Instabilités interfaciales : étude et modélisation de la pulvérisation

Instabilités interfaciales :

étude et modélisation de la pulvérisation

par

.1.

Cousin, P. Camatte, X. Jeandel, C. Dumouchel, M. Ledoux de l'Université de Rouen

1 III INTRODUCTION

On pense souvent que là conception des dispositifs de pulvérisation ne peut relever que de pratiques empiriques.

De fait, les nombreux techniciens concernés par la pul- vérisation. de la pharmacie aux moteurs fusés ont dO résoudre leurs problèmes de conception d'atomiseur en faisant appel à l'expérience. De plus la grande variété des domaines d'activité et des échelles des entreprises concer- nées conduisait à une communication nulle des résultats sur le sujet. Par ailleurs ce sujet n'éveillait pas dans le monde universitaire, surtout latin, d'intérêt particulier.

Bien que Rayleigh et lord Kelvin aient déjà posé dès la l1n du siècle dernier les bases de la théorie linéaire des instabilités, il a fallu pratiquement attendre les années 50 pour voir Squire tenter d'appliquer ces théories à l'insta- bilité d'une nappe liquide, et les années 70 pour que N. Dombrowski associe ces méthodes à des visualisations en vue dc valider de premiers calculs. Dans l'ambiance de ces dernières décennies qui a vu les Universitaires jeter un regard moins dédaigneux sur les problématiques indus- trielles, le développement de nouvelles méthodes optiques, tant de visualisation rapide que de granulométrie, a été observé, possible grâce aux performances des calculateurs modernes et quelques équipes universitaires se sont pen- chées à nouveau sur un thème de mécanique des l1uides à la complexité parfois désespérante. Dans cette perspective, cet article présente quelques résultats obtenus à Rouen, dans le cadre du GDR 1027.

Tout dispositif de pulvérisation a pour objet la généra- tion d'un écoulement liquide, jet ou nappe qui se révélera instablc et se divisera en gouttelettes, ayant dans la pratique un diamètre compris entre dix et quelques centaines de pm. La pratique montre que, hormis pour le problème de Rayleigh, c'est la différencc de vitesse entre le liquide et l'atmosphère gazeuse qui l'entoure qui induit l'existence de forces aérodynamiques déstabilisantes. Les forces de tension surperflcielle sont par ailleurs généralement sta- bilisaI/tes. Ces forces sont inversement proportionnelles

aux rayons de courbure de l'interface, en vertu de la loi de Laplace. On comprendra alors qu'un fort différentiel de vitesse conduise à des structures d'instabilité. donc à des tailles de gouttes plus petites.

On distingue généralement lapulJlérisation mécanique.

où le différentiel de vitesse est obtenu en projetant le liquide dans une atmosphère calme, et la pulJlérisation assistée Ol!l'énergie cinétique est donnée au gaz ambiant.

Toutes choses égales par ailleurs, un même différentiel de vitesse sera obtenu à moindre coOt en pulvérisation assis- tée. En général, ce dernier mode de fonctionnement conduira à des tailles plus petites. Par contre, sur le plan pratique, l'assistance implique deux générateurs de l1uide au lieu d'un.

Les études effectuées et résumées ici relèvent de di vers domaines industriels. La pulvérisation mécanique (pres- .l'lire slvir! atomiz.er),intéresse entre autres la pharmacie, la parfumerie, la combustion domestique ou industrielle, les moteurs terrestres ou maritimes (essence ou gazole). l'agri- culture (pesticides... ), le génie des procédés (génie chimi- que. séchage) ou la sécurité civile (incendies). L'atomi- sation assistée concerne les moteurs aéronautiques ou spatiaux, certaines applications militaires, à moyen terme l'industrie automobile (injecteurs «ventilés»), la pharma- cie.

La modélisation d'un pulvérisateur implique dilTérents calculs relevant de la mécanique des l1uides, mais de natures différentes.

- Génération de l'écoulement à déstabiliser (ou des écou- lements en cas d'assistance): il s'agit là d'un calcul d'hy- drodynamique interne, qui varie suivant l'atomiseur étudié.

- Etude de la stabilité de l'écoulement liquide produit.

Dans la majorité des cas on fera appel à une théorie de stabilité linéaire, souvent à caractère analytique, ou non linéaire, impliquant un traitement numérique.

- Etude de la production du spray postérieure à la nappe.

Le plus souvent la plus grande complexité du problème se trouve à ce stade, et il faut envisager le recours à des méthodes statistiques, telles que le Formalisme d'Entropie

Article published by SHF and available at http://www.shf-lhb.org or http://dx.doi.org/10.1051/lhb/1996010

INSTABILITÉS INTERFACIALES :I~TUDEET MODÉLISATION DE LA PULVÉRISATION ---'_

1. Schéma d'un injecteuràswirl. a) vue de dessus, b) vue de côté (1 : port d'entrée, 2: chambre de swirl, 3 : orifice).

Maximum, décrit plus loin. Il faut en effet être conscient de ce que le résultat d'une pulvérisation est un brouillard composé de gouttes réparties en général sur un spectre assez lwge.

On peut déjà envisager une modélisation complète d'un atomiseur mécanique, incluant, on le verra la prédiction d'un spectre de tailles. Une telle teehnique est présentée au

§2. Dans d'autres cas, les phénomènes sont mal connus et une étude par visualisation est nécessaire pour valider la modélisation, non seulement au niveau des résultats, mais aussi des hypothèses. On en présentera un exemple au § 3 dans le cas de la modélisation des injecteurs aérodynami- ques utilisée en aéronautique. Lorsque le différentiel de vitesse est important, la zone occupée par les phénomènes d'instabilité est très mince et on peut considérer qu'on a un phénomène localisé à une interface unique. Les mé- thodes linéaires, basées sur une analyse en modes normaux ne peuvent conduire qu'à des déformations d'interface purement sinusoïdales, ce qui est démenti par la visuali- sation [29]. On doit alors avoir recours à des méthodes non linéaires. On présente au § 4 une telle méthode (feuillets tourbillonnaires discrétisés). Dans ce cas, les modes nor- maux sont susceptibles d'intéractions non linéaires. On en montrera de premiers effets ici.

a

b

l

II Il L'INJECTEUR MÉCANIQUE À COMPO- SANTE ROTATIVE (SWIRL)

Un spray de liquide est caractérisé, d'une part, par les diamètres et les vitesses des gouttes produites, et d'autre part par sa densité et sa répartition spatiale. Ces caracté- ristiques sont fonctions de la géométrie et de la vitesse de l'écoulement libre généré par l'atomiseur, et de l'instabilité de cet écoulement. On va retrouver ici les trois étapes de la modélisation énumérées en introduction: l'hydrodyna- mique interne, la déformation et la rupture du système liquide, et la formation d'un nuage polydispersé.

2.1 Hydrodynamique interne et production de la nappe liquide

Présent dans de nombreuses applications domestiques et industrielles, l'injecteur à composante rotative (ou injec- teur à swirJ) repose sur le principe de fonctionnement suivant. Par l'intermédiaire des canaux d'entrée (voir .fig.1) le liquide à atomiser est injecté tangentiellement dans la chambre circulaire (chambre de «swirJ») dans laquelle un fort écoulement de rotation prend place. A l'orifice de décharge, le vecteur vitesse des particules Jluides a deux composantes (axiale et azimutale) ; la nappe liquide produite est donc conique. Une des particularités de ,l'écoulement interne dans ce type d'injecteur réside dans le développement autour de l'axe de symétrie d'un cœur d'air dont le rayon est plus important dans l'orifice que dans la chambre de swirL Ainsi, le système liquide au sortir de l'injecteur est une nappe conique de très faible épais- seur.

Afin de prédire au mieux les caractéristiques initiales de cet écoulement libre déterminantes pour la génération du spray en aval, nous avons développé un modèle numérique permettant le calcul de l'écoulement interne d'un injecteur à swirL Basé sur la résolution directe des équations de la mécanique des fluides dans un domaine d'intégration dé-

duit de la géométrie interne de l'injecteur étudié, ce code de calcul, baptisé FISA (Flmv /nside a Swirl Atomizer) et présenté en détail dans les références [1] à [3], a clairement montré l'inJluence des propriétés géométriques de l'injec- teur sur la forme des profils de vitesses en sortie, et donc sur le processus d'atomisation lui-même, et a permis d'éta- blir une relation semi-empirique pour prédire l'angle de cône au sortir de l'injecteur.

Dans sa configuration actuelle, FISA suppose que l'in- jecteur est rempli de liquide et ignore la présence du cœur d'air, ce qui empêche le calcul de l'épaisseur initiale de la nappe conique. Pour cette raison, nous couplons ce calcul avec l'étude de Doumas et Laster [4] qui suggère une méthode simple pour calculer ce paramètre, mais qui ne reste utilisable que pour des liquides de faibles viscosités et pour des fonctionnements en régime établi, zone dans laquelle le cône de la nappe a atteint sa valeur maximum et n'est plus fonction de la pression d'injeetion. Moyennant ces hypothèses quelque peu restrictives, il nous est donc possible de prédire la géométrie et les composantes moyen- nes de vitesses du système liquide libre et donc d'étudier son évolution dans le milieu gazeux environnant.

2.2. Déformation et rupture du système liquide L'atomisation des liquides trouve son origine dans l'ins- tabilité de la nappe formée. Des perturbations, toujours présentes dans la nature, vont croître en amplitude, jusqu'à entraîner la rupture. Il existe des approches linéaires ou non linéaires à ce problème, d'ailleurs très inégalement déve- loppées. Dans le cadre d'applications pratiques, la méthode linéaire apparaît comme un bon compromis.

La théorie linéaire convient aux systèmes liquides basses vitesses (typiquement inférieure à 40 mis). Cette approche mathématique, décrite en détails dans les références [5] et [6], suppose que la perturbation des interfaces est une somme de déformations sinusoïdales (modes du spectre de Fourier) définies par un nombre d'onde k. Dans le déve- loppement mathématique, les équations écrites sont Iinéa-

risées, en négligeant tous les termes quadratiques incluant la perturbation. Les solutions pour chaque mode sont alors additives.

Les équations utilisées sont, d'une part leséquations de la mécanique des/luides(continuité et Euler linéarisée), et.

d'autre part des conditions à l'interface. Les conditions cinématiques expriment que les interfaces sont toujours constituées des mêmes particules liquides et gazeuses. Les conditions dynamiques utilisent la loi de Laplace et tra- duisent la continuité de la composante normale du tenseur des contraintes. Si la viscosité du liquide est prise en compte, la conservation de la composante tangentielle du tenseur des contraintes doit être ajoutée (voir [6]).

Ce système d'équations amène l'écriture del'équation de dispersion du problèmequi permet de calculer le taux de croissance en fonction du nombre d'onde de la per- turbation considérée. La résolution de cette équation de dispersion, algébrique, conduit à un diagramme de dis- persion.

Cette approche est (relativement) légère et pour l'es- sentiel, analytique. Elle met en évidence la contribution déstabilisatrice des forces aérodynamiques qui vont tou- jours jouer en faveur du développement des instabilités, et celle stabilisatrice des forces de tension superficielle ou de viscosité, qui, dans la majorité des cas, s'opposent à la croissance des perturbations et tentent de ramener le sys- tème liquide vers sa forme initiale.

Le diagramme de dispersion indique les modes qui sont susceptibles de croître. L'un d'eux possède un taux de croissance supérieur à tous les autres. Cette perturbation, définie par son nombre d'onde et son taux de croissance, est appelée onde dominante, et est supposée être seule responsable de la désintégration du système liquide. La théorie linéaire permet donc de prédire une échelle ca- ractéristique du processus de désintégration qui, couplée avec un schéma de rupture, peut être transformée en un diamètre théorique de goutte. En effet, en se basant sur le processus de rupture suggéré par Dombrowski et Hooper [7]. Il est immédiat de déduire un diamètrede de gouttes en faisant appel à la théorie de Rayleigh, théorie linéaire appliquée au jet cylindrique. On obtient:

Ce modèle a été récemment testé sur une série de quatre injecteurs à swirl, construits pour ce travail, et en fonc- tionnement avec de l'eau et dans les conditions atmos- phériques uniquement [3]. Les mesures de distributions de tailles ont été effectuées avec un Malvern 26000. Dans chaque cas, une méthode simple de repérage a été utilisée pour situer la mesure le plus proche possible du plan des ligaments où les risques d'atomisation secondaires sont minimisés.

Les comparaisons entre les calculs et la série des dia- mètres moyensdl"jdéduite des mesures, ont montré que le diamètre théorique de pouvait être assimilé au diamètre moyen de Sauterd₃₂ avec une tolérance raisonnable. Ce résultat permet alors d'aborder la dernière phase de l'étude, la prédiction d'une polydispersion.

2.3. Formation du nuage. Polydispersion

Dans la pratique quelquefois, la connaissance d'un dia- mètre moyen n'est pas suffïsante pour caractériser le spray

1 - contrainte

f ^f

u (

D ) dD = ^d _~

d ro ^estimation

+ nonnalisation

2 - distribution volumique

de= l,51 \lUI (2.1 )

3 - diamètre de Sauter

où le est la longueur d'onde de l'onde dominante et h l'épaisseur de la nappe liquide.

Pour appliquer ce formalisme aux nappes coniques pro- duites par les injecteurs à swirl, nous avons tout d'abord adapté la théorie linéaire au cas d'une nappe cylindrique munie de deux composantes de vitesse (une axiale et une azimutale), et nous avons supposé qu'une nappe conique pouvait être assimilée à une série de nappes cylindriques de rayon interne croissant et d'épaisseur décroissante.

L'onde dominante obtenue est alors la superposition d'une perturbation azimutale et d'une perturbation longitudinale.

Le schéma de rupture que nous avons utilisé est directe- ment calqué sur celui de la nappe plane avec production de ligaments toriques, et le diamètre théorique conserve une forme identique à l'équation (2.1).

Nous sommes donc face à un modèle qui à partir d'une géométrie d'injecteur et de propriétés physiques d'un cou- ple liquide-gaz, propose un diamètre théorique des gouttes du spray produit à des conditions de fonctionnement choi- sies.

2. Procédure de calcul des p.d.f. de tailles des sprays produits par les injecteursà swirl.

INSTABILITÉS INTERFACIALES : ÜUDE ETMOJ)J~LISATIONDE LAPULVI~RISATION _

ture d'une contrainte est équivalente à la défînition des diamètres moyens D'In c'est-à-dire:

OÙ f, est la p.d.L de distribution numérique.

Dans l'application de ce formalisme au cas de nos injecteurs à swirl, nous avons proposé une nouvelle pro- cédure, schématisée sur la figure 2. Dans la mesure où le calcul amont, décrit dans les paragraphes précédents, ne permet d'obtenir qu'un seul diamètre théorique, une seule contrainte doit être utilisée ici afîn d'assurer l'unicité de la solution ..L'ordre de la contrainte (valeur de q) a une influence sur la forme lînale de la p.d.t'. Dans les situations que nous avons testées, il est apparu qu'un ordre égal à 1 était le mieux adapté. Comme l'indique la figure 2, la valeur du d_lOest utilisée comme pivot, prenant différentes valeurs estimées jusqu'à fournir une distribution dont le diamètre de Sauter est équi valent au diamètre théorique de;.

Les confrontations entre distributions de tailles calculées et mesurées ont montré un excellent comportement de la procédure de calcul dans la mesure où, dans chaque cas, la largeur de la p.d.t'. et la position du maximum sont prédites avec satisfaction. Deux exemples de comparaisons sont présentés sur les figures 3 et 4. Notons cependant, que pour des raisons liées au schéma de rupture utilisé dans la modélisation et qui correspond essentiellement à la pro- duction des gouttes qui représentent la majeure partie du volume injecté, la procédure présentée ici n'est perfor- mante que pour la détermination des distributions volu- miques de tailles.

et on recherche la fonction de densité de probabilité (p.d.L) représentative de la distribution de tailles des gouttes pro- duites. Beaucoup d'industriels sont fortement intéressés par la possibilité de prédire cette p.d.L sans aucune aide expérimentale, mais là encore les méthodes d'investiga- tions ne sont que trop peu développées. En 1985, une nouvelle voie s'est ouverte grâce aux études de Sellens [8]

et Li et Tankin [9] qui. pour la première fois, ont suggéré l'utilisation du formalisme de l'entropie maximum à la détermination théorique des distributions de tailles des gouttes d'un spray.

Ce formalisme permet de calculer une fonction de den- sité de probabilité d'une variable aléatoire, respectant cl'éventuelles propriétés connues regroupées sous le terme générique d'informations, et dont les expressions mathé- matiques constituent la série des contraintes que la p.d.L recherchée se doit de satisfaire. Pour ce faire, il suggère que la p.d.L à considérer comme solution est celle qui reste la plus objective face à la série de contraintes imposées, c'est-à-dire, celle dont l'entropie est maximum.

Dans leurs différentes investigations, Sellens, et Li et Tankin, ont choisi d'écrire les contraintes à partir des lois physiques de conservation s'appliquant à la masse, à la quantité de mouvement et aux énergies cinétiques et de surface. L'utilisation de ce type de contraintes à partir des principes présente deux inconvénients. D'abord elles in- troduisent une série de termes sources qui restent inconnus.

De plus, même si on «devine» pour ces termes sources des valeurs ou expressions empiriques, le résultat obtenu réclame l'introduction d'une échelle des diamètres des gouttes, déduite de résultats expérimentaux, qui enlève à la méthode le caractère puremént théorique qu'on lui sou- haite.

Pour contourner ce problème, nous avons utilisé la re- marque suivante: d'un point de vue mathématique, l'écri-

I

_D^D

"'." l

(D) D" dD= D"

mm'I l ' qO (2.2)

distribution volumique distribution volumique 0.006

p.d.f. calculée p.d.f. mesurée

p.d.f. calculée

1200 800

p.d.f. mesurée

o

o 400 0.000 0.002 0.004

1200 800

o

o 400 0.000 0.002 0.004

diamètre des gouttes

(~m)

diamètre des gouttes

(~m)

3. Comparaison des distributions de tailles (pression

d'injection: 10 bars). 4. Comparaison des distributions de tailles (pression d'injection: 3 bars).

III III PULVÉRISATION ASSISTÉE. INSTABI- LITÉ D'UNE NAPPE ANNULAIRE

3.1 Le programme de recherche

Des injecteurs utilisés fréquemment en aéronautique uti- lisent la déstabilisation d'une nappe liquide annulaire par deux écoulements gazeux (intérieur et extérieur) à com- posante azimutale (swirl). On peut là encore diviser les phénomènes de pulvérisation en instabilité primaire et en un processus de désintégration secondaire. Les rares vi- sualisations dont on disposait montrent une situation très complexe. C'est à l'instabilité primaire qu'on s'est inté- ressé ici.

Partant de l'hypothèse de travail d'une instabilité ca- pillaire tranversale analogue à ce qu'on observe dans le cas d'une nappe plane, une approche linéaire a fair l'objel d'une élUde parliculière. On renverra à Camatte el al.

([19], [20]), pour l'exposé, assez lourd, de cette méthode originale. Précisons simplement qu'il s'agit d'un calcul applicable à toute nappe liquide annulaire. Par rapport à d'autres méthodes publiées antérieurement ([ll] à [13]), on s'est affranchi de nombreuses hypothèses restrictives, no- tamment celles qui exigent un rapport hla négligeable (Martinon, Weihs ; h est l'épaisseur de la nappe liquide et ason rayon), ou qui ne peuvent prendre en compte que des échelles d'instabilité (longueur d'ondes) grandes devant le rayon a (Guillié).

Afin de simplifier la géométrie (et de piloter les para- mètres expérimentaux), un générateur de nappe annulaire idéalisé a été construit [20]. Ce générateur permet de

«cisailler» une nappe liquide annulaire de quelques cen- taines de pm d'épaisseur par deux écoulements d'air, éven- tuellement affectés d'une composante azimutale. Les di- mensions choisies sont représentatives des injecteurs aéronautiques.

Différents schémas de déstabilisation ont alors été ob- servés ; les échelles identifiables ont été, à chaque fois que cela a été possible, comparées aux résultats de la théorie d'instabilité linéaire évoquée plus haut. Nous nous limi- terons dans ce qui suit à une rapide description des régimes observés.

3.2 Etude expérimentale

Différents paramètres de fonctionnement du générateur de nappe sont contrôlables. Nous avons fait varier:

- le diamètre 2a de la nappe annulaire: 7 mm et 17,8 mm,

la vitesse du liquide V_L: de D,S à4m/s, la vitesse de l'air intérieur

V:

^{de Dà 60m/s,}

la vitesse de l'air extérieur Vi': de 0 à 60m/s, l'épaisseur de la nappe liquide a été maintenue à 400 pm.

Par ailleurs, nous avons pu effectuer quelques essais à pression ambiante forte dans le cadre de l'Action concer- tée.

Les différentes configurations d'écoulement observées peuvent être classées en fonction de la vitesse débitante du liquide, VI: Ils apparaissent sur les .ligures 5.

a)

b)

d) c)

e)

5. Les processus de rupture de la nappe annulaire.

a)V_L

=

0,5 mis, Vi

=

VI'

=

Hl m/s; b)V_L

=

0,5 mis, Vi

=

V_e

=

20 m/s; c)V_L

=

3 mis, Vi

=

3.4mis, VI'

=

0; d)V_L

=

4mis, Vi 40mis, V_e

=

0:

e)V_L

=

10,6mis, Vi

=

30mis, VI'

=

O.

INSTABILITÉS INTERFACIALES : ÉTUDE ET MODÉLISATION DE LA PULVÉRISATION

6. Comparaison, pour U_L =O,Smis entre les échelles observées et la théorie linéaire.

On a noté également l'apparition de canelures longitu- dimtles sur la nappe avant sa rupture. Ces canelures sem- blent responsables du déchirement en fragments longitu- dinaux (ce phénomène a été peu photographié).

Figure 5e: V_L > ]Dmis. Le phénomène des canelures semble s'ampliher. Dès ]9mis la nappe laisse place à une suite de fîlaments longitudinaux. Ce phénomène nous pa- raît important car il est fondamental au niveau des injec- teurs annulaires à haute pression (tels les Diesel). D'un Figures 5a etb: V_L < D,Smis. Des «longueurs d'on- des»le longitudinales apparaissent. Leur échelle est petite et correspond aux prédictions de la méthode linéaire. Lors- que la vitesse de l'écoulement d'air intérieur croît, la rupture apparaît de plus en plus tôt. Pour U_L supérieur à 4Dmis les instabilités transversales ne sont plus visibles.

La formation de gouttes résulte de l'apparition de lîlaments longitudinaux.

La modélisation développée dans le cadre de l'Action concertée CI19], [20]) a pu être comparée aux di verses échelles dans le cas des faibles vitesses ( UL < D,Smis) de liquide, et pour une gamme de vitesses de gaz limitée de 10 à 20 mis. Pour ces conditions. la comparaison s'avère satisfaisante (fig. 6).

Figures 5cet d :D,Smis < V_L < 1Dmis. Deux échelles se superposent :

- une petite échelle le due aux instabilités de Kelvin- Helmholtz mise en évidence dans le cas précédent,

une grande échelle L, que ne peut prévoir la théorie linéaire. Ce phénomène a été peu étudié et nous semble relever de ce qu'on appelle encapsulation (étudié par Ken- dall [IS] et Wang [16] et al.). Une étude détaillée du comportement de ces échelles en fonction des différents paramètres a été menée (on renverra à [20] pour des résultats complets). Lorsque les vitesses de liquide et de gaz sont très voisines, seule l'encapsulation se manifeste.

Hashimoto et al. ont observé postérieurement à nous ce phénomène, en l'attribuant à des ondes capillaires. Leur calcul des longueurs d'ondes capillaires montre que les valeurs expérimentales sont d'un ordre de grandeur supé- rieur aux valeurs calculées. Nous observons le même rap- port d'ordre de grandeur entre nos valeurs de Àet de L.

L'interprétation de Hashimoto et al. nous semble donc inexacte à ce niveau.

IV III MÉTHODE DES FEUILLETS TOUR- BILLONNAIRES. INTERACTIONS DE MODES

Les méthodes linéaires sont (relativement) simples, et per- mettent des prédictions d'échelles globales à un coût de calcul réduit. Elles sont utiles pour prédire un mode de plus forte croissance temporelle, en d'autre termes, une échelle dominante. Conduisant à l'expression d'un mode sinusoï- dal unique, elles ne peuvent prédire correctement la forme de l'instabilité pour les temps longs, c'est-à-dire quand l'amplitude devient forte. En effet, à ces temps longs, l'instabilité dillère fortement d'une sinusoïde. Par exem- ple, dans le cas de l'atomisation d'une interface liquide plane, la surface prend la forme d'une suite de bâtonnets qui se divisent ultérieurement en gouttes [29]. Cette évo- lution de la forme au-delà du sinusoïdal peut s'interpréter comme une création d'harmoniques qu'une analyse en mode normal ne peut donc prédire correctement. On l'a déjà remarqué. l'analyse linéaire néglige les termes qua- dratiques (en v'grad Y) de l'équation d'Euler, impliquant la perturbation. Chaque mode sinusoïdal croîtra donc in- dépendamment des autres. Aux fortes amplitudes, ceci est évidemment faux, les termes non linéaires de l'équation d'Euler introduiront uneinteraction de modes.Au-delà de cette remarque, la suite nous montrera que, dans certains cas, le mode dominant peut ne plus être celui de la théorie linéaire. Le spectre de la perturbation est aITecté.

Pour étudier ce problème, certains auteurs ont développé des méthodes dites faiblement non linéaires (par exemple [30]), où les interactions de modes sont calculées par approximations successives. Ces méthodes restent de na- ture analytiques mais sont très lourdes. Elles permettent, par exemple de prévoir la forme d'un cylindre liquide excité loin de sa fréquence de Rayleigh.

Plus récemment des méthodes numériques ont été pro- posées: la méthode YOF, des résolutions des équations de Navier-Stokes avec un maillage adaptatif. Ces méthodes prennent en compte la viscosité des fluides: par contre, la délînition de l'interface y est toujours délicate. Assez cu- rieusement, les interactions de modes ont été peu mises en lumière dans ces calculs.

Proposée par Rosenhead dès] 93] [21] pour les fluides monophasiques, et adaptée depuis aux interfaces diphasi- ques, la méthode des feuillets tourbillonnaires discrétisés est limitée à l'étude des fluides parfaits. Par contre, elle peut se satisL1ire de moyens de calcul plus modestes.

Nous renverrons à la littérature pour un exposé complet du principe de ces calculs ([ 10], [19]. [22] à [27]). Nous en montrerons ici l'application à la déformation d'une interface liquide-gaz initialement plane sous l'influence d'une perturbation. Cette perturbation pourra être mono- chromatique:on aura alors le prolongement du calcul non linéaire aux temps longs. La forme de l'interface pourra être polychromatique, c'est-à-dire s'interpréter comme la somme de plusieurs modes sinuso·Jdaux. On étudiera alors point de vue physique, nous n'avons rien trouvé dans la littérature dans le cas d'interfaces liquidelgaz. Nous avons baptisé ce phénomène èllet Rasta. Il nous semble de nature analogue aux instabilités longitudinales rencontrées dans les couches de mélange (structures cohérentes de Roskho, Breidenthal [17], BernaI [18] ... ).

16 14

l-â-ctlkUI ...-me.ureJ Vitesse air Int et ext.,mis

"-

"-

"-

~ "-

"-

... ^"-_"-

~

--- _-

-...,

o

10

EE 7

",,- 6 .",

:5

5

'"

(jj 4

,!;

'c 3

.JI!

Qj.s;;;

<.>

LU

1

x 1

x 1:=0,4

b)

o

Evolution d'une perturbation monochromati- que sans tension superficielle (W= 0 ).

110 = 0,001 : r = 1.

0,25 11

- 0,25 0

a)

0,25 11

- ,

0,55

't=1

^0,55

Tl Tl

- 0,55 - 0,55

a x a x

a) b)

7a et 7b.

Sa et Sb. Evolution d'une perturbation monochromati- que avec tension superficielle W=2/3

110 = 0,001 ;r= 1.

ports rationnels (pas de fondamentale, harmonique 2 et 3, par exemple). Nous conviendrons ici d'appeler harmoni- que 2, la perturbation de longueur d'onde moitié du fon- damental, même si celui-ci est absent (rappelons qu'en tout état de cause, la périodicité spatiale imposée par la mé- thode est celle de ce fondamental). Enfin, pour bien mar- quer les effets d'interaction, les modes ont des amplitudes initiales identiques (11 a la même valeur qu'il s'agisse du fondamental ou d'un harmonique).

On peut donc choisir le mode qui, dans la théorie linéaire croîtrait le plus vite. Dans ce qui suit, on a choisi l'har- monique 2 ou l'harmonique 3. Nous dirons alors que W₂ou W, est égal à 2/3. En l'abscence d'interaction non linéaire

eri~re

m(;des, c'est évidemment le mode à W_iégal à 2/3 qui doit l'emporter.

Ceci est réalisé sur les/igures 9a et 9b où l'on représente l'interaction fondamental/harmonique 2 avec W₂ == 2/3.

On peut également remarquer l'influence d'un déphasage entre les deux harmoniques (figs. 10a et lOb). L'amplitude initiale est très faible (en réduit 11 = 0,0001).

Dans deux travaux plus récents ([19]. [31

D,

on peut constater un phénomène plus surprenant. Nous avons as- socié au tracé des interfaces une représentation du spectre où cr est la tension superficielle, une masse volumique

(pour le liquide ou le gaz) et!:lUle différentiel de vitesses.

Nous montrerons, à titre d'illustration de cette méthode, quelques résultats. Toutes les figures représentent l'ampli- tude réduite 11 de l'instabilité, normée par la fonction d'onde À. en fonction de l'abscisse réduite x, également normée par j,. Les figures représentent donc en unités l'aspect de l'interface à différents temps réduits Tdéfinis parT = /!:lUlj., où !:lUest le différentiel de vitesses entre les deux écoulements. On a également introduit le nombre sans dimension p égal au rapport des masses volumiques des fluides supérieur et inférieur. Des valeurs de 10.² à 1 ont été prises en compte.

Tout d'abord, l'effet de la tension superficielle sur la forme d'une onde monochromatique est montrée sur les fÎcr;,ures 7a à 8b. On retrouve les résultats d'auteurs précé- dents: la tension superficielle supprime l'enroulement d'une phase sur l'autre (structure cohérente de la couche de mélange). Au .contraire, on observe une forme de bâ- tonnet. Ces ligaments ont été observés et photographiés en particulier par Hoyt et Taylor [29].

La méthode ne permet de prendre en compte que des longueurs d'ondes qui sont des multiples entiers d'une fondamentale. Toutefois cette fondamentale n'est pas obli- gatoirement présente dans le calcul. On peut donc avoir des intéractions d'ondes ayant entre elles des rapports entiers (fondamentale+harmonique 2, par exemple) ou des rap- l'interaction dc ces modes. Notons que l'évolution d'une perturbation initialement sinusoïdale, vers une forme de ligament revient à une création d'harmoniques. Une cer- taine interaction de mode est là aussi présente.

Rappelons brièvement la méthode: on peut assimiler mathématiquement l'interface mobile entre liquide et gaz à une suite cominue de fils tourbillonnaires. L'interface est alors discrétisée en une suite de fils distincts. Le suivi numérique du mouvement 2D de ces fils constitue alors la donnée de la géométrie d'interface. La circulation attachée à chaque fil dépendra évidemment des vitesses locales des fluides à l'interface (le fluide étant parfait, on admettra une discontinuité: la densité de vorticité locale sera alors [UI U_2])· Donc, lorsque l'interface se déplace, la ci- nématique des fluides varie et la vorticité attachée à chaque fil varie.

Le calcul s'appuiera sur trois relations: les équations du mouvement de chaque/il, l'évoill/ion de la vor/ici/é(encore appelée intensité tourbillonnaire) attachée à chaque fil, la donnée de la l'épar/ion initiale de vor/icité.Nous passerons ici sur les difficultés techniques dues en particulier à la concentration des fils dans les zones de forte courbure. Une redistribution des fils et de la vorticité est alors nécessaire.

Notons enfin que cette méthode présuppose uned4forma- tion périodique de l'inteJ:/clce. Il y aura donc une longueur d'onde ditefondamentale égale à la période spatiale de l'interface. On appellera harmoniques les modes sinusoï- daux d'échelle sous-multiples de ce fondamental.

Rappelons enfin que, dans la théorie linéaire de Kelvin- Helmholtz des instabilités capillaires, l'onde de croissance maximum a un nombre d'onde k ou une longueur d'onde 'A (k = 2TII/,) tels que W = 2/3. West un nombre de Weber défini par:

INSTABlLITI~S INTERFACIALES : ÉTUDE ET MODlôLISATION DE LA PULVÉRISATION _

u.a.

10

F2 5

:UlIl

₁₀ n' harmonique

.

x 1 0,3

11

a) b)

e) 9a et 9b. Evolution d'une perturbation polychromatique

avec tension superficielle. Présence d'un fon- damental et de l'harmonique 2, sans dé- phasage. ¹¹⁰

=

O,OOO! ; r

=

0,05; W₂

=

2/3.

u.a.r

10¹

: _'JllIlL~Uu

_{F2 5 10} n' harmonique

¹

!Oa et lOb. Evolution d'une perturbation polychroma- tique avec tension superficielle. Présence d'un fondamental et de l'harl11onique 2, dé- phasés de n12.110 = O.OOO!; r = 0.05;

W₂ = 2/3.

d)

de Fourier. Sur les figures lia et lib, on voit l'interaction d'harmoniques 2,3,4 et S, pour 11 = 0,025 au temps initial du calcul. L'harmonique 4, dans ce calcul, est tel que W₄ = 2/3. On voit très nettement sur les figures Ile et IId qu'entre les temps r = 0,05 et r = 0,15 le spectre de Fourier accuse un très net développement de l'harmoni- que 2, au détriment des modes 3, 4 et 5 qui, dans la théorie linéaire sont plus proches du mode dominant. L'exploi- tation de ces résultats reste en cours, mais une remarque s'impose. Il semble que, lorsque les modes qui interagis- sent sont dans un rapport entier, le mode dominant de la théorie linéaire le reste.

Par contre, on doit remarquer que les modes non do- minants de la théorie linéaire sont avantagés lorsqu'ils interagissent avec des modes dominants de cette théorie avec lesquels ils ne sont pas en rapport entiers, mais rationnels. Enfin, il semble qu'alors les modes les plus longs (le plus proches en longueur d'onde du fondamental) soient avantagés.

11c et 11d. Spectres de Fourier cOITespondant aux figures lIa et 11b.

x 1

1 x

0,3 11

- 0,3

°

°

- 0,5 0,5 11

0,3 11

a)

v 11II CONCLUSION

11b. Evolution d'une pel·turbation polychroma.

tique avec tension superficielle. Pas de fon- damental. Harmoniques 2, 3, 4 et 5, sans déphasage. 110 0,00025; r O,! ; W₃ = 113 : W₄ = 2/3.

,=0,15

11a et 0,5

11

- 0,5

°

^b)

^x

¹

Nous avons présenté ici quelques études tendant à rendre possible la conception rationnelle des atomiseurs. Le degré d'avancement en est certes divers, mais d'ores et déjà, notamment pour les pulvérisateurs mécaniques, des per- formances intéressantes sont obtenues. La méthode du maximum d'entropie est en voie d'application à d'autres types d'injecteurs, notamment dans le domaine automo- bile. Les études de stabilité de nappe annulaire ont produit des clichés très riches en information, qui demandent en- core un effort d'interprétation. Cette étude va prochaine- ment être reprise à haute pression ambiante. Le travail très limité que nous avions mené dans ce domaine a montré en effet des modifications marquées des processus [20]. La méthode des feuillets tourbillonnaires est fortement

concurrencée par les méthodes VüF, qui peuvent prenclre en compte la viscosité; on assiste ainsi à cles cliffusions cie vorticité cie la nappe vers les écoulements. Toutefois l'outil présenté ici reste plus léger et son exploitation est poten- tiellement riche en informations, notamment en matière d'interaction cie modes, qui pourrait se révéler un processus cie génération de polyclispersion.

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