RÉPUBLIQUE ALGÉRIENNE DÉMOCRATIQUE ET POPULAIRE MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA
RECHERCHE SCIENTIFIQUE
UNIVERSITÉ ABDELHAMID IBN BADIS-MOSTAGANEM FACULTÉ DES SCIENCES EXACTES ET DE L’INFORMATIQUE
DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES ET INFORMATIQUE
Mémoire de …n d’étude
Pour l’obtention du diplôme de Master en Mathématiques Cycle LMD
OP T ION : M odelisation; Contr ^ole et Optimisation Présenté par
Melle Abbassa Nadira
Soutenu le 26 Mai 2015 Intitul e
L’heuristique de Clarke & Wright
pour résoudre le problème de livraison de …oul
Devant le Jury
Hocine ABLAOUI Président MAA U. MOSTAGANEM
Rachid BELGACEM Examinateur MAA U. Chlef
Abdessamad AMIR Encadreur MCA U. MOSTAGANEM
Je dédie ce modeste travail
À ma très chère mère À mon très cher père À mon frère Mohamed Chérif
À ma petite sœur Senia À tous mes proches de la famille
ABBASSA et KAID OMAR
À toutes mes chères amies et mes collègues de l’Université de Mostaganem
À toutes les personnes que j’aime.
Nadira
Remerciements
Au terme de ce travail, je tiens à remercier vivement et avant tout notre grand Dieu le tout puissant et miséricordieux, qui m’a donné la volonté, la force et surtout la patience pour mener ce mémoire.
Il m’est agréable d’exprimer mes vifs remerciements et ma profonde gratitude à Mr AMIR Abdessamad, pour son encadrement, ses conseils et ses remarques constructives qui ont di-rectement contribué pour e¤ectuer ce travail.
Mes remerciements les plus respectueux s’adressent aux membres de jury, Mr ABLAOUI Hocine pour l’honneur qu’il m’a fait en acceptant d’être président de mon jury de ce mémoire, et Mr BELGACEM Rachid d’avoir accepté d’examiner mon mémoire et de faire partie de mon jury.
Ensuite, je présente mes remerciements à tous ceux qui ont contribué, directement ou indirectement à l’élaboration de ce travail.
Je remercie du fond du cœur mes parents, mon frère et ma sœur pour leur présence e¤ec-tive, leur soutien inconditionnel et leurs encouragements durant toutes les années d’études.
Finalement, merci à toutes mes amies, sans oublier dans mes remerciements tout mes enseignants qui ont contribué à ma formation.
Veuillez bien trouver ici le témoignage de ma profonde estime.
Ce mémoire porte sur la résolution de problème de livraison de …oul avec une heuristique. Il s’agit d’un cas particulier du problème de tournées de véhicules. Il est modélisé comme un programme linéaire à variables mixtes : variables binaires et variables continues réelles. Comme la résolution exacte de ce type de problèmes ne donne pas en général satisfaction, nous proposons une méthode approchée pour résoudre le problème de livraison de …oul, c’est l’heuristique de Clarke & Wright. Cette heuristique est également testée sur quelques instances réelles.
Mots clés : Optimisation combinatoire, Problèmes de tournées de véhicules, Problème de livraison de …oul, Heuristique de Clarke & Wright.
Table des matières
Remerciements 3
Introduction 6
1 Problème de voyageur de commerce 7
1.1 Introduction . . . 7
1.2 Formulation du problème . . . 7
1.3 Méthodes de résolution . . . 10
1.3.1 Méthodes exactes . . . 10
2 Le problème de tournées de véhicules 13 2.1 Introduction . . . 13
2.2 Formulation mathématique du VRP . . . 13
2.3 Variantes du VRP . . . 16
2.4 Les méthodes de résolution . . . 17
3 Heuristique de Clarke et Wright 18 3.1 Présentation de la méthode . . . 18 3.1.1 Version séquentielle . . . 20 3.1.2 Version parallèle . . . 21 3.1.3 Exemple illustratif . . . 21 3.2 Résultats numériques . . . 24 3.2.1 Instances et implémentation . . . 24 3.2.2 Résultats . . . 25
4 Problème de livraison de …oul 27 4.1 Introduction . . . 27
4.2 Modélisation . . . 27
4.3 Exemple . . . 29
4.4 Application de l’heuristique de Clarke et Wright au problème de livraison de …oul . . . 30
Conclusion 32
Bibliographie 33
Depuis le début de la seconde moitié du 20eme siècle, des spécialistes de la recherche
opérationnelle se sont penchés sur la résolution des problèmes de transport routier qui se trouvent au cœur des problématiques de la logistique. Avant de parvenir au consommateur …nal, un produit parcourt, en général, des centaines voire des milliers de kilomètres par voie terrestre. Dans le monde de l’industrie où le transport se révèle incontournable, le problème de tournées de véhicules (VRP) a été le sujet d’une recherche intensive durant plus de cinquante ans, lié à son importance dans le domaine de la logistique. Un exemple du VRP est abordé dans ce mémoire, il s’agit du problème de livraison de …oul qui consiste à déterminer une séquence optimale des itinéraires des camions-citernes a…n de satisfaire la demande des clients.
Par sa formulation, le VRP est dans la classe des problèmes NP-di¢ ciles. Ainsi, les mé-thodes exactes se limitent à la nature combinatoire de ces problèmes, rendant la résolution des problèmes réels di¢ ciles par les temps de résolution prohibitifs, donc on a recours aux méthodes heuristiques. Les heuristiques sont des méthodes approchées, souvent basées sur le bon sens ou sur des observations empiriques, qui permettent d’obtenir des solutions réali-sables. La contribution de ce mémoire est de proposer une des heuristiques la plus utilisées, pour résoudre le VRP et ainsi le problème de livraison de …oul, cette heuristique porte le nom de Clarke & Wright.
Le manuscrit est répartit en quatre chapitres. Le premier chapitre décrit le problème de voyageur de commerce nécessaire pour une bonne compréhension de la suite. Le deuxième chapitre se focalise sur le problème de tournées de véhicules, ce problème est formulé à l’aide d’un modèle mathématique à variables binaires, et un autre modèle à variables mixtes. Quelques variantes de VRP seront décrites. Le troisième chapitre est consacré à l’étude de l’heuristique de Clarke & Wright. On a présenté son principe et ses di¤érents modes. Les di¤érentes versions de cette heuristique ont été implémentées sous Matlab. Le dernier chapitre est dédié à décrire le problème de livraison de …oul. Nous avons appliqué l’heuristique de Clarke & Wright abordée au troisième chapitre pour résoudre un exemple réel de livraison de …oul posé dans la région de Donges dans le nord ouest de la France. On clôture ce travail par une conclusion, qui présente une synthèse des travaux réalisés et propose des perspectives de recherches futures, et une bibliographie.
Chapitre 1
Problème de voyageur de commerce
1.1
Introduction
Le problème du voyageur de commerce ("traveling salesman problem" TSP) nait d’une problématique vécue par des vendeurs ou commerciaux qui se déplacent pour livrer ou ren-contrer leurs clients. C’est l’un des problèmes le plus étudié dans l’optimisation combina-toire (programme linéaire discret "à variables entières" binaires "0 ou 1") qui consiste à la recherche d’un trajet minimal permettant à un voyageur de visiter n villes séparées par distances données en passant par chaque ville exactement une fois. Il commence par une ville quelconque et termine en retournant à la ville de départ. Quel chemin faut-il choisir a…n de minimiser la distance parcourue ?
La notion de distance peut-être remplacée par d’autres notions comme le temps qu’il met ou l’argent qu’il dépense. En général, on cherche à minimiser le coût. Théoriquement, le TSP peut se représenter sous forme d’un graphe G = (V; E) où V est l’ensemble de n sommets (les villes) V = f1; 2; :::; ng et E est l’ensemble des arêtes ou arcs E = f(i; j); i 6= j; i; j 2 V g, chaque arête a un poids cij (le coût) avec cii =1; i = 1; :::; n ( A…n d’éviter les sous-tours
d’ordre 1 "xii = 1"). Le problème est de trouver un circuit qui passe par tous les sommets
une et une seule fois avec un coût minimal. On distingue deux types de TSP ; symétrique (cij = cji)et asymétrique (cij 6= cji), ici, uniquement le cas symétrique est considéré.
1.2
Formulation du problème
Un programme linéaire (linear programming "LP ") en variables continues est formulé
(LP ) 8 < : min ctx Ax b x 0 , avec A 2 Rm n , le second membre b 2 Rm 1 et c 2 Rn 1:
Lorsque toutes les variables doivent être entières, le problème résultant noté (ILP ) (in-teger linear programming) est le problème général de la programmation linéaire en variables entières (ILP ) 8 < : min ctx Ax b x2 Nn . 7
Si les variables x 2 f0; 1gn, on dit qu’on a un programme linéaire en variables binaires (BIP ) (binary integer programming)
(BIP ) 8 < : min ctx Ax b x2 f0; 1gn .
Si une partie seulement des variables doit être entière, le problème résultant est un problème de programmation mixte en variables entières et variables réelles, noté (M ILP ) ("mixed integer linear programming"). En séparant les deux types de variables dans la fonction objectif et les contraintes, un M ILP se formule :
(M ILP ) 8 < : min(ct 1x + ct2y) A1x + A2y b x2 Np; y 2 Rn p+ ,
où A1 2 Rm p, A2 2 Rm (n p), c1 2 Rp 1, c2 2 R(n p) 1 et le second membre b 2 Rm 1.
Le TSP peut se modéliser comme un (BIP ). En e¤et, étant donnée n villes, notons C = (cij)la matrice des coûts et xij les variables de décision dé…nies par
xij =
1 si le voyageur va immédiatement de la ville i vers la ville j
0 sinon .
La formulation mathématique est
n X i=1 n X j=1 cijxij (1.1) n X j=1 xij = 1 i = 1; :::; n (1.2) n X i=1 xij = 1 j = 1; :::; n (1.3) X i2S X j2S xij 1; S V; 2 jSj n 2 (1.4) xij 2 f0; 1g i; j = 1:::n; i 6= j. (1.5)
Dans cette formulation, la relation (1.1) décrit la fonction objectif. Les contraintes (1.2) et (1.3) s’appellent les contraintes de degré qui assurent qu’une ville n’est visitée qu’une seule fois : on y arrive une et une seule fois (1.2), on en part une et une seule fois (1.3), ces contraintes ne sont pas su¢ santes pour décrire les tours (voir …gure (1.6)), d’où la nécessité d’introduire Les contraintes (1.4) appelées contraintes d’élimination des sous-tours, avec S un sous ensemble de V et S son complémentaire dans V , jSj est le cardinal de S. En…n, les contraintes (1.5) sont les contraintes d’intégrité de variables.
1 2
3 5 6
4
1.2. FORMULATION DU PROBLÈME 9
Une autre formulation des contraintes (1.4) peut être donnée par la relation suivante X
i;j2S
xij jSj 1; S V; 2 jSj n 2. (1.7)
Cette formulation de TSP contient n(n 1) variables binaires, 2n contraintes de degré et 2n 2n 2contraintes d’élimination de sous-tours.
De nombreuses variantes de ce problème existent, entre-autres le problème de voyageurs de commerce multiples ([1]), également connu sous le nom de multiple Traveling Salesman Problem (mTSP). Le mTSP consiste en une généralisation du TSP. Dans cette version, un nombre m de voyageurs sont à l’origine localisés à la ville (dépôt) de départ. L’objectif est de calculer le nombre m de tournées au départ du dépôt qui visitent une seule fois les villes (nœuds) et qui se terminent à la ville de départ. La somme des coûts des tournées obtenues doit être minimale. Le mTSP s’est révélé assez proche d’autres variantes de problèmes de routage. En particulier, l’addition de quelques contraintes supplémentaires permet de le transformer en un pur problème de tournées de véhicules ou Vehicle Routing Problem (VRP) (chapitre 2). Pour cela, on peut, par exemple, considérer que les voyageurs sont des véhicules de capacité limitée, ce qui donne un problème de VRP avec contraintes de capacité ou Capacitated VRP (CVRP). Etant donnée sa proximité au VRP, la résolution du mTSP a été utilisée par certains auteurs (Laporte. [10]) dans le cadre d’une approche hiérarchique pour la résolution de problèmes de VRP beaucoup plus complexes. La formulation de mTSP
n X i=1 n X j=1 cijxij (1.8) n X i=1 xi1 = m (1.9) n X j=1 x1j = m (1.10) n X j=1 xij = 1 i = 2; :::; n (1.11) n X i=1 xij = 1 j = 2; :::; n (1.12) X i;j2S xij jSj 1; S Vn f1g ; 2 jSj n 2 (1.13) xij 2 f0; 1g i; j = 1:::n; i 6= j. (1.14)
Les contraintes (1.9) et (1.10) imposent que les m voyageurs partent de et retournent au nœud 1 (dépôt). Les contraintes (1.11) et (1.12) sont les contraintes de degré, les contraintes (1.14) d’intégrité. En…n, les contraintes (1.13) sont les contraintes d’éliminations des sous-tours.
1.3
Méthodes de résolution
Il existe trois grandes catégories de méthodes de résolution des problèmes (BIP ) : les méthodes exactes, les méthodes heuristiques et les méthodes métaheuristiques.
Les méthodes exactes permettent d’obtenir une solution optimale à chaque fois, mais leurs durées de calcul tendent à augmenter exponentiellement avec la taille du problème. A l’inverse, les méthodes heuristiques sont des méthodes spéci…ques, permettant d’obtenir rapidement une solution approchée de bonne qualité, mais qui n’est donc pas nécessairement optimale. Les plus utilisées sont celles du "plus proche voisin", et les "méthodes d’insertion". Les méthodes métaheuristiques ([16]) sont des algorithmes d’optimisation généralement de type stochastique combinant plusieurs approches heuristiques. Les métaheuristiques sont souvent inspirées par des systèmes naturels, qu’ils soient pris en physique (cas du recuit simulé), en biologie de l’évolution (cas des algorithmes génétiques) ou encore en éthologie (cas des algorithmes de colonies de fourmis), ce type de méthodes ne sera pas abordé dans ce mémoire.
Nous donnerons un exemple des méthodes heuristiques ultérieurement au chapitre 3. A présent, nous donnons les grandes lignes de quelques méthodes exactes pour le TSP.
1.3.1
Méthodes exactes
Les méthodes exactes, procèdent par exploration intelligente des solutions a…n d’en trou-ver une de coût minimal.
Méthode Branch and Bound
L’une des méthodes exactes la plus utilisée pour le TSP est la procédure par Séparation et Evaluation (Branch and Bound). Ces méthodes sont basées sur une énumération "in-telligente" des solutions admissibles d’un problème d’optimisation combinatoire. L’idée, est de prouver l’optimalité d’une solution en partitionnant l’espace des solutions. L’algorithme consiste à :
-Séparation : séparer (brancher) de manière récursive le problème en sous-problèmes de cardinalité inférieure tels que l’union de leurs espaces de solutions forme l’espace des solutions du problème-père, le nœud séparé en priorité est celui qui produit la borne inférieure la plus faible. Un sous-ensemble qui ne peut être séparé est appelé ensemble sondé.
-Evaluation : déterminer une borne inférieure de chaque sous-problème.
gra-1.3. MÉTHODES DE RÉSOLUTION 11
phiquement par un arbre, où chaque nœud correspond à un sous-problème (1.15).
2 3 4 1 5 8 7 6 13 14 15 10 11 12 Premier niveau de séparation Deuxième niveau de séparation
Arbre de Branch and Bound
(1.15) La stratégie de cette méthode favorise l’exploration des sous-problèmes possédant la plus petite borne inférieur. Elle dirige la recherche là où la probabilité de trouver une meilleure solution est la plus grande. Elle permet aussi d’éviter l’exploration de tous les sous-problèmes qui possèdent une évaluation supérieure à la valeur optimale ([2]).
Méthode de branchement et coupes
La méthode de coupes polyédrales (En anglais, Cutting plane) ([3], [5]) est basée sur l’idée de simpli…er la résolution d’un problème en relaxant certain de ses contraintes. Si la solution optimale du problème relaxé est une solution réalisable pour le problème original, alors elle est l’optimum recherché, sinon, il existe certainement des contraintes du problème initial qui sont violées par la solution courante. Il faut donc trouver un sous-ensemble de ces contraintes alors appelées coupes, puis les ajouter à la relaxation avant de la résoudre à nouveau. La procédure se poursuit jusqu’a ce que la solution obtenue soit réalisable pour le problème original. Soit le problème (LP ), en plus, certaines des variables sont spéci…ées comme entiers ou bien A contient un nombre important, par exemple exponentiel par rapport à n de contraintes. Choisissons tout d’abord un sous-ensemble A0x b0 de contraintes de Ax b tel qu’il existe une solution …nie x0 au problème relaxé. La procédure des coupes est :
Etape 1 : résoudre le nouveau problème et soit x0 sa solution.
Etape 2 : Trouver une ou plusieurs inégalités du problème original qui sont violées par x0.
Etape 3 : Si aucune n’est trouvée, arrêter. Sinon, ajouter les inégalités violant au nouveau problème et passer à l’étape 1.
Pour le TSP, on relaxe les contraintes d’intégrités et les contraintes d’élimination des sous-tours. Le problème relaxé résultant est :
n X i=1 n X j=1 cijxij n X j=1 xij = 1 i = 1; :::; n
n
X
i=1
xij = 1 j = 1; :::; n
0 xij 1 i; j = 1:::n; i6= j.
Une méthode de coupes seule peut ne fournir que des solutions fractionnaires pour un ILP (non réalisables), alors il est nécessaire de subdiviser l’espace de solution. L’algorithme de branchement et coupes (En anglais, “Branch and Cut”) est une méthode qui conjugue les e¤orts de l’algorithme du “Branch and Bound” et de la méthode des coupes polyédrales. Ainsi, pour résoudre un programme linéaire en nombres binaires, le “Branch and Cut”com-mence par résoudre une relaxation du problème, puis, on applique la méthode des coupes sur la solution trouvée. Si celle-ci n’arrive pas à obtenir une solution entière par exemple 0 < xij < 1, alors le problème est divisé en deux sous problèmes (xij = 0 et xij = 1) qui
Chapitre 2
Le problème de tournées de véhicules
2.1
Introduction
Le problème de tournées de véhicules (En anglais, Vehicle Routing Problem (VRP)) est une généralisation du TSP. On dispose de m véhicules (donc mT SP ) au dépôt a…n de sa-tisfaire les demandes de n clients. Ce problème n’est pas nouveau, la première formulation du problème est attribuée à Dantzig et Ramser (1954) sous le nom de "Truck Dispatching Problem" (problème d’expédition de camions). Plus généralement, on parlera de problème de tournées de véhicules avec capacité ( En anglais, Capacitated Vehicle Routing Problem (CVRP)). Concrètement, une ‡otte de m véhicules de capacité Q, basée au dépôt, doit ef-fectuer des tournées réalisables, c’est-à-dire quitter le dépôt, visiter une seule fois des clients dont la somme des demandes ne dépasse pas la capacité de véhicule, avant de retourner au dépôt. Chaque client doit être servi par un seul véhicule qui satisfait totalement sa demande. Le VRP ou le CVRP apparaît fréquemment dans des situations non liées à la livraison des marchandises, par exemple pour réaliser des tournées d’intervention (maintenance, répara-tion, contrôles, la collecte du courrier...) ou de visites (visites médicales, commerciales, etc.)
2.2
Formulation mathématique du VRP
Le but de cette section est de présenter certaines formulations de VRP qui sont nom-breuses et variées. Le problème de VRP ou CVRP peut être modélisé mathématiquement sous la forme d’un (BIP ) ou (M ILP ). Le CVRP consiste à déterminer m routes (tournées) telles que :
– Chaque véhicule commence sa tournée et se termine au dépôt ; – Exactement chaque client doit être visité une et une seule fois ;
– La demande totale de chaque route ne dépasse pas la capacité du véhicule ; 13
– Le coût total de voyage est minimisé.
forme de la solution de VRP (2.1)
Dans ce mémoire, on se concentre sur le cas où les véhicules ont une capacité identique (véhicules homogènes), c’est à dire
Qk = Q;8k = 1; : : : ; m: (2.2)
On peut déterminer une borne inférieure sur le nombre de véhicules nécessaires pour satisfaire les demandes des clients par la formule
m 2 6 6 6 6 6 n P i=2 qi Q 3 7 7 7 7 7 ;
où de est la partie entière supérieure.
Une des formulations de VRP les plus utilisées est une extension de la formulation du TSP. Les clients sont indexés par i = 2; : : : ; n et expriment chacun une demande qi. Le dépôt
est indexé par i = 1. Chacun des m véhicule a une capacité Q tels que
n
X
i=2
qi m Q: (2.3)
cij désigne les frais (le coût) de parcours de l’arc (i; j). Les variables de décision utilisées sont
ainsi dé…nies : xij =
1 si le client j est juste après le client i dans une tournée 0 sinon,
2.2. FORMULATION MATHÉMATIQUE DU VRP 15
Nous formulons le problème (VRP), où il sagit de minimiser la fonction objectif
min
n
X
i;j=1
cijxij, (2.4)
sous les contraintes
n X i=2 xij = 1 8j = 2; :::; n (2.5) n X j=2 xij = 1 8i = 2; :::; n (2.6) n X i=2 xi1 = m (2.7) n X i=2 x1i = m (2.8) X i;j2S xij jSj r(S); S Vn f1g ; 2 jSj n 2 (2.9) xij 2 f0; 1g ; i; j = 1; :::; n (2.10)
La relation (2.4) exprime la minimisation de la somme des coûts de toutes les tournées. Les contraintes (2.5) et (2.6) sont les contraintes de degré ; les contraintes (2.7) et (2.8) as-surent que les m véhicules quittent le dépôt, puis y retournent. Les contraintes (2.9) sont les contraintes d’élimination des sous-tours habituelles où r(S) est une borne inférieure appro-priée sur le nombre de véhicules nécessaires pour visiter tous les clients de S dans la solution optimale dé…nie par
r(S) = 2 6 6 6 P i2S qi Q 3 7 7 7.
En…n, les contraintes (2.10) sont des contraintes d’intégrité. Ce modèle est un (BIP ). Pour éliminer les sous-tours, on peut utiliser une autre formulation ([8], [9], [17]) qui comprend aussi des variables continues supplémentaires ui pour chaque i = 2; :::; n. Ces
variables représentent le cumul du véhicule après qu’il visite le client i.
qi ui Q (2.11)
Cette relation (2.11) exige que le cumul ui doit être supérieur (ou égal) à la demande qi et
ne dépasse pas la capacité Q.
ui uj + Qxij + (Q qi qj)xji Q qj; 8i; j = 2; :::; n; i 6= j; qi + qj Q (2.12)
La connectivité entre les clients sur une route est satisfaite par les contraintes (2.12), c’est à dire si le véhicule visite le client i avant le client j dans une tournée (xij = 1), alors les
contraintes (2.12) deviennent
si le client i est visité après le client j dans la même tournée (xji = 1), le cumul ui = uj+ qi
(ui uj + qi). Sinon, ces contraintes deviennent redondantes. Les contraintes (2.13), (2.14)
et (2.15) sont les contraintes d’élimination des sous-tours et de capacité,
ui Q (Q qi)x1i 8i = 2; :::; n (2.13)
ui qi+ (Q qi qi)xi1 8i = 2; :::; n (2.14)
x1i+ xi1 1 8i = 2; :::; n; qi+ qi Q, (2.15)
notez que les sous-tours isolés violent les contraintes d’élimination des sous-tours, si le client i est le premier dans une tournée (x1i = 1), le cumul ui = qi (ui qi et ui qi) par (2.13),
les contraintes (2.15) impliquent que xi1 = 0. Si le client i est le dernier dans une tournée
(xi1= 1), les contraintes (2.14) sont équivalentes à
ui Q qi,
où
qi = min j;j6=ifqjg ,
où le client j n’est pas encore a¤ecté dans une tournée. Cette contrainte signi…e qu’on ne peut pas ajouter un autre client dans cette tournée car les contraintes (2.11) vont être violées (le cumul va dépasser la capacité Q), dans les autres cas, ces contraintes sont redondantes.
ui 0 i = 2; :::; n: (2.16)
En…n, les contraintes (2.16) sont les contraintes de positivité. Le (VRP) devient
min
n
X
i;j=1
cijxij
sous les contraintes
(2.5), (2.6), (2.7), (2.8), (2.10), (2.11), (2.12), (2.13), (2.14), (2.15) et (2.16).
Cette formulation appartient à la classe des problèmes (M ILP ) (xij binaires et ui réelles
continues et positives).
2.3
Variantes du VRP
Le VRP de base est, avant tout, une version simpli…ée au regard de l’ensemble des problèmes de tournées de véhicules que l’on peut rencontrer dans la réalité. En e¤et, en fonction des contraintes à prendre en compte, plusieurs variantes du VRP ont été dé…nies en littérature. Un certain nombre de paramètres permettant de classi…er les problèmes de tournées sont principalement :
Distances entre les villes (distances symétriques, non symétriques, euclidiennes ou non euclidiennes) ; Nombre de dépôts (un seul dépôt, deux ou plusieurs dépôts) comme le pro-blème "MDVRP" (Multi-Depot Vehicle Routing Problem) ; Composition de la ‡otte (vé-hicules homogènes, vé(vé-hicules hétérogènes) ; Taille de la ‡otte (un seul véhicule, plus d’un
2.4. LES MÉTHODES DE RÉSOLUTION 17
véhicule) ; Nature des demandes (déterministe, stochastique) ; Longueur des tournées (res-treinte comme le problème "DCVRP" (Distance-Constrained Vehicle Routing Problem) ou non restreinte) ; Durée des tournées (restreinte, non restreinte) ;Nombre de livraisons/visites à un client (unique, multiple) ; Les horaires de livraisons sont non dé…nis, dé…nis de manière précise (rendez-vous), dé…nis dans des intervalles horaires souples (soft time windows), dé…nis dans des intervalles horaires rigides (hard time windows) : parmi les variantes de ces para-mètres, le VRP avec fenêtres de temps "VRPTW" (Vehicle Routing Problem with Time Windows) ; Nombre de tournées admises par véhicule (unique, multiple) ; Calcul des coûts de transport (fonction de la distance, fonction du temps, fonction du nombre de véhicules) ; Répartition des charges dans les véhicules (compartiment unique, multi-compartiments où les charges doivent être séparées dans un même véhicule comme la variante "MC-VRP" (Multi-Compartment Vehicle Routing Problem)) ; Opérations de collectes (collectes et li-vraisons simultanées chez les clients, soit collecte soit livraison chez un client), parmi les variantes le problème "VRPB" qui inclut, outre des livraisons, des collectes dans les tour-nées de livraisons (Vehicle Routing Problem with Backhauls).
2.4
Les méthodes de résolution
Dans le cadre d’une démarche de résolution des problèmes de VRP, plusieurs méthodes ont été développées dans la littérature. Comme le VRP est un BIP (ou M ILP ), ces méthodes ont été classées en trois grandes familles : les méthodes exactes, les méthodes heuristiques et les métaheuristiques.
Les méthodes approchées (heuristiques), quoique fournissent généralement des solutions non optimales, ne cessent d’être améliorées tant en qualité de solution qu’en temps de calculs. Dans le chapitre suivant, nous verrons une des plus célèbre heuristique appliquée au VRP.
Heuristique de Clarke et Wright
3.1
Présentation de la méthode
Les méthodes heuristiques ont pour but de produire des solutions réalisables de bonne qualité pour des problèmes NP-di¢ ciles (Il n’existe pas jusqu’à ce jour un algorithme po-lynomiale qui résout ce problème). Leurs durées de calcul sont souvent très inférieures à celles des méthodes exactes, ce qui les rendent attractives pour la résolution des problèmes réels. L’e¢ cacité de tels algorithmes est jugée en comparant le temps de calcul ainsi que la valeur de la solution obtenue avec la meilleure solution connue ou une borne inférieure. L’algorithme des "savings" de Clarke & Wright est sans aucun doute, une des heuristiques les plus connues pour le VRP.
En 1964, Clarke et Wright ([4]) ont développé une heuristique pour résoudre le CVRP dans laquelle le nombre de véhicules est libre. Cette heuristique est connue sous le nom "des distances sauvées". Le principe de cette méthode est de commencer par dédier une tournée à chaque client de façon à le relier à l’unique dépôt ([6], [11]). Le résultat donne une solution initiale triviale ayant une allure de marguerite (voir la …gure 3.1)
Marguerite de depart
(3.1) Ensuite, le but est de fusionner les tournées obtenues a…n de réduire le coût de la solution courante, on e¤ectue successivement les fusions réalisables (compatibles avec les capacités et la disponibilité des véhicules) et de gain maximal, jusqu’à ce qu’on n’en trouve plus ou que le nombre de tournées désiré soit atteint. Les fusions sont appliquées en commençant par
3.1. PRÉSENTATION DE LA MÉTHODE 19
celles qui produisent les réductions de coût les plus importantes.
Fusions successives des tournees
(3.2) L’algorithme de Clarke & Wright est un algorithme « d’échange» dans le sens où à chaque étape une série de visites est échangée pour un meilleur ensemble de visites. Initialement, nous supposons que tous les deux clients i et j sont visités individuellement par deux vehicules.
(3.3) Le concept des distances sauvées de base est exprimé par les économies des coûts obtenues quand la fusion de deux tournées dans une seule tournée est e¤ectuée, comme illustré dans la …gure ci-dessous
Les clients i et j sont lies
(3.4) Dans la …gure (3.3), les clients i et j sont desservis par deux tournées séparées (1; i; 1) et (1; j; 1). Dans un tel cas, le coût total du transport sera
D1 = c1i+ ci1+ c1j+ cj1
= 2(c1i+ c1j),
où 1 représente le dépôt, cij est le coût de transport entre i et j et c1j = cj1(Nous considérons
ici que le cas symétrique).
D’une manière équivalente, le coût de transport D2de la route (1; i; j; 1) de la …gure (3.4)
est :
En combinant les deux trajets, on obtient le "saving" Sij :
Sij = D1 D2 = c1i+ c1j cij. (3.5)
Pour chaque paire possible de clients i et j, il y a un correspondant "saving" (distance sauvée) Sij. Encore une fois, cette distance peut être positive, négative ou nulle ([12], [21]).
Si les distances satisfont l’inégalité triangulaire qui signi…e cik+ ckj cij,
alors Sij 0. Pour n villes (1 se réfère au dépôt), on a Cn 12 valeurs de Sij avec i = 2; :::; n 1,
j = 3; :::; n, i < j, dans le cas symétrique.
Dans la première étape de l’algorithme du "saving", les distances (Sij) pour toutes les
paires de clients sont calculées, une liste de savings est obtenue, ensuite, trier les distances en ordre décroissant. En partant du haut de la liste, nous relions les clients i et j sur une seule tournée où Sij représente le "saving" maximal courant et les conditions suivantes sont
satisfaites :
1. Les clients i et j ne sont pas déjà sur le même parcours de véhicule ; 2. ni i ni j sont dans un tour existant ;
3. la capacité des véhicules n’est pas dépassée.
Lorsque toutes les contraintes sont véri…ées (capacités, sous-tours, ...), la fusion est e¤ec-tuée. L’algorithme considère alors le "saving" qui suit. Nous continuons de la même manière jusqu’à ce qu’aucune autre liaison entre les clients ne puisse être faite qui réduit le coût total. Le coût total zhcw véri…e la relation suivante en notant par dts, la distance totale sauvée
zhcw = 2 n
X
i=2
c1i dts. (3.6)
Il existe deux versions d’implémentation de l’algorithme de Clarke & Wright : la version parallèle et la version séquentielle.
3.1.1
Version séquentielle
Dans la version séquentielle, exactement une route est construite à un moment. Lorsque cette dernière (route) ne peut plus être agrandie à cause des contraintes, une nouvelle route est crée, il faut recommencer à partir du haut de la liste puisque les combinaisons qui n’étaient pas admissibles jusqu’à maintenant peuvent devenir admissibles.
Algorithm 3.1 Etape 1 : Calculer les savings Sij = c1i+ c1j cij pour toutes les paires de
clients i et j
Etape 2 : Classer les savings dans l’ordre décroissant
Etape 3 : En partant du haut de la liste, procéder comme suit :
Etape 4 : Trouver la première liaison réalisable dans la liste, qui peut être utilisée pour étendre l’une des deux extrémités de la voie actuellement construite.
Etape 5 : Si la route ne peut pas être étendue plus loin, mettre …n à la route. Choisissez la première liaison possible dans la liste pour commencer un nouvel itinéraire.
Etape 6 : Répéter les étapes 4 et 5 jusqu’à ce que plus aucune liaison ne puisse être choisie.
3.1. PRÉSENTATION DE LA MÉTHODE 21
3.1.2
Version parallèle
Dans la version parallèle, plusieurs routes peuvent être construites en parallèle, elle ne nécessite qu’un seul passage dans la liste. L’algorithme considère alors le plus grand "saving" disponible et regarde si les deux clients i et j ne sont pas encore a¤ectés, alors une nouvelle tournée est considérée en fusionnant les deux routes (1; i; 1) et (1; j; 1) tout en respectant les contraintes.
Algorithm 3.2 Etape 1 : Calculer les savings Sij = c1i+ c1j cij pour toutes les paires de
clients i et j
Etape 2 : Classer les savings dans l’ordre décroissant
Etape 3 : En partant du haut de la liste, procéder comme suit :
Etape 4 : Si la réalisation d’une liaison donnée en résulte une voie possible selon les contraintes de VRP, ajoutez cette liaison à la solution ; sinon, rejeter la liaison.
Etape 5 : Essayez la liaison suivante dans la liste et répéter l’étape 4 jusqu’à ce que plus aucune liaison ne puisse être choisie.
Les solutions avec un nombre …xe de véhicules ([10]) (c’est à dire le nombre de tournée est imposé) peuvent être obtenues en répétant l’étape 4 pour les deux versions jusqu’à ce que le nombre requis de routes (véhicules) soit atteint, même si les "savings" deviennent négatifs. La façon dont fonctionne l’algorithme est illustrée dans ce qui suit au moyen d’un exemple numérique.
3.1.3
Exemple illustratif
Nous considérons un problème avec cinq clients ([13]). Les coûts de transport entre toutes les paires de points sont présentés dans le tableau suivant, où 1 représente le dépôt.
1 2 3 4 5 6 1 28 31 20 25 34 2 21 29 26 20 3 38 20 32 4 30 27 5 25 6 (3.7)
Les demandes des clients qui doivent être livrés à partir du dépôt sont données dans le tableau (3.8). La capacité du véhicule est de 100 unités.
Client Quantité 2 37 3 35 4 30 5 25 6 32 (3.8)
Les "savings" Sij sont calculés, seule la moitié supérieure du tableau est indiquée, car les
"savings" sont symétriques en raison des coûts symétriques :
j i 2 3 4 5 6 2 38 19 27 42 3 13 36 33 4 15 27 5 34 6 (3.9)
Maintenant, les "savings" sont triés dans l’ordre décroissant. Cela donne la liste triée suivante des paires de points :
2 6 2 3 3 5 5 6 3 6 2 5 4 6 2 4 4 5 3 4 Version séquentielle
Dans l’exemple, les clients 2 et 6 sont considérés en premier. Ils peuvent être a¤ectés à la même route puisque leur demande conjointe de 69 unités ne dépasse pas la capacité du véhicule. Maintenant, nous établissons la connexion 2 6, et les points 2 et 6 ainsi seront voisins sur une route dans la solution …nale.
Ensuite, nous considérons les clients 2 et 3. Si les clients 2 et 3 devraient être voisins sur une route, cela nécessiterait la séquence à la clientèle 3 2 6 (ou 6 2 3) sur une route, parce que nous avons déjà établi que 2 et 6 doit être visité en succession immédiate sur la même route. La demande totale (104) sur cette route serait dépasser la capacité du véhicule (100). Par conséquent, les clients 2 et 3 ne sont pas reliés.
Si les points 3 et 5, ce qui est la paire suivante dans la liste, ont été reliés à ce stade, nous serions construisons plus d’une route (2 6 et 3 5). Puisque la version séquentielle de l’algorithme se limite à une seule voie à la fois, on fait abstraction de la paire de points 3 et 5.
La combinaison de la paire de points 5 et 6, les résultats dans le trajet 2 6 5 avec une demande totale de 94. Cette combinaison est possible, et on établit la liaison entre 5 et 6 en tant que partie de la solution. En parcourant la liste, nous trouvons que, en raison de la restriction des capacités pas plus de points peuvent être ajoutés à l’itinéraire. Ainsi nous avons formé la route 1 2 6 5 1. Dans le passage suivant de la liste des "savings" nous ne trouvons que la paire de points 3 et 4. Ces deux points peuvent être visités sur la même
3.1. PRÉSENTATION DE LA MÉTHODE 23
route, et nous faisons le trajet 1 3 4 1.
S=0 S=42 S=76 S=89 2-6 5-6 3-4 (3.10) L’algorithme séquentiel a construit une solution avec deux routes. Les coûts de transport pour la route 1 2 6 5 1sont 98, et pour la route 1 3 4 1les coûts de transport sont 89. Les coûts totaux de transport sont donc 187.
La distance totale sauvée dts par cette version est 89. Alors, on peut obtenir les coûts totaux de transport par la relation (3.6)
2 6 X i=2 c1i dts = 276 89 = 187: Version parallèle
Dans la version parallèle 2 et 6 sont également combinés en premier. Comme la version parallèle peut construire plus d’une voie à la fois, les points 3 et 5 sont également combinés. En…n, les points 4 et 6 sont combinés. De cette façon, l’algorithme construit les routes 1 2 6 4 1avec coût 95 et 1 3 5 1et coût de 76 avec les frais de transport totaux s’élevant à 171. S=0 S=42 S=78 S=105 2-6 3-5 4-6 (3.11) La distance totale sauvée dts par cette version est 105. Alors on peut obtenir les coûts totaux de transport par la relation (3.6)
2 6 X i=2 c1i dts = 276 105 = 171:
Il est à noter que l’algorithme parallèle donne souvent de meilleurs résultats que l’algo-rithme séquentiel. Cependant, l’algol’algo-rithme parallèle peut également impliquer plus de calcul dans le cadre de la gestion de plusieurs voies en même temps.
3.2
Résultats numériques
3.2.1
Instances et implémentation
L’algorithme de Clarke & Wright est codé en Matlab et exécuté sur un PC disposant d’un processeur Intel Core i3 avec une fréquence de 2.4 GHz et une mémoire vive de 4 Go tournant sous Microsoft Windows 7, et il est testé sur quelques instances de TSPLIB ([18], [19], [20]). Les instances sont des donnés de problèmes réels dont on connait la solution optimale ou une borne supérieure. En vue de réaliser des tests numériques, nous avons utilisé quelques instances pour le CVRP [22], dans le tableau (3.12), on a cité quelques instances de taille di¤érentes entre 7 et 256. La colonne "inst" indique le nom de l’instance, la deuxième présente les noms des auteurs de l’instance. La colonne "best val" indique la meilleure valeur connue de l’objectif. Les colonnes "dim", "nbr veh" et "Q" présentent la dimension du problème (le nombre de clients plus le dépôt), le nombre minimal des véhicules et leur capacité. La dernière colonne "type dis" précise le type de poids de chaque arête (la distance) : s’il est explicite (matrice des coûts), ou chaque sommet (client) est dé…nit par ces coordonnés euclidiens "Euc_2D", et les distances (cij) sont calculées en utilisant une norme
euclidienne. Toutes les distances des instances de type "Euc_2D" sont arrondies, sauf celles de l’instance E n256 k14.
inst Auteurs best val dim nbr veh Q type dis
A n33 k5 Augerat et Al 661 33 5 100 Euc_2D A n45 k7 Augerat et Al 1146 45 7 100 Euc_2D A n60 k9 Augerat et Al 1354 60 9 100 Euc_2D A n80 k10 Augerat et Al 1763 80 10 100 Euc_2D E n7 k2 Eilon et Al 114 7 2 3 explicite E n13 k4 Eilon et Al 290 13 4 6000 explicite
E n22 k4 Christophides et Eilon 375 22 4 6000 Euc_2D
E n33 k4 Christophides et Eilon 835 33 4 8000 Euc_2D
E n51 k5 Christophides et Eilon 521 51 5 160 Euc_2D
E n76 k7 Christophides et Eilon 683 76 7 220 Euc_2D
E n76 k8 Christophides et Eilon 735 76 8 180 Euc_2D
E n76 k10 Christophides et Eilon 847 76 10 140 Euc_2D
E n76 k14 Christophides et Eilon 1032 76 14 100 Euc_2D
E n101 k8 Christophides et Eilon 825 101 8 200 Euc_2D
E n101 k14 Christophides et Eilon 1077 101 14 112 Euc_2D
E n256 k14 Golden et Al 587:092 256 14 1000 Euc_2D F n45 k4 Fisher 724 45 4 2010 Euc_2D F n72 k4 Fisher 238 72 4 30000 Euc_2D F n135 k7 Fisher 1165 135 7 2210 Euc_2D gr17 Grotschel 2685 17 3 6 explicite (3.12)
3.2. RÉSULTATS NUMÉRIQUES 25
On a testé les deux versions "parallèle et séquentielle" pour les deux cas de l’heuristique de Clarke & Wright : le premier, le nombre minimal de véhicules nécessaires (qui est aussi le "nbr veh" dans la tableau (3.12)) est imposé et non imposé dans le second cas.
3.2.2
Résultats
Les résultats fournis par notre code pour le premier cas sont illustrés dans le tableau suivant :
inst nombre de véhicules imposé best
sol par temps sol séq temps val
A n33 k5 696 0:047 864 0:0512 661 A n45 k7 1236 0:0723 1352 0:0813 1146 A n60 k9 1363 0:1136 1607 0:1545 1354 A n80 k10 1851 0:2554 2059 0:2898 1764 E n7 k2 119 0:0292 119 0:0272 114 E n13 k4 290 0:0309 290 0:0291 290 E n22 k4 387 0:0349 458 0:0291 375 E n33 k4 942 0:0479 954 0:0465 835 E n51 k5 595 0:0807 733 0:0905 521 E n76 k7 766 0:1993 933 0:2279 683 E n76 k8 824 0:1962 986 0:2440 735 E n76 k10 939 (68) 0:2116 1013 (68) 0:2636 847 E n76 k14 1067 (76) 0:2218 1190 (7; 76) 0:3122 1032 E n101 k8 948 0:442 1086 0:5362 825 E n101 k14 1112 0:4376 1364 0:6545 1077 E n256 k14 620:73 (2) 14:7427 854:1473 14:6755 587:092 F n45 k4 842 0:0649 1328 0:0666 724 F n72 k4 369 (12) 0:1638 738 0:1659 238 F n135 k7 1713 (104) 1:2481 2059 1:6508 1165 gr17 2685 0:0311 2769 0:0307 2685 (3.13)
Dans le tableau 3.13, la colonne intitulée "sol par" donnent les solutions de la version pa-rallèle, et "sol seq" donnent les solutions de la version séquentielle. Les solutions marquées avec ( ) sont non réalisables, par exemple, la solution "939 (68)" de l’instance E n76 k10 signi…e que le client (nœud) 68 n’est pas a¤ectés à une tournée parmi les 10 tournées (il est a¤ecté dans une tournée tout seule) ; on remarque que les solutions obtenues par notre code sont approchées de celles de [22], sauf quelques unes, qui ne sont pas réalisables, on remarque aussi que les solutions de la version séquentielle pour les instances de Fisher sont éloignées un petit peu. Il est aussi à noter que le temps CPU est très petit. Pour le deuxième cas, voici
le tableau 3.14 où, la colonne "nbr tour" représente le nombre de tournées réalisées.
inst nombre de véhicules non imposé best
sol par temps nbr tour sol seq temps nbr tour val
A n33 k5 696 0:0384 5 864 0:0585 5 661 A n45 k7 1251 0:0543 8 1352 0:1091 7 1146 A n60 k9 1375 0:0918 10 1607 0:2032 9 1354 A n80 k10 1851 0:19 10 2059 0:4371 10 1764 E n7 k2 119 0:0254 2 119 0:0265 2 114 E n13 k4 290 0:0271 4 290 0:0311 4 290 E n22 k4 387 0:0316 4 458 0:0365 4 375 E n33 k4 985 0:0381 5 954 0:0561 4 835 E n51 k5 591 0:0666 7 733 0:1264 5 521 E n76 k7 795 0:1640 9 933 0:3510 7 683 E n76 k8 847 0:1642 10 986 0:3654 8 735 E n76 k10 908 0:1626 11 1013 0:3818 11 847 E n76 k14 1067 0:1648 15 1186 0:4219 15 1032 E n101 k8 998 0:3858 12 1086 0:8277 8 825 E n101 k14 1112 0:3842 14 1364 0:9328 14 1077 E n256 k14 620:73 12:5516 15 854:1473 20:3904 14 587:092 F n45 k4 961 0:0543 6 1328 0:0836 4 724 F n72 k4 326 0:1436 7 738 0:2994 4 238 F n135 k7 1457 1:0458 13 1947 2:338 7 1165 gr17 2685 0:0279 3 2769 0:0316 3 2685 (3.14)
Chapitre 4
Problème de livraison de …oul
4.1
Introduction
Le problème de livraison de …oul est un cas particulier de CVRP, qui a pour but d’op-timiser le parcours des camions-citernes identiques basés au dépôt (i = 1) devant e¤ectuer des tournées de livraisons de …oul à n 1clients pour satisfaire leur demandes.
4.2
Modélisation
Soient des variables binaires xij valant 1 si la ville i est visitée avant la ville j dans une
tournée. 0 sinon. Notant n le nombre de villes, Dij la distance séparant les deux villes i et
j, Qi la quantité de …oul demandée par le client i, Qmax la capacité identique des
camions-citernes ([7]). Le modèle mathématique de ce problème est inspiré de la deuxième formulation de CVRP (au chapitre 2) : min n X i=1 n X j=1 Dijxij (4.1) n X i=1 i6=j xij = 1;8j = 2:::n (4.2) n X j=1 j6=i xij = 1;8i = 2:::n (4.3) Qi ci Qmax; 8i = 2:::n (4.4) ci Qmax (Qmax Qi) x1i; 8i = 2:::n (4.5)
cj ci+ Qj Qmax+ Qmax:xij + (Qmax Qj Qi) xji;8i = 2:::n; 8j = 2:::n; i 6= j (4.6)
ci 0; 8i = 2:::n (4.7)
xij =f0; 1g ; 8i = 1:::n; 8j = 1:::n. (4.8)
L’objectif est de minimiser le nombre de kilomètres parcourus (4.1). Chaque ville doit être livrée en une seule fois. Ceci se traduit par les deux contraintes (4.2) et (4.3) qui imposent
respectivement qu’on doit entrer une et une seule fois dans chaque ville (sauf le dépôt) et qu’on doit quitter chaque ville (sauf le dépôt) une et une seule fois.
A…n de respecter la capacité des camions-citernes, nous allons utiliser des variables conti-nues et positives ci (c comme cumul) correspondant à la quantité de …oul livrée aux
di¤é-rents clients le long du trajet allant du dépôt au client i inclus. Cette quantité ci doit être
supérieure à la quantité Qi demandée par le client i et inférieure à la capacité Qmax des
camions-citernes (4.4). De plus, si le client i est le premier de la tournée, alors ci doit être
égal à la quantité demandée par le client i (ci = Qi). Cette contrainte se traduit par les deux
contraintes (4.4) et (4.5). En e¤et, si i est le premier client d’une tournée, alors x1i vaut 1
et, aprés simpli…cation, la contrainte (4.5) est équivalente à
ci Qi. (4.9)
Alors (4.9) et (4.4) impliquent que ci est égal à la demande du client i. Dans le cas où i n’est
pas le premier de la tournée, x1i vaut 0 et la contrainte (4.5) est équivalente à la contrainte
(4.4). Considérons maintenant le cas où i n’est pas le premier client de la tournée. Alors ci
doit être égal à la somme des quantités livrées entre le dépôt et i inclus. Ainsi, si le client j est après le client i sur une tournée, on peut écrire que cj doit être égal à la quantité livrée
sur le trajet du dépôt à i inclus, quantité à laquelle s’ajoute la quantité demandée par j (cj = ci+ Qj). Cette relation est traduite par la contrainte (4.6). En e¤et, si j est juste après
isur une tournée, xij vaut 1 et xji vaut 0. La contrainte (4.6) est équivalente à la contrainte
(4.10)
cj ci+ Qj. (4.10)
Dans le cas où j n’est pas juste après i, la contrainte (4.6) reste véri…ée. En e¤et, dans le cas où j est juste avant i, la contrainte (4.6) devient (4.11)
cj ci Qi. (4.11)
Cette contrainte signi…e que la quantité livrée sur le trajet du dépôt à j est supérieure à la quantité livrée entre le dépôt et le successeur i de j sur la tournée, quantité à laquelle on doit retirer la quantité livrée en i (cj = ci Qi). En…n, si i et j ne sont pas côte à côte sur
une tournée, on obtient la contrainte (4.12). Comme elle a un second membre inférieur ou égal à Qj, cette contrainte est redondante puisque elle est déjà exprimée par la contrainte
(4.4) cj ci + Qj Qmax, (4.12) car ci Qmax 0, donc ci Qmax+ Qj Qj cj.
En…n, les contraintes (4.7) et (4.8) indiquent que les variables ci sont positives et que les xij
sont des variables binaires. Notons pour terminer que l’a¤ectation de variables ci à chaque
sommet i garantit le respect de la capacité des camions, tout en interdisant la création de tournées ne passant pas par le dépôt. En e¤et, sans ces variables, il serait possible d’obtenir
4.3. EXEMPLE 29
une solution comme celle de la …gure (4.13)
2
4 3
Dépôt
Exemple de solution non realisable
(4.13) Cette solution véri…e les deux contraintes (4.2) et (4.3) puisque ; on entre et on quitte chaque sommet une et une seule fois, mais elle n’est pas réalisable puisque la tournée proposée ne passe pas par le dépôt. Le fait d’a¤ecter des valeurs ci strictement croissantes le long d’une
tournée permet d’interdire ce genre de solution. Ce modèle est obtenu en retirant certaines contraintes de la formulation (M ILP ) du (VRP), en notant que le nombre de véhicules (des camions-citernes) n’est pas déterminer et en prenant les variables ui = ci.
4.3
Exemple
Un transporteur doit livrer du …oul à un certain nombre de clients de la région Ouest à partir de la ra¢ nerie de Donges (D). Ses clients se situent à Brain-sur-l’Authion (B-A), Carquefou (C), Guérande (G), la Haie Fouassière (H-F), Mésanger (M) et les Ponts-de-Cé (P-C). Le tableau suivant contient les demandes en litres pour les di¤érents sites de ce problème
B-A C G H-F M P-C
14000 3000 6000 16000 5000 15000 (4.14)
La matrice des distances en kilomètres séparant les clients est donnée au tableau 4.15
D B-A C G H-F M P-C D 148 55 32 70 73 140 B-A 148 93 180 99 72 12 C 55 93 85 20 28 83 G 32 180 85 100 99 174 H-F 70 99 20 100 49 85 M 73 72 28 99 49 73 P-C 140 12 83 174 85 73 (4.15)
Pour faire ses livraisons, le transporteur dispose de camions-citernes pouvant contenir jusqu’à 39000litres. Déterminer les tournées à réaliser pour livrer tous les clients de façon à minimiser le nombre de kilomètres parcourus.
La solution optimale de cet exemple ([7]) consiste à faire deux tournées. La première dessert Guérande, puis la Haie- Fouassière. La seconde livre en premier le client de Mésan-ger, puis ceux de Brain-sur-l’Authion et des Ponts-de-Cé pour terminer par celui situé à
Carquefou. Dans la première tournée, 22000 litres de …oul sont livrés, 37000 dans la seconde. Les tournées sont représentées sur la …gure 4.16. Le nombre total de kilomètres parcourus est 497. Guérande Donges Mésanger Brain-sur- Authion Les Ponts-de-Cé Carquefou Haie Fouassière Tournees optimales (4.16)
4.4
Application de l’heuristique de Clarke et Wright
au problème de livraison de …oul
Le tableau (4.17) illustre les résultats fournis par le code Matlab de l’heuristique de Clarke & Wright sur l’exemple de livraison de …oul cité dans la section 3 de ce chapitre, où on a comparé entre la solution exacte de cet exemple et les solutions obtenues par les deux versions de cet algorithme dans les deux cas : le premier le nombre de véhicules nécéssaires est imposer et dans le deuxième non. Les villes sont numérotées de 1 à 7 (1 est la ra¢ nerie de Donges)
heuristique nbr véhicules imposé nbr véhicules non imposé version par version séq version par version séq tournées [1; 6; 2; 7; 3; 1] [1; 4; 5; 1] [1; 6; 2; 7; 3; 1] [1; 4; 5; 1] [1; 6; 2; 7; 3; 1] [1; 4; 5; 1] [1; 6; 2; 7; 3; 1] [1; 4; 5; 1] nvu 2 2 2 2 nvn 2 2 2 2 q.f.l.t [37000; 22000] [37000; 22000] [37000; 22000] [37000; 22000] val parcours 497 497 497 497 temps CPU en (s) 0:0319 0:0281 0:0254 0:0295 (4.17) Tous les cas testés de l’heuristique de Clarke & Wright donnent la même solution qui est la solution optimale. D’après ce tableau, deux camions-citernes sont utilisés pour faire les deux tournées (nvu), la première commence au dépôt, ensuite les villes 6 2 7 3, et le véhicule se termine au dépôt, c’est à dire les villes Donges- Mésanger- Brain-sur-l’Authion-Ponts-de-Cé- Carquefou- Donges avec 37000 litres de …oul livrés (q.f.l.t) dans cette tournée, et la deuxième, 1 4 5 1(Donges- Guérande- Haie Fouassière- Donges) avec 22000 litres livrés (q.f.l.t) et 497 de kilomètres parcourus dans les deux tournées (val parcours). La seule di¤érence entre les deux cas par leurs deux versions est en temps CPU (en secondes), mais
4.4. APPLICATION DE L’HEURISTIQUE DE CLARKE ET WRIGHT AU
PROBLÈME DE LIVRAISON DE FIOUL 31
elle n’est pas très importante, on remarque que dans les cas où le nombre de véhicules est imposé, la version parallèle met plus de temps que la version séquentielle, mais elle met moins de temps que la deuxième version quand le nombre de véhicules n’est pas imposé.
Dans ce mémoire, on a appliqué les deux versions de l’heuristique de Clarke & Wright : version séquentielle et version parallèle pour résoudre le problème de livraison de …oul où le nombre de tournées est imposé dans le premier cas, et dans le deuxième cas non imposé. D’après les résultats fournis par notre code Matlab pour l’exemple réel de chapitre 4, on conclut que l’heuristique de Clarke & Wright est une bonne méthode pour résoudre ce type de problème, surtout qu’il est de taille petite (6 villes et un dépôt), car elle a fourni la solution optimale de cet exemple en un temps très petit. Les résultats des instances de TSPLIB obtenus par le code sont en général très bonnes et très proches de la meilleure solution connue. Cependant, les résultats de quelques instances sont non réalisables, et d’autres sont éloignés.
L’heuristique de Clarke & Wright reste une méthode approchée, comme perspectives nous proposons d’étudier la méthode de branchement et coupes "Branch & Cut" qui demeure la plus e¢ cace et la plus utilisée dans ce contexte actuellement ([3], [14]).
Bibliographie
[1] T, Bektas, The multiple traveling salesman problem : an overview of formu-lations and Solution procedure, Omega 34 (2006), 209-219.
[2] R. Belgacem, Sur Quelques Méthodes de Résolution pour le TSP " Travelling Salesman Problem ", Mémoire de Magister en mathématiques, Option : Analyse des Systèmes, Contrôle et Optimisation Numérique, Université de Mostaganem, 2012. [3] L. Cacceta, S. P. Hill, Branch and Cut Methods for Network Optimization,
Mathematical and Computer Modelling 33, 517-532, 2001.
[4] G. Clarke, J. W. Wright, SCHEDULING OF VEHICLES FROM A CENTRAL DEPOT TO A NUMBER OF DELIVERY POINTS, Operations Research, 12(4), 568-581, 1964.
[5] P. Fouilhoux, Programmation mathématique Discrète et Modèles Linéaires, Université Pierre et Marie Curie, Master IAD, Module PDML, 29 septembre 2013. [6] B. L. Golden, VEHICLE ROUTING PROBLEM : FORMULATIONS AND
HEURISTIC SOLUTION TECHNIQUES, Technical Report NO. 113, OPERA-TIONS RESEARCH CENTER, Massachusetts Institue of Technology, August 1975. [7] C. Guéret, C. Prins, M. Sevaux, Programmation linéaire, 65 problème d’optimisation
modélisés et résolus avec Visual Xpress, édition Eyrolles 2 éme tirage, 2003.
[8] I. Kara, T. Bektas, Integer Linear Programming Formulation of the Generali-zed Vehicle Routing Problem, Presented in 5th EURO/ INFORMS joint
Interna-tional Meeling, july 6-10 2003 Istanbul, Turkey.
[9] I. Kara, G. Laporte, T. Bektas, A note of the lifted Miller- Tucker- Zemlin subtour elimination constraints for the capacitated vehicle routing problem, European Journal of Operational Research, 158 (2004), 793-795.
[10] G. Laporte, The Vehicle Routing Problem : An overview of exact and approxi-mate algorithms, European Journal of Operational Research 59, 345-358, 1992. [11] E. L. Lawler, J. K. Lenstra, A. H. G. Rinnooy Kan, D. B. Shmoys, THE TRAVELING
SALESMAN PROBLEM, A Guided Tour of Combinatorial Optimization, 1985. [12] Lec_29_ Vehicle Routeing Problem - - - you tube mp4.
[13] J. Lysgaard, Clarke & Wright’s Savings Algorithm, Department of Management Science and Logistics, The Aarhus School of Business, September 1997.
[14] J. Lysgaard, A. N. Letchford, R. W. Eglese, A new Branch-and-Cut Algorithm for the Capacitated Vehicle Routing Problem, Octobre 28, 2003.
[15] S. Maraj, Distribution de …oul, Mémoire de Master en mathématiques, Option : Modélisation, Contrôle et Optimisation, Université de Mostaganem, 2014.
[16] Métaheuristique, URL : http ://fr.wikipedia.org/wiki/métaheuristique.
[17] F. Odonez, I. Sungur, M. Dessouky, A priori performance measures for arc-based formulations of the Vehicle Routing Problem, Industrial and Systems Enginee-ring, University of Southern California, 2006.
[18] G. Reinelt, TSPLIB : The Travelling Salseman problem library, URL : http ://elib.zib.de/pub/mp-testdata/tsp/tsplib/tsplib.html.
[19] G. Reinelt, TSPLIB, The Travelling Salseman problem library, URL : http ://elib.zib.de/pub/mp-testdata/tsp/tsplib/vrp/index.html.
[20] M. Sevaux, M. J Geiger, Inventory Routing and On- line Inventory Routing File Format, janvier 2011.
[21] G. Srinivasan, Lecture - 29 Vehicle Routing Problem, Advanced Operations Re-search, Department of Management Studies, Indian Institute of Technology, Madras, http :// text of video.nptel.ac.in/112106131/lec 29.pdf.
