TP n°2 : Formule de conjugaison Lu sur un forum, posté par Cinemaddict :

TP n°2 : Formule de conjugaison

Lu sur un forum, posté par Cinemaddict :

« Je suis à la recherche d'une solution pour mon nouveau salon.

Ma femme souhaiterait supprimer la TV. Bon, ok...

Mais elle voudrait tout de même pouvoir regarder des films et série... Sans avoir de télé au mur.

Donc, je me suis dit, vidéo projecteur. Il ne faut pas d'appareil au mur, ou de truc comme ça.

La dimension de mon salon est de 4,5m.

J’ai le choix entre trois vidéoprojecteurs dont quelques caractéristiques sont décrites dans le tableau ci- dessous :

Vidéoprojecteur Distance focale f’ (mm) Distance entre la lentille et l’écran LCD (mm)

n°1 25 de 27 à 26 mm

n°2 80 de 81 mm à 82 mm

n°3 150 de 151 à 152mm

Lequel dois-je choisir ?

Quelle sera largeur approximative de l’image ? » Document : PRINCIPE d’un vidéoprojecteur

Cet appareil permet de projeter sur un mur une image agrandie d’un image lumineuse produite par une dalle LCD (à cristaux liquides).

La dalle LCD à l’intérieur du vidéoprojecteur de format 24mmx36mm, constitue l'objet lumineux.

L'objectif peut être assimilé à une lentille convergente (L) de centre optique O et de distance focale f'.

L’objet lumineux (dalle LCD) est centré sur l'axe optique de la lentille et située dans un plan perpendiculaire à celui-ci. On note A l'intersection de la dalle LCD avec l'axe optique.

Pour conseiller Cinemaddict, il faut établir la relation mathématique entre OA (position de l’objet par rapport à la lentille) et OA' (position de l’image par rapport à la lentille), appelée « formule de conjugaison ».

Pour cela, vous commencerez à mener l’étude qui suit.

Mur A’

B’

B A

Etude : formule de conjugaison Matériel :

- Banc d’optique muni d’un objet lumineux “F” et d’un écran - 1 lentille de vergence C = + 5 δ

- Le fichier “conjugaison” téléchargeable sur le site et à compléter Stratégie :

- On relève dans un tableur différentes valeurs du couple ( OA ; OA')

- A partir des mesures, on utilise une méthode graphique pour determiner la relation entre OA et OA'. 1. Résultats des mesures :

distance objet- écran

OA (m)

' OA

(m) X=

OA

1 Y=

' 1 OA 1,75 -1,52 0,23 -0,6578947 4,34782609 1,75 -0,23 1,52 -4,3478261 0,65789474

1,25 -1 0,25 -1 4

1,25 -0,25 1 -4 1

0,9 -0,6 0,3 -1,6666667 3,33333333 0,9 -0,3 0,6 -3,3333333 1,66666667

0,8 -0,4 0,4 -2,5 2,5

2. Méthode graphique :

On obtient une droite modélisée par la fonction affine du type : y = a.x + b où x correspond à

OA

1 y correspond à OA

1 a est le coefficient directeur de la droite obtenue b l’ordonnée à l’origine

L’expression de la fonction est : 1 5 '

1  

OA

OA ou encore : 1 5

'

1  

OA OA

On remarque que la valeur 5 correspond à la vergence de la lentille utilisée.

Conclusion : la formule de conjugaison valable pour une lentille mince est : C OA f

OA    ' 1 1 ' 1

Choix du vidéoprojecteur :

On connait 3 vidéoprojecteurs d’objectifs différents (3 distances focales différentes).

Pour chaque vidéoprojecteur, on a 2 valeurs de distance lentille objet OA. On peut donc calculer 6 valeurs de distances lentille image OA'.

On utilise la formule de conjugaison :

' 1 1 ' 1

OA f OA   D’où :

' 1 1 ' 1

OA f OA  

A.N. pour f’ = 25mm = 25x10^-3 m et OA= - 26 mm = - 26x10^-3 m 54

, 10 1 25

1 10

26 1 '

1

3

3 

 



  _{ }

OA '

OA = 0,65 m

On utilise le tableur pour réaliser les autres calculs : OA (m) f' (m)

' 1

OA OA' (m) -0,027 0,025 2,96296296 0,3375 -0,026 0,025 1,53846154 0,65 -0,082 0,08 0,30487805 3,28 -0,081 0,08 0,15432099 6,48 -0,151 0,15 0,04415011 22,65 -0,152 0,15 0,0877193 11,4

Seul le 2^ème vidéoprojecteur de focale 80mm permet d’obtenir une image assez grande pour une distance inférieure à 4,5m.

Taille de l’image :

On choisit de positionner le vidéoprojecteur de façon à ce que la distance objectif – mur soit OA'= 4,0m.

Calculons dans ces conditions la distances lentille – objet : A partir de la formule de conjugaison :

' 1 ' 1 1

OA f OA 

A.N. pour f’ = 80 mm = 80x10^-3 m et OA'= 4,0 m 25

, 10 12

80 1 0

, 4

1 ' 1

3 

 

 _

OA

OA = - 82x10^-3 m

En schématisant la situation :

Soit BC=36mm la largeur de la dalle LCD du vidéoprojecteur et B’C’ la largeur de son image sur le mur :

On applique Thalès dans les triangles BOC et B’OC’ :

OA OA BC

C B' ' '

D’où BC

OA C OA

B  ' '

' A.N. BC 36 10 1,8m

10 82

0 , ' 4

' ₃   ³ 



  _ ^

L’image aura une largeur de 1,8m et elle sera reversée par rapport à l’objet.

mur A’

B’

O B

A C

C’