D. D EFAYS
Analyse hiérarchique des préférences et généralisations de la transitivité
Mathématiques et sciences humaines, tome 61 (1978), p. 5-27
<http://www.numdam.org/item?id=MSH_1978__61__5_0>
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ANALYSE
HIERARCHIQUE
DES PREFERENCES ET GENERALISATIONS DE LA TRANSITIVITED. DEFAYS*
De nombreux
problèmes
enanalyse
ordinale débouchentsur une
quantification (ou
du moins unrangement)
des
préférences. Ainsi,
si E est un ensemble finid’objets
entrelesquels
on établit despréférences,
on est souvent
amené,
pour chiffrer les choixexpri- més,
à définir uneapplication R(. , . )
de ExE dansR+, R(x,y)~ R(u,v) signifiant généralement
que x est"plus préféré"
à y que u ne l’est à v. Associer àR( . , . )
unordre,
unpréordre,
un quasi-ordre est unproblème classique
del’analyse
despréférences.
Dans cet
article,
nousintroduisons
des modes dereprésentation
différents : desalgorithmes qui permettent
d’associer à une matrice depréférences
une suite d’ordres ou de
préordres
emboîtés sontétablis ;
la notion depréordre
est ensuitegéné-
ralisée en définissant un nouveau
type
de transi- tivité.,
Notre démarche est à
rapprocher
de cellequi
a été suivie par Roberts et
Jacquet-Lagreze.
Ces auteurstravaillent,
enfait,
dans un contexteplus particulier;
ils
supposent
que, pour tousx,ye. E, R(x,y)> 0
etR(x,y) + R (y , x ) = 1 ( *) .
Latransitivité
se définit alors comme suit : pour tousx,y,zE:E,
siR(x,y)
etuniversité
deLiège, Belgique.
R( y, z)
sontsupérieurs
ouégaux
à0, 5,
on doit avoirR(x,z)> sup R(x,y),R(y,z) .
Onappelle
cettepropriété
la transitivité
stochastique.
Roberts amontré,
entre autres, que siR(.,.)
eststochastiquement transitif,
on
pouvait
lui associer une suite dequasi-ordres
emboîtés(9). Jacquet-Lagreze
a étudié leproblème
de la recherche d’une relation
stochastiquement
transitive à distance minimum d’une matrice de
préfé-
rences. Il l’a résolu dans un cas
particulier (6).
Notre définition de la transitivité ne
requiert
pas(*).
Enfait,
nous reprenons essentiellement la définitionproposée
par Zadeh et Kaufmann(8) :
pour tousx,y,zE E, R(x,z»,. in-F R(x,y),R(y,z) .
De manière assez
paradoxale,
onpeut
montrer quelorsque 1*1
estsatisfait,
la transitivité au sensde Zadeh est
plus particulière
que la transitivitéstochastique ;
onpeut
en effet prouver que si(w)
estsatisfait, R(.,.)
est transitif(au
sens deZadeh)
si et seulement si, pour tous x,y,z tels queR(x,y)
etR(y,z)
soientsupérieurs
ouégaux
à0,5 ,
1on a
R(x,z) - SUP~R(x.y).R(Y.z)~ (ce qui
estplus
fort que la transitivité
stochastique). Rappelons
encore que nous avons
nous-mêmes,
dans le contexte del’analyse
desquestionnaires, présenté
une méthodepermettant
d’associer àR(.,.)
unrangement
desobjets
de E sur un axe, les distances entre les
objets
étantproportionnelles
aux différences depréférences.
Les structures que nous proposons dans cet article sont
plus générales.
Leur intérêt est de traduirenon pas un seul ordre ou
préordre sous-jacent
auxdonnées,
mais une série emboîtée de telles relations, chacune de ces relationscorrespondant
à des ordres depréférence (ou
dedifficulté,
depriorité, d’antériori-
té...)
différents. On établit ainsi une hiérarchie sur lesobjets
de E mais aussi sur les différentes relations entre cesobjets.
Pour des raisons de
commodité,
nous utilisons le formalisme de la théorie des sous-ensembles flous.Les méthodes
proposées
sont pour laplupart, l’adapta-
tion aux
préordres
flous de méthodesprécédemment
établies pour les
préordres.
Nous donnons dans le
paragraphe
1 les notions élémentaires de la théorie des sous-ensembles flous nécessaires pour l’établissement de nos résultats.Le
paragraphe
2présente
deuxalgorithmes permettant
d’obtenir
rapidement
une suite depréodres
emboîtésà
partir
d’une matrice depréférences.
Le troisièmeparagraphe
est consacré audéveloppement
d’unegénéralisation
de la transitivité : unepremière partie théorique
estcomplétée
par des résultatspermettant
d’obtenir les structures étudiées. Unexemple
illustratif estprésenté
dans unquatrième paragraphe.
1. RAPPEL
Si E est un ensemble fini et
A( . ~
uneapplication
de E dans N, l’ensemble i
1
le sous-ensemble flou
correspondant
àl’application AC-).
Si A et B sont deux sous-ensembles flous
définis sur
E,
,- AcB si et seulement si pour tout
x ~ E, A(x)~B(x).
Les relations floues s’introduisent de manière
analogue.
SoitR(.,.) un~plication
deE1xE2
dans N.L’ensemble R - (x,y,R(x,y))IxeElyF-E 2~
est ditrelation floue de
E 1
versE2 correspondant
àl’appli-
cation
R(.,.).
Une relation floue est donc essentiel- lement une relation au sens habituel du mot, où les liaisons sontpondérées.
Les relations floues
peuvent
aussi se composer.Soient
à
défini surE 1 xE 2
eta2
défini surE 2 xE 3’
Leur
composée ,R2 o Rl,
relation floue deE~
versE3,
est définie par
o est associatif. Une relation floue de E vers E sera
appelée
brièvement "sur E".Si R est une relation floue sur
E,
- R est réflexif si et seulement si pour tous
x, y e E,
les
R(x,x)
sontégaux
etR(x,y) R(x, x)
six 1
y.- R est
antisymétrique si
et seulement si pour tousx, y e E, R(x,y).R(y,x) -
0lorsque xi
y.- R
est transitif si et seulement si pour tous,
inf)R(x,zl,R(z,yl) ,
c’est à dire si et seule-ment si R o
Rc.
’Une relation floue réflexive et transitive est un
préordre
flou. Unpréordre
flouantisymétrique
est unordre flou.
Si R est une relation au sens habituel du mot
(nous
dirons dans la suite relationvulgaire),
on notera,pour tout
1 c N,
la relation floue où
= 0 si
(x, Y) 0
R.Rappelons
enfin le théorème dedécomposition : si R
est une relation floue sur E,alors R -
~ 1R. ;
iRi
est la relationvulgaire
définie comme suit :Ri si
et seulement siR(x,y)~
i.Remarquons
quesi R
esttransitif iantisymétriquel,
Ri
est aussi transitif(antisymétrique
sii ~ 0).
2. ALGORITHMES ENGENDRANT DES PREORDRES FLOUS
Si
R( . , . ~
est uneapplication
de ExE dans N chiffrant lespréférences,
la considérer comme la fonctiond’ap- partenance
d’une relation flouepermet
alors une forma- lisation aisée de certainsproblèmes.
Pour des raisons decommodité,
noussupposerons R
réflexif. Cetteexigence
n’a en fait rien d’essentiel et ne réduit absolument pas lagénéralité
de notreexposé.
Approcher
R par un ordre ou unpréordre
estclassique
enanalyse
despréférences :
de nom-breuses méthodes ont été
proposées.
Nospréoccupa-
tions sont différentes : nous cherchons à associer
à R une structure
plus
riche : un ordre oupréordre
flous.~ ’
Le
problème
que nous venons de formulerpeut
se résoudre de différentes manières : nous allonsen
présenter
deux. Les solutions que nous donnons ont legrand
mérite den’exiger
en faitqu’une
mesure ordinale des
préférences.
Plusprécisé-
ment, toute modification des données
(c’est
à dire del’application R)
par une transformation monotone laisserainchangée,
à la même transfor-mation monotone
près,
la fonctiond’appartenance
du
préordre
obtenu. Lepremier algorithme
permet d’engendrer
la fermeture transitive de R, c’est à dire lepréordre
flousupérieur
à Rqui
est minimum. Le second
permet
d’obtenir certainspréordres
flous inférieurs à R et maximaux.2.1 Recherche de la fermeture transitive
Si R
est une relation floue définie surE =
... , x ,
ennotant R2 =
R oR,
E 3 ={ 1 2 x n ’ 2 R,
R3 - R
o R o R ... la re lation~ ~
R R
o
R o
R, la relation
est la
plus petite
des relations transitives incluant R()). Si R
estréflexif,
on voitfacilement
que R -
et que parconséquent
R
s’obtient en s itérations(calculs
deR 2 R4,
s ~
R 1
avecs lo g2 ( n-1 ) +
1.Cette méthode n’est
pourtant
pas laplus rapide,
comme l’a fait remarquer Tomescu dansle contexte
plus particulier
de la fermeture transitive d’ungraphe
fini. La méthode matri-cielle
qu’il
propose est facilementgénéralisable
aux relations floues.
Introduisons
l’opérateur Tij
ij( i, j 1,2, ...,n
sur l’ensemble des relations floues réflexives sur
E.
L. J
Puisque
R estréflexif,
on a pour tout i :Définissons comme suit
l’opérateur
T :En
fait,
l’ordre desopérateurs
dans leproduit peut
êtrequelconque ;
3 les résultats établis dansce
qui
suit en sontindépendants ;
nous l’avonsfixé pour la
simplicité
del’exposé. Remarquons
toutefois quechanger
l’ordre desopérateurs
re-vient à
changer l’opérateur
T.q Il est facile de montrer que pour tout
q e N,
£ C T(gl
etque si q
est leplus petit
indice... """
q -
2 q
q -pour
lequel 2q n-1
ona R - R
... --- =T ( R) . R
~s’obtient donc au moins aussi
vite
avecl’opérateur
. 2 4
2q
T que via le calcul
de R ,R ,
1. 1 2q
-La
démonstration
de ces résultats est enfait une
simple généralisation
aux relations flouesde ce
qui
se trouve dans Elle ne sera donc pas donnée.Approcher
unerelation R
par unpréordre
flou
supérieur impose
de surestimer certaines des relations entreobjets.
Si dans certains cas cela n’est pastrop gênant,
il existe des situations où la relation obtenue est très diférente de la relation dedépart R.
Onpeut
alorsapprocher R
par un
(ou des) préordre(s) f lou(s) inférieures) maximal(aux).
Il fautsouligner
ici que l’ensemble despréordres
flous inférieursà R
nepossède
malheureusement pas d’élément maximum ! 1
2.2 Recherche de
préordres
flous inférieurs maximaux Dans le cadre des relationsvulgaires,
C.Heuchennea
présenté
unalgorithme permettant d’engendrer
àpartir
d’une relation donnée toutes les sous-rela- tions transitives maximales(4).
Sa méthode estgénéralisable
mais devient malheureusementtrès
lourde. Deplus,
elle fournit des relations transitives non maximales et des relations nontransitives. Par contre, un autre de ses
algori-
thmes
permettant
d’obtenirrécursivement
unesous-relation transitive maximale
particulière
nous a
inspiré
une constructionrapide
d’unpréordre flou,
inférieur maximal.L’algorithme
que nous proposons construit récursivement la fonctiond’appartenance L(.,.)
d’unpréordre
flouL, maximal, inférieur
à unerelation réflexive floue donnée.
Ainsi,
siE =
xl,x2,x3, ...,xn ,
ondéfinit UX1’x)
pourtous les
XGE, puis L(x2.x)
pour tous lesXEE, puis L(x3,x)
...jusque L(xn,x).
Si R est la relation floue réflexive
donnée,
lesL(Xj’X)
sont définisrécursivement
comme suit :.
pour j = 0,1, ...,n-1,
posonsRemarquons
que les fonctions A eti~l
varient avecj.
THEOREME
1
La
relation J, ,
ainsi construite est transitive.Preuve : nous allons
procéder
par récurrence. Atout j
associons une relation floue(à
ne pas-ljl
confondre avec la relation
vulgaire L.)
Jdéduite
de L comme suit :
Démontrons par induction que,
quel
quesoit j,
h(j)
esttransitif. Si j = 1, l’énoncé
est évident.‘^(J)
Supposons
le vraipour j
et démontronsqu’il
l’est
toujours pour j+1.
Montrons donc que pour tous-
-
Quatre
cas sont àenvisager.
récurrence.
c’est
toujours
évident.peut
s’écrireOr par
construction,
L- ·
-
et le théorème est
démontré ;
la thèse est
démontrée
de manière évidente.- -
Ce dernier cas est
légèrement plus
difficile.Procédons
par l’absurde et supposons que, m . -
V
en
se servant de la récurrence et desinégalités précédentes,
Lce
qui
est absurde. Soit z =xr
avecDans ce cas, en se servant
w . -
toujours
de la récurrence et desinégalités pré-
ce
qui
est absurde.THEOREME 2
La
relation-L
ainsi construite est une sous-relation transitive maximale.Preuve :
L
est trivialement inclus dansR. Supposons
qu’il
existe une relation transitive T telle que LGT C R
et montrons par récurrenceque y = T.
On a évidemment
... 1
pour tout
Supposons
que pour toutlKj
etet montrons que l’on
pour
tout y
inférieur auA(y)
définiOn voit encore que pour
- -
."J _ -
on a par transitivité
de T
et parrécurrence,
1 1
’-II ""
Le théorème est ainsi démontré.
Notons que cet
algorithme
nepermet
pas d’obtenir toutes les relationsinférieures,
transitives,
maximales(4).
Il y a
pourtant
moyend’agrandir
la classe despréordres
flous inférieurs maximaux ainsi obtenus.Il suffit de remarquer que si
R’
est la relation Rinversée (c’est
à dire que pour tous x,y,R’(x,y)=R(y,x))
et si L’ est un
préordre
inférieur à R’ etmaximal,
l’inverse L de L’ est unpréordre
inférieur à R etmaximal.
Appliquer
notrealgorithme
à la relation R’puis
inverser les résultats obtenuspermet
visiblementd’agrandir
la classed.es préordres
flous obtenus. Une caractérisationsimple
de la classe despréordres
obtenuspar notre
algorithme (appliqué à R puis
àR’)
ne semblepas
possible. Remarquons
toutefoisqu’ils
sonttoujours
tels
qu’il
existexE E
avecL(x,y) - R(x,y)
pour toutyE E
ouL(y,x)
=R(y,x) pour tout yE E ;
il en existemalheureusement
qui échappent
à cette constructioncomme le montre
l’exemple qui suit.
La relation floue R donnée par la matrice-T1 1
admet le
préordre
floucomme
préordre
inférieurmaximal, préordre qui
ne
peut
être obtenu par notrealgorithme quel
que soit l’ordre de traitement des sommets.Remarquons
encore que dans laconstruction
récurrente de
L(xi x),
siLex1’x) = R(x1’x),
pour tout
xe E, plus j
estgrand, plus
la fonctiond’appartenance R(x.,x)
estsusceptible
d’êtreJ
modifiée pour obtenir
L(x ., x) .
Eneffet,
pour...sauvegarder
la transitivitéde L
àla je itération,
il y a lieu de tenir
compte
entre autres de toutce
qui
a été défini aux itérationsprécédentes.
Si on veut obtenir une
relation L
pastrop
éloignée
deR,
il seraitpeut-être
bon de numé-roter les éléments de manière à ce que
3. GENERALISATIONS DE LA TRANSITIVITE
Nous avons examiné dans le
paragraphe précédent
deux méthodes
permettant
de déduire d’une relation floue réflexive despréordres
flous.Malheureusement, dans certains cas, le
préordre
flou est une structure
trop particulière ;
3l’exigence
detransitivité
est,semble-t-il, trop
sévère. Différentesgénéralisations
ontété
proposées.
Nous allons en citer deux introduites par Jardine_et Sibson(7)
et enétudier une autre
déjà
mentionnée par Hubert(5).
En
fait,
ces auteurstravaillent’sur
des rela- tionssymétriques
mais leursconcepts
sontgénéralisables.
Soit R une relation
vulgaire
définie surE.
Appelons
chaîne de R tout ensemble ordonné(zi’Z 2’ ...,z ) (éléments
de E non nécessairement tousdistincts)
tel que pour tout i ettout j> i.,’
on ait
(z.,Z.)6 R.
1 J
On voit facilement que R est transitif si et seulement si,
lorsque (x,y, ...,z)
et(z~u, ... , v)
sont deschaînes, (x1Y,
... , z, u,... , v)
est encore unechaîne.
Dans certains contextes,cette
exigence peut
s’avérer fortlourde ;
les donnéess’y prêtent
difficilement. Pourpallier
cetinconvénient,
c’est à dire mieuxépouser
la structure desdonnées,
onpeut
proposer une
première généralisation
de latransitivité : une relation
vulgaire
R estk-transitive de
type
1 si et seulementsi, lorsque (x,y,
s...sZ )
et...,zk,u, ...,v)
sont des chaînes de, (x6y, ... , V)
est encoreune chaîne de
R,
si s...,zk sont k
élémentsdistincts de E.
Remarquons
quel’exigence
faiblitlorsque
kaugmente ;
3 une relation 1-transitive detype
1 est une relation transitive au senshabituel du mot et une relation réflexive sur
E
(IEI = n)
esttoujours (n-1)-transitive
detype
1. Cette k-transitivité detype
1 admetune définition
plus simple :
une relation vul-gaire
R est k-transitive detype
1 si et seule-ment si pour toute chaîne
d’éléments
distincts,
slorsque (x,zi)
i 1et(zi,y)
appartiennent
à R pour touti k,
on a(x,y)E
Rsi x et y
appartiennent
à E.Une autre
généralisation
estpossible :
une relation
vulgaire
R est k-transitive detype
2 si et seulement si, pour tout SC E tel quelSt = k, lorsque (x,z)
et(z,y) appartiennent
à R pour tout on a
(Xsy)~.R
si x et yappartiennent
à E. Dans cette dernière définition l’ensemble S est apriori amorphe
alors que dans la définition de la k-transivité detype
1 S doitêtre structuré en chaîne. Une relation k-transi- tive de
type
2 est évidemment k-transitive detype
1. La deuxième
généralisation proposée exige
doncque deux
points
liés par k cheminsdisjoints
de
longueur
2 soient liés entre eux, si onappelle
chemin un ensemble ordonné decouples
distincts
de R,
s... , u )
où pour toutcouple ui (i q)
l’extrémité ducouple
coincideavec
l’origine
ducouple ui+1.
La restriction "de
longueur
2"peut paraitre
un peu arbitraire. De
plus,
en notant R la ferme- ture k-transitive detype
2 d’une relationvulgai-
re
R,
si(x,y)E
R - R, celan’implique
pasqu’il
existe dans R k chemins
disjoints
delongueur
2de x à y, mais
plutôt,
comme on le verra dans ceparagraphe, qu’il
existe k chemins de x à y, ceschemins
n’ayant
deux à deux en commun que lessommets x et y
(nous
dironsqu’ils
sontdisjoints).
La
réciproque
n’est malheureusement pas vraie.Nous avons donc
modifié
comme suit ladéfinition
de lak-transitivité
detype
2.Une relation
vulgaire
R définie sur E estk-transitive de
type
3 si et seulement si elle contient lescouples (x,y)
liés par k cheminsdisjoints.
Une relation k-transitive de
type
3est évidemment k-transitive de
type
2 et k-tran- sitive detype
1. Les deuxpremières générali-
sations ont été
étudiées
par Jardine et Sibson(7)
etDefays (2)
dans le cadre des relationssymétriques.
Nous nedévelopperons
dans cetarticle que la dernière
généralisation présentée.
Avec la définition
classique
de latransitivité,
l’existence dans une relation R réflexive d’un seul chemin de xà y imposait
au
couple ( x, y) d’appartenir
à la fermeturetransitive R.
Ainsi,
parexemple,
la structuration de E obtenue au moyen de la relationR
étaitéventuellement
tributaire de laprésence
dansE d’un seul élément z
établissant
une"jonction"
entre une
partie
connexe de E contenant x etune
partie
connexe de E contenant y comme parexemple
dans legraphe
ci-dessous :Figure
1. Effet ’dechaînage
Avec la définition
adoptée ci-dessus,
cet incon- vénient bien connu("chaining effect")
est sup-primé lorsque
k> 1. Comme nous allons le montrer,une liaison de x à y n’est
imposée
dans la ferme- ture k-transitive detype
3 d’une relation R que pour autantqu’elle
repose sur l’existence de k cheminsdisjoints
liant x à y et parconséquent
sur l’existence de k éléments distincts de E inter- venant dans la
jonction.
Enfait,
uncouple (x,y) n’appartiendra
en propre à la fermeture k-transitive detype
3 d’une relation R que s’il faut éliminer de E au moins kéléments
poursupprimer
toutchemin de x à y. Comme on le démontrera en fin de
paragraphe,
en notantR
la fermeture k-transi- tive detype
3 deR, (x,y)E
R - R si et seulement si il existe k cheminsdisjoints
delongueur> 1
liant x à y. Ce
théorème
traduit l’intérêt de notre dernièregénéralisation.
Une illustration
graphique peut
aider àbien saisir la différence entre les trois
types
de transitivité. Les arcs en
pointillés repré-
sentent les liaisons
imposées
par la k-transi- tivité.Soit k = 3.
Type
1Type
2Type
3Figure
2. 3Types
de 3-transitivitéNous omettrons
lorsque
c’estpossible
laspécification
"de
type
3". Lesk-préordres
et les k-ordres sedéfinissent de manière naturelle : un
k-préordre
est une relation
réflexive, k-transitive ;
un k- ordre est unk-préordre antisymétrique.
Généralisons ces notions aux sous-ensembles flous.
Soit R une relation floue
définie
sur E.Appelons
valeur dans R du chemin(ziZ 2" ...,zl)
de
ExE,
le nombreLa relation R est k-transitive de
type
3 siet seulement
si,
pour toutcouple (x,y)
et toutensemble de k chemins
disjoints
de x à y notés enabrégé (x ...z 1 ...y), (x ...z2 ...y),
...,Les
k-préordres,
k-ordres flous detype
3s’introduisent de manière habituelle. La fermeture k- transitive de
type
3 d’une relation floueR,
notéeRk,
est l’intersection des relations k-transitives detype
3comprenant R.
Ils’agit
visiblement bien d’unefermeture ;
J en(extensivité),
l’intersection de relations k-transitives detype
3 étant k-transitive detype
3 on a( dk)k
k k =IRklidempotence),
K et enfin., " ., ,.
La fermeture k-transitive d’une relation
vulgaire
se définit de la même manière.Présentons
quelques propriétés intéressantes
de lak-transitivité.
THEOREMES
2, 3, 4,
5Si R
est unk-préordre flou,
ona R = R
R
est unk-préordre
flou(resp.
un k-ordreflou)
si et seulement si R - ‘^
.3 iR.,
les R. étant des= 1 ‘^ 1
..
k-préordres (resp ;
desk-ordres)
emboîtésl Ri + 1 C R i)
avecR -
Si R est une
relationfloue, Ek-
- - .
- . - i k -
notant (R.) la
fermeturek-transitive
deR..
1-Si L et M sont 2
k-préordres (resp. k-ordres)
--’-"
flous,
a lors est encore unk-prêordre (resp.
un
k-ordre)
flou.Les démonstrations de ces théorèmes sont
quasi
immédiates et ne sont pas données.La définition de la fermeture k-transitive
ne nous fournit malheureusement pas une méthode pour la construire. Les
théorèmes qui
suiventvont y remédier. Nous ne travaillerons au début que sur des relations
vulgaires,
nousgénérali-
serons ensuite les énoncés établis.
Soit R une relation
vulgaire
définie sur E.THEOREME 6
Pour tout
(x,yJt RJI
il existe au moins k cheminsdisjoints
de xà
si et seulementsi,
pour toutSCE,
tel que
ISB =
k-1 etx S et S,
il existe encore dans E - S un chemin de x ày.
111 I
Ce
théorème
bien connu enthéorie
desgraphes
(théorème
deMenger)
ne sera pasdémontré.
THEOREME 7
Si on note M la relation obtenue r rirrn en
ajoutant
àR les
couples (x,y)
reliés dans Rpar
k cheminsdisjoints,
on a M -R .
k-
Preuve : il suffit de démontrer que M est
k-transitif. Soit x lié à y par k chemins
disjoints.
Soit S un ensemble tel que tout chemin de R de x à y passe par un
point
de S(x4tS,y 4S).
Ou bien toutchemin de M de x à y passe par S et alors k.
Ou bien il existe un tel chemin en dehors de S ; 3
si est un
couple quelconque
de ce cheminn’appartenant
pas à R, il existe par construction de M, k cheminsdisjoints
dans R reliantai
àa. 1+ 1 ;
on voit immédiatement
qu’il
subsisteradans R un chemin de x à y
n’ayant
aucun sommet dans S, cequi
estabsurde, donc |S| >,
k. Par lethéorème 6,
il existe dans R k cheminsdisjoints
liant x à y ; donc( x, y) E M
et M est k-transitif.THEOREME 8
R
=k-1,SC.Ek-..Es
étantla restriction de R à E - S,
RS étant
la fermeture transitive(au
sens habituel dumot)
deRS~
Preuve : montrons en
premier
lieu queSi
(x,y) £.
R,alors,
pour tout S tel queISI = k-1,
Réciproquement
si 1pour tout S d’effectif k-1 ne
comprenant
ni x ni y,on a nécessairement
(x, Y) eRs ;
3 parconséquent,
par lethéorème 6,
on aCes deux théorèmes se
généralisent aisément.
Soit R une relation floue définie sur E. Si on pose
’"
la borne
supérieure
étantprise
sur tous les ensemblesde k chemins
disjoints
de x à y etCe
théorème
se déduitquasi immédiatement
duthéorème
correspondant
pour les relationsvulgaires.
De
même,
en notant pour toutS C E,
n’appartiennent
pas à S ; 3Q,(x,y) =
0 si x et yn’appartiennent
pas à S ;la fermeture transitive au sens habituel du mot de la relation floue
RS.
Cethéorème
n’est de,%s
nouveau que la traduction "en flnu" du théorème
correspondant
dans le cadrevulgaire.
Sadémonstration,classique,
ne sera pas donnée.Remarquons
que si n et k ne sont pastrop grands,
ce dernier théorème
permet
d’obtenirsimplement
la k-fermeture d’une relation floue. En
effet,
ilsuffit,
pour tout S d’effectif k-1 inclus dans E(il
y en a( n ) ),
de calculer la fermeture de R k-1 restreint à E - S en utilisantl’algorithme présenté
au
paragraphe
2.1 et d’étendre la fermeture ainsi obtenue enprenant
en tous lescouples
où elle n’estpas
définie
la fonctiond’appartenance égale
àrelation
cherchée
est l’intersection des relations ainsi obtenues.Citons
quelques
chiffres pour fixer lesidées ;
lestemps indiqués
sontuniquement
lestemps
decalcul ;
l’ordinateur est un IBM370/158.
Pourk =
1,
la fermeture s’obtint en0,1 - 1,0 - 3,5 - 8,2
secondes pour n = 10 - 20 - 30 - 40. Pour k = 2, letemps
semble en moyennemultiplié
par n. Ici lafermeture 2-transitive s’obtint en
0,8 - 16,0 - 101,0 -
320, 0
secondes avec les mêmes effectifs. Cestemps
dépendent
évidemment de la structure de la relation dedépart
’ R. Ils ont été obtenus sur des donnéesgénérées
aléatoirement(distribuées
uniformément sur[0,100~).
Remarquons
enfin quelorsque
n et k sontélevés,
les fermetures k-transitives
risquent
souventd’être
des structures peu "lisibles" et par
conséquent
peu utiles.Un
exemple
ne nuira certainement pas à labonne compréhension
de nos résultats.4. EXEMPLE
Soit R 1.11% une relation floue
présentée
sous formematricielle comme suit :
. 1
R
peut
sedécomposer
en une suite de relations emboîtées dont lafigure
suivante donne unereprésentation graphique.
Figure
3.Décomposition
de~.
La relation
R 2 peut
sereprésenter
par la matrice suivante :. ,
R 2
estdéjà
transitif ; la fonctiond’appartenance
de R est donc la même que celle de
R
:R - R 2
La fermeture transitive R ainsi obtenue
peut
sedécomposer
en une suite de relations transitivesemboîtées,
relationsqui
sont les fermetures des relationscorrespondantes (de
mêmeniveau)
de R.En voici une
représentation graphique.
Figure
4.Décomposition de R
Cette fermeture
peut
aussi s’obtenir au moyen del’opérateur
T :R
peut
aussi êtreapproché
par unpréordre inférieur
maximal. Permutons les
lignes
et colonnes de la matricereprésentative
de R de manière à satisfaire à la relation donnée à la fin duparagraphe
2.La matrice devient :
codifions cette matrice
ligne
parligne
commeprescrit
dansl’algorithme.
Lapremière ligne
reste
inchangée.
Modifions la seconde en entourant les éléments de la matricequi changent.
Modifions la troisième
ligne.
On voit immédiatement que l’on
peut
arrêter ici, laquatrième ligne
nepouvant
être modifiée.Le
préordre
1L trouvépeut
sereprésenter graphiquement
comme suite de
préordres
emboîtés.Figure
5.Décomposition
dek.
Recherchons
maintenant la
fermeture 2-transitive detype
3. Pour ce faire, onpeut
parexemple appliquer
le dernier théorème énoncé dans leparagraphe
3 et construire les relationsQ .
Le résultatpeut
sereprésenter graphi-
S -S
quement
comme suit : ,Figure
6.Décomposition
Sous forme
matricielle, R
sereprésente
comme suit :R
est3-transitif,
parconséquent R - R .
.3
"
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