final IM42 P2011
Outils avancés en ingénierie mécanique Lundi 27juini de 10h30 à 12h30
• documents autorisés
• calculatrice autorisée
• partie simulation 5 points, réponse sur le sujet
• partie mécanique 15 points , réponses sur copie d’examen
Pour réaliser le positionnement d’un outils (broche tournante, agrafeuse , tète de lecture …) nous imaginons un mécanisme actionné par un moteur (rotatif) entrainant un levier(1) par l’intermédiaire d’un système bielle (2)manivelle (3), suivant le schéma ci-dessous.
Vu en plan nous pouvons paramétrer le mouvement
en fonction de ce paramétrage nous pouvons exprimer les positions successives de A,B et exprimer que la distance AB est constante (longueur de la bielle). Cela nous donne une relation entre les angles α et β solution de l’équation
β α
β β
α
α cos( )) (1 cos ) sin sin (cos
0=lr − + +l2 − −hr +hl
M
Mouvement moteur ωt
Outil massif Levier (1)
Bielle (2)
Manivelle (3)
(3) (1)
(2)
O C A
B
x β
r l
d y
α L
h
Qui peut se simplifier si l’on considère une configuration ou β reste petit (pour cela r doit être petit devant
l
) la relation devientβ sinαl
= r
Compte tenu de la faiblesse de l’angle β , on considérera que le point A se déplace linéairement suivant l’axe y .Avec la définition précédente et en considérant la vitesse de rotation du moteur constante.
t r
y t r
y
l t l r h y
ω ω ω ω
ω sin cos
) sin sin(
− 2
=
= +
=
&
&
&
on accélérati vitesse position
Nous pourrons alors déduire la vitesse de rotation du levier (1) et l’accélération verticale de la masse
l t l r L y
l t l r L y
l t r
ω ω ω ω
ω
sin )
( cos ) ( cos
+ 2
−
= +
=
=
&
&
&
masse la de on accélérati
masse la de vitesse
(1) de
rotation 1(t)
La masse engendre donc une force variable sur le levier (1) l t
M r l L
F(t)=−( + ) ω2sinω
engendrée force
Le levier (1) est un tube cylindre en acier dont nous estimons le champ de déplacement de la matière par les fonctions suivantes
C A
x z
y
L 0
6 ) ( 2
2 ) (
3 2
2
=
−
−
=
− +
=
W z suivant t
déplacemen
EI F V y suivant t
déplacemen
EI U F
x suivant t
déplacemen
x L x
Lx x z
Question 1
Calculer le tenseur des déformations de la matière du levier (1)
Question 2
Déduire le tenseur des contraintes
Question 3
Définir les conditions aux limites sur la face extérieure du tube,
Question 4
Montrer quelle ne sont pas respectées,
Quel est l’élément de comportement des matériaux qui a certainement été négligé
Question 5
Calculez En quel point apparaitra la déformation ou la rupture
On prendra
−
=
0 0 0
0 0 0
0 0 ) ( l x I z
F
T
Ce tube en acier est faiblement amortissant, nous considérerons sa masse faible devant la masse fixée à l’extrémité. Le système peut être assimilé à un système masse ressort à 1 degré
de liberté.la fréquence propre du système sera
) 4 4
3 (
64
3 I D d
L k EI
M k
−
=
=
= π ω et avec
propre
fréquence 0
Un calcul donne les solutions graphiques suivantes pour notre configuration.
force une pour t déplacemen
statique force
une pour t déplacemen ion
amplificat d'
facteur
relative pulsation
t F
F ω ω
ω
cos
0
=
=
réponse en fréquence
0 1 2 3 4 5 6
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
pulsa tion rela tive
facteurd'amplification dynamique
déphasage de la réponse
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
pulsa tion re la tive
déphasage
Question 6
Application numérique
Paramètre r mm H mm l mm L mm
valeur 20 200 100 400
Paramètre M kg E Pa D mm d mm
valeur 5 210e9 40 30
Calculer :
• L’amplitude du déplacement pour le système rigide
• La fréquence propre
• L’amplitude du déplacement de flexion crée par la force d’inertie( en fonction de ω)
Question 7
Tracer (à l’échelle à main levée) :
• Le déplacement de la masse pour un système rigide
• Le déplacement de flexion pour ω<< ω0
• Le déplacement de flexion pour ω= ω0
• Le déplacement de flexion pour ω>> ω0
• Le déplacement total (système rigide + flexion)
Question 8
Sur la base des graphiques précédant .Faites des recommandations de conception et d’utilisation du système.
Formules utiles
Tenseur des déformations
∂ +∂
∂
= ∂
∂ =
= ∂
∂ +∂
∂
= ∂
∂ =
= ∂
∂ +∂
∂
= ∂
∂ =
= ∂
=
1 3 3
1 13
31 3
3 33
3 2 2
3 32
23 2
2 22
1 2 2
1 21
12 1
1 11
33 32 31
23 22 21
13 12 11
2 / 1
2 / 1
2 / 1
x U x U x
U
x U x U x
U
x U x U x
U
D cartésien
ε ε ε
ε ε ε
ε ε ε
ε ε ε
ε ε ε
ε ε ε
avec
∂ + ∂
∂
= ∂
∂ =
=∂
∂ +∂
∂
= ∂
∂ +
= ∂
∂ +∂
∂ −
= ∂
∂
=∂
=
ε θ ε ε
θ ε ε
ε θ ε
ε ε ε
ε ε ε
ε ε ε
θ θθ θ
θ θ θ
θ θ θθ θ
θ
z z
zz
z r rz
r r rr
zz z rz
z r
rz r rr
U r z U z
U
r U z U r
U U r
r U r U Ur r r
Ur
D
e cylindriqu
2 1 / 1
2 / 1 1
2 1 / 1
13 31
avec
Equation d’équilibre
∑
= ∂
= ∂
= +
−
3
1 ,
,
* 0
j j
ij j
ij
j ij i i
x j
i F
cartésien
τ τ
τ ργ
3 à 1 de variant
et
=
− +
∂ + + ∂
∂ + ∂
∂
∂
=
− +
∂ + +∂
∂ + ∂
∂
∂
=
−
− +
∂ + + ∂
∂ + ∂
∂
∂
1 0
0 1 2
1 0
*
*
*
z z rz zz z rz
r z r
r r rr
rz r
rr
r F z r θ
r
r F z
r θ r
r F z
r θ r
e cylindriqu
τ ργ τ τ τ
τ ργ τ
τ τ
τ ργ τ τ τ
τ
θ
θ θ θ θ
θθ θ
θθ θ
Loi de comportement élastique linéaire loi de Hook
( )( ) ( )
coefficient matériauxunitaire tenseur
de invariant premier
avec
de invariant premier
avec
E E E G
I
T E I
E T D ou
D D
I T
, 1 ,
, 2 2 1 1 1
2
ν ν σ
ν µ υ λ ν
σ σ
θ µ
λθ
+ =
=
− =
= +
Θ Θ
+ −
= +
=
Invariant d’un tenseur
t I
t t t t t t t t t t t t I
t trace t
t t I
t
det
) (
3
13 31 11 33 32 23 33 22 21 12 22 11 2
33 22 11 1
=
⋅
−
⋅ +
⋅
−
⋅ +
⋅
−
⋅
=
= + +
=
tenseur du
générale forme
t t
t t I
t t t t t t I
t trace t
t t I
t t t t
det ) (
, ,
3 2 1 3
1 3 3 2 2 1 2
3 2 1 1
3 2 1
=
⋅
⋅
=
⋅ +
⋅ +
⋅
=
= + +
=
noté s principale valeur
en
Vecteur contrainte
νr νr
⋅
=T T
Déviateur d’un tenseur
( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
d d d
d
t t
I ) t t
t
t t tenseur du
déviateur
det 6 6 1
0 ) ( 3( 1
3
2 31 2 23 2 12 2 11 33 2 33 22 2 22 2 11
1
=
+ + +
− +
− +
−
=
=
=
−
=
⇒
d d d
I
t t t t
t t
t t
t I
trace I
trace
Contrainte équivalente de Von Misés (équivalente à la contrainte de l’essai de traction)
s contrainte des
déviateur du
invariant 2ème
3 équivalent contrainte
d 2
d τ 2
(
Σ
Σ
= τ )
