[ Baccalauréat ES 2003 \ L’intégrale de mars 2003 à mars 2004

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L’intégrale de mars 2003 à mars 2004

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bleus

Pondichéry mars 2003 . . . . 3

Amérique du Nord juin 2003 . . . . 6

Antilles–Guyane juin 2003 . . . . 11

Asie juin 2003 . . . . 16

Centres étrangers juin 2003 . . . .20

Métropole juin 2003 . . . . 26

La Réunion juin 2003 . . . . 30

Liban juin 2003 . . . . 33

Polynésie juin 2003 . . . . 37

Antilles–Guyane septembre 2003 . . . . 44

Métropole septembre 2003 . . . . 49

Polynésie (obligatoire) septembre 2003 . . . . 54

Amérique du Sud novembre 2003 . . . . 58

Nouvelle–Calédonie novembre 2003 . . . . 62

Nouvelle–Calédonie mars 2004 . . . . 65

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2

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EXERCICE1 5 points Un pisciculteur possède un bassin qui contient trois variétés de truites : communes, saumonées et arc-en-ciel. Il voudrait savoir s’il peut considérer que son bassin contient autant de truites de chaque variété. Pour cela il effectue, au hasard, 400 prélèvements d’une truite avec remise et obtient les ré- sultats suivants :

Variété Commune Saumonée Arc-en-ciel

Effectifs 146 118 136

1. a. Calculer les fréquences de prélèvementfcd’une truite commune,fsd’une truite saumo- née etfad’une truite arc-en-ciel. On donnera les valeurs décimales exactes.

b. On posed²= µ

fc−1 3

¶2

+ µ

fs−1 3

¶2

+ µ

fa−1 3

¶2

.

Calculer 400d²arrondi à 10⁻²; on note 400d_obs² cette valeur.

À l’aide d’un ordinateur, le pisciculteur simule le prélèvement au hasard de 400 truites suivant la loi équirépartie. Il répète 1 000 fois cette opération et calcule à chaque fois la valeur de 400d².

Le diagramme à bandes ci-dessous représente la série des 1 000 valeurs de 400d², obte- nues par simulation.

539

235

122

51 41

12 400d²

Effectifs

0 100 200 300 400 500

0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0

2. Déterminer une valeur approchée à 0,5 près par défaut, du neuvième décile D9 de cette série.

3. En argumentant soigneusement la réponse dire si on peut affirmer avec un risque d’erreur in- férieur à 10 % que « le bassin contient autant de truites de chaque variété ».

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Baccalauréat ES A. P. M. E. P.

4. On considère désormais que le bassin contient autant de truites de chaque variété. Quand un client se présente, il prélève au hasard une truite du bassin.

Trois clients prélèvent chacun une truite. Le grand nombre de truites du bassin permet d’assi- miler ces prélèvements à des tirages successifs avec remise.

Calculer la probabilité qu’un seul des trois clients prélève une truite commune.

EXERCICE2 5 points

Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

À l’issue d’une compétition, des sportifs sont contrôlés par un comité antidopage qui doit se pro- noncer sur leur positivité ou négativité au dopage. Or, d’une part certains produits dopants restent indétectables aux contrôles, d’autre part certains médicaments ont un effet de dopage inconnu du sportif; le comité prend donc sa décision avec un risque d’erreur. On note

Dl’évènement « le sportif est dopé »,

Ol’évènement « le sportif est déclaré positif ».

El’évènement « le comité a commis une erreur ».

1. Dans cette question, on suppose que parmi les sportifs 50 % ne sont pas dopés et quela proba- bilité d’être déclaré positif est indépendante de l’état réel du sportif (dopé ou non dopé).

Lors d’une étude sur des compétitions antérieures on a pu observer que ce comité déclarait positifs 20 % des sportifs. On choisit un sportif au hasard. Calculer

• la probabilité que le sportif soit non dopé et déclaré positif;

• la probabilité que le sportif soit dopé et déclaré négatif;

• la probabilité de l’évènementE.

2. Dans cette question, on notepla fréquence des dopés parmi les sportifs contrôlés.

On suppose que la probabilité d’être déclaré positif n’est pas la même selon que le sportif est réellement dopé ou non,

• la probabilité qu’un sportif dopé soit déclaré positif est 0,9;

• la probabilité qu’un sportif non dopé soit déclaré positif est 0,1.

On choisit un sportif au hasard.

a. Construire un arbre pondéré illustrant la situation.

b. Calculer la probabilité deE.

c. Calculer, en fonction dep, la probabilité que ce sportif soit déclaré positif.

d. On s’intéresse à la probabilité qu’un sportif ayant été déclaré positif soit réellement dopé.

Montrer que cette probabilité, notéef(p), est définie parf(p)= 0,9p 0,8p+0,1. Résoudre l’inéquationf(p)>0,9. Interpréter ce résultat.

PROBLÈME 11 points

Commun à tous les candidats

Ce problème a pour objectif d’étudier le prix d’équilibre entre l’offre et la demande d’un objet donné, dans une situation de concurrence parfaite.

Partie A : étude de la demande

On suppose que le prix unitaire qu’acceptent de payer les consommateurs en fonction de la quantité xdisponible sur le marché est modélisé par la fonctiongdéfinie sur [0 ;+∞[ par

g(x)= 50 x²+x+1.

Le prix unitaireg(x) est exprimé en euros et la quantitéxen millions d’objets.

Pondichéry 4 mars 2003

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1. Calculer lim

x→+∞g(x). Interpréter graphiquement ce résultat.

2. a. Calculerg^′(x).

b. Étudier les variations degsur [0 ;+∞[ et donner le tableau de variations.

3. SoitC_gla courbe représentative degdans un repère orthogonal du plan. Déterminer une équa- tion de la tangente T à la courbeC_gau point d’abscisse nulle.

4. Tracer T etC_g (unités graphiques : 2 cm pour une unité en abscisses, 2 cm pour 10 unités en ordonnées).

Partie B : étude de l’offre

Les producteurs acceptent de fabriquer une quantitéxexprimée en millions d’objets si le prix unitaire de l’objet atteint une valeur minimale. On suppose que ce prix minimal (qui dépend de la quan- titéx) est modélisé par la fonctionf définie sur [0 ;+∞[ par

f(x)=3e^0,26x. Le prix unitairef(x) est exprimé en euros.

1. Calculer lim

x→+∞f(x).

2. étudier les variations def sur [0 ;+∞[.

3. TracerC_f dans le même repère queC_g.

Partie C : Recherche du prix d’équilibre

Dans un marché à concurrence parfaite, la « loi de l’offre et de la demande » tend à dégager un prix d’équilibrep0pour lequel l’offre des producteurs est égale à la demande des consommateurs. On appelleq0la quantité associée àp0.

1. Déterminer graphiquement un encadrement entre deux entiers consécutifs d’une part du prix d’équilibrep0et d’autre part de la quantité associéeq0.

2. On poseh(x)=f(x)−g(x) pour toutxde [0 ;+∞[.

a. Déduire des parties A et B le sens de variations de sur [0 ;+∞[.

b. Montrer que l’équationh(x)=0 admet une solution uniqueq0sur [2; 3].

c. Donner à l’aide de la calculatrice une valeur arrondie à 10⁻²deq0.

3. Calculer une valeur approchée du prix d’équilibrep₀. On donnera le résultat arrondi à 10⁻² près.

Partie D : Surplus des producteurs

On appelle surplus des producteurs le gain supplémentaire que réalisent les producteurs en vendant au prixp0. Il est obtenu à partir de l’expression :

Sp=p0q0− Zq0

0 f(x) dx.

Il est exprimé en millions d’euros.

1. Donner une interprétation graphique deSp, (on interpréterap0q0comme l’aire d’un rectangle).

2. a. CalculerSpen fonction dep0etq0.

b. Déterminer une valeur arrondie à 10⁻¹deSpexprimée en millions d’euros.

Pondichéry 5 mars 2003

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[ Baccalauréat série ES Amérique du Nord juin 2003 \

Aucun détail des calculs statistiques effectués à la calculatrice n’est demandé dans cet exercice.

Dans un magasin, le nombre annuel de ventes d’un appareil électroménager, relevé pendant 6 an- nées, est donné par le tableau suivant :

Année 1996 1997 1998 1999 2000 2001

Rang de l’annéexi 1 2 3 4 5 6

Nombre d’appareilsyi 623 712 785 860 964 1 073

1. a. Représenter dans un repère orthogonal le nuage de pointsM¡ xi,yi¢

en prenant comme unités graphiques : 2 cm pour 1 rang en abscisses et 1 cm pour 50 appareils en ordonnées, en commençant à la graduation 600.

b. Calculer, en donnant les résultats arrondis à 10⁻², les coordonnées du point moyen G du nuage et placer ce point sur le graphique.

2. a. Calculer, en donnant les résultats arrondis à 10⁻², les coordonnées du point moyen G1du nuage formé par les points M1, M2et M3, puis les coordonnées du point moyen G2du nuage formé par les points M4, M5et M6.

b. Placer les points G1et G2sur le graphique et déterminer, avec des coefficients arrondis à 10², une équation de la droite (G1G2).

c. En utilisant cette droite comme droite d’ajustement affine, déterminer le nombre d’appareils que l’on peut prévoir vendre en 2004.

3. On sait maintenant que le nombre d’appareils vendus en 2002 est de 1 125.

a. Ajouter le point M7(7; 1 125) sur le graphique précédent.

b. On considère alors le nouveau nuage formé des pointsMi, 26_i 67 (le nombre annuel de ventes de l’année 1996 n’est plus pris en compte).

Donner, à l’aide de la calculatrice, une équation de la droite d’ajustement affine deyenx par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis à 10⁻²).

c. En utilisant cet ajustement, quel nombre d’appareils peut-on prévoir vendre en 2004?

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Une petite entreprise de textile commercialise des nappes et des lots de serviettes assorties. Quand un client se présente, il achète au plus une nappe et un lot de serviettes.

1. La probabilité pour qu’un client achète la nappe est 0,2. La probabilité pour qu’un client achète le lot de serviettes quand il a acheté la nappe est 0,7 et la probabilité qu’il achète le lot de serviettes quand il n’a pas acheté la nappe est 0,1.

a. On note N l’évènement « un client achète la nappe ». On note S l’évènement « un client achète le lot de serviettes ». Construire un arbre pondéré décrivant la situation.

b. Montrer que la probabilité de l’évènement N∩S est égale à 0,14.

c. Calculer la probabilité de l’évènement S.

d. Calculer la probabilité pour qu’un client achète au moins l’un des deux articles.

2. La nappe est vendue 125 euro et le lot de serviettes 45(.

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a. Établir en reproduisant sur la copie le tableau suivant, la loi de probabilité : « dépense d’un client ».

Dépense (en euro) 0 45 125 170

Probabilité

b. Calculer l’espérance mathématique de cette loi. Donner l’interprétation concrète de ce nombre.

3. On rappelle que la probabilité pour qu’un client achète l’ensemble nappe et serviettes est 0,14.

On choisit trois clients au hasard. On suppose que le nombre de clients est suffisamment grand pour que ce choix soit assimilé à un tirage successif avec remise. Quelle est la probabilité qu’un seul client ait acheté un ensemble nappe et serviettes ?

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Soit le graphe G joint en annexe constitué des sommets A, B, C, D, E, F et G.

1. Quel est son ordre et le degré de chacun de ses sommets ?

2. Reproduire sur la copie et compléter le tableau des distances entre deux sommets de G :

Distance A B C D E F G

A ×

B × ×

C × × ×

D × × × ×

E × × × × ×

F × × × × × ×

G × × × × × × ×

En déduire le diamètre de ce graphe.

3. a. Donner un sous-graphe complet d’ordre 3 de G.

Qu’en déduire pour le nombre chromatique de G ?

b. Proposer une coloration du graphe G et en déduire son nombre chromatique.

4. Donner la matrice M associée à G (vous numéroterez les lignes et les colonnes dans l’ordre alphabétique).

5. En utilisant la matrice M2donnée en annexe 1, déduire le nombre de chaînes de longueur 2 partant de A sans y revenir.

Amérique du Nord 7 juin 2003

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Annexe 1 : exercice 2

G A

B

C

D

E F

M²=







3 1 1 0 2 1 0 1 3 0 1 2 1 1 1 0 3 1 1 2 1 0 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 4 0 0 1 1 2 1 0 3 2 0 1 1 1 0 2 2







Commun à tous les candidats Partie A

On considère la fonctionf définie sur ]−1 ;+∞[ par :

f(x)=ax+b+3ln(x+1)

oùaetbdésignent deux réels que l’on déterminera dans la question2.. On appelleC_f sa courbe re- présentative. La figure de l’ annexe représente une partie de cette courbe donnée par une calculatrice graphique.

C_f vérifie les conditions suivantes :

elle passe par le point A(0; 5) et elle admet une tangente horizontale au point d’abscisse1 2. 1. En utilisant les données de l’énoncé, que peut-on dire du sens de variation def ? 2. Détermineraetb.

Partie B

On suppose désormais que la fonctionf est définie sur ]−1 ;+∞[ par : f(x)= −2x+5+3ln(x+1).

1. a. Calculer la limite def en−1. Interpréter graphiquement le résultat.

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b. En admettant que : lim

x→+∞

ln(x+1)

x =0, calculer lim

x→+∞f(x).

2. Calculer f^′(x) et étudier les variations def Dresser le tableau de variations. Préciser la valeur exacte du maximum def.

3. TracerC_f et les asymptotes éventuelles dans un plan muni d’un repère orthonormal³ O,−→

ı,→−

´ . (unité graphique : 2 cm)

4. a. Montrer qu’il existe deux réelsαetβtels queα<0<βetf(α)=f(β)=0.

b. Donner une valeur approchée à 10⁻²près par défaut deαet deβ.

c. En déduire le signe def(x) sur ]−1 ;+∞[.

5. Soitgla fonction définie sur ]−1 ;+∞[ par :

g(x)=(x+1)ln(x+1)−x.

a. Calculerg^′(x).

b. En déduire l’expression de la primitive def s’annulant pourx=0.

Partie C

Une imprimerie a une capacité de production de 5 000 ouvrages par jour. Une étude a montré que le coût marginal peut être modélisé parf(q) (en milliers d’euro) oùqdésigne la quantité d’ouvrages imprimés (en milliers).

On rappelle que le coût marginal correspond à la dérivée du coût total.

1. a. Calculer Z₅

0 f(q) dq.

b. En déduire le coût total en euro de fabrication de 5 000 ouvrages.

2. L’imprimeur compte réaliser en deux jours une commande de 8 000 ouvrages. Il hésite entre deux possibilités :

5 000 ouvrages le premier jour puis 3 000 le second, 4 000 ouvrages pendant deux jours.

Quelle est l’option la plus rentable ?

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Annexe 2

Courbe représentative def

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EXERCICE1 5 points Commun à tous les candidats

Dans cette partie, on étudie la répartition des étudiants dans les différentes filières universitaires en fonction de la Catégorie Socio-Professionnelle (CSP) de leurs parents. Les catégories socio-professionnelles retenues sont :

CSP A : cadre supérieur, cadre moyen, profession libérale, patron de l’industrie et du com- merce.

CSP B : ouvrier, employé, personnel de service, ouvrier agricole.

CSP C : agriculteur exploitant.

CSP D : autre.

Les différentes filières universitaires sont regroupées en : Type S : sciences, santé.

Type L : Lettres. Type E économie et droit.

Type I : IUT et autres.

Tableau 1 : Répartition en pourcentage des étudiants dans les différentes filières en fonction de la CSP de leurs parents.

CSP A CSP B CSP C CSP D Total

Type S 64,7 % 17,5 % 4,5 % 13,3 % 100 %

Type L 51,2 % 24 % 4,2 % 20,6 % 100 %

Type E 54,2 % 26 % 4,5 % 15,3 % 100 %

Type 1 49 % 31,3 % 7,4 % 12,3 % 100 %

Toutes filières confondues 56,7 % 22,7 % 4,7 % 15,9 % 100 %

1. a. Donner la probabilité qu’un étudiant choisi au hasard parmi ceux qui suivent des études d’économie ou de droit ait ses parents classés dons la CSP A.

b. Donner la probabilité qu’un étudiant choisi au hasard dans la population globale des étu- diants ait ses parents exploitants agricoles.

Tableau 2 : Probabilité qu’un étudiant choisi ou hasard dans l’ensemble des étudiants soit dans les diverses filières.

Type S Type L Type E Type I

Probabilité 0,369 0,298 0,249 0,084

2. On choisit un étudiant au hasard dans la population globale des étudiants.

SoitAl’évènement : l’étudiant choisi a ses parents dans la CSP A. On définit de même les évè- nementsB,CetD.

SoitSl’évènement : l’étudiant est dans la filière de type S. On définit de même les évènements L,EetI.

Les résultats seront donnés à 10⁻³près.

a. Calculer la probabilité de l’évènementE∩A.

b. L’étudiant choisi a ses parents dans la CSP A. Quelle est la probabilité pour qu’il suive des études d’économie ou de droit ?

c. L’étudiant choisi a ses parents dans la CSP B. Quelle est la probabilité pour qu’il suive des études d’économie ou de droit ?

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(candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité) Les détails des calculs statistiques ne sont pas demandés.

La production nette d’électricité nucléaire en France, en milliards de kWh est donnée par le tableau suivant :

Annéexi 85 90 95 96 97 98 99

Productionyi 213 298 359 378 376 368 382

1. Le plan est rapporté à un repère orthogonal : sur l’axe des abscisses, on placera 84 à l’origine et on choisira 1 cm pour 1 an. Sur l’axe des ordonnées, on placera O à l’origine et on choisira 1 cm pour 20 milliards de kWh.

a. Représenter le nuage des points associé à la série statistique¡ xi;yi

¢. b. Quelles sont les coordonnées du point moyen G ?

c. Placer G.

2. Ajustement affine

a. En utilisant la méthode des moindres carrés, donner une équation de la droite de régres- sion deyenx. Les coefficients seront arrondis au centième.

b. Tracer cette droite sur le graphique. Expliquer la méthode utilisée pour le tracé.

3. Estimation de production

a. En supposant que le modèle affine reste valable jusqu’en 2020, estimer à l’aide de ce mo- dèle, au milliard de kWh près, la production d’électricité nucléaire en France en 2020.

b. On poseX=ln(x). L’équation de la droite de régression deyenXobtenue par la méthode des moindres carrés esty=1119X−4745.

En supposant que le modèle logarithmique reste valable jusqu’en 2020, estimer à l’aide de ce modèle, au milliard de kWh près, la production d’électricité nucléaire en France en 2020.

(Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité)

I-Un musée est constitué de 9 salles notées A, B, C, D, E, F, G, H et S.

Le plan du musée est représenté ci-dessous :

S D

G A

H E B

F C

Antilles-Guyane 12 juin 2003

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Ainsi, un visiteur qui se trouve dans la salle S peut atteindre directement les salles A, D ou G. S’il se trouve dans la salle C, il peut se rendre directement dans la salle B, mais pas dans la salle F.

On s’intéresse au parcours d’un visiteur dans ce musée. On ne se préoccupe pas de la manière dont le visiteur accède au musée ni comment il en sort. Cette situation peut être modélisée par un graphe, les sommets étant les noms des salles, les arêtes représentant les portes de communication.

1. Dessiner un graphe modélisant la situation décrite.

2. Est-il possible de visiter le musée, en empruntant chaque porte une fois et une seule ? Justifier en utilisant un théorème du cours sur les graphes.

3. Pour rompre une éventuelle monotonie, le conservateur du musée souhaite différencier chaque salle de sa ou des salles voisines (c’est-à-dire accessibles par une porte) par la moquette posée au sol. Quel est le nombre minimum de types de moquettes nécessaires pour répondre à ce souhait ? Justifier.

II- On noteMla matrice à 9 lignes et 9 colonnes associée au graphe précédent, en convenant de l’ordre suivant des salles S, A, B, C, D, E, F, G, H. Le graphe n’étant pas orienté, comment cela se traduit-il sur la matrice ?

III- On donne la matrice :

M⁴=







18 12 11 2 20 12 6 12 12

12 20 3 6 11 20 5 18 5

11 3 16 0 19 3 8 4 12

2 6 0 3 1 7 1 4 1

20 11 19 1 31 9 11 12 19

12 20 3 7 9 28 9 20 9

6 5 8 1 11 9 9 8 9

12 18 4 4 12 20 8 20 6

12 5 12 1 19 9 9 6 17







1. Combien y-a-t-il de chemins qui en 4 étapes, partent de D et reviennent à D ?

2. Combien y-a-t-il de chemins qui en 4 étapes, partent de S et reviennent à C ? Les citer.

3. Est-il toujours possible de joindre en 4 étapes deux salles quelconques ? Justifier.

Le but du problème est la recherche du meilleur moment de revente d’une machine-outil en tenant compte de sa valeur marchande ainsi que du coût de son entretien. On étudie dans lapartie A, deux fonctions qui contribuent à la résolution du problème traité dans lesparties BetC. Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A : étude de fonctions

1. Soit la fonctionf définie surR₊par

f(x)=10−10e^−0,2x+e^0,5x. a. Calculer la limite def en+∞.

b. Étudier les variations de la fonctionf surR₊et dresser son tableau de variations.

Préciser les limites en 0 et en+∞.

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2. Soit la fonctiongdéfinie sur ]0 ;+∞[ parg(x)=f(x) x .

On donne une partie de la courbe représentative de la fonctiong^′dérivée de la fonctiong

0

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

−8 1 2 3

1 2 3 4 5 6 7 8

Soit A le point d’intersection de cette courbe avec l’axe des abscisses. On prendra 2,5 comme valeur approchée de l’abscisse de A. Comme le suggère le graphique, on admet que la fonction g^′reste négative entre 0 et 2,5.

a. En utilisant ce graphique, déterminer les variations de la fonctiongsur l’intervalle ]0; 8].

b. En déduire une valeur approchée du minimum de la fonctiongsur l’intervalle ]0; 8].

Partie B : dépréciation d’un matériel

Toutes les valeurs marchandes sont exprimées en milliers d’euros, et on suppose raisonnable de né- gliger les variations monétaires. Une machine-outil achetée neuve, coûte 10 milliers d’euros.

Au bout d’un an, son prix de revente a diminué de 18 % et on admet qu’il en est ainsi chaque année.

1. Quel est le prix de revente en milliers d’euros au bout de 3 années ?

2. On notevnle prix de revente de la machine au bout denannées, en milliers d’euros.

a. Exprimervnen fonction den.

b. Déterminer par le calcul, le nombre d’années à partir duquel le prix de revente de la machine sera inférieur ou égal à 1,5 millier d’euros. Expliquer la méthode utilisée.

3. Soitkla fonction définie sur [0; 8] park(x)=10e^−0,2x. On admet quek(n) est une bonne ap- proximation devnpendant les 8 premières années.

On note I l’intégrale suivante I= Z5

0 k(x) dx.

(15)

a. Calculer la valeur exacte de I puis en donner une valeur approchée arrondie à l’unité la plus proche.

b. Estimer la valeur moyenne du prix de revente de la machine sur 5 années d’utilisation, puis en donner une valeur approchée.

Partie C : coût total d’un matériel

La machine-outil a un coût d’entretien. On estime qu’il peut être calculé par la fonctionEdéfinie sur [0; 8] parE(x)=e^0,5xoùxdésigne l’âge de la machine en années.

1. Justifier que le coût total d’utilisation de la machine-outil en fonction de son âge, exprimé en milliers d’euros, peut être défini sur [0; 8] par

f(x)=10−10e⁻^0,2x+e^0,5x(f est la fonction étudiée dans la partie A) 2. Exprimer le coût moyen par année d’utilisation, en fonction de l’âge de la machine.

En utilisant les questions précédentes, estimer le meilleur moment pour revendre la machine.

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[ Baccalauréat ES Asie juin 2003 \

Un phénomène économique est modélisé par une fonctionf représentée graphiquement par une courbe (C) dans un repère³

O,−→ ı ,−→

´ . Une partie de (C) est donnée ci-dessous.

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

0 5 10 15

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 1

O

A

T

x y

On donne aussi le tableau de valeurs suivant :

x 0 3 7 8 9 10

f(x) 10 4 20 49,5 149 546

On suppose que la fonction f ainsi représentée est continue et dérivable sur [0; 10] et strictement croissante sur [3; 10]

On notef^′sa fonction dérivée.

La droite T est la tangente à (C) en son point A d’abscisse 5; elle passe aussi par le point de coordon- nées (7; 11).

(C) admet une tangente horizontale au point d’abscisse 3.

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1.En utilisant ces informations :

a. Reproduire et compléter le tableau ci- contre :

x 3 5

f(x) 4

f^′(x)

b.Dresser le tableau des variations def sur [0; 10] ; indiquer aussi le signe def^′(x) sur cet intervalle. Justifier.

c.Déterminer le nombre de solutions de l’équation f(x)=6.

Utiliser le graphique pour donner des valeurs approchées des solutions à 0,5 près.

2.On considère la fonctiongdéfinie pour toutxde [0; 10] par :g(x)=ln[f(x)].

a.Étudier les variations de g et dresser le tableau des variations degsur [0; 10].

b.À l’aide du graphique de la question 1, donner une solution approchée, dans l’intervalle [0; 10], de l’équationg(x)=3.

Dans cet exercice les résultats approchés seront donnés à 0,000 1 près.

Lors d’une épizootie, on s’est aperçu que si la maladie était diagnostiquée suffisamment tôt chez un animal (avant que les symptômes apparaissent), on pouvait le guérir, sinon la maladie était mortelle.

Un test est mis au point et essayé sur un échantillon bien connu d’animaux dont 1% sont porteurs de la maladie. On obtient les résultats suivants :

— si un animal est malade, le test est positif dans 85 % des cas ;

— si un animal est sain, le test est négatif dans 95 % des cas.

On choisit de prendre ces fréquences observées comme probabilités pour la population entière et d’utiliser le test pour un dépistage préventif de la maladie.

On note :

— Ml’évènement : « L’animal est atteint par la maladie » ;

— El’évènement : « Le test est positif » ;

— N l’évènement : « Le test est négatif ».

1. Construire un arbre pondéré modélisant la situation proposée.

2. Un animal est choisi au hasard.

a. Quelle est la probabilité qu’il soit malade et que son test soit positif?

b. Vérifier que la probabilité pour que son test soit positif est 0,058 0.

3. Un animal est choisi parmi ceux dont le test est positif, quelle est la probabilité pour qu’il soit malade ?

4. On choisit 5 animaux au hasard, dans un troupeau suffisamment important pour que les épreuves puissent être considérées comme indépendantes et que les tirages puissent être assimilés à des tirages avec remise.

Quelle est la probabilité pour qu’au moins un des cinq ait un test positif?

5. Le coût des soins à prodiguer à un animal ayant un test positif est de 100 euros et le coût de l’abattage d’un animal non dépisté par le test ayant développé la maladie est de 1 000 euros. On suppose que le test est gratuit.

D’après les données précédentes, la loi de probabilité du coût à engager par animal subissant le test est donnée par le tableau suivant :

Coût 0 100 1 000

Probabilité 0,940 5 0,058 0,001 5

Un éleveur possédant un troupeau de 2 000 bêtes vous demande une prévision du coût à engager à la suite d’un passage du test à tout le troupeau ; quelle réponse proposez-vous ?

Asie 17 juin 2003

(18)

Dans la ville de GRAPHE, on s’intéresse aux principales rues permettant de relier différents lieux ouverts au public, à savoir la mairie (M), le centre commercial (C), la bibliothèque (B), la piscine (P) et le lycée (L). Chacun de ces lieux est désigné par son initiale. Le tableau ci-dessous donne les rues existant entre ces lieux.

B C L M P

B • • •

C • • •

L • •

M • • • •

P • •

1. Dessiner un graphe représentant cette situation.

2. Montrer qu’il est possible de trouver un trajet empruntant une fois et une seule toutes les rues de ce plan. Justifier. Proposer un tel trajet.

Est-il possible d’avoir un trajet partant et arrivant du même lieu et passant une fois et une seule par toutes les rues ?

3. Dimitri habite dans cette ville ; le graphe ci-contre donne lenouveauplan du quar- tier avec les sens de circulation dans les différentes rues et le temps de parcours entre les différents lieux.

P

B

M

C D

L 10

4 5

9 3

9 5

11

4 10

Dimitri désire prendre sa voiture pour se rendre de son domicile noté D jusqu’à la piscine.

Proposer un trajet le plus court possible lui permettant de se rendre de son domicile à la piscine.

La réponse proposée devra être justifiée par un algorithme.

Partie A

Étude statistique

Le but de ce problème est de modéliser l’évolution de la cotation d’une action en Bourse.

On ne fera qu’un seul dessin qui sera compété tout au long des différentes questions.

Les parties sont indépendantes.

La société « T–E S » est entrée en Bourse en 1995. Le tableau suivant donne la valeur d’une action en euros le 1^erjanvier de chaque année.

Année 1995 1996 1997 1998 1999

Rang de l’annéexi 0 1 2 3 4

Valeur de l’action en eurosyi 32 57 78 90 110

Asie 18 juin 2003

(19)

1. Représenter le nuage de points associé à la série statistique¡ xi ;yi¢

, le plan étant rapporté à un repère orthogonal (unités graphiques : 2 cm pour une année sur l’axe des abscisses, 1 cm pour 10 euros sur l’axe des ordonnées).

2. Le graphique permet d’envisager un ajustement affine.

a. Calculer les coordonnées du point moyen G. Placer ce point sur le graphique précédent.

b. Déterminer une équation de la droite de régression dey enx(les calculs effectués à la calculatrice ne seront pas justifiés).

c. En supposant que ce modèle reste valable jusqu’en 2003, quelle serait la valeur, en euros, d’une action de cette société en 2003?

3. En fait, suite à un retournement de tendance, la valeur de l’action a commencé à baisser à partir de 1999 comme le montre le tableau suivant (valeur au 1^erjanvier)

Année 1999 2000 2001 2002 2003

Rang de l’annéexi 4 5 6 7 8

Valeur de l’action en eurosyi 110 50 23 15 11

a. Compléter le nuage de points à l’aide de ces nouvelles valeurs.

b. Expliquer pourquoi l’ajustement précédent ne semble pas pertinent.

Partie B

Étude d’une fonction

Soitf la fonction définie sur [0 ;+∞[ par :

½ f(x) = 18,9x+35,6 si x∈]0 ; 4[

f(x) = e^−0,58x^+6,85 si x∈]14 ;+∞[

On suppose quef modélise l’évolution du cours de l’action à partir de l’année 0.

1. a. Dresser le tableau de variations def sur [0; 4].

b. Déterminer lim

x→+∞f(x). Interpréter graphiquement ce résultat.

Étudier les variations def sur ]4 ;+∞[ puis dresser son tableau de variations sur cet intervalle.

2. Tracer la courbeΓreprésentative de la fonctionf sur le graphique précédent.

f est-elle continue sur [0 ;+∞[ ?

3. Calculer, arrondie au centième, la valeur moyenne def sur l’intervalle [5; 10].

On rappelle que la valeur moyenne d’une fonctionf sur l’intervalle [a;b] est égale à 1

b−a Z_b

a f(x) dx.

Interpréter ce résultat.

4. Résoudre l’inéquation :f(x)6_1,5.

À partir de quelle année la valeur de l’action sera-t-elle inférieure à 1,50 euro ?

Asie 19 juin 2003

(20)

[ Baccalauréat ES Centres étrangers juin 2003 \

Aucun détail des calculs statistiques effectués à la calculatrice n’est demandé dans cet exercice. Sauf indication contraire, les résultats seront arrondis à 10⁻⁴.

Le tableau suivant donne, en millions, la population mondiale de 1400 à 2000.

Année Rangxide l’année Populationyi

1400 0 374

1500 100 458

1600 200 580

1800 400 958

1900 500 1 650

1950 550 2 519

1970 570 3 691

1980 580 4 430

1990 590 5 255

2000 600 6 057

Source : site internet de I’INED (Institut national des études démographiques)

1. Représenter le nuage de points associé à la série statistique¡ xi ;yi

¢en utilisant le repère semi- logarithmique joint en annexe.

2. On décide de faire un ajustement exponentiel, en ignorant les quatre premières données. On posezi=ln¡

yi

¢.

a. Reproduite sur la copie et compléter le tableau suivant par les valeurszi. Rangxide l’année 500 550 570 580 590 600 zi=ln(yi)

b. Donner une équation de la droite d’ajustement affine dezenxpar la méthode des moindres carrés.

c. En déduire une relation entreyetxde la formey =b×a^x, oùaetbsont deux réels à déterminer.

d. Utiliser cet ajustement pour estimer, au million près, la population mondiale en 2010.

(21)

Annexe à compléter et à remettre avec la copie

0 100 200 300 400 500 600

100 1 000 10 000

Dans une station-service, la probabilité quenclients se présentent pendant une période de 10 minutes est donnée par le tableau suivant :

n 0 1 2

Probabilité 3

10

4 10

3 10

1. Justifier que ce tableau définit une loi de probabilité. Calculer l’espérance de cette loi et inter- préter le résultat.

On noteCnl’évènement «nclients se présentent pendant une période de 10 minutes ».

Lorsqu’un client se présente, la probabilité qu’il prenne du gazole est2

5et on noteDpl’évène- ment : «pclients ont pris du gazole pendant une période de 10 minutes ».

On rappelle quePB(A) désigne la probabilité de l’évènement A sachant que B est réalisé.

2. On sait que deux clients se présentent pendant une période de 10 minutes.

a. Calculer la probabilité que ces deux clients prennent du gazole.

b. Montrer que la probabilitéPC2(D₁) qu’un seul de ces deux clients prenne du gazole est égale à12

25.

ıprobabilités de l’évènementDpsachant queCn, est réalisé pour toutes les valeurs possibles de petn, seront présentées dans le tableau suivant :

Centres étrangers 21 juin 2003

(22)

C0 C1 C2

D0 1

D1 0 ¹²₂₅

D2 0 0

a. Justifier les valeurs 0 présentes dans le tableau.

b. Justifier la valeur 1 correspondant àPC0(D0).

c. Reproduire le tableau sur la copie en complétant les valeurs manquantes (on les donnera sous forme de fractions).

3. Déterminer la probabilité de l’évènementD.

Un livreur d’une société de vente à domicile doit, dans son après- midi, charger son camion à l’entre- pôt noté A, livrer cinq clients que nous noterons B, C, D, E et F, puis retourner à l’entrepôt. Le réseau routier, tenant compte des sens de circulation, et les temps de parcours (en minutes) sont indiqués sur le graphe G suivant :

E

A

D F

C B

4

4 9

6

3

2 2

6 6 9 3

3 2

1. Donner la matrice M associée au graphe G.

On utilisera le modèle suivant :

A B C D E F

A B C D E F 2. On donne la matrice M⁶:

M⁶=







8 6 6 3 4 6

19 11 12 9 6 16

36 28 23 22 18 34 37 24 25 17 15 31

15 12 9 10 8 15

28 22 19 15 15 26







On s’intéresse aux chemins partant de l’entrepôt A et se terminant en A.

a. Combien existe-t-il de chemins de longueur 6 reliant A à A ?

(23)

b. Citer ces chemins.

c. Parmi ceux qui passent par tous les sommets du graphe, lequel minimise le temps de parcours ?

d. Quelle conséquence peut tirer le livreur du dernier résultat ?

3. Au départ de sa tournée, le livreur a choisi de suivre l’itinéraire le plus rapide. Malheureuse- ment, le client C n’est pas présent au passage du livreur et celui-ci décide de terminer sa livrai- son par ce client. Indiquer quel est le chemin le plus rapide pour revenir à l’entrepôt A à partir de C. La réponse devra être justifiée.

Commun à tous les candidats Partie A

Étude d’une fonction

On considère la fonctionf définie sur l’intervalle [0 ;+∞[ par : f(x)=2x+100e^−0,2x.

On noteC_f la courbe représentative def dans un repère orthogonal³ O,→−

ı,−→

´ (unités graphiques : 1 cm pour 1 unité en abscisse ; 1 cm pour 10 unités en ordonnée).

1. Calculer la limite def en+∞.

2. Montrer que la droite D d’équationy=2xest asymptote à la courbeC_f. 3. Calculer la dérivéef^′et étudier les variations def sur l’intervalle [0 ;+∞[.

4. TracerC_f et D dans le repère³ O,−→

ı,→−

´

pourxappartenant à [1; 18].

5. Résoudre graphiquement l’inéquationf(x)650 sur l’intervalle[1; 18].

6. Calculer la valeur exacte du nombre M= 1 17

Z18

0 f(x) dx, puis donner sa valeur arrondie à l’entier le plus proche.

Partie B

Modélisation d’un coût

Un artisan confiseur qui propose des chocolats « faits maison » en fabrique de 1 à 18 kg par jour. Le coût moyen de fabrication d’un kilogramme de chocolats est exprimé en euro. Il est modélisé par la fonctionf étudiée dans lapartie A, oùxdésigne la masse en kg de chocolats fabriqués (16x618).

Dans la suite, on utilisera les résultats de lapartie A.

1. a. Déterminer, à un euro près, le coût moyen de fabrication pour 6 kg fabriqués.

b. Quelle est la quantité à fabriquer pour que le coût moyen soit minimum?

c. Quel est alors ce coût ?

2. L’artisan vend ses chocolats au prix de 50( le kilogramme.

Quelle quantité minimale doit-il fabriquer pour faire un bénéfice ?

3. Quelle est pour l’artisan la valeur moyenne du coût de fabrication d’un kilogramme de chocolats ?

Aucun détail des calculs statistiques effectués à la calculatrice n’est demandé dans cet exercice. Sauf indication contraire, les résultats seront arrondis à 10⁻⁴.

Le tableau suivant donne, en millions, la population mondiale de 1400 à 2000.

(24)

Année Rangxide l’année Populationyi

1400 0 374

1500 100 458

1600 200 580

1800 400 958

1900 500 1 650

1950 550 2 519

1970 570 3 691

1980 580 4 430

1990 590 5 255

2000 600 6 057

Source : site internet de I’INED (Institut national des études démographiques)

1. Représenter le nuage de points associé à la série statistique¡ xi ;yi

¢en utilisant le repère semi- logarithmique joint en annexe.

2. On décide de faire un ajustement exponentiel, en ignorant les quatre premières données. On posezi=ln¡

yi

¢.

a. Reproduite sur la copie et compléter le tableau suivant par les valeurszi. Rangxide l’année 500 550 570 580 590 600 zi=ln(yi)

b. Donner une équation de la droite d’ajustement affine dezenxpar la méthode des moindres carrés.

c. En déduire une relation entreyetxde la formey =b×a^x, oùaetbsont deux réels à déterminer.

d. Utiliser cet ajustement pour estimer, au million près, la population mondiale en 2010.

(25)

Annexe à compléter et à remettre avec la copie

0 100 200 300 400 500 600

100 1 000 10 000

(26)

[ Baccalauréat ES Métropole juin 2003 \

Les guichets d’une agence bancaire d’une petite ville sont ouverts au public cinq jours par semaine : les mardi, mercredi, jeudi, vendredi et samedi.

Le tableau ci-dessous donne la répartition journalière des 250 retraits d’argent liquide effectués aux guichets une certaine semaine.

Jour de la semaine mardi mercredi jeudi vendredi samedi

Rangidu jour 1 2 3 4 5

Nombre de retraits 37 55 45 53 60

On veut tester l’hypothèse « le nombre de retraits est indépendant du jour de la semaine ». On suppose donc que le nombre des retraits journaliers est égal à1

5du nombre des retraits de la semaine.

On posed_obs² =

5

X

i=1

µ fi−1

5

¶₂

oùfi est la fréquence des retraits dui-ème jour.

1. Calculer les fréquences des retraits pour chacun des cinq jours de la semaine.

2. Calculer alors la valeur de 1000d_obs² (la multiplication par 1000 permet d’obtenir un résultat plus lisible).

3. En supposant qu’il y a équiprobabilité des retraits journaliers, on a simulé 2 000 séries de 250 retraits hebdomadaires.

Pour chaque série, on a calculé la valeur du 1000d_obs² correspondant. On a obtenu ainsi 2000 valeurs de 1000d_obs² .

Ces valeurs ont permis de construire le diagramme en boîte ci-dessous où les extrémités des

« pattes » correspondent respectivement au premier décile et au neuvième décile.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Lire sur le diagramme une valeur approchée du neuvième décile.

4. En argumentant soigneusement la réponse, dire si pour la série observée au début, on peut affirmer, avec un risque d’erreur inférieur à 10 %, que « le nombre de retraits est indépendant du jour de la semaine » ?

Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité Une enquête a montré que :

• avant de passer l’épreuve théorique du permis de conduire (c’est-à-dire le code) 75 % des candidats ont travaillé très sérieusement cette épreuve,

• lorsqu’un candidat a travaillé très sérieusement, il obtient le code dans 80 % des cas,

• lorsqu’un candidat n’a pas beaucoup travaillé, il n’obtient pas le code dans 70 % des cas.

On interroge au hasard un candidat qui vient de passer l’épreuve théorique (on rappelle que les ré- sultats sont connus dès la fin de l’épreuve).

On noteT l’évènement « le candidat a travaillé très sérieusement » Rl’évènement « le candidat a réussi le code ».

Les probabilités seront données sous forme décimale, arrondies éventuellement au millième.

(27)

1. Traduire les données à l’aide d’un arbre pondéré.

2. a. Calculer la probabilité de l’évènement « le candidat a travaillé très sérieusement et il a obtenu le code ».

b. Montrer que la probabilitép(R) qu’un candidat réussisse à l’épreuve théorique est égale à 0,675.

3. Le candidat interrogé vient d’échouer. Quelle est la probabilité qu’il ait travaillé très sérieuse- ment ?

4. À la sortie de l’épreuve, on interroge au hasard et de façon indépendante 3 candidats (on suppose que ce choix peut être assimilé à un tirage successif avec remise).

Calculer la probabilitép3d’interroger au moins une personne ayant échoué à l’épreuve.

5. On interroge désormais au hasard et de façon indépendantencandidats.

Quelle est la probabilitépnd’interroger au moins une personne ayant échoué à l’épreuve ?

Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Un concert de solidarité est organisé dans une grande salle de spectacle. À ce concert sont conviés sept artistes de renommée internationale Luther Allunison (A), John Biaise (B), Phil Colline (C), Bob Ditlâne (D), Jimi Endisque (E), Robert Fripe (F) et Rory Garaguerre (G). Les différents musiciens invi- tés refusant de jouer avec certains autres, l’organisateur du concert doit prévoir plusieurs parties de spectacle. Les arêtes du grapheΓci-dessous indiquent quels sont les musiciens qui refusent de jouer entre eux.

A B

C

D

E F

G

GrapheΓ

1. Déterminer la matrice associée au grapheΓ(les sommets deΓétant classés dans l’ordre alpha- bétique).

2. Quelle est la nature du sous-graphe deΓ^′constitué des sommets A, E, F et G ? Que peut-on en déduire pour le nombre chromatiqueχ(Γ) du grapheΓ? 3. Quel est le sommet de plus haut degré deΓ?

En déduire un encadrement deχ(Γ).

4. Après avoir classé l’ensemble des sommets de Γpar ordre de degré décroissant, colorier le grapheΓfigurant en annexe.

Métropole 27 juin 2003

(28)

5. Combien de parties l’organisateur du concert doit-il prévoir ? Proposer une répartition des musiciens pour chacune de ces parties.

Partie A Soitgla fonction définie sur [0; 50] par

g(x)=(x−15)²e⁻^x³. 1. On noteg^′la fonction dérivée degsur [0; 50].

a. Montrer queg^′(x)=1

3(x−15)(21−x)e⁻^x³. b. Étudier le signe deg^′sur [0; 50].

c. Dresser le tableau de variations degsur [0; 50].

2. SoitGla fonction définie pour toutxde [0; 50] par

G(x)=3(−x²+24x−153)e⁻^x³. Montrer queGest une primitive degsur [0; 50].

Partie B Soitf la fonction définie sur [15; 49] parf(x)=107e⁷

36000g(x).

1. Justifier quef admet les mêmes variations quegsur l’intervalle [15; 49].

2. La représentation graphique def dans un repère orthogonalRest donnée ci-dessous.

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10

15 20 25 30 35 40 45

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,11

15 20 25 30 35 40 45 50

b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b

(29)

Calculer l’aireA, exprimée en unités d’aire, du domaine plan délimité parC, l’axe des abscisses et les droites d’équationsx=15 etx=49 (on utilisera le résultat de laquestion A. 2)).

On donnera la valeur exacte deA, puis sa valeur arrondie à 10⁻¹.

Partie C

Dans une population et pour une génération donnée, le taux de féconditét(k) à l’âgek oùkest un entier compris entre 15 et 49, est le rapport entre le nombre de naissances chez les mères d’âgeket le nombre de femmes d’âgekde cette génération.

Le nuage de points représentant le taux de fécondité d’une population pour une génération donnée (l’âge étant représenté en abscisse et le taux de fécondité en ordonnée) est représenté dans le repère R.

On appelle descendance finale la somme des taux de fécondité par âget(k) ; elle est donc égale à X49

k=15

t(k). On suppose qu’elle peut être modélisée par l’aire délimitée par la courbeC, l’axe des abscisses et les droites d’équationsx=15 etx=49.

1. Utiliser les résultats de lapartie Bafin d’estimer la descendance finale de cette génération (on donnera un résultat arrondi à 10⁻¹).

2. Une valeur arrondie à 10⁻²de la somme des taux de fécondité par âge est 1,20.

Comparer ce résultat avec celui obtenu à la question précédente.

Le modèle choisi paraît-il adapté ?

3. Calculer la valeur moyenne def sur l’intervalle [15; 49]. Peut-on affirmer que la descendance finale est égale à cette valeur moyenne ?

Justifier votre réponse.

(30)

[ Baccalauréat ES La Réunion juin 2003 \

EXERCICE1

Les membres d’un club sportif se présentent à l’accueil soit pour jouer au golf soit pour profiter de la salle de musculation (une activité excluant l’autre).

La probabilité qu’il ne pleuve pas, en automne, dans cette région est égale à 0,8. En automne un membre se présente.

S’il pleut, il joue au golf dans 30 % des cas.

S’il ne pleut pas, il s’enferme dans la salle de musculation dans 20 % des cas.

On note B l’évènement « il pleut »,

G l’évènement « le membre du club joue au golf ».

1. a. Traduire la situation ci-dessus à l’aide d’un arbre pondéré.

b. Démontrer que la probabilité de l’évènement G est égale à 0,7.

c. Déterminer la probabilité qu’il pleuve sachant que le membre du club se présentant à l’accueil ne joue pas au golf.

2. Trois membres se présentent successivement et indépendamment le uns des autres. On suppose que, pour chacun des trois, la probabilité qu’il joue au golf est 0,7.

On s’intéresse au nombre de golfeurs parmi ces trois personnes.

a. En utilisant un arbre pondéré, montrer que la probabilitép2que deux membres exacte- ment jouent au golf est de 0,441.

b. Établir la loi de probabilité associée à cette situation.

c. Déterminer l’espérance mathématique et interpréter le résultat obtenu.

d. Déterminer la probabilité qu’au moins un des trois membres ne joue pas au golf.

EXERCICE2

Enseignement obligatoire

La courbe (C), donnée ci-après, est la courbe représentative d’une fonctionh définie sur [0; 5]. Le point A a pour coordonnées (0; 2).

La droite (T) est tangente à la courbe (C) au point A.

−

→ı

−

→ O A

(C)

T 1+p

2

1. Préciserh(0).

Déterminer à l’aide d’une lecture graphique le nombre dérivéh^′(0). (Justifier la réponse).

(31)

2. La fonctionh, définie sur [0; 5] est de la forme :

h(x)=ax²+bx+c+2ln(x+1) oùa,betcsont des nombres réels.

On noteh^′la dérivée de la fonctionh.

Exprimerh^′(x) en fonction deaetb.

3. On noteh^′(3)=1 2.

En utilisant ce résultat et les résultats de la question1., déterminer chacune des valeursa,b etc.

4. En utilisant la représentation graphique de la fonctionh, donner, en justifiant, le signe deh^′(x).

5. Soitgla fonction définie sur [0; 5] par :g(x)= 1 h(x). Déterminer le sens de variation de la fonctiong.

EXERCICE2

Enseignement de spécialité

Une grande surface est conçue de telle façon que six secteurs (alimentation, hi-fi, etc.) notés A, B, C, D, E, F sont reliés par des allées selon le graphe ci-dessous.

E A B F

D C

1. a. Recopier et compléter le tableau suivant :

Secteur A B C D E F

Degré

b. Le grapheGest connexe. Pourquoi ?

2. Un visiteur désire parcourir l’ensemble des allées en ne passant par celles-ci qu’une seule fois.

a. Démontrer que son souhait est réalisable.

b. Donner un exemple d’un tel parcours.

3. Le directeur désire associer chaque secteur à une couleur de sorte que deux secteurs (sommets) ne portent pas la même couleur.

a. Démontrer que le nombre chromatiquendu graphe vérifien>4.

b. Expliquer pourquoin65.

c. Proposer un coloriage du graphe permettant de déterminer son nombre chromatique.

4. Une famille se trouve dans le secteur E et doit se rendre dans le secteur F. Cela étant, les parents connaissent suffisamment les allées pour savoir que, pour chacune d’elles, les enfants ne résis- tant pas, il leur faudra débourser une somme (en euros) précisée dans le graphe ci-dessous.

La Réunion 31 juin 2003

(32)

E A B F

C D

30 40 20

40

10

20 70

10 10

40

(AB = 40; AC = 10; AD = 10; AE = 30; BC = 20; BF = 20; CD = 40; CE = 40;

DE = 10; DF = 70)

Indiquer une chaîne qui minimise la dépense de cette famille.

PROBLÈME

Partie A - Étude d’une fonctionf Soitf la fonction définie surRpar

f(x)=15(0,4−x)e⁻^x et soit (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormal³

O,−→ ı,−→

´

(unité 2 cm).

1. a. Déterminer la limite def en−∞.

b. Déterminer la limite def en+∞. Interpréter graphiquement ce résultat.

2. Soitf^′la fonction dérivée def.

a. Vérifier que, pour toutxréel, on af^′(x)=15(x−1,4)e⁻^x. b. Étudier le signe def^′(x).

c. Établir le tableau de variations def.

3. Représenter ta portion de la courbe (C) pourxcompris entre 0 et 7.

a. Montrer que l’équationf(x)=4,5, admet, entre 0 et 7, deux solutionsαetβ(on noteraα la plus petite des deux solutions).

b. Donner la valeur arrondie deαà 10⁻²près, en présentant brièvement la méthode utilisée.

c. Donner la valeur arrondie deβà 10⁻²près.

d. Quel est l’ensemble des solutions, dans l’intervalle [0; 7], de l’inéquationf(x)64,5?

Partie B - Application

La fonctionf est la fonction coût marginal CMde fabrication d’un produit.xest exprimé en tonnes (xcompris entre 0 et 7), et le coût est exprimé en milliers d’euros.

1. a. Pour quelle production le coût marginal est-il minimum et quel est ce prix ?

b. Pour quelles productions le coût marginal est-il inférieur à 4,5? (on donnera chacune des bornes de l’intervalle à 10⁻²près)

2. La fonction coût total CTest une primitive de la fonction coût marginal.

a. Soitgethles fonctions définies sur [0; 7] par :

g(x)=15(0,4−x)e⁻^x et h(x)=(ax+b)e⁻^x.

h^′étant la fonction dérivée deh, calculerh^′(x) et détermineraetbpour quehsoit une primitive deg.

b. En déduire que CT(x)=(15x+9)e⁻^x+6x+k.

c. Déterminerksachant que les frais fixes s’élèvent à 2 000 euros (c’est-à-dire que C_T(0)=2).

La Réunion 32 juin 2003

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EXERCICE1 5 points Commun à tous les candidats

Aucun détail des calculs statistiques effectués à la calculatrice n’est demandé dans cet exercice.

Partie A

Le tableau suivant donne l’évolution de la production annuelle de turbots dans une ferme aquacole.

Année 1997 1998 1999 2000 2001 2002

Productionyi 650 760 1 190 1 620 2 600 5 050

1. Construire le nuage de points associé à la série statistique¡ xi;yi

¢dans un repère orthogonal R : sur l’axe des abscisses, on placera 0 à l’origine et on choisira 2 cm pour une année, sur l’axe des ordonnées, on placera 600 à l’origine et on choisira 1 cm pour 200 turbots.

2. D’après l’allure du nuage quel type d’ajustement peut-on envisager ? Partie B

Les résultats des questions1, 2 et 3seront arrondis à 10⁻³. 1. On posezi=ln(yi).

Reproduire sur la copie et compléter le tableau suivant :

Année 1997 1998 1199 2000 2001 2002

zi

Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage de points associé à la série (xi;zi).

2. a. En utilisant la calculatrice, déterminer, par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite d’ajustement affine dezenx.

b. Exprimeryen fonction dex.

En utilisant la question précédente, répondre aux deux questions suivantes : Quelle production peut-on prévoir en 2005?

À partir de quelle année peut-on prévoir que la production annuelle dépassera 30 000 turbots ?

Un théâtre propose deux types d’abonnements pour une année : un abonnement A donnant droit à six spectacles ou un abonnement B donnant droit à trois spectacles.

On considère un groupe de 2 500 personnes qui s’abonnent tous les ans.nétant un entier naturel, on note :

anla probabilité qu’une personne ait choisi un abonnement A l’annéen; bnla probabilité qu’une personne ait choisi un abonnement B l’annéen; Pnla matrice [anbn] traduisant l’état probabiliste à l’annéen.

Tous les ans 85 % des personnes qui ont choisi l’abonnement A et 55 % des personnes qui ont choisi l’abonnement B conservent ce type d’abonnement l’année suivante. Les autres personnes changent d’abonnement.