Lois <span class="mathjax-formula">$\beta $</span> sur les cônes homogènes

DE L ’U NIVERSITÉ DE C ^LERMONT -F ^ERRAND 2 Série Mathématiques

G ^UY F ^OURT

Lois β sur les cônes homogènes

Annales scientifiques de l’Université de Clermont-Ferrand 2, tome 51, série Mathéma- tiques, n

^o

9 (1974), p. 22-30

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-22-

LOIS 03B2

SUR LES CONES HOMOGENES

Guy

^FOURT

Généralités

Un cone ouvert V de En, espace vectoriel réel de dimension n, est dit

n

homogène

^si

- V ne contient pas ^de droites

- il existe un groupe ^G de transformations linéaires conservant V (î.e. _g (V) ⁼ V)

agissant

^de

façon

transitive sur V : c’est-à-dire :

Il est alors

possible

^{de démontrer le théorème suivant :}

Théorème 1

Si V est un cone

homogène,

il existe un groupe ^G (V) de transformations linéaires conservant V tel que

- G (V)

agisse

^de

façon simplement

^{transitif sur V ,}

- tous les éléments de G (V) soient simultanément réductibles à la forme

triangulaire supérieure.

Nous transférons alors la structure de groupe ^{de G}

(V)

^sur V en

choisissant un

point

^{e dans V} et si

g x est

défini par

l’égalité g x

^{(e) = x,}

en

posant

xy =

gX ^(y).

La loi de

composition

^{ainsi définie est une} loi de groupe .d.’unité ^e

vérifiant

les

propriétés

suivantes :

3)

les translations à

gauche

^sont simultanément réductibles à la forme

~

triangu laire

~

Il est

possible

^{de donner une autre} définition d’un cone

homogène :

^un

cone ouvert est dit

homogène

^{s’il est} muni d’une loi de groupe satisfaisant

aux

propriétés

^{1, 2 et 3 ci-dessus.}

Exemples

DR

muni de la

multiplication composantes

^à

composantes

’

2) Le cone matrices caréôes

symétriques définies positives. Si

^o

désigne

+

le

produit

^{usuel sur} l’ensemble des matrices, p our tout X de M i 1 existe

une matrice

T trian g ulaire supérieure

telle que posera

alors X Y =

T, B

Théorème 2

’~’ ~

~

’ ° °° ’ ° °

Si V est un cone

homogène

^de E il existe une

décomposition

.. n

’

où :

- V’ est un cane

homogène

^de

,

- F

(t,

u) est une fonction bilinéaire

symétrique

^{de E} _n ^dans

En-n-1, à

-

n

l

nn 1

valeurs dans V

.

pour ^{t = u.}

1

En

appliquant ~

^{fois ce théorème}

(jusqu’à

^{trouver un cone}

homogène

de dimension 1

qui

^ne

peut

^être que

R

e 1

^{on exhibe un}

^système

^libre

(ej, ...el) qu’on complètera

^de

façon ^canonique

pour obtenir ^{une base} de

E .

-24- Structure euclidienne

Nous munissons

En

^d’un

^produit

scalaire , &#x3E; pour

lequel

^le

système

e1

^{... soit} orthonormé et nous conviendrons de choisir comme unité du groupe ^e

= lZi=1 _{e i}

^{(de sorte que e soit élément du cone dual}

^v*]

Fonctions

puissances

+

Les

morphismes

du groupe V dans R

multiplicatif

^sont

engendrées

^par

t

morphismes

^{soit :}

Pour tout x dans V il existe

un x _unique

dans

l’hyperplan engendré

par

les e

et tel que la transformation

g : x -

^{x ait 1 comme}

propre. ^{On a alors}

Si

^Si p = ^{P =}

(Pl,, p 1

^{..., ....}

p91 )

^{Pi) on on notera notera}

^{xP xP}

^{= = X (x)(x)}

Mesures fondamentales sur un cone

homogène

Nous noterons ^{.... -.}

dx la restriction de la mesure de

Lebesgue

^{à V}

d~

^{(x) la mesure de Haar à}

gauche

d ~ (x) la ^mesure de Haar à droite

Comme la fonction modulaire est un

morphisme

^{il existe a} tel que dv (x) ⁼

x a du (x)

De

plus

du

(x)

est absolument continue par

rapport

^{à dx et sa densité}

est une fonction

puissance xd

La fonction r

(p) :

^:

est définie sur un ensemble

mi

Pi

&#x3E;

2 (mi ^entiers)

^{et vaut}

mi

^.

dans V* et

2

^Posons

Le groupe ^G

(V)e agit

^de

façon simplement

transitive ^sur

v.

Il existe donc

un g dans G

(V)

_{tel que} ^{e ou}

’

Posons a’ ⁼ g

(e) .

^{Il vient}

On montre a l o rs que

a -P =

^{ou s}

(P 1 m

Définition

Une variable aléatoire à valeurs ^{dans V a une}

répartition fa ^(p)

^si

elle ^a pour densité _par

rapport

^à

^{du (x)}

as(p)

exp ( - a. x

p

T (p)

Exemples

-

dans R+n

^un

produit

^{tensoriel de densité r}

-

dans M+

^{les densités} de Wïshart

-26-

Propriétés

Le

changement

^{de variables}

précédent

^montre immédiatement _que X a une

répartition fa ^{(p )}

si et seulement si

X 1

^{= a’ X a une}

répartition

^r

(p)

^et

donc que si X et Y ^sont deux variables aléatoires de

répartition

^r

(p)

^et

r

a

(p,’),

^la

répartition

^de

Y -1

^{X est}

indé p endante

^{de a.}

Ordre

^défini

par un cone homogène

La relation ^x

y ~~

y - ^{x £} V est une relation d’ordre

vérifiant

la

propriété

puisque

^{y - x C V est}

équivalent

^{à z}

(y - ^x)

⁼ zy - ^{zx ~} v.

Nous noterons

b

_a

l’intégrale

^sur

llïntervalle la, b

Nous définirons alors une fonction B par

Il est facile de montrer _que

Théorème 3 ~

*

Si X et Y sont des variables aléatoires

indépendantes

^de

répartition

ra ^(p)

^et

ra ^{(p’ l}

^alors

ont pour densités

(par rapport

^{à dv}

^(x))

(répartition

^{B de 2ème}

espèce)

(répartition

^{de 1ère}

espèce)

Il suffit ds théorème _pour a = e. ^o .

Preuve : la transformation y

-&#x3E;y -1

transforme la mesure dp

(y)

^invariante

par les

produits

^à

gauche

^{en une mesure} invariante par les

produits

^{à droite}

donc en une mesure Cd~

(y).

^La

répartition

^de

Y -1 est

^donc

Y-1

X admet comme densité _par

rapport

^{à dp (x)}

Nous effectuons ^les

changements

de variables

D’où

De

même X-1

^{Y a la}

répartition

-28-

La variable a donc la

répartition

et (X ⁺

Y)-i

^{X a la}

répartition

L’expression intégrale

^{de 8}

^{(p, p’)}

montre alors que ^{C =} 1.

Ce résultat ^se

généralise

^{de la}

façon

^suivante.

Théorème ⁴

Si

X1

^...

Xn

^sont des variables aléatoires

indépendantes

^de

répartition

r le

système

^{de variables} aléatoires

S -1 _~1’ S -1

X , ^...

S -1

^X

a p y n 1 ’ n r n n

. n

(S ⁼

1

^{X.) a la}

répartition

de Dirichlet

généralisée.de

^densité

n

sur la variété

Démontrons maintenant ^une

propriété

^des

répartitions

^B.

Théorème 5

Si

X~

^...

Xn

^{sont des variables} aléatoires

indépendantes

^de

répartition

B

(aîà bi)

^avec

^{ai =} a1+1 + bi+1 X1 XZ

^...

Xn a

^pour

répartition

Il suffit de démontrer le théorème _pour n = 2. La variable aléatoire

X1 XZ

^a pour densité par

rapport

^{à du (x)}

Effectuons les

changements

^{de variables}

-30-

BIBLIOGRAPHIE

La structure des cones

homogènes

^est

explicitée

^{dans VIND8ERG et}

l’étude

analytique

^{dans GINDIKIN}

L’importance

^des

répartitions F

^{a été}

mis en évidence par ARTZNER

8J~ ^qui

^{vient d’obtenir}

^également

^{le théorème 3.}

[2J

Ce.même théorème avait

auparavant

été établi _{pour les} densités de

WISHART _par MITRA

[4J.

^°

[1]

ARTZNER Ph.

Sur les formes

quadratiques positives

aléatoires et les variables

du ~2

généralisé

Thèse Sciences

Strasbourg

¹⁹⁷²

[2]

^{ARTZNER Ph.}

Lois gamma ^{et beta}

sur un

cone convexe

homogène. Applications

^en

Analyse

multivariée. C.R. Acad. Sc.

Paris, n°

⁴

(1974)

[3]

GINDIKIN S.G.

Analysis

ⁱⁿ

homogenous

^domains

Russian Math.

Surveys

¹⁹

⁽¹⁹⁶⁴⁾

[4]

^{MITRA S.K.}

A

density

^free

approach

^{to the matrix} variate beta distribution

Sankhya

^{A 32}

(1970) p.

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[5]

VINDBERG E.B.

Theory

^{of convex}

homogenous

^cones

Trans. Moscow math.

Society

¹²

⁽¹⁹⁶³⁾