Exercice Mathématiques – statistiques à une variable 1ère STGG 2009/2010 Une machine fabrique des fers cylindriques pour le béton de diamètre théorique 25 mm.
On contrôle le fonctionnement de la machine en prélevant un échantillon de 100 pièces au hasard dans la fabrication. Les mesures de diamètres D, en millimètres, ont donné les résultats dans le tableau suivant :
Diamètres D
[24,0;24,2[[24,2;24,4[[24,4;24,6[[24,6;24,8[[24,8;25,0[effectif 0 5 13 24 19
Diamètres D
[25,0;25,2[[25,2;25,4[[25,4;25,6[[25,6;25,8[[25,8;26,0[effectif 14 10 8 5 2
1°/ Quel est le caractère étudié ?
2°/ Quelle est l’étendue de cette série statistique ? 3°/ Quelle est la classe modale de cette série ?
4°/ On suppose que dans chaque classe, la répartition est régulière. Pour les calculs, on pourra remplacer chaque classe par son milieu. Compléter le tableau ci-dessous
Centre
effectif 0 5 13 24 19
Centre
effectif 14 10 8 5 2
Calculer la moyenne X de cette série et l’écart –type X de la série statistique arrondis à 0,001.interpréter Les résultats obtenus
6°) La production de la machine est jugée bonne si la série des mesures de l’échantillon remplit les trois conditions suivantes
a) la moyenne X appartient à l’intervalle
24,9 ; 25,1
.Montrer que le critère (a) est vérifié b) L’écart-type X est strictement inférieure à 0,4 .montrer que le critère (b) est vérifié c) 90 % au moins , de l’effectif figure dans l’intervalle X 2X ;X 2X.Effectuer les calculs suivants : X2X ... et X2X ...
5°/ Compléter le tableau des fréquences et des fréquences cumulées croissantes suivant :
Diamètres D
[24,0;24,2[[24,2;24,4[[24,4;24,6[[24,6;24,8[[24,8;25,0[Fréquence en % Fréq cum crois en %
Diamètres D
[25,0;25,2[[25,2;25,4[[25,4;25,6[[25,6;25,8[[25,8;26,0[Fréquence en % Fréq cum crois en %
6°/ Représenter le polygone des fréquences cumulées croissantes.
En déduire graphiquement la médiane les quartiles Q 1 et Q 3 ( faire apparaître les traits de construction ).
7°/ Déterminer à l’aide du graphique le nombre de fers cylindriques de diamètre inférieur ou égal à 24,2 mm : ……….. ; 25,7 mm : ………
En déduire le nombre de fers cylindriques compris dans l’intervalle X 2X ;X 2X Montrer que le critère ( c ) est vérifié .
La production de la machine est-elle bonne ?
8°/ Trouver l’équation de la droite passant par les points A ( 24,8 ; 42 ) et B ( 25 ; 61 ) En déduire une valeur approchée à 102 près de la médiane.
9°/ Trouver l’équation de la droite passant par les points C ( 24,6 ; 5 ) et D ( 24,8 ; 42 ) En déduire une valeur approchée à 102 près du quartile Q1et le décile d1.
10°/ Trouver l’équation de la droite passant par les points E( 25,4 ; 85 ) et B ( 25,6 ;93 ) En déduire une valeur approchée à 102 près du décile d9.
11°/ Construire enfin un diagramme en boîte ( une boîte à moustache ) .
1. Caractère étudié : mesure de diamètres
2. Etendue : e v finalevinitiale 26 24 2 3. Classe modale : [24,6;24,8[.
4.Moyenne :
Centre 24,1 24,3 24 ,5 24,7 24,9
effectif 0 5 13 24 19
Centre 25,1 25,3 25,5 25,7 25,9
effectif 14 10 8 5 2
0 24,1 5 24,3 13 24,5 24 24,7 19 24,9 14 25,1 10 25,3 8 25,5 5 25,7 2 25,9
24,946
x 100 .
Le critère (a) est donc vérifié puisque x
24,9 ; 25,1
. b.0 24,1² 5 24,3² 13 24,5² 24 24,7² 19 24,9² 14 25,1² 10 25,3² 8 25,5² 5 25,7² 2 25,9²
24,946² 100
622,4516 6,22,302916 0,148684
X X
V V
X VX 0,148684 0,3855956 . le critère (b) est vérifié puisque X 0,3855956 0, 4 . X 2X 24,946 2 0,386 24,174. et X2X 24,946 2 0,386 25,718 .
Donc on a : X 2X ;X 2X
24,174 ;25,718
.il ya : 5+13+24+19+14+10+8=93 , donc 93 100 93% 90%p100 .Donc le critère ( c ) est vérifié.
5.
Diamètres D
[24,0;24,2[[24,2;24,4[[24,4;24,6[[24,6;24,8[[24,8;25,0[Fréquence en % 0 5 13 24 19
Fréq cum crois en % 0 5 18 42 61
Diamètres D
[25,0;25,2[[25,2;25,4[[25,4;25,6[[25,6;25,8[[25,8;26,0[Fréquence en % 14 10 8 5 2
Fréq cum crois en % 75 85 93 98 100
D1 Q1 Med Q3 D9
24,2 24,4 24,6 24,8 25 25,2 25,4 25,6 25,8 26 26,2 20
30 40 50 60 70 80 90 100
23,8 24 0
10
x y
Me
Graphiquement , la médiane vaut environ 24,80.
8°/. Soit A(24,8; 42)et B(25;61), la droite (AB) a pour coefficient directeur :
61 42 19
25 24,8 0, 2 95
B A
B A
y y
m x x
. D’où y95x p de plus B est un point de la droite (AB) donc yB 95xB p 61 95 25 p p 61 95 25 2314 et on a : y95x2314
Pour la médiane , on doit résoudre l’équation : 50 2314 2364
50 95 2314 24,88
95 95
M M
x x
On déduit que la médiane vaut environ 24,88 .
9°/ Trouver l’équation de la droite passant par les points C ( 24,4 ; 5 ) et D ( 24,6 ; 18 )
18 5 13
24,6 24, 4 0, 2 65
D C
D C
y y
m x x
. D’où y65x p de plus B est un point de la droite (CD) donc yC 95xC p 5 65 24, 4 p p 5 65 24, 4 1581 et on a : y65x1581
Pour le premier décile, on doit résoudre l’équation : 1 1 10 1581
10 65 1851 24, 4769
d d 65
x x
On déduit qu’une valeur approchée à 102 près du premier décile vaut environ 24,48 . b. Trouver l’équation de la droite passant par les points C’ ( 24,8 ;42 ) et D ( 24,6 ; 18 ) '
'
42 18 24
24,8 24,6 0, 2 120
C D
C D
y y
m x x
. D’où y120x p de plus B est un point de la droite (CD) donc
yD 120xD p 18 120 24, 6 p p 18 120 24, 6 2934 et on a : y120x2934 Pour le premier quartile, on doit résoudre l’équation : 1 1 25 2934
25 120 2934 24,6583
Q Q 120
x x
On déduit qu’une valeur approchée à 102 près du premier quartile vaut environ 24,66.
10°/ Trouver l’équation de la droite passant par les points E( 25,4 ; 85 ) et F ( 25,6 ;93 )
93 85 8
25,6 25, 4 0, 2 40
F E
F E
y y
m x x
. D’où y40x p de plus E est un point de la droite (EF) donc yE 40xE p 85 40 25, 4 p p 85 40 25, 4 931 et on a : y40x931
Pour le 9ième décile, on doit résoudre l’équation : 9 9 90 931
90 40 931 25,525
d d 40
x x
On déduit qu’une valeur approchée à 102 près du 9ième d9vaut environ 25,525.
11°.
D1 Q1 Med Q3 D9
24,2 24,4 24,6 24,8 25 25,2 25,4 25,6 25,8 26
23,8 24 x
y
= 1
24,4 24,6 24,8 25 25,2 25,4 25,6 25,8 26 26,2
24 24,2 x
y
