E112. Divisibilités paradoxales
On considère la séquence (S) : 5,13, 29, 61, 125, 253, 509, 1021, …
1. Déterminer le terme général en fonction de l’entier n.
2. Combien y a-t-il de termes de (S) qui sont divisibles par le 1erterme 5 ? 3. divisibles par le 2èmeterme 13 ?
4. divisibles par le produit 65 de ces deux premiers termes ?
5. Mêmes questions si l’on considère le nombre de termes respectivement divisibles par 11, 37 et 407.
Source : Dominique Roux
Solution proposée par Patrick Gordon
1. Les écarts entre les termes consécutifs sont 8, 16, 32, c’est-à-dire les puissances de 2 à partir de 8.
Le terme général est donc un = 2n+2 – 3 (pour n=1, on retrouve bien 23– 3 = 5, etc.).
2. Dire que un = 2n+2 – 3 est divisible par 5, c'est dire que un = 2n+2 – 3 = 0 mod. 5, c’est-à- dire que 2n+2 = 3 mod. 5.
Les restes successifs de la division par 5 des puissances de 2 sont : 2 4 3 1 2 4 3 1…
Tous les termes un = 2n+2 – 3 avec n+2 = 4k + 3, c’est-à-dire n = 4k + 1 font l'affaire (ex. k = 1 donne 5; k = 5 donne 125, etc.).
À la question "combien y a-t-il de termes de (S) qui sont divisibles par le 1erterme 5 ?", la réponse est : "une infinité" en précisant : "1 sur 4, en commençant par le 1er".
3. Dire que un = 2n+2 – 3 est divisible par 13, c'est dire que 2n+2 = 3 mod. 13.
Les restes successifs de la division par 13 des puissances de 2 sont :
2 4 8 3 6 12 11 9 5 10 7 1 2 4 8 3
Tous les termes un = 2n+2 – 3 avec n+2 = 12k + 4, c’est-à-dire n = 12k + 2 font l'affaire (ex. k = 0 donne un = 13; k = 1 donne 65533, etc.).
À la question "combien y a-t-il de termes de (S) qui sont divisibles par le 2nd terme 13 ?", la réponse est : "une infinité" en précisant : "1 sur 12, en commençant par le 2ème".
4. Comme 5 et 13 sont premiers entre eux, pour qu'un nombre u
nsoit divisible par leur
produit 65, il faut et il suffit qu'il soit divisible par 5 et par 13.
Nous avons vu que u
nest divisible par 5 si
n = 4k + 1 et par 13 si n = 12k' + 2.Donc
u
nest divisible par 65 si
4k + 1 = 12k' + 2. Une manière simple de (tenter de) résoudre cette équation diophantienne est de l'écrire sous la forme :4 (k – 3k') = 1.
Ce qui montre qu'elle n'a pas de solution.
À la question "combien y a-t-il de termes de (S) qui sont divisibles par le produit 65 des deux premiers termes 5 et 13 ?", la réponse est : "aucun".
C'est là, en effet, un paradoxe propre à justifier le titre du problème.
5. Dire que un = 2n+2 – 3 est divisible par 11, c'est dire que 2n+2 = 3 mod. 11.
Les restes successifs de la division par 11 des puissances de 2 présentent une période de 10. La plus petite valeur de n+2 telle que 2n+2 = 3 mod. 11 est n+2 = 8, soit n = 6 (et l'on retrouve bien le 6ème terme ci-dessus, 253, qui est divisible par 11).
Tous les termes un = 2n+2 – 3 avec n+2 = 10k + 8, c’est-à-dire n = 10k +6 font l'affaire.
À la question "combien y a-t-il de termes de (S) qui sont divisibles par 11 ?", la réponse est :
"une infinité" en précisant : "1 sur 10, en commençant par le 6ème".
5bis Dire que un = 2n+2 – 3 est divisible par 37, c'est dire que 2n+2 = 3 mod. 37.
Les restes successifs de la division par 37 des puissances de 2 présentent une période de 36. La plus petite valeur de n+2 telle que 2n+2 = 3 mod. 37 est n+2 = 26.
Tous les termes un = 2n+2 – 3 avec n+2 = 36k + 26, c’est-à-dire n = 36k + 24 font l'affaire.
À la question "combien y a-t-il de termes de (S) qui sont divisibles par 37 ?", la réponse est :
"une infinité" en précisant : "1 sur 36, en commençant par le 24ème".
5ter
Comme 11 et 37 sont premiers entre eux, pour qu'un nombre u
nsoit divisible par leur produit 407, il faut et il suffit qu'il soit divisible par 11 et par 37.
Nous avons vu que u
nest divisible par 11 si
n = 10k +6 et par 37 si n = 36k' + 24.Donc
u
nest divisible par 407 si
10k +6 = 36k' + 24. Une manière simple de (tenter de) résoudre cette équation diophantienne est de l'écrire sous la forme : 2 (5k – 18k') = 18, c’est-à-dire aussi bien : 5k – 18k' = 9 ou, mieux encore : 5k = 9 (2k' + 1).Comme 9 ne divise pas 5, il divise k (lemme de Gauss). Donc k = 9j. Donc n = 10k + 6 = 90j + 6.
À la question "combien y a-t-il de termes de (S) qui sont divisibles par le produit 407 de 11 et 37 ?", la réponse est : "une infinité" en précisant : "1 sur 90, en commençant par le 6ème".
