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systèmes dynamiques complexes avec application en
épidémiologie : cas du paludisme
Justin-Herve Noubissi
To cite this version:
Justin-Herve Noubissi. Modélisation et simulation spatio-temporelles de systèmes dynamiques com-plexes avec application en épidémiologie : cas du paludisme. Modélisation et simulation. Sorbonne Université; Saint Monica University (Buéa, Cameroun), 2019. Français. �NNT : 2019SORUS281�. �tel-03140342�
Saint Monica University
École Doctorale Informatique Télécommunications et Électronique
School of Sciences Engineering and Technology
Unité de Modélisation Mathématique et Informatique des Systèmes COmplexes
(UMMISCO)
Modélisation et simulation spatio-temporelles de
systèmes dynamiques complexes avec application en
épidémiologie: cas du paludisme
Par NOUBISSI Justin-Hervé
THÈSE DE DOCTORAT
Secteur de Recherche : INFORMATIQUE ET MODÉLISATION MATHÉMATIQUE
Dirigée par : CAMBIER Christophe, KAMGANG Jean Claude et ASONGU Januarius Présentée et soutenue publiquement le 15 Mai 2019
Devant le jury composé de :
Examinateurs : M. RAMATÉric Professeur, Université du Littoral Côte Opale
M. BERNARDCazelles Professeur, Sorbonne Université
Mme. DUGDALEJulie Maître de Conférences, Université Grenoble-Alpes
M. CAMBIERChristophe Habilité à Diriger les Recherches, Sorbonne Université-IRD
M. KAMGANGJean Claude Professeur, ENSAI-Université de Ngaoundéré
M. ASONGUJanuarius Professeur, Saint Monica University
Rapporteurs : M. BOWONGSamuel Professeur, Université de Douala
Au Très-Haut, en étudiant les systèmes complexes, j’ai compris que le monde dans lequel je vis en est un. Une pensée douloureuse pour vous, Papa et Maman, pour les efforts consentis pour que j’arrive où je suis ; malheureusement, le Très-Haut, dans sa complexité a décidé de vous reprendre brutalement.
J’exprime ici une profonde gratitude envers le corps professoral de la Sorbonne Université et à Saint Monica University.
Je remercie l’IRD, l’UMMISCO et le Programme Doctoral International de Modélisation des Systèmes Complexes (PDIMSC), de l’opportunité à moi offerte pour la réalisation de ces travaux de recherche. Je remercie l’ENSAI de Ngaoundéré et son département de Mathématiques-Informatique pour l’accueil. Je remercie profondément le Pr Jean Claude Kamgang pour son encadrement, l’accueil réservé à Ngaoun-déré, la confiance dont il m’a gratifié et ses multiples conseils.
Je remercie l’Hdr Christophe Cambier pour ses conseils, son encadrement, la confiance qu’il m’a témoi-gnée et son accueil au sein de la Sorbonne Université et de l’IRD.
Je remercie le Pr Éric Ramat pour son accueil à l’Université du Littoral Côte d’Opale (ULCO) et ses divers conseils pour mes travaux de recherche.
Je remercie le Pr Januarius Asongu pour sa disponibilité, son encadrement et les divers échanges.
Je remercie le Pr Maurice Tchuenté pour sa disponibilité, ses conseils et la mise à disposition des res-sources nécessaires pour mes déplacements.
Je remercie le Pr Samuel Bowong pour ses remarques et suggestions.
Une pensée amicale à mes collègues du PDI-MSC, et plus particulièrement à Cédrigue, Bruno, Francis, Alain, Ilhem, Dimitri, Cheikhou, pour les moments passés ensemble.
Merci à mes collègues de l’ENSAI, particulièrement à Stéphane, pour les nombreux moments passés à échanger sur les systèmes dynamiques complexes, et à Jaurès pour les moments passés à échanger sur diverses théories en Mathématiques et en Informatique. Merci également au Dr kamla pour ses conseils. Un merci particulier à mon frère Valéry pour le long chemin effectué ensemble, son soutien et ses inesti-mables conseils. Merci à ma soeur Maker et à mon frère Nkrumah pour leur assistance et leurs conseils. Merci à mes autres frères et soeur Marx, Christian et Amélie pour leur présence.
Je remercie les familles TAKOUAM et POIKA pour leur soutien sans cesse renouvelé. Merci à mon beau-frère Théophile pour son soutien renouvelé.
Merci à Charlène pour l’assistance et l’encouragement réguliers.
Je remercie mes amis Francis, Dieudonné, Ferdinand, Moez, Félix, Christian, Guy, Thomas, Robinson, Armel, Michelle, Rodrigue, Lucrèce, Brice, Lucile, Nadine, Jean-Pierre, Émeline, Marthe pour leurs en-couragements.
Remerciements . . . i
Dédicace . . . ii
Introduction générale 1 1 Paludisme et Complexité 5 1.1 Épidémiologie du paludisme et biologie . . . 6
1.1.1 Quelques définitions . . . 6
1.1.2 Le paludisme : les acteurs en présence . . . 6
1.1.3 La vie du vecteur moustique . . . 8
1.1.4 Traitement contre le paludisme . . . 9
1.1.5 Immunité et paludisme . . . 9
1.1.6 Répartition géographique du paludisme . . . 10
1.1.7 Vaccins et lutte contre paludisme . . . 11
1.2 Complexité, modélisation et simulation . . . 12
1.2.1 Les concepts généraux . . . 12
1.2.2 Les modèles de représentation . . . 14
1.2.3 Quelques méthodologies de modélisation-simulation . . . 15
2 Étude de quelques modèles 18 2.1 Les modèles à base d’équations différentielles ou modèles compartimentaux . . . 20
2.1.1 Les modèles SI, SIS et SIR . . . 20
2.1.2 Les modèles SEI, SEIS, SEIR et SEIRS . . . 21
2.2 Les automates . . . 21
2.2.1 Les automates d’état fini . . . 21
2.2.2 Les automates cellulaires . . . 22
2.3 Les Systèmes Multi-Agents (SMA) . . . 23
2.3.1 Les Agents . . . 24
2.3.2 L’environnement . . . 27
2.3.3 Les interactions . . . 28
2.4 Les modèles individus-centrés (IBM) . . . 29
2.4.1 Simulation continue individu-centré . . . 29
2.4.2 Simulation discrète individu-centré . . . 30
2.5.1 Le modèle mathématique . . . 31
2.5.2 Le modèle informatique . . . 32
2.6 Spécification et discrétisation avec le formalisme DEVS . . . 33
2.6.1 DEVS atomique . . . 33
2.6.2 DEVS couplé . . . 35
2.6.3 DEVS et ses extensions . . . 36
2.7 Les modèles à une population . . . 37
2.7.1 Le modèle de Ross . . . 37
2.7.2 Modèle de Kermack-McKendrick . . . 39
2.7.3 Modèle de Shah et Gupta . . . 39
2.7.4 Le modèle à base d’agents de Reyes et al. . . 40
2.7.5 Le modèle individu-centré de Zhu et al. . . 41
2.8 Les modèles méta-population . . . 42
2.8.1 Modèle d’Arino et de Driessche . . . 43
2.8.2 Modèle de Tsanou . . . 44
2.9 Influence du climat . . . 45
2.9.1 Modèle de Priscillia Cailly . . . 45
2.9.2 Modèle de Gaudart et al. (2009) . . . 47
2.10 Modèles et mesure de protection contre le paludisme . . . 49
2.10.1 Le modèle de Ngonghala et al. . . 50
2.10.2 Le modèle de Kamgang et al. . . 52
3 Proposition 55 3.1 Limites des approches antérieures et Positionnement . . . 56
3.1.1 Limites des approches antérieures . . . 56
3.1.2 Positionnement . . . 56
3.2 Modélisation . . . 57
3.2.1 Le modèle de mobilité . . . 57
3.2.2 Modèle méta-population sans considération des facteurs climatiques . . . 59
3.2.3 Modèle méta-population avec considération des facteurs climatiques au moment du contact humain-moustique . . . 62
3.2.4 Modèle méta-population avec considération des facteurs climatiques tout au long du processus d’évolution du moustique . . . 65
3.2.5 Perturbation météorologique . . . 67
3.2.6 Les Systèmes à événements discrets . . . 68
3.2.7 DEVS et notre modèle méta-population . . . 70
4 Analyse mathématique 72 4.1 Introduction . . . 73
4.2 Étude de l’évolution de la mortalité des moustiques en fonction de la température et de l’humidité relative . . . 74
4.2.2 Survie des moustiques en fonction de la température et de l’humidité relative . . . 75
4.2.3 Taux de mortalité des moustiques en fonction de la température et de l’humidité . . 75
4.2.4 Expression analytique de la température . . . 76
4.2.5 Expression analytique de l’humidité relative . . . 78
4.3 Propriétés de base du modèle . . . 79
4.3.1 Positivité et bornes des solutions . . . 80
4.3.2 Illustrations . . . 84
4.4 Équilibre sans maladie (DFE) . . . 86
4.5 Taux de reproduction de base R0 . . . 88
4.5.1 Calcul de R0 . . . 88
4.5.2 Quelques illustrations . . . 90
4.6 Stabilité asymptotique globale de l’équilibre sans maladie (DFE) . . . 93
5 Application : Cas du Paludisme au Cameroun 97 5.1 Introduction . . . 98
5.2 Les espèces plasmodiales et les vecteurs du paludisme au Cameroun . . . 99
5.3 Influence des précipitations sur la densité des moustiques . . . 100
5.4 Influence de la température et de l’humidité . . . 101
5.5 Le modèle méta-population Douala-Yaoundé-Ngaoundéré . . . 103
5.6 Expérimentation . . . 104
5.6.1 VLE : une plate-forme d’implémentation et d’expérimentation . . . 104
5.6.2 Migration entre les villes de Douala et Yaoundé, Yaoundé et Ngaoundéré . . . 107
5.6.3 Paramètres épidémiologiques . . . 109
5.6.4 Analyses . . . 112
5.6.5 Influence des migrations dans la dynamique de transmission du Paludisme. . . 115
5.7 Comparaison des résultats expérimentaux avec les données de terrain : Cas de la ville de Ngaoundéré . . . 116
6 Cohabitation ou couplage de modèles 125 6.1 Multi-modélisation et hétérogénéité de modèles . . . 126
6.2 Modèles à équations différentielles . . . 128
6.3 Modèles individus-centrés . . . 129 6.4 Couplage de modèles . . . 129 Conclusion générale 131 6.5 Bilan . . . 132 6.6 Perspectives . . . 133 Quelques définitions . . . 134 References 144 Publications . . . 149 Résumé . . . 150 Abstract . . . 151
Bien que l’histoire de l’épidémiologie soit ancienne, la modélisation mathématique et informatique des maladies infectieuses est relativement récente. Aujourd’hui, médecins, biologistes, entomologistes, mathématiciens, informaticiens et bien d’autres s’associent afin de mettre en place des modèles adéquats en vue d’éradiquer les maladies infectieuses, notamment transmissibles d’humain à humain et d’animal ou insecte à humain.
Au fil du temps, les moyens de transport se sont beaucoup diversifiés et améliorés, facilitant les déplace-ments massifs (migrations) des populations, et donc le contact entre les individus, ainsi que l’adaptation des individus avec de nouveaux écosystèmes. Au cours de leurs migrations, dues essentiellement à des raisons économiques, touristiques ou de conflits armés, les êtres humains ont souvent amené avec eux les maladies, les virus ou les bactéries qui ont parfois eu des conséquences néfastes (maladies infectieuses) sur les populations de leur territoire d’accueil. Rapidement, le territoire d’accueil peut faire face à des si-tuations d’endémie ou d’épidémie. Nonobstant le développement des technologies et les énormes progrès de la science, les traitements et les vaccins contre de nombreuses maladies infectieuses demeurent à ce jour pas suffisamment efficaces, tant les organismes sont divers, les écosystèmes variés, et les virus ou les parasites de plus en plus en mutation développent des moyens de résistance. Le paludisme est l’une de ces maladies, et nombreux sont les modèles qui ont été proposés pour lutter contre cette maladie. Ronald Ross, considéré comme le fondateur de la modélisation la plus en vue actuellement, proposa en 1911 un modèle dynamique pour lutter contre la transmission du paludisme.
Encore appelé malaria, le paludisme est un problème social de première importance dans pratiquement tous les pays de la zone tropicale. Malgré les efforts croisés de diverses disciplines impliquées, le palu-disme continue à être un problème de santé publique de premier plan dans les pays situés dans la zone rouge climatique d’adéquation maximale pour la transmission du paludisme. D’après l’Organisation Mon-diale de la Santé (OMS), près de 3.2 milliards de personnes (près de la moitié de la population monMon-diale) sont exposées à la maladie, 95 pays ont été touchés par la transmission du paludisme en 2015 et l’on a enregistré 214 millions de cas de paludisme et 438 000 décès (source : www.who.int). L’Afrique subsa-harienne, région la plus touchée, a enregistré en 2015 environ 88% de malades de paludisme et 90% des décès causés par cette maladie. L’Institut Lowy (Australie), à travers une étude, prévoit une prévalence du paludisme pouvant être multipliée par 4 en 2050, en comparaison à celle de 1990 [1]. D’ici la fin de ce siècle, la population mondiale vivant dans des zones où la malaria est endémique pourrait passer de 45% à 60%. D’après l’OMS, le changement climatique est déjà responsable d’environ 6% des cas de palu-disme dans certains pays à revenu intermédiaire. La population mondiale, dont tout particulièrement celle d’Afrique, se trouve confrontée à des changements inconnus de l’atmosphère causés par l’homme et à une déperdition de divers autres systèmes naturels. Les pays en voie de développement sont réduits à une lutte
anti-vectorielle par l’usage des moustiquaires imprégnées, ce qui permet en cas d’utilisation efficiente, la limitation de la charge parasitaire en dessous des seuils critiques chez les hôtes. La dynamique de transmis-sion et la saisonnalité du paludisme y restent mal connues. Si les niveaux d’endémicité palustre en milieu urbain sont plus faibles qu’en milieu rural, la croissance de la population et l’hétérogénéité spatiale des régions sont telles que le risque d’infection palustre et tout ce qu’il entraîne (maladie, mortalité) diffèrent selon les faciès écologiques et les périodes de l’année. La lutte par l’usage des moustiquaires imprégnées permet principalement d’éviter à la population humaine de se faire piquer par les moustiques, et non pas d’éradiquer les moustiques susceptibles de transmettre la maladie.
FIGURE 1 –Bilan meurtrier du paludisme à travers le monde (Source OMS 2013).
Les modèles mathématiques et informatique ont grandement amélioré la compréhension de la trans-mission et de la dynamique des populations de nombreux agents pathogènes importants. Commune à cette catégorie de modèles est leur propension à présenter des oscillations amorties autour d’un équilibre ap-prochant où le taux de nouvelles infections est égal à la perte de la zone infectieuse due à la reprise. En réalité, de nombreuses maladies infectieuses telles que le paludisme ne resteront pas dans cet état d’équi-libre mais présenteront plutôt des oscillations persistantes, allant de l’augmentation saisonnière des taux d’incidence à des flambées épidémiques pluriannuelles. Alors que de nombreux modèles multi-contraintes déterministes évoquent la présence d’interactions immunitaires pour expliquer la déstabilisation du sys-tème, les variabilités naturelles (variations climatiques, catastrophes naturelles) ou stochastiques existant dans les interactions entre les acteurs concernés ont également été montrées suffisantes pour générer des oscillations régulières ou chaotiques. Ainsi, la modélisation de la dynamique du paludisme dans le temps
L’épidémiologie est définie comme l’étude des maladies et des facteurs influant sur la santé [2]. Bonté [3] distingue trois types d’épidémiologie :
• une épidémiologie descriptive, qui, s’appuyant sur des modèles statistiques, s’intéresse à la distribu-tion des phénomènes de santé au sein des populadistribu-tions ;
• une épidémiologie analytique, qui se basant sur l’épidémiologie descriptive, essaie d’établir des relations de causes à effets entre les phénomènes de santé et les comportements des pathogènes, des individus, ou leur environnement ;
• une épidémiologie théorique, qui étudie de manière abstraite les processus d’émergence, de diffu-sion, de maintien ou d’extinction de caractéristiques individuelles transmises éventuellement entre individus.
L’épidémiologie analytique se présente en réalité comme une succession de va-et-vient entre l’épi-démiologie descriptive et l’épil’épi-démiologie théorique, et c’est dans ce type d’épil’épi-démiologie que s’in-tègrent nos travaux de recherche. La méthode que nous choisissons est la modélisation et la simulation dans laquelle l’Informatique, associée à la modélisation Mathématique, joue un rôle essentiel. Le couple Modélisation-Simulation s’intéresse généralement à la spécification des modèles de systèmes dynamiques et à leur simulation à l’aide d’ordinateurs. Les outils informatiques utilisés sont adaptés à la spécification formelle des processus dynamiques définie par Bernard P. Zeigler [4].
Considérant l’hétérogénéité spatiale et climatique des régions du monde, la prise en compte des va-riations spatio-temporelles est d’une importance particulière pour les agents pathogènes à transmission vectorielle, où les facteurs sous-jacents des épidémiologies observées peuvent être confondus par d’im-portantes hétérogénéités dans l’hôte et des densités de vecteurs à travers l’espace et le temps, comme c’est le cas avec le paludisme. Dans ce contexte, notre travail porte sur la mise en place d’un modèle à quatre axes principaux :
• la modélisation méta-population de la transmission du paludisme ;
• l’intégration des facteurs climatiques sur la propagation de cette maladie (la température, qui in-fluence le cycle de vie du moustique, l’humidité relative, qui joue un rôle sur la durée de vie du moustique) ;
• l’analyse mathématique de notre modélisation ;
• l’expérimentation de la modélisation et sa comparaison avec les données issues du terrain.
Au cours de l’exploration profonde de ces quatre axes, nous avons été confrontés à certains obstacles, que nous devions franchir.
Problématique
Nombreux sont les experts qui travaillent avec le même objectif final : éradiquer le paludisme dans le monde. Ces chercheurs, que l’on peut ranger en plusieurs groupes disciplinaires (Entomologie, Méde-cine, Mathématique, Informatique, Météorologie, Climatologie, ...) produisent très souvent des prototypes de grande qualité et riches en enseignements. Seulement, la collaboration, pas toujours efficiente et di-recte entre tous ces blocs conduit parfois à l’obtention de produits finis délaissés ou sous-exploités. Une
jointure appropriée entre ces diverses approches pourrait permettre un gain de temps énorme et une lutte plus efficace contre la propagation des épidémies. Les entomologistes nous fournissent des informations sur les insectes (fonctionnement, vie, décès, etc.) ; les médecins nous renseignent sur l’humain ; les ma-thématiciens, sur la projection, la robustesse, la stabilité de l’approche utilisée ; les informaticiens, sur le comportement des entités à des niveaux de détails plus avancés ; les météorologues informent sur les conditions atmosphériques à court terme ; les climatologues sur le temps qu’il fera sur le moyen et long terme. Un modèle hybride réutilisable qui inclurait au maximum ces informations serait intéressant et per-mettrait de lever certains soupçons sur les comportements parfois inattendus de certaines épidémies. Pour arriver à la mise en place d’un tel modèle, quelques paliers doivent être franchis, notamment :
la dynamique de la population : la taille des populations n’est pas constante, des individus naissent et d’autres meurent ;
les facteurs climatiques, qui ne sont pas identiques en tout lieu et en tout temps ; la prise en considération des spécificités géographiques de chaque région considérée ; la prise en considération des perturbations météorologiques brusques ;
l’assurance de la stabilité du modèle que l’on construit, il faut étudier l’équilibre du système pro-posé ;
le couplage de modèles hétérogènes, ou comment allier modèle informatique et modèle mathéma-tique ;
l’absence ou le difficile accès aux données épidémiologiques et entomologiques dans les pays tro-picaux, qui sont les plus concernés par le paludisme.
Notre travail est organisé ainsi qu’il suit : après l’introduction générale, nous présentons, au chapitre 1 la maladie qu’est le paludisme ; ici seront développés le cycle de vie du paludisme et les moyens de lutte proposés par les populations cibles. Nous ferons ensuite, au chapitre 2, un aperçu des modèles épi-démiologiques proposés par la communauté scientifique. Au chapitre 3, nous présenterons les limites des approches antérieures et ferons état de notre modèle méta-population environnemental. Le chapitre 4 sera consacré à l’analyse mathématique de notre modélisation. Dans le chapitre 5, à travers une étude sur le Cameroun de par sa diversité climatique, nous appliquerons notre modélisation et ferons des simulations, suivies d’une analyse des résultats obtenus ainsi qu’une comparaison avec les données recueillies sur le terrain. Le chapitre 6 sera, quant à lui, consacré à une proposition de cohabitation entre deux types de modèles : un modèle à équations et un modèle individus-centrés. Nous clôturons, au chapitre 7, par un bilan du travail réalisé et des perspectives.
Paludisme et Complexité
Sommaire
1.1 Épidémiologie du paludisme et biologie . . . 6
1.1.1 Quelques définitions . . . 6
1.1.2 Le paludisme : les acteurs en présence . . . 6
1.1.3 La vie du vecteur moustique . . . 8
1.1.4 Traitement contre le paludisme . . . 9
1.1.5 Immunité et paludisme . . . 9
1.1.6 Répartition géographique du paludisme . . . 10
1.1.7 Vaccins et lutte contre paludisme . . . 11
1.2 Complexité, modélisation et simulation . . . 12
1.2.1 Les concepts généraux . . . 12
1.2.2 Les modèles de représentation . . . 14
1.1
Épidémiologie du paludisme et biologie
1.1.1
Quelques définitions
Taux d’inoculation entomologique
Dans le cas du paludisme, ce taux est défini comme étant le produit du nombre moyen journalier de piqûres infectantes que reçoit un humain susceptible par la probabilité que cet humain devienne infecté. Humidité relative
L’humidité relative est définie comme le rapport, pour une température donnée, entre la quantité d’eau que contient l’air et la quantité effective qu’il peut contenir. Elle est souvent mesurée à l’aide d’un hydro-mètre.
Indice de végétation normalisé
Meneses [5] définit l’indice de végétation normalisé (NDVI) comme une mesure entre l’énergie reçue et celle qui est émise par des objets sur la terre ; elle est très sensible aux variations atmosphériques. Processus d’évolution d’un individu
Nous appelons processus d’évolution d’un individu, l’ensemble constitué de la séquentialité des dif-férents états de cet individu. Par exemple un humain initialement Susceptible (S), peut ensuite devenir Infecté (E) après piqûre par un moustique Infectieux ; quelques jours après, il devient Infectieux (I) et peut à son tour infecter un moustique Susceptible ; par la suite, en fonction des conditions environnemen-tales de la zone où il se trouve, l’humain Infectieux peut soit Mourir, soit Guérir sans ou avec immunité (R). Nous dirons donc que le processus d’évolution chez l’humain est de type S −→ E −→ I −→ R. Le moustique quant à lui n’a pas de processus de guérison ; son processus d’évolution est donc sous la forme S −→ E −→ I dans tous les cas.
1.1.2
Le paludisme : les acteurs en présence
Connaître le fonctionnement de ce que l’on veut modéliser est essentiel pour une modélisation ef-ficace ; la modélisation en épidémiologie dépend ainsi fortement des connaissances en biologie. Nous présentons, dans le cas de notre modélisation liée au paludisme, les acteurs en présence : le moustique, le parasite et l’hôte du parasite (l’humain). Chez l’humain, l’agent responsable du paludisme est un parasite unicellulaire appelé plasmodium. Il existe cinq formes de plasmodium dans la littérature : le plasmodium falciparum, le plasmodium vivax, le plasmodium ovale, le plasmodium malariae et le plasmodium know-lesi.
• le plasmodium falciparum, plus fréquent en Amérique du sud, Afrique et Asie du sud-est, est pré-senté dans la littérature comme étant l’espèce la plus dangereuse, provoquant les cas les plus avancés de paludisme ;
• le plasmodium vivax, désigné comme étant le plus répandu en zone tropicale et sub-tropicale, il est responsable de formes bénignes du paludisme ;
• le plasmodium malariae, plus rare, est plus présent sous les tropiques et en zone tempérée ;
• le plasmodium ovale, l’espèce la plus rare, généralement rencontrée en Afrique tropicale et en Asie du sud-est, provoque des formes bénignes du paludisme ;
• le plasmodium knowlesi, plus proche génétiquement du plasmodium vivax et de manière microsco-pique du plasmodium malariae, a été découvert récemment chez l’Homme, en Malaisie (mais était connu antérieurement chez le singe), et n’est pas encore assez répandu.
Le paludisme est une maladie dont le mauvais air des marais (malaria en italien) fut suspecté comme étant la cause originelle. Plus tard, les travaux de Louis Pasteur permirent d’émettre une hypothèse mi-crobienne comme cause du paludisme. En 1880, Alphonse Laveran découvrit le protozoaire responsable de l’infection ; il observa des cellules rondes ou en croissant pigmentées dans le sang des paludéens ; il constata la présence de filaments grêles et très transparents qui se mouvaient avec une grande agilité et donc la nature animée n’était pas contestable (phénomène d’exflagellation).
FIGURE 1.1 –Diagnostic du paludisme : Plasmodium à divers stades [6].
Par ailleurs, la compréhension du mécanisme de transmission du moustique à l’humain a été mise en évidence par Ronald Ross en 1897.
FIGURE1.2 –Cycle de vie du parasite chez le moustique et chez l’homme. Source Encarta 2008.
L’être humain agit dans ce cycle en tant qu’hôte intermédiaire au sein duquel s’effectue la multiplica-tion asexuée. L’hôte définitif est le moustique au sein duquel s’effectue la reproducmultiplica-tion sexuée.
Le parasite chez l’humain
Au cours d’une piqûre par un moustique contaminé, les plasmodies intègrent l’organisme de l’hôte humain sous forme de sporozoïtes. Suit alors une série de transformations tout au long du cycle de vie du parasite. Grâce à ces changements, les sporozoïtes sont ainsi transportés par la circulation sanguine et contaminent le foie ; devenus mérozoites dans le sang, ils attaquent les globules rouges et se transforment en schizontes. Ces derniers vont se multiplier et provoquer l’éclatement des globules rouges et prendre finalement une forme capable d’infecter à nouveau les globules rouges et prendre la forme de gamétocytes. Le parasite chez le moustique
Absorbant du sang contenant des gamétocytes, le moustique est contaminé. Le parasite subit à nouveau des transformations jusqu’à ce qu’il soit capable, après 10 à 14 jours, de contaminer à nouveau un humain lorsque le moustique femelle prend son prochain repas de sang. Dans le tube digestif de l’insecte, les ga-métocytesse transforment en gamètes. La fécondation entre les gamètes femelle et mâle produit un zygote (cellule œuf), qui se développe en sporozoïte. Ce dernier se déplace ensuite dans les glandes salivaires du moustique, d’où ils pourront contaminer à nouveau un hôte humain après une piqûre.
1.1.3
La vie du vecteur moustique
Généralement présent dans les régions chaudes et tempérées, l’anophèle est un moustique existant sous environ 600 espèces dont 70 peuvent transmettre le paludisme [7]. Les anophèles mâles se nourrissent très
souvent de nectar de fleurs et de sucs de fruits et ne piquent pas. Les femelles quant à elles ont besoin d’absorber un repas de sang avant chaque ponte. Elles vivent généralement entre deux semaines et un mois, leur durée de vie dépendant des conditions climatiques. Elles ne s’accouplent qu’une seule fois. Les spermatozoïdes déposés dans le corps de la femelle après accouplement assurent la fécondation des oeufs. Elles pondent en une fois environ 90 oeufs tous les deux à trois jours [7] et piquent généralement la nuit. L’éclosion des oeufs produit d’autres corps appelés larves qui flottent à la surface de l’eau. Ces larves se nourrissant essentiellement d’algues qui prendront à leur maturité (âge adulte) la forme d’insectes aériens. Le temps mis entre le stade oeuf et le stade adulte peut varier entre une et trois semaines, en fonction des conditions climatiques.
1.1.4
Traitement contre le paludisme
Des médicaments existent pour le traitement contre le paludisme et peuvent être appliqués à différents stades successifs d’évolution du parasite et de sporozoïte (forme initiale du parasite) à gamétocyte (cellule reproductrice finale). On distingue deux grands types de médicaments antipaludiques : les schizontocides agissant sur les schizontes et les gamétocytocites qui agissent sur les gamétocytes. Les premiers luttent contre les symptômes du paludisme et les seconds combattent la propagation du parasite. Par ailleurs, étant donné leur toxicité pour le foie, les molécules contre les sporozoïtes sont rarement utilisées. La quinine, la chloroquine, la méfloquine, l’halofantrine, l’atovaquone et le proguanil sont les principales molécules antipaludisme utilisées. Elles bloquent certaines réactions métaboliques du parasite au stade schizonte. Certains plasmodies développent de plus en plus une résistance face à l’utilisation massive de molécules antipaludiques. La résistance des parasites constitue un des obstacles qui entravent les programmes na-tionaux de lutte contre le paludisme. Pour surmonter les phénomènes de résistance, des combinaisons de molécules ayant des modes d’action différents sont généralement utilisées. En prévention et en traitement, les molécules utilisées sont semblables, seules les posologies diffèrent : elles sont plus faibles en usage préventif. Les traitements préventifs ont pour but d’empêcher le développement de la maladie en cas d’in-fection et non d’empêcher l’ind’in-fection en cas de piqûre par un moustique infectieux. Il est par conséquent indispensable de se protéger contre les piqûres de moustiques à travers l’usage de couvertures ou l’utili-sation d’outils tels que les moustiquaires. Notons qu’il n’existe à ce jour aucun vaccin certifié contre le paludisme.
1.1.5
Immunité et paludisme
Deux types d’immunité sont connus : l’immunité innée et l’immunité acquise. Nous nous focalisons dans le cadre de notre travail sur l’immunité acquise. En zone d’endémicité, les populations humaines, régulièrement infectées, deviennent naturellement immunisées : on parle alors d’immunité acquise. Ces populations vont développer une résistance naturelle à la suite de nombreuses périodes d’infections graves. Elles deviendront des porteuses asymptomatiques du parasite et sont protégées contre la maladie. Cette immunité reste cependant temporaire, puisqu’elle disparaîtra au bout d’un ou deux ans passés hors de la zone d’endémicité [8]. L’immunité peut par ailleurs être conservée pendant des dizaines d’années si les individus concernés se trouvent en dehors de la zone de transmission [9] [10] [11]. Les cellules renforcées, l’immunité perdue peut être rapidement rétablie lorsque l’individu concerné est à nouveau ré-exposé à
l’infection. Les individus immunisés peuvent tolérer les parasites (forme gamétophyte) du paludisme sans toutefois présenter de symptômes cliniques, l’immunité bloquant la transmission [12] [13]. Les nouveau-nés issus d’une mère immunisée sont protégés grâce au transfert des anticorps au cours des premiers mois (3 à 6 mois) de leur vie. Par la suite, les nourrissons deviendront très exposés jusqu’à ce qu’ils acquièrent leur propre immunité [14]. Certaines maladies génétiques telles que la drépanocytose, la thalassémie sont antipaludéennes [15] [16].
1.1.6
Répartition géographique du paludisme
FIGURE 1.3 –La situation du paludisme dans le monde [7].
Trois principales zones de transmission du paludisme sont connues : une zone à paludisme stable ca-ractérisée par une transmission intense et permanente (la quasi-totalité des zones équatoriales et des zones tropicales), une zone à paludisme instable caractérisée par une transmission faible et épisodique (les zones sahéliennes et les savanes sèches) et une zone de stabilité intermédiaire caractérisée par une transmis-sion saisonnière [17]. Dans les forêts et savanes en Afrique centrale (zones équatoriales), la transmistransmis-sion anophélienne est intense et permanente, pouvant atteindre 1000 piqûres infectées par personne et par an. Cela permet à l’enfant d’acquérir une immunité précoce à l’âge de 5 ans environ. La morbidité s’étale tout au long de l’année et les formes graves de paludisme sont assez courantes chez l’enfant mais très peu présentes chez l’adulte, ce dernier bénéficiant de la solidité de ses anticorps. Dans les savanes humides d’Afrique de l’ouest et de l’est (zones tropicales), avec 100 à 400 piqûres infectées par homme et par an, la transmission dure entre 6 et 8 mois. C’est à l’âge de 10 ans environ que la prémunition prend corps, le taux de morbidité atteignant son apogée en saison pluvieuse. Les cas de paludisme grave sont enregistrés jus-qu’à un âge plus avancé. Dans les zones sahéliennes, avec 2 à 20 piqûres infectées par homme et par an, la transmission est saisonnière courte (inférieure à 6 mois). Environ 70 % des fièvres sont d’origine palustre en saison de transmission. La prémunition y met beaucoup plus de temps avant de paraître, cela explique
les nombreux cas de neuro-paludisme chez l’adulte. Au delà de 1000 m d’altitude, la durée de transmis-sion est très faible et la transmistransmis-sion quelques fois inexistante. Dans les zones à cette altitude, il n’y a pas acquisition d’immunité. En période de transmission, c’est une véritable épidémie et la quasi-totalité de la population peut souffrir de paludisme.
1.1.7
Vaccins et lutte contre paludisme
De nombreux travaux en vue de mettre en place un vaccin contre le paludisme ont été effectués ces dernières années. Cependant à ce jour, il n’existe aucun vaccin approuvé d’une efficacité suffisante et durable. Par ailleurs un certain niveau d’immunité clinique antipalustre peut être induit par vaccination en ciblant différents stades du cycle de vie de plasmodium falciparum [18].
• les vaccins contre les stades pré-érythrocytaires dont le but est d’empêcher les mérozoïtes d’infecter le sang. Ce type de vaccin peut éventuellement réduire l’incidence des accès palustres et des formes graves de paludisme.
• les vaccins contre les stades sanguins asexués : ils visent à empêcher l’invasion des hématies et à empêcher l’évolution des infections vers les formes graves de paludisme.
• les vaccins contre la transmission dont le but est d’éviter la reproduction de l’anophèle dans l’esto-mac et d’empêcher le développement du parasite.
FIGURE 1.4 –Cycle des plasmodies humains et antigènes candidats vaccins [7].
Pendant de nombreuses années avant le début du XIXemesiècle, la communauté médicale s’est long-temps focalisée sur le traitement des patients, et pas sur les moustiques. L’hypothèse étant qu’il était impossible d’éradiquer totalement les moustiques d’une zone donnée, et donc qu’il restera toujours des moustiques. Ronald Ross, dans «Prévention of malaria» [19] affirme que l’éradication du paludisme est
possible dans une zone. Ross propose un modèle dans lequel il calcule le nombre de nouvelles infections par mois comme produit de certains facteurs ; il en déduit qu’il existe une densité critique de moustiques. En 1952, George MacDonald, se basant sur les travaux de Ross, introduit la notion de reproduction. Le taux de reproduction de base (R0) du paludisme est ainsi défini comme étant le nombre d’infections
dis-tribuées dans une communauté, résultant de la présence en son sein d’un seul primaire non immunisé. Le théorème du moustique, encore appelé théorème de Ross-MacDonald est ainsi établi.
Théorème 1.1.1. Théorème du moustique (Ross-MacDonald)
• le point d’équilibre d’absence d’épidémie est globalement asymptotiquement stable si, et seulement si,R0 ≤ 1 ; la maladie disparaît.
• le point d’équilibre d’absence d’épidémie est globalement asymptotiquement stable si, et seulement si,R0 > 1 ; la maladie est endémique.
1.2
Complexité, modélisation et simulation
1.2.1
Les concepts généraux
Nous proposons quelques notions essentielles en théorie de modélisation. Modèle
Nombreuses sont les définitions qui sont associées à la notion de modèle en fonction du domaine d’application. [20] définit un modèle comme une représentation abstraite nécessaire pour les prédictions à partir de règles d’inférences. [21] parle d’une description d’un système dans un langage défini. [22] propose une définition assez synthétique dans le domaine des sciences : un Modèle est une représentation simplifiée d’un processus, d’un système. [23] distingue trois catégories de modèles :
• les modèles intelligents : ce type de modèle contribue à la formalisation des connaissances et des hypothèses. On essaie d’imaginer des situations qui infirment ou confirment la validité du modèle. Lorsque le modèle n’est pas valide dans certaines situations, on essaie d’intégrer des éléments qui prendront en compte les insuffisances constatées, on refait donc une nouvelle formulation et un enrichissement de la base de connaissances du modèle ;
• les modèles normatifs : ce sont des modèles qui ont vocation à représenter de manière rigoureuse la réalité et dont la validation se doit d’être la plus stricte possible ;
• les modèles d’aide à la décision qui sont des modèles à caractère préventif dont le rôle est de pré-senter des résultats prévisionnels en fonction des scénarios retenus ou imaginés ; le choix définitif revenant au décideur.
Système
Amblard et al. [24] définissent un système comme la construction d’un ensemble d’entités en interac-tion dont les foncinterac-tionnements définissent la dynamique globale du système.
Formalisme
Un formalisme peut être perçu comme une modélisation basée sur un langage formel et des règles de déduction permettant de représenter de manière non ambiguë un phénomène étudié. C’est une sorte de système formel.
Système complexe
La complexité est un terme en vogue, et nombreuses sont les définitions qui existent en fonction du contexte et du domaine d’étude. En Calculabilité, la complexité sert à mesurer l’efficacité de deux algo-rithmes pour la résolution d’un même problème : on parle de complexité algorithmique. La définition la plus utilisée en théorie de calculabilité est la complexité de Kolmogorov, qui, en 1965, mesure la com-plexité d’une chaîne binaire de symboles comme la taille du plus petit programme qui engendre cette chaîne [25]. Plus exactement, on a :
KA(x) = min|y|A(y) = x
|y| est la longueur de la chaîne y. La complexité de Kolmogorov pour x est donc la plus petite chaîne y engendrant x grâce à l’algorithme A. Certains auteurs considèrent que l’imprédictibilité, l’incertitude, l’incontrôlabilité intègrent le concept de complexité [26].
[27] définit un système comme un ensemble constitué de nombreuses entités dont l’étude suscite une série de questionnements. A la suite de cette définition, nombreux sont les auteurs qui ont considéré que ces entités peuvent être en interaction entre elles et former alors la dynamique du système étudié. Deux conséquences parfois confondues se dégagent :
— les entités du système, nombreuses, sont en interaction mais peuvent être simplifiées pour produire un système plus simple à la compréhension : le système est dit compliqué,
— les entités sont en interaction et il est difficile de les simplifier, et donc de comprendre le comporte-ment futur du système étudié : le système est ici dit complexe [26].
En modélisation des systèmes complexes, deux courants de pensée s’opposent généralement :
— le réductionnisme qui suppose que l’étude d’un système peut se réduire à une sommation des études des éléments constituant ledit système [28],
— le holisme par contre considère que "le Tout est plus que la somme de ses parties" [29]. Le Tout n’est pas ici considéré uniquement comme la réunion des éléments le constituant, mais aussi de son comportement.
Simulation
C’est une approche, une méthode qui consiste à mettre en oeuvre un modèle, à procéder à une exécution dont le but est d’observer le phénomène étudié dans le temps et éventuellement de comparer les résultats obtenus avec les valeurs observées sur le terrain d’étude.
FIGURE1.5 –Méthodologie générale de modélisation et simulation [23].
1.2.2
Les modèles de représentation
Un modèle peut être perçu comme étant une représentation simplifiée de la réalité [30]. Il est fondé sur des hypothèses et des théories. [27] parle d’une description sous forme dynamique codée par un langage à un niveau d’abstraction. Un thématicien définit un modèle en l’explicitant en langage naturel en fonction de l’objectif visé. Ce langage est parfois ambigu puisque non formalisé et peut conduire à des interprétations presque contraires à la réalité. Le modélisateur (mathématicien, informaticien) lève les ambiguïtés du langage du thématicien en proposant un langage formel en accord avec l’objectif visé : il traduit le langage du thématcien en modèle formel. La définition la plus couramment admise dans les travaux de recherche [31] [26] [3] est celle de Minsky [32] : "Pour un Observateur B, un objet A∗est un modèle deA si B peut utiliserA∗ pour répondre aux questions qu’il se pose surA." Avec Minsky, la modélisation est donc une relation ternaire et la suppression d’un élément de la triade "Observateur, Objet, Modèle" conduirait à des ambiguïtés. La modélisation offre alors de nouvelles connaissances sur le système étudié et nous permet de prendre conscience des limites de nos connaissances. Les Mathématiciens, grands précurseurs de la modélisation, élaborent des théories qui génèrent de plus en plus des équations extrêmement complexes dont la résolution analytique n’est parfois plus possible. Vient alors l’Informatique qui, s’appuyant sur les états initiaux du système et en fonction du temps, permet de générer de manière progressive l’état futur du
système : On parle alors de Simulation et les outils utilisés sont des simulateurs. Modéliser revient donc à construire un modèle, puis le simuler dans le but d’obtenir des résultats correspondants. Les résultats issus de la simulation doivent être vérifiés dans le but de savoir s’ils répondent aux besoins souhaités et peuvent ainsi s’appliquer au système étudié. Si tel est le cas, alors le modèle est dit valide et peut ainsi être considéré comme une représentation du comportement du système étudié et peut ainsi être utilisé pour comprendre, prédire et contrôler l’évolution du système réel étudié. Dans le cas où les résultats obtenus ne correspondent pas aux besoins, le modèle est dit non valide. Par conséquent, il est nécessaire de l’ajuster, recommencer le processus de Simulation-Validation jusqu’à l’obtention d’un modèle valide.
1.2.3
Quelques méthodologies de modélisation-simulation
Certains auteurs [33] [34] [35] classent les modèles en plusieurs catégories :
— le modèle de domaine ; non formalisé, conçu à partir du monde réel et de l’avis de certains experts de domaine (thématiciens) ;
— le modèle conceptuel : c’est un modèle formalisé, traduit dans un langage formel et à partir de ses concepts (agents pour les informaticiens, équations pour les mathématiciens par exemple) ;
— le modèle opérationnel ; aussi appelé modèle d’exécution, basé sur le modèle conceptuel et utilisant une sémantique en fonction de l’implémentation envisagée ;
— modèle informatique ; le programme informatique issu du modèle opérationnel.
Une étude plus détaillée sur les méthodologies de conception peut être trouvée dans [36].
FIGURE 1.7 –Modélisation de Ralambondrainy [34].
FIGURE1.8 –Modélisation de Galan et al. [35].
En épidémiologie, les modèles sont utilisés pour représenter les aspects réalistes de la transmission des maladies au sein d’une ou de plusieurs populations. Ils permettent également de mettre en évidence les
maladie [37]. La première étape d’une modélisation est la conception, ensuite il est nécessaire d’effectuer des simulations et évaluer les résultats obtenus (processus de vérification) afin de savoir s’ils répondent aux besoins souhaités. Si c’est le cas, alors le modèle est dit valide et représente le comportement du système étudié garantissant les conditions énoncées dans le cadre expérimental. Dès lors, le modèle peut être utilisé pour comprendre, prédire et contrôler le système réel étudié en répétant les simulations [28]. Si le modèle n’est pas valide, la modélisation doit être refaite jusqu’à obtention d’un modèle valide après expérience. La propagation d’un agent infectieux est un phénomène dynamique : l’état des individus au sein d’une population évolue dans le temps, ces individus pouvant passer de l’état sain aux états malade, guéri et, éventuellement, immunisé. Diverses méthodes de modélisation de tels phénomènes ont vu le jour.
Étude de quelques modèles
Sommaire
2.1 Les modèles à base d’équations différentielles ou modèles compartimentaux . . . . 20 2.1.1 Les modèles SI, SIS et SIR . . . 20 2.1.2 Les modèles SEI, SEIS, SEIR et SEIRS . . . 21 2.2 Les automates . . . 21 2.2.1 Les automates d’état fini . . . 21 2.2.2 Les automates cellulaires . . . 22 2.3 Les Systèmes Multi-Agents (SMA) . . . 23 2.3.1 Les Agents . . . 24 2.3.2 L’environnement . . . 27 2.3.3 Les interactions . . . 28 2.4 Les modèles individus-centrés (IBM) . . . 29 2.4.1 Simulation continue individu-centré . . . 29 2.4.2 Simulation discrète individu-centré . . . 30 2.5 Classification des approches de modélisation . . . 31 2.5.1 Le modèle mathématique . . . 31 2.5.2 Le modèle informatique . . . 32 2.6 Spécification et discrétisation avec le formalisme DEVS . . . 33 2.6.1 DEVS atomique . . . 33 2.6.2 DEVS couplé . . . 35 2.6.3 DEVS et ses extensions . . . 36 2.7 Les modèles à une population . . . 37 2.7.1 Le modèle de Ross . . . 37 2.7.2 Modèle de Kermack-McKendrick . . . 39 2.7.3 Modèle de Shah et Gupta . . . 39 2.7.4 Le modèle à base d’agents de Reyes et al. . . 40 2.7.5 Le modèle individu-centré de Zhu et al. . . 41
2.8.1 Modèle d’Arino et de Driessche . . . 43 2.8.2 Modèle de Tsanou . . . 44 2.9 Influence du climat . . . 45 2.9.1 Modèle de Priscillia Cailly . . . 45 2.9.2 Modèle de Gaudart et al. (2009) . . . 47 2.10 Modèles et mesure de protection contre le paludisme . . . 49 2.10.1 Le modèle de Ngonghala et al. . . 50 2.10.2 Le modèle de Kamgang et al. . . 52
2.1
Les modèles à base d’équations différentielles ou modèles
com-partimentaux
Considérés comme une référence dans le monde épidémiologique, les modèles compartimentaux sont des modèles dans lesquels la population est divisée en un nombre fini de compartiments qui inter-agissent entre eux suivant certaines règles fixées. On en distingue plusieurs types.
2.1.1
Les modèles SI, SIS et SIR
Considérons une maladie se transmettant directement d’un membre d’une population donnée à une autre en un temps suffisamment court. Cela suppose que les taux de naissance et de mortalité peuvent être considérés comme négligeables sur cette période. Nous appelons Susceptibles (S), les individus sains mais pouvant potentiellement devenir infectés (I) par la maladie. Les individus sains deviennent infectés avec un coefficient de proportionnalité i ≥ 0. Cela peut être représenté sous forme d’équations différentielles en tant que modèle SI de la manière suivante [38] :
˙ S = −iIS ˙ I = iIS (2.1)
La guérison reste cependant possible dans le cas de nombreuses maladies infectieuses. Si à chaque unité de temps, un individu infecté a une probabilité g de guérir de la maladie et de redevenir susceptible, on a en moyenne gl individus qui guérissent chaque jour. Le système d’équations se présente en tant que modèle SIS comme suit [39] :
˙ S = −iIS + gl ˙ I = iIS − gl (2.2) Le modèle SIR
Un compartiment (R) est ajouté pour désigner les individus qui se sont rétablis et ne peuvent plus être infectés, en considérant qu’un individu guéri soit immunisé. Le système peut être représenté graphique-ment comme suit :
FIGURE2.1 –Illustration du modèle SIR [40].
˙ S = −βIS + gl ˙ I = βIS − Iλ ˙ R = λI (2.3)
2.1.2
Les modèles SEI, SEIS, SEIR et SEIRS
Dans la pratique, lorsqu’un individu susceptible est infecté par une maladie, s’écoule normalement un certain temps avant que des symptômes apparaissent et/ou que l’individu devienne contagieux. Afin de prendre en considération cet état, un nouveau compartiment E d’individus exposés à la maladie est introduit. Les individus se trouvant au sein du compartiment E deviendront éventuellement infectés à un taux k. Cela se traduit par le système d’équations :
˙ S = −iIS ˙ E = iIS − kE ˙ I = kE (2.4)
Il s’agit d’un modèle de type SEI. Nous pouvons par ailleurs ajouter un tel compartiment d’indivi-dus exposés E aux autres modèles introduits précédemment et obtenir les modèles de type SEIS, SEIR et SEIRS.
2.2
Les automates
Les équations différentielles présentées précédemment intègrent les états du système étudié. Par ailleurs dans la modélisation des systèmes dynamiques, les transitions entre les états sont d’une grande importance tel que mentionné par [41]. Les automates permettent d’intégrer les notions d’état et de transition. Un au-tomate est défini par :
A = (X, S, ∆)
Avec X représentant les entrées du système, S l’ensemble des états du système, et ∆ la fonction de transition entre les états du système.
2.2.1
Les automates d’état fini
L’automate fini est défini par :
Af = (Σ, S, δ, s0, F )
— ς est l’alphabet du langage,
— S est l’ensemble des états, considéré fini, — δ un ensemble de règles de transition,
— s0 est l’état initial,
— F est un l’ensemble des états terminaux du système. F ⊆ S
L’état suivant est fonction de l’état actuel et des éventuelles entrées du système. Les automates qui intègrent l’aspect temporel peuvent être utilisés pour spécifier les événements discrets.
FIGURE2.2 –Exemple de construction d’un automate d’états.
2.2.2
Les automates cellulaires
Les automates cellulaires voient le jour dans les années 40, ils sont l’oeuvre de Stanislas Ulham et John Von Neuman [42] qui souhaitaient formaliser le comportement des systèmes complexes. Ce type d’auto-mate considère l’espace et le temps comme discrets. L’espace est bidimensionnel et divisé en cellules. L’état courant d’une cellule est déterminé par celui des cellules voisines et son état précédent, les cel-lules étant constituées de deux états (allumé et éteint). Les automates cellulaires, très utilisés, considèrent l’espace comme étant continu.
FIGURE2.3 –Le Triangle de Pascal, un exemple d’automate cellulaire.
Des chercheurs comme [43] et [44] ont utilisé les automates dits cellulaires dans la dynamique de transmission des maladies pour caractériser les individus en fonction de leur classe sociale et de leur
FIGURE2.4 –Exemple d’utilisation d’automates cellulaires en dynamique de transmission de maladie [45].
2.3
Les Systèmes Multi-Agents (SMA)
Les systèmes multi-agents (SMA) se focalisent davantage sur le rôle des interactions et des modes d’organisation dans la description et la compréhension de la dynamique des systèmes. La description des interactions se fait à un niveau de détail plus fin. Cette méthode permet la gestion et prise en compte de dynamiques nouvelles (émergence) du système à un niveau de détail supérieur à partir d’une modélisation effectuée à un niveau de détail hiérarchiquement inférieur. [46] propose une méthode de résolution de problèmes par émergence à partir d’une analyse réductionniste et une modélisation/simulation de cette réduction pour retrouver le phénomène global. Les applications utilisant les SMA sont diverses et variées et aujourd’hui encore, la définition d’un agent varie suivant le contexte. Cependant, les divers auteurs s’accordent sur les principales caractéristiques de tels systèmes.
2.3.1
Les Agents
G. Weiss [48] définit de manière générale les agents comme étant des entités autonomes qui peuvent être vues comme percevant leur environnement à l’aide de récepteurs et qui agissent sur l’environnement à l’aide d’effecteurs. Il énumère quatre concepts :
— l’autonomie ; capacité pour un agent à effectuer une action de manière libre et volontaire afin de satisfaire un besoin et en utilisant ses propres ressources. Il peut s’il le souhaite, communiquer avec les autres entités ;
— la coopération ; établie lorsqu’au sein d’un environnement, un agent communique avec les agents voisins et qu’ils peuvent s’entraider pour la réalisation de leurs besoins ;
— l’interaction ; pont entre le fonctionnement autonome d’un agent et sa collaboration avec les autres agents ; quand il y a collaboration, il y a presque toujours à certains moments un état conflictuel et compétitif ;
— la position ou localisation ; l’environnement au sein duquel évolue l’agent définissant ses conditions d’existence, ses actions et ses interactions avec les autres agents.
FIGURE 2.6 –Illustration d’une modélisation à base d’agents [49].
Les éléments majeurs ici sont les interactions et l’environnement. [30] distingue deux catégories d’in-teraction : les ind’in-teractions directes dans lesquelles les agents interagissent ou communiquent par échange de messages et les interactions indirectes dans lesquelles les agents interagissent ou communiquent via l’environnement. Notons que ces définitions présentent les SMA comme des ensembles d’entités discrètes et non formalisées. [50] conçoit un agent comme une entité ou processus au sein d’un environnement virtuel ou réel présentant les caractéristiques suivantes :
• l’agent est capable d’actions au sein de l’environnement,
• chaque agent a des objectifs et ses actions vont dans le sens de satisfaire ses besoins, • un agent possède ses propres ressources,
• chaque agent a une connaissance partielle du système,
• le contrôle du système est reparti, • l’agent est capable de reproduction,
• le comportement de l’agent varie en fonction de ses perceptions et de ses interactions avec les autres agents.
FIGURE 2.7 –Illustration de l’univers Agents [49].
Deux types d’agents sont généralement présentés dans la littérature : les agents réactifs et les agents cognitifs.
Les agents réactifs
Les agents réactifs sont les agents qui ont une représentation abstraite de leur environnement et des agents voisins. Leur comportement est essentiellement perception-action. ils effectuent un va-et-vient entre ce qu’il perçoivent et l’ensemble des opérations qu’ils peuvent réaliser à partir de leur perception.
Les agents cognitifs
Ces agents sont dotés d’une intelligence et de raisonnement. Ils ont une perception claire et explicite de l’environnement dans lequel ils évoluent (états, caractéristiques, fonctionnement) et sur les autres agents. [51] disent de ces agents qu’ils sont dotés de convictions, d’objectifs et d’intentions, ces dernières ayant pour but de satisfaire leurs besoins.
FIGURE2.8 –Illustration de l’univers des agents cognitifs [49].
Les modèles multi-agents ou modèles à base d’agents (MBA) s’apparentent être un moyen assez ef-ficace pour représenter une population d’individus hétérogènes dans un environnement. [28] présente un MBA dans lequel les agents représentant les individus, sont situés dans un environnement homogène re-présenté par une grille. Les MBA permettent de prendre en considération l’environnement spatial comme un milieu où les personnes se déplacent.
Le comportement Agent
[49] définit le comportement des agents comme un cycle à trois phases : la perception, la délibération et l’action.
S’inspirant des travaux de [52], [49] propose une représentation du comportement d’un agent. Il définit une fonction de comportement Behaviora : Σ 7−→ Aa, avec Aa représentant l’ensemble des actions que
peut effectuer un agent. A cela s’ajoutent trois autres fonctions :
— P erceptiona: Σ 7−→ Paqui évalue la perception d’un agent à partir d’un état du système,
— Deliberationa : Pa× Sa 7−→ Saévalue le nouvel état interne d’un agent à partir d’une perception,
— Actiona: pa× Sa 7−→7−→ Aaproduit une action d’un agent suite à une perception.
2.3.2
L’environnement
Un agent évolue au sein d’un environnement. Contrairement à l’agent qui est doté d’une autonomie de comportement, l’environnement lui, peut être dynamique. Suivant les travaux de [53], [49] énumère deux catégories principales d’environnement :
— La discrétisation : l’environnement est défini comme un espace borné qui limite les perceptions et actions d’un agent.
FIGURE 2.10 –Exemple d’environnements discrets.
— La continuité : toute nouvelle perception ou action dépend de l’action de l’agent et de la nature de perception ou action courante. L’agent est à chaque instant considéré comme le point de référence à partir duquel toute perception ou action doit être évaluée.
FIGURE2.11 –Exemple d’environnement continu.
2.3.3
Les interactions
L’interaction est importante pour les agents. Un agent qui communique peut collaborer et coordonner ses actions avec les autres agents, et ensemble, atteindre plus efficacement et mutuellement leurs objectifs. la communication se fait généralement par des messages ou des signaux.
FIGURE 2.12 – Illustration du diagramme de classes d’une modélisation à base d’agents d’une population de moustique aedes aegypti [54].
La modélisation par agents présente quelques atouts : la modularité et l’incrémentalité. La modularité suppose qu’il est relativement aisé d’ajouter ou de retirer un ou plusieurs agents du système. L’incré-mentalité elle, suppose un affinage aisé du modèle. Le comportement individuel des agents suppose un algorithme. Par conséquent, le système offre plus de précision pour chaque agent qu’avec une description plus globale de toute une population (cas de la modélisation par équations). Malheureusement, cette ap-proche a des inconvénients. Il est difficile d’obtenir un modèle analytique à partir d’une modélisation par agents. Décrire un SMA nécessite de nombreux paramètres et nécessite de grandes puissances de calcul.
2.4
Les modèles individus-centrés (IBM)
[55] définit les IBM comme des simulations basées sur les interactions locales entre les membres d’une population donnée mais ayant des conséquences globales. Les IBM sont souvent considérés comme des modèles agents, ce sont en réalité des modèles agents particuliers, les individus étant perçus comme des agents. Ces modèles sont un peu comme des systèmes multi-agents (SMA), à la différence que les IBM ont cette particularité que chaque agent représente un individu fonctionnant de manière assez autonome au cours de la simulation. Les IBM sont souvent définis dans l’espace avec des coordonnées géométriques et des fonctions de déplacement qui définissent les mouvements et actions que peuvent effectuer un individu sur une surface de déplacement définie. C’est le cas par exemple avec des systèmes proies-prédateurs. Avec les IBM, les mouvements de chaque individu sont suivis dans le temps, contrairement par exemple à un personnage d’un film animé où l’action est prévue à l’avance ou un avatar dans un jeu de réalité virtuelle dont les actions sont dirigées en temps réel par un participant, très souvent humain [55]. Les travaux de recherche de Reynolds font état de plusieurs simulations individu-centré, que nous pouvons classer ainsi en 2 groupes.
2.4.1
Simulation continue individu-centré
Inspiré par [56] et [57], [58] met au point un algorithme de simulation individu-centré avec évitement d’obstacles. Il considère que la simulation se déroule dans un univers fermé.
S’inspirant de la nature où aucune des créatures faisant partie d’un groupe n’a pas de connaissance approfondie de l’ensemble du groupe, [55] simule le mouvement d’un troupeau d’oiseaux issu d’un mo-dèle agrégé complexe. Il considère que chaque élément de groupe qu’il appelle "boid" a des connaissances limitées, notamment une connaissance uniquement locale de l’espace par lui occupé et cette connaissance provient d’une vision simulée de sa position actuelle. En clair, il n’existe pas de contrôle centralisé. Le troupeau d’oiseaux dans ce cas prend alors ses décisions de manière totalement repartie afin d’obtenir un mouvement synchronisé.
FIGURE 2.14 –Démonstrations du comportement directionnel [59].
[60] a étendu le modèle de Reynolds à d’autres scénarios. Il considère chaque boid comme un en-semble de paramètres connectés utilisés pour simuler un vol en tant que masse, vitesse maximale, ac-célération maximale, position globale, vitesse actuelle et un système de référence de vue utilisé afin de représenter la perception du boid. Le boid a ici trois sens de déplacement : l’avant, le haut et le bas. Une partie de ces informations est définie à la naissance du boid tandis qu’une autre est mise à jour à chaque image de la simulation.
FIGURE 2.15 –Les trois différents types de comportement de direction. Le premier montre la séparation, le boid tend à être plus éloigné des autres voisins. La seconde montre l’alignement, le boid a tendance à s’aligner sur d’autres boids à proximité. Le troisième montre la cohésion, le boid a tendance à rester avec les autres à proximité [60].
2.4.2
Simulation discrète individu-centré
Nous montrons ici qu’un objet complexe peut être généré à partir d’une collection de micro-objets agrégés. L’objet groupé n’est pas semblable à une société bien organisée mais dispose de certaines pro-priétés essentielles [61]. Aucun des micro-objets n’a d’informations sur la conception de l’objet composé
plus localisées dans une région spatio-temporelle particulière : elles sont reparties sur l’étendue de l’aire occupée par l’objet. Pris sous cet angle, les systèmes discrets peuvent alors être perçus comme de systèmes réels ayant une structure définie, bien que cette structure ne soit déterminante et au niveau du système re-présentant de manière globale l’objet. Il est à noter que le système est donc totalement externe pour les micro-objets bien que dépendant d’eux pour la composition de l’objet global. Le système dépendra donc de règles abstraites ainsi que de leur représentation dans le dynamique processus spatio-temporel.
FIGURE2.16 –Processus d’agrégation de 100 cellules [61].
Étudiant les sciences humaines et sociales, [62] distingue deux grandes catégories de modélisation : une modélisation mathématique et une modélisation informatique.
2.5
Classification des approches de modélisation
Les domaines concernés par notre travail peuvent être regroupés en deux catégories.
2.5.1
Le modèle mathématique
Ce type de modèle représente tout système réel par un système formel. Les équations mathématiques (et donc les équations différentielles présentées précédemment) font partie de cette catégorie. Ce type de modèle est très utilisé dans le monde de la finance, de l’économie et de la santé. La formalisation du système étudié bien que produisant des résultats satisfaisant à partir des hypothèses et des lois, trouve cependant de plus en plus des critiques pour son incapacité à prévoir les crises économiques [63]. La modélisation par des équations présente l’avantage d’être une approche formalisée. Une équation mathé-matique est compréhensible universellement, elle est formalisée et des solutions analytiques peuvent être
trouvées. Dans le cas contraire, des simulations numériques peuvent être envisagées. Les systèmes d’équa-tions différentielles permettent de décrire l’évolution dans le temps d’une ou de plusieurs populad’équa-tions et les éventuelles interactions entre elles [37]. Cependant, quelques limites sont à noter dans la modélisation par équations [40] :
• la modélisation par équations utilise les moyennes pour ses calculs, la prise en compte de la faible proportion de certaines cellules par une partie de la population est mal gérée ; elle utilise un niveau d’abstraction assez élevé ;
• Les systèmes de grande taille (centaine de réactions) sont difficilement modélisables par les équa-tions différentielles ;
• l’ajout ou la suppression de nouvelles populations peut entraîner la modification de nombreuses équations du modèle.
2.5.2
Le modèle informatique
Le modèle informatique utilise les outils de l’informatique pour la représentation des systèmes. Ce type de modèle définit les entités du système, les données partagées par ces entités, et le traitement des informations contenues dans les données. Les Systèmes Muti-Agents et les Modèles Individus-Centrés entrent dans cette catégorie. La modélisation informatique est importante pour la simulation des phéno-mènes avec un niveau de précision plus avancé, plus proche de la réalité. La précision appelant un niveau de détails plus profond, elle engendre un nombre important de paramètres pas toujours faciles à contrô-ler [64].
Nous avons présenté précédemment diverses approches de formalisation, chacune présentant des atouts et limites en fonction du temps, de l’espace. Ramat [65] résume cela en établissant une classification.
En décomposant un système en plusieurs sous-systèmes, la classification faite par Ramat peut être utile car l’on pourrait alors utiliser un type de formalisme en fonction des besoins spatio-temporels liés à chaque sous-système étudié ; se posera alors la question de couplage de modèles issus de formalismes différents. Le formalisme DEVS que nous présenterons à la section 2.6 apporte une solution au problème de couplage de modèles.
2.6
Spécification et discrétisation avec le formalisme DEVS
Jusqu’au début des années 1970, plusieurs modélisateurs s’attelaient à proposer des modèles pour la simulation des systèmes à événements discrets. Seulement, leur réutilisation posait problème, tant les ap-proches de modélisation étaient différentes. En 1976, Zeigler [41] propose un formalisme abstrait pour la spécification des systèmes à événements discrets : c’est le formalisme DEVS (Discrete EVent system Specification). L’idée de Zeigler était de proposer un formalisme qui serait alors capable de fédérer (faire cohabiter) les diverses approches jusque là développées. DEVS apparait alors comme un formalisme abs-trait, hiérarchisé et universel présenté sous deux formes : la forme atomique et la forme couplée.
2.6.1
DEVS atomique
La forme atomique d’un modèle avec DEVS se présente comme suit : DEVS atomique=hX, Y, S, δext, δint, δcon, λ, tai,
avec
X l0ensemble des ports et des valeurs d0entr´ee,; Y l0ensemble des ports et des valeurs de sortie,; S l0ensemble des ´etats du syst`eme,;
δextla f onction de transition externe,;
δintla f onction de transition interne,;
δconla f onction de transition conf lit,;
λ la f onction de sortie,;
tale temps pendant lequel le mod`ele reste dans l0etat S..´
La Figure 2.18 illustre la représentation graphique d’un modèle DEVS atomique.
δint : S −→ S, la fonction de transition interne, représente les évolutions autonomes du système,
c’est-à-dire sans l’intervention d’un événement externe. Elle permet de déterminer les états prochains du système à partir des états actuels. Chaque état a une durée de vie.
δext: S × X −→ S, la fonction de transition externe, permet de déterminer l’état prochain du système
en réaction à l’arrivée d’un événement externe sur un de ses ports d’entrée.
Le fait d’avoir deux fonctions de transition (interne et externe) dont le rôle est de déterminer l’état pro-chain du système en fonction de l’arrivée ou non des événements externes est une particularité de DEVS et constitue d’ailleurs un de ses atouts majeurs.
δcon : S × X −→ S, la fonction de conflit est présentée comme un arbitre. Elle permet de déterminer
l’état prochain du système dans le cas où le système, s’apprêtant à changer d’état de manière autonome via la fonction de transition interne δint, voit arriver au même moment un événement externe sur son port
d’en-trée. Les fonctions de transition interne et externe devraient donc être simultanément activées ; la fonction de conflit δconest alors sollicitée pour déterminer l’état futur du système.
λ : S −→ Y , la fonction de sortie du système, est actionnée lorsque le temps écoulé dans un état s est égal à sa durée de vie prévue. Cette fonction est activée uniquement en cas de transition interne.
