EPè±?AÝPÝuáiÞ%MO?FàuMOáAIÞ"TU?AÝPÝ

AC ^r

/Aî#ŽiàuG>IKJràuìKGM¬IÆGtŠ]éK?FTOMeà`èrÝ´èÝ´àuG>@²MeàPìRàuìÆGGtŠ]éK?FTOMeà`è

AC ^r = r

ãm?mÝuÝuéÆ@RM¬IKâàPìK?à

AC ^r

^?AIKJ

r

?AEuGHàuìKG=t?AEuMU?FVKT¬GZÝ3á?

AC ^r

^?FIKJá

r

ãKEPG>Ýuß GZÞ6àuM0=AG>T¬èmî 1îDÆámE/G=mG%EPè?AÝPÝuáiÞ%MO?FàuMOáAI Þ"TU?AÝPÝ

AC ^q

ãÝuéKÞ*ì:àuìK?Fà

AC ^r ≺ ^∗ AC ^q

ãïTOG"à

r

MOIÆìÆG%EPM¬à

?FTOTàPìÆGN@éÆT¬àuMOßÆTOMOÞ%Meà`è)Þ"ámIKÝ`àPEP?AM¬I]à*ݺá?

q

îSìK?à±MUÝ%ãÒMX

q

ìK?mÝRàuìÆGN@ºéÆT¬àuMOßÆT¬MUÞ"M¬à`è Þ"ámIKÝ´àuE*?FMOImà

q(qn ₁ : C ₁ [min ₁ , max ₁ ], qn ₂ : C ₂ [min ₂ , max ₂ ]),

^?AIKJ

r

^ìK?AÝ

àuìKG,Þ%áAIKÝ´àuE*?FMOI]à

r(rn ₁ : C ₁ ⁰ [min ⁰ ₁ , max ⁰ ₁ ], rn ₂ : C ₂ ⁰ [min ⁰ ₂ , max ⁰ ₂ ]),

^ìÆG%EPG

àuìKGºEPáATOG>Ý

qn ₁ , qn ₂

Þ%áAEPEuGZݴߘáAIKJàPá±àPìÆGºEPáATOG>Ý

rn ₁ , rn ₂

ãEuGZݴߘG>Þ"àuM0=AG>T¬èmãÆàuìKG%Iïã

?AJKJàPìÆGIÆGPç@ºéÆTeàPM¬ßKT¬MUÞ"M¬à`èºÞ%áAIKÝ´àuE*?FMOI]à4ámI

r

^ã

r(rn ₁ : C ₁ ⁰ [min ₁ , max ₁ ], rn ₂ : C ₂ ⁰ [min ₂ , max ₂ ]),

?FI JÂ?AßÆßÆTOèLàuìÆGåïG>IÆ<%G>EuMOIÆMÒ?FI J  áAVÆMOT¬MÒÞ%áAIKÝ´àuEPéKÞ6àPM¬ámIDàPá àuìKGIÆG Þ"ámIKÝ`àPEP?AM¬I]àZî

·µ¹]» RS

×7»{¾k·ÀÔ+³¹]¸PÕ ×2º¸ é ÔDÔ+¸Zԛ¶8Ù8Ô]Ù

”–•;—k•o˜T™›šœ2˜

µ·]Å˜× Ø>¹]¸ é »,«Þ

Z

þq\aüKÿ6ýj

i

‚4\"ýoû]aüYa½ý

Z

þHûªü˜þ‚4pûªýoûÀþ6ÿR rý

Z

þþAýjþ%ü2eAþe€¯tþ

i

ÿ6û]aü¡a

”–•;—k•o˜T™›šœ2˜

^nFü2erý

Z

þ%û

i

ü7‚p[qj

Pþ

i

ûUÿ

O(n ² )

^{^ ù Z þ i þ}

n

^{ûUÿýZ þ/ü7‚p[E*þ i a€\aüKÿ6ýi}FûªüKýxÿHûªüÂý

Z

þ€\Xtÿ*ÿqeFû]

„?i

[‘Ë

g+i

ataRË

·?AÞ*ìR?AÝPÝ´áÞ%MO?FàuMOáAIÞ%TO?mÝuÝ4ìÆMOG%E*?FE*Þ*ìièHÞ%áAIKÝ´àuE*?FMOI]àPÝ8EPGPŠ]éÆMOEuGZÝâmáAMOIÆâHá=AG%EàuìKG+ìKáATOG

ìÆM¬G>EP?AEPÞ*ìièmî

´Gé Ôi× Øԛ» èT

”–•;—k•o˜T™›šœ2˜

¼m×KØtØÔW¼¸t¶ÔiÚZÚU ç %

\Xtÿ*ÿ€eû]

„i

[

CD

^{ù ûªýZ %ûªü2 i} ‘[&‚pcj ýxûƒpû]\"ûªý@ V\aüÆÿ6ýi ûªü ýÀÿ^\RXÿ*ÿ Z ûÀþ i i \ Z V\laFüÆÿ6ýi ûªü ýÀÿ^ ã ä¡\aüKÿ*ýi FûªüKýxÿl^üe‘tÿ*ÿaP\%û]ýoû]aü

\RXÿ*ÿG\aFüÆÿ6ýi ûªüKýxÿ ø

ý Ë , Lý

Z

þ|\Xtÿ*ÿ

Z

ûÀþ i i \ Z

ÿ6ý

i

‚4\%ý@‚

i

þYe?aZþ"ÿDü2aýºûªü2\c‚4eAþ|\ ?\ROþ6ÿ

ù

ûªý

Z

heûUÿaûªü ý‹a

i

\a[(ƒ2¬þ%ý‡þR^·ý

Z

þ%ü

CD

ûUÿ·üKûªýjþRc RÿFýxûUÿROþ/û€Fü2eaü4m û

Ψ ^CD

ûUÿÿac¯?¬þtË

ÿ Ë , ý

Z

þ&\Xtÿ*ÿ

Z

ûÀþ i i \ Z

±ÿ6ý

i

‚4\%ý@‚

i

þûªü\Rc‚4emþ6ÿ€\ ?\ROþ6ÿ

ù

ûªý

Z

eûUÿaûªü ý–a

i

\la[–ƒ¬þ%ý‡þ

\aüÆÿ6ý

i

ûªü ýÀÿ^¹ý

Z

þ%ü

CD

ûUÿü2aFýjc·üKûªýjþRm ºÿFýxûUÿROþû

Ψ ^CD

ûUÿü2aý3ÿac¯?¬þtË

V

Ä4{]_/³pXZ}>decµih%vj_6°Lvj_*Y/h%fF^`dpc*v^`{]h%^ k _Pa´h%a´°Ad8_P^Hh>³ªÃkMWLQ4[ma`X"sFde°m_,yOX>a,qS²R‹:c*³eh>vjvH°mdeh>}%a´h>Yv

vj_*_*Yv·^`XX"st_ua`³eXX>År^`{]_½dpY[]³pdpc6h%^`dpX>f7X%yh>vjvjXc*deh%^`dpX>fLc*³eh>vjvS{mdp_Pa´h%a`c´{wRXZf^`{m_*d¿ah>vjvjXcPd¬h"^`_6°

h>vjvjXc*deh"^`deX>f]v*ÃmÄ4{]_Pdpavj_*Y/h%fF^`dpc*vza`_LK\mdpa`_PvX>f]³¿w^`{m_

1 : 1

Y/h>[][mdpf]}Sµ_P^x¸4_*_Pfh>fh%vjvjXc*deh%^`dpXZf c*³eh>vjv=_PÁF^`_*fmvjdeX>f7^`Xºd¿^`vh>vjvjXc*deh"^`_6°Nh>vjvjXc*deh"^`deX>fL_PÁF^`_*fmvjdeX>f à Ä4{]_ua`_PyUX%a`_Z~ yOX>a

AC ^r ≺ AC ^q

^~

^`{]_Y/h%[][]dpfm}Zv

AC ^r ↔ r

h>f]°

AC ^q ↔ q

Ydp}Z{^·°mdYXÆ_Pa6~mdpY[]³¿wAdpf]}^`{]h%^

r

³edpfmÅAv¹Ydp}Z{^¹fmX>^

v`h%^`dpv‡yOw^`{m_

q

cPXZf]v‡^ja´h%dpfF^`v*ÃmW8X>f]vj_LK\m_*f^`³pw~>^`{]_*d¿a^ja´h>f]vj³eh"^`deX>f]v4X%y˜qS²R‹c*³eh>vjvÒ°Ad¬h%}>a´h%Yv*~^`X

DLR if d

h>fi°½^`X

ALCQI

~Zc*h>f]fmX>^dpfmyO_Pa8dpfm{]_Pa`d¿^´h>fmc*_¹X>yÆY\]³¿^`dp[]³pdpc*d¿^ow½c*XZfmv‡^ja´h>dpf^`vµ_u^o¸4_P_*f

ä½ÝuM¬IÆâ,ä½BåÞ%TO?mÝuÝ4JMU?FâmEP?A@ݕáAE4ámVàP?AM¬IÆMOIÆâ Ü åLÝuG%El=iMOÞ%G>ÝMOÝkŠ]éÆM¬àuGSIÆGîSìKG3@RáAEPGSÞ"áAIÆë

=AG%I]àPM¬ámIK?FTÆJMOEPG>Þ6àPM¬ámIºMUÝ4àPìÆGáFàPìÆG%ES?tè?FEPáAéKIKJzîSìÆGSàPEP?AIKÝ´TU?àPM¬ámIKÝ>ãZMOIRV áAàuì±JMOEPG>Þ6àPM¬ámIKÝ>ã

G%@RßÆìK?mÝ´MO<%GHàuìKGEuG>ßÆEuGZÝ´G>I]àP?àPM¬ámIK?FT˜@RG%EPMeà*Ýá8V áAàuìLTU?FIÆâméK?FâmG>Ý>î

;=I)M¬@RßÆTOG%@RG%I]à*?àuMOáAIh•áAEràPìÆGĔ–•;—n•o˜Tšœ7˜#?FTOâAámEuM¬àuìÆ@ MUÝRáAIçàuìÆGAS?tèAãÒ?FI J áAéÆTUJ

G%IK?AVÆT¬Gé ÝàuáLàPG>Ý´à/àuìKG±éKÝP?FVÆMOT¬M¬à`è:áàuìÆG7ÝuéÆâmâAG>Ý´àuGZJ ?FßÆßÆEPám?mÞ*ìïî³6]àuMOTOTxã8M¬I{=iMOGÇáSàuìKG

Þ"éÆ@ºV G>EPÝuáA@RG=àPEP?AIKÝuTO?FàuMOáAIKÝ>ãmM¬à@?AGZÝ3ÝuG%I Ý´GàuáºàuEPè±?FIKJ#JG=mG%TOáAß7?rJMOEuGZÞ6à

Ü

åÄ=mG%E*Ý´MOáAI

á8àuìÆGE”–•;—k•o˜ršœ2˜=?AT¬âmáAEPMeàPìÆ@Lî

;=IÆáAàuìÆG>EHJMOEPG>Þ6àPM¬ámIDMUݽàPáÝ´àuEPG%IKâFàuìKG%INàPìÆG

Ü å àuáLä½BDå àuE*?FIKÝuTU?àuMOáAIãÆàuáL?FßKßÆT¬èàPá

Þ"áAI Þ"G%ßÆàPÝS?FIKJ±EuámT¬GZÝ%ã]EP?FàuìÆG>E·àPìK?FI7àuáq•áAEP@éÆTU?FGmîW6éKÞ*ì#?/àuE*?FIKÝuTO?FàuMOáAI7Þ>?FI#V G,Þ"ám@rߘámÝuM¬ë

àuMOáAIK?ATï?FIKJL?FßKßÆT¬è±àuáRIÆáAILßÆEPMO@rM¬àuM0=AGNiIÆáTOG>JâmGV ?AÝuG>Ý>î

^ ÏÐlÏôÏò½øÏ<§

-0/R5€6Þ*ìÆMOTOJïã;/î0D;CÞ%áAEPEuGZݴߘáAI JG%IKÞ%GràuìÆG>áAEPèY•áAEàuG>Eu@RMOIÆáATOáAâmMOÞ>?FTÒTOáAâAMUÞ%ÝPßÆEuG>T¬MO@RM¬I ?FEPè

EuG>ß ámE´àZîGZÞ*ìÆIÆMUÞ%?FT³:=G%ߘáAEuà_N"oëjQS; 8 _RãpDn:…’ël/>1‹r/Pˆ?ˆ4/t

-_1>5/åïéàP<Aã 8 î¬ãp6?àuàuTOG%EZãmäî¬ãWG>IKJG>EP?KãAå¹î0SìÆGÞ%áA@RßÆTOGRŽMeà`èºázæKIKMeàPG½@RáJG%T EuGZ?AÝuáAIÆMOIÆâ

M¬ILJGZÝuÞ%EuMOßàuMOáAITOáAâAMUÞ%Ý>îk"jIp`î 8 ám@rßKéà>î

è;`A`

1‰‰’–/t31=a/>zp/

-35 8 ?FT0=?FIÆGZÝ´Gmã

Ü

î0~D8MOIÆM¬àuG7@RáJG>T3EPG>?mÝ´ámIÆM¬IKâNM¬I JÆG>ÝPÞ"EPM¬ßàPM¬ámIíT¬ámâAMUÞ%Ý>îA"jI³nSìKGƒtàPì

"jI]à>î 8 áAIp`î8áAIíàPìÆGƹEuMOIKÞ%M¬ßÆTOG>ݺáJ_,IKáT¬GZJâAG‹:=G%ßÆEPG>ÝuG%I]àP?FàuMOáAIí?FI J¢:G>?mÝ´ámIÆMOIÆâ

3_:Së;ˆ?“›6ã 8 ?FTOMX•áAEPIÆMO?KãÆBNáAEPâm?AIb_?Fé•@R?AIÆI{o/tˆ?ˆ?“›1?ˆ1UaW3?‰3

-†5/åïG>IÆ<%G>EuMOIÆMoãiB î¬ã



ámVÆMOT¬Moãp4îXcI±àPìÆGÝu?FàuMUÝ`æ˜?FVÆMOT¬M¬à`èá8JG%ߘG%IKJÆG%IKÞ%è7Þ"ámIKÝ`àPEP?AM¬I]à*Ý·MOI

G%I]àuM¬à`è]ëoEPG%TU?àPM¬ámIKÝuìÆM¬ßÝuÞ*ìKG%@?à*?Æîn"jIp•áAEP@?àuMOáAI$6ièÝ´àuG%@Ý

è?deR

r/Pˆˆ?‰!†›’?3UaW†“/

-_’>5/BD?FE*?FG>GAã";î¬ãZQ?ATO?AVK?FIã%Bíî0 ±Þ"MOG%I]àEPG>?AÝuáAIKM¬IÆâ?AV áméàïæKIÆM¬àuG3Ýu?FàuMUÝ`æ ?AVÆMOT¬M¬à`è½á?iéK@rT

Þ"TU?AÝPÝJMU?FâAE*?F@Ý#M¬àuìNÞ"ámIKÝ´àuE*?FMOIÆG>JâAG>IÆG%E*?FTOMO<>?àPM¬ámI#ÝuG"à*Ý%î"jI³4SìÆG€3AEPJ¹éÆEPáAߘG>?AI

8 áAIp•G>EuG>IKÞ"GHáAINBNáJG>Teë

Ü

EuM0=AG>I#;=E*Þ*ìÆM¬àuGZÞ6àuéKEuGmã76ißÆEPM¬IKâAG%E@1‰?‰Wz(/>z=aW3/

-“5/BD?FE*?FG>GAã;îX¡ ±Þ"MOG%I]àr@RG%àuìÆáJÆ݀•áAErÝ´ámTX=iMOIÆâNæKIÆM¬àuGÝu?FàuMUÝ`æ˜?FVÆMOT¬M¬à`è:ßÆEuámVÆTOG%@Ý/MOI

éÆ@RTÞ"TU?AÝPÝSJMU?FâAE*?F@Ý>î8B?AÝ´àuG%E=fÝàuìÆGZÝ´MUÝ%ãÆQG>Ië;ëHéKEuMOáAILä=IÆM0=î¬ã4"`Ý´E*?FG>Tk@1‰‰›z

-czt5/QG%E*?FE*JMxã Ü îOã 8 ?ATX=?FIKG>ÝuGAã Ü îOãWëHMU?AÞ%áA@RáKã Ü î0³:G>?mÝ´ámIÆM¬IKâáAIéÆ@RT Þ%TO?mÝuÝ3JMU?FâAE*?F@Ý>î

;=EuàuM¬æ Þ"MU?FT"jI]àPG%TOT¬MOâAG>IKÞ"G

è;gih

@1‰?‰›’?#z‰a2/?/t‡

-‡5GSìK?FTOìÆG>M¬@LãQHî0$DÆéÆIKJK?F@RG%I]àP?ATOÝ/á=Þ%?AEPJMOIK?AT¬M¬à`èÂÞ%áAIKÝ´àuE*?FMOI]àPÝ>î‹"jI³kSìÆGY//"àuì|"jIë

àuG>EuIK?FàuMOáAIK?AT 8 ámIp•G%EPG%IKÞ%GámIàuìKG ¹I]àPMeà`è]ë;:G%TU?àPM¬ámIKÝ´ìKM¬ß;=ßÆßÆEPám?mÞ*ìïãiåïáAI JáAIïãiäJ_Rã

6ißÆEPM¬IKâAG%Euë6jÒG%EPTO?Aâo/tˆ?ˆ›1?#z"ap1?3

-ˆ5G½?AE´àP@R?AIÆIïã6î0€ëHEP?AßÆìëoàuìÆG>áAEPG"àuMUÞ%?AT@RG"àPìÆáJÆ݁àuáLÞ"ámIKÝ`àPEué Þ6à,G%I]àuM¬à`è]ëoEPG%TU?àPM¬ámIKÝ´ìKM¬ß

JÆ?à*?FVK?mÝ´GZÝ%î"jI³SìÆGq1p/ZÝ`à–"jI]àPG%EPIK?àPM¬ámIK?FT³B:áAElÝ´ìKáAßLáAIYëHE*?FßÆìë;SìÆG>áAEPG"àuMUÞ 8 áAIÆë

Þ"G>ßàPÝSMOI 8 áA@RßÆéàPG%E(6Þ%M¬G>IKÞ"GmãKåïámIKJáAIãÆäJ_Rã46ißÆEPMOIÆâAG>E´ë6jÒG%EPTO?Aâr/Pˆ?ˆ›’?(/P34/a2/P†›’

-X/t‰5G½?AE´àP@R?AIÆIïã6î0 8 áAßÆMOIÆâUMeàPìMOIKÞ"ámIKÝ´MUÝ´àuG%I]àíÞ"ámIKÝ`àPEP?AM¬I]à ݴߘG>Þ%Meæ Þ>?àPM¬ámIKÝ%î "jI³

SìÆGq1?‰àuìA"jI]àuG>EuI ?àuMOáAI ?FT 8 ámIp•G%EPG%IKÞ%GáAI 8 ámIKÞ"G>ßàuéK?ATBNáJG>T¬MOIÆâ ã åïámIKJámIïãKäJ_Rã

6ißÆEPM¬IKâAG%Euë6jÒG%EPTO?Aâ1?‰?‰4/t+1†4/ap1’?’

-X//R5 8 ?FT0=?FIÆGZÝ´Gmã Ü î¬ãåG%IÆ<>G%EPM¬IÆMoãBíî0?cI/àuìÆGSMOImàPG%E*?AÞ"àuMOáAI/V˜G"àoG%G>I/MOÝP?H?FIKJ/Þ>?FE*JMOIK?FTOMeà`è

Þ"ámIKÝ`àPEP?AM¬I]à*Ý%î>"jI³tSìÆG–/P‰FàuìN";¡"jImàZî 8 ámIp`î%ámI Ü ?FàP?#¹IÆâmM¬IKG%G%EPMOIÆâKãPB:?mÝ´ìÆMOIÆâAàuáAIã

Ü 8 ã ä 6;ã"; 8 ám@rßKéàuG>E(6iáÞ"MOG"à`è~r/Pˆˆ†›+1‰?†a1p/P3

-X/>1>5 8 ?AJámT¬Moã>B î¬ã 8 ?FT0=?FIÆGZÝ´Gmã Ü îOã Ü GëHMO?mÞ"áA@Rá ãtërîOãtB?FIKÞ%M¬IÆMoã>,îXpD8M¬IKMeàPGÝP?àPMOÝ´æ ?FVKM¬TOMeà`è

áSéÆ@RTÞ%TO?mÝuÝJMO?AâAE*?F@Ý,VièÂÞ%áAIKÝ´àuE*?FMOI]à/ßÆEuámâAE*?F@R@RM¬IKâKîV"jI³nSìÆGVB:áAElÝ´ìÆámßÂámI