HMSN206 - Partie Alignement Partie I-1 : Dot Plot et Prog. dyn.

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Texte intégral

(1)

M1 Bioinformatique, Connaissances et Donn´ees Master Sciences et Num´erique pour la Sant´e

Ann´ee 2017-2018

HMSN206 - Partie Alignement

Partie I-1 : Dot Plot et Prog. dyn.

Anne-Muriel Chifolleau

LIRMM - UM

(2)

Plan

1

Introduction

• Dotplot

• Alignement : d´efinitions et scores

• Algorithme d’alignement (programmation dynamique)

• Autres types d’alignements

• Significativit´e

• Les logiciels

• La suite ...

(3)

Qu’est-ce que aligner des s´ equences ?

2

Aligner = comparer

Identifier les points communs ou les diff´erences entre des s´equences

Retracer l’histoire ´evolutive des s´equences en simulant les mutations

Mutations = d´egradations ou des changements permanents de l’ADN

B Substitution : remplacement d’un nucl´eotide par un autre

B Insertion / el´etion : ajout / suppression d’un fragment d’ADN B Duplication : doublement d’un fragment d’ADN

B Recombinaison : ´echange de fragments d’ADN entre chromosomes ou g´enomes

B Inversion : changement de sens d’un fragment d’ADN

Mutations plus ou moins graves : neutre, d´efavorable, b´en´efique, etale

(4)

Pourquoi aligner des s´ equences ?

3

• Recherche d’homologie

• Identification de s´equences / pr´ediction de g`enes

• Recherche de fonctions ou domaines communs / transfert d’annotation

• Identification de r´egions r´ep´et´ees / introns / exons

• Assemblage de g`enome

On dispose de beaucoup de s´equences ⇒ ressource `a exploiter

(5)

Exemples d’alignement : insuline

4

Score = 271, Expect = 2e-24

B FVNQHLCGSHLVEALYLVCGERGFFYTPK A G I VEQCCA STCS L YQLENYCN

| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | E´ FVNQHLCGSHLVEALYLVCGERGFFYTPKTG I VEQCCTGVCS L YQLENYCN

Score = 256, Expect = 1e-22

B NQHLCGSHLVEALYLVCGERGFFYTPK A G I VEQCCA STCS L YQLENYCN

| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | + | | | | | | | | | + | | | | | | | | | | | C NQHLCGSHLVEALYLVCGERGFFY S PKTG I VEQCCENPCS L YQLENYCN

Score = 243, Expect = 4e-21

B FVNQHLCGSHLVEALYLVCGERGFFYTPK A G I VEQCCA STCS L YQLENYCN

| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | + | | + | | + | | | | + | | | | + | | | | | | | | O FPNQHLCGSHLVEALYLVCGEKGFYY I PRMG I VE E CCKGVCSMYQLENYCN

Insuline chez la Baleine, l’El´´ ephant, le Canard et l’Ornithorynque (EMBL+BLASTP)

(6)

Plan

5

• Introduction

Dotplot

• Alignement : d´efinitions et scores

• Algorithme d’alignement (programmation dynamique)

• Autres types d’alignements

• Significativit´e

• Les logiciels

• La suite ...

(7)

Une m´ ethode graphique : le Dot Plot

6

match (identit´e) →

mismatch →

diagonale = egion similaire

A C T C G A G C T A T C G

A

C

T

A

T

G

A

G

A

T

A

T

G

(8)

Une m´ ethode graphique : le Dot Plot

6

match (identit´e) →

mismatch →

diagonale = egion similaire

A C T C G A G C T A T C G

A

C

T

A

T

G

A

G

A

T

A

T

G

(9)

Une m´ ethode graphique : le Dot Plot

6

match (identit´e) →

mismatch →

diagonale invers´ee = egion miroir

A C T C G A G C T A T C G

A

C

T

A

T

G

A

G

A

T

A

T

G

(10)

Dot Plot : vue par fenˆ etre

7

match (identit´e) →

mismatch →

Fenˆetre de taille 2

A C T C G A G C T A T C G

A

C

T

A

T

G

A

G

A

T

A

T

G

(11)

Dot Plot : vue par fenˆ etre

7

match (identit´e) →

mismatch →

Fenˆetre de taille 3

A C T C G A G C T A T C G

A

C

T

A

T

G

A

G

A

T

A

T

G

(12)

Dot Plot : vue par fenˆ etre

7

match (identit´e) →

mismatch →

Fenˆetre de taille 4

A C T C G A G C T A T C G A

C

T

A

T

G A G A T A T G

(13)

Dot Plot : vue par fenˆ etre

7

match (identit´e) →

mismatch →

Fenˆetre de taille 5

A C T C G A G C T A T C G A

C T A T G A G A T A T G

(14)

Dotplot sur des s´ equences r´ eelles

8

Taille fenˆetre = 2

(15)

Dotplot sur des s´ equences r´ eelles

8

Taille fenˆetre = 3

(16)

Dotplot sur des s´ equences r´ eelles

8

Taille fenˆetre = 4

(17)

Dotplot sur des s´ equences r´ eelles

8

Taille fenˆetre = 5

(18)

Dotplot sur des s´ equences r´ eelles

8

Taille fenˆetre = 6

(19)

Dotplot sur des s´ equences r´ eelles

8

Taille fenˆetre = 7

(20)

Dotplot sur des s´ equences r´ eelles

8

Taille fenˆetre = 8

(21)

Dotplot sur des s´ equences r´ eelles

8

Taille fenˆetre = 9

(22)

Dotplot sur des s´ equences r´ eelles

8

Taille fenˆetre = 10

(23)

Dotplot sur des s´ equences r´ eelles

8

Taille fenˆetre = 11

(24)

Dotplot sur des s´ equences r´ eelles

8

Taille fenˆetre = 12

(25)

Dotplot sur des s´ equences r´ eelles

8

Taille fenˆetre = 20

(26)

Rep´ erer des similarit´ es globales

9

H´emoglobine humaine chaˆınes α2 et β

(27)

Rep´ erer des similarit´ es locales

10

(28)

Rep´ erer des r´ ep´ etitions

11

Minisatellite humain MSY1, taille de la fenˆetre = 20

(29)

Avantage et inconv´ enients du dotplot

12

Avantages :

→ simple, visuel

→ tr`es informatif

→ pas ou peu de perte d’information

Inconv´enients :

→ identification ⇒ pas de m´ethode de d´etection automatique

→ interpr´etation ⇒ pas de mesure objective et d’´evaluation de la pertinence de l’information

⇒ Besoin d’une mesure quantitative de similarit´e

(30)

Plan

13

• Introduction

• Dotplot

Alignement : d´ efinitions et scores

• Algorithme d’alignement (programmation dynamique)

• Autres types d’alignements

• Significativit´e

• Les logiciels

• La suite ...

(31)

Qu’est-ce qu’un alignement ?

14

Mise en correspondance de 2 s´equences (ADN ou prot´eine)

R D I S L V K N A G I

| | | | | | | |

R N I L V S D A K N V G I

(32)

Qu’est-ce qu’un alignement ?

14

Mise en correspondance de 2 s´equences (ADN ou prot´eine)

R D I S L V K N A G I

| | | | | | | |

R N I L V S D A K N V G I

3 ´ev´enements mutationnels ´el´ementaires = 3 op´erations

B substitution

B insertion B el´etion

indels

(33)

Qu’est-ce qu’un alignement ?

14

Mise en correspondance de 2 s´equences (ADN ou prot´eine)

R D I S L V K N A G I

| | | | | | | |

R N I L V S D A K N V G I

3 ´ev´enements mutationnels ´el´ementaires = 3 op´erations

B substitution

B insertion B el´etion

indels

Donn´ee : une paire de s´equences + une m´ethode de score/dist.

But : Quantifier et localiser la similarit´e : score/dist. + alignement

(34)

Qu’est-ce qu’un alignement ?

14

Mise en correspondance de 2 s´equences (ADN ou prot´eine)

R D I S L V K N A G I

| | | | | | | |

R N I L V S D A K N V G I

3 ´ev´enements mutationnels ´el´ementaires = 3 op´erations

B substitution

B insertion B el´etion

indels

Donn´ee : une paire de s´equences + une m´ethode de score/dist.

But : Quantifier et localiser la similarit´e : score/dist. + alignement

Trouver la meilleure mise en correspondance = meilleur score/dist.

(35)

D´ efinition formelle d’un alignement

15 Soient s et t deux s´equences respectivement de longueur n et m.

On note si le symbole `a la position i de s.

(36)

D´ efinition formelle d’un alignement

15 Soient s et t deux s´equences respectivement de longueur n et m.

On note si le symbole `a la position i de s. D´efinition : un Alignement global de s et t :

(37)

D´ efinition formelle d’un alignement

15 Soient s et t deux s´equences respectivement de longueur n et m.

On note si le symbole `a la position i de s. D´efinition : un Alignement global de s et t :

→ une matrice `a 2 lignes, et entre max(m, n) et n + m colonnes

(38)

D´ efinition formelle d’un alignement

15 Soient s et t deux s´equences respectivement de longueur n et m.

On note si le symbole `a la position i de s. D´efinition : un Alignement global de s et t :

→ une matrice `a 2 lignes, et entre max(m, n) et n + m colonnes

→ o`u chaque colonne met en correspondance deux symboles : soit stji

ou ( si ) ou t

j

(39)

D´ efinition formelle d’un alignement

15 Soient s et t deux s´equences respectivement de longueur n et m.

On note si le symbole `a la position i de s. D´efinition : un Alignement global de s et t :

→ une matrice `a 2 lignes, et entre max(m, n) et n + m colonnes

→ o`u chaque colonne met en correspondance deux symboles : soit stji

ou ( si ) ou t

j

→ o`u les colonnes doivent respecter l’ordre des s´equences apr`es stji

on trouve si+1

, sti+1

j+1

ou t

j+1

(40)

D´ efinition formelle d’un alignement

15 Soient s et t deux s´equences respectivement de longueur n et m.

On note si le symbole `a la position i de s. D´efinition : un Alignement global de s et t :

→ une matrice `a 2 lignes, et entre max(m, n) et n + m colonnes

→ o`u chaque colonne met en correspondance deux symboles : soit stji

ou ( si ) ou t

j

→ o`u les colonnes doivent respecter l’ordre des s´equences apr`es stji

on trouve si+1

, sti+1

j+1

ou t

j+1

Remarque : suivant le nombre de symboles −, le nombre de colonnes d’un alignement varie.

(41)

Ensemble des alignements

16 S´equences s := I, t := L

Alignement 1 Alignement 2 Alignement 3

I

L

I L

I L

(42)

Ensemble des alignements

16 S´equences s := I, t := L

Alignement 1 Alignement 2 Alignement 3

I

L

I L

I L

S´equences s := IL et t := LV ⇒ 13 alignements possibles

(43)

Ensemble des alignements

16 S´equences s := I, t := L

Alignement 1 Alignement 2 Alignement 3

I

L

I L

I L

S´equences s := IL et t := LV ⇒ 13 alignements possibles

I L L V

I L L V

I L

L V

I L L V

I L

L V

I L L V

I L

L V

I L L V

I L

L V

I L L V

I L

L V

I L L V

I L L V

(44)

M´ ethodes de scores

17

• Identit´e/substitution : Scores positifs/n´egatifs

→ matrice s de score de similarit´e (PAM, BLOSUM, etc.)

→ s(a, b) = score d’alignement des r´esidus a et b

(45)

M´ ethodes de scores

17

• Identit´e/substitution : Scores positifs/n´egatifs

→ matrice s de score de similarit´e (PAM, BLOSUM, etc.)

→ s(a, b) = score d’alignement des r´esidus a et b

• Insertion/d´el´etion (indels) : Scores n´egatifs fonction de p´enalit´e

´el´ementaire : unitaire pour un indel complexe : affine, logarithmique

(46)

M´ ethodes de scores

17

• Identit´e/substitution : Scores positifs/n´egatifs

→ matrice s de score de similarit´e (PAM, BLOSUM, etc.)

→ s(a, b) = score d’alignement des r´esidus a et b

• Insertion/d´el´etion (indels) : Scores n´egatifs fonction de p´enalit´e

´el´ementaire : unitaire pour un indel complexe : affine, logarithmique

• Score de l’alignement : somme des scores des ´ev´enements

´el´ementaires qui le composent

(47)

M´ ethodes de scores

17

• Identit´e/substitution : Scores positifs/n´egatifs

→ matrice s de score de similarit´e (PAM, BLOSUM, etc.)

→ s(a, b) = score d’alignement des r´esidus a et b

• Insertion/d´el´etion (indels) : Scores n´egatifs fonction de p´enalit´e

´el´ementaire : unitaire pour un indel complexe : affine, logarithmique

• Score de l’alignement : somme des scores des ´ev´enements

´el´ementaires qui le composent

⇒ Maximiser le score

(48)

Les m´ ethodes de distances

18

Distance d’´edition Distance d’´edition g´en´eralis´ee

Lev

a b

= 1 Edit

a b

= Sub(a, b) 0

Lev

a

= 1 Edit

a

= Del(a) 0

Lev

b

= 1 Edit

b

= Ins(b) 0

Seule l’identit´e = 0

(49)

Les m´ ethodes de distances

18

Distance d’´edition Distance d’´edition g´en´eralis´ee

Lev

a b

= 1 Edit

a b

= Sub(a, b) 0

Lev

a

= 1 Edit

a

= Del(a) 0

Lev

b

= 1 Edit

b

= Ins(b) 0

Seule l’identit´e = 0

• Coˆut de l’alignement : somme des coˆuts des ´ev´enements

´el´ementaires qui le composent

(50)

Les m´ ethodes de distances

18

Distance d’´edition Distance d’´edition g´en´eralis´ee

Lev

a b

= 1 Edit

a b

= Sub(a, b) 0

Lev

a

= 1 Edit

a

= Del(a) 0

Lev

b

= 1 Edit

b

= Ins(b) 0

Seule l’identit´e = 0

• Coˆut de l’alignement : somme des coˆuts des ´ev´enements

´el´ementaires qui le composent

⇒ Minimiser la distance

(51)

Les matrices de score

19

Les matrices nucl´eiques

Peu de matrice

Matrice unitaire, de transition/transversion, ...

Les matrices prot´eiques

Propri´et´es physico-chimiques : polarit´e, masse, etc.

pas convaincant `a l’usage

Observation des fr´equences de mutation lors de l’´evolution

Matrices PAM [Dayoff, 1969] Fr´equence de changement entre

A.A., convient pour des s´equences avec un ancˆetre commun, PAM N : N mut. accept´ees par 100 A.A

Matrices BLOSUM [Henikoff&Henikoff, 1992] Fr´equence de

changement entre A.A. avec conservation de structure, convient pour la recherche de similarit´es locales, BLOSUM N : seuil de similarit´e

Explications d´etaill´ees au CM2

(52)

Fonction de gap (1/4)

20

• Fonction de gap = p´enalit´e associ´ee aux gaps

• Biologie : insertion d’un segment dans un g`ene

⇒ les insertions/d´el´etions arrivent en groupe

• gap : suite de l insertions ou de l d´el´etions

• Mais pour ne pas donner lieu `a des sc´enarios biologiquement invraisemblables, il faut les garder en nombre raisonnable :

→ 1 indel pour 20 a.a.

(53)

Fonction de gap (2/4)

21

Diff´erentes fonctions de p´enalit´es avec comme param`etres

o : p´enalit´e d’ouverture de gap

e : p´enalit´e d’extension de gap

l : longueur du gap

Fonction lin´eaire : l × e

besoin d’un p´enalisation moindre que la fonction lin´eaire

Fonctions affines : o + e × (l 1) o`u o > l

Fonctions logarithmiques : o + e × log(l)

Fonctions qui pond`ere e par la distance ´evolutive ou la nature des esidus

. . .

Fonctions de p´enalit´e les plus r´ealistes = fonctions affines.

Fonctions de gaps diff´erentes alignements diff´erents

(54)

Fonction de gap (3/4)

22

(55)

Fonction de gap (4/4)

23

• Exemple d’alignements possibles avec fonction de gap affine

fonction affine : o + e x longueur_extension

o 0 1 1 1

e 0 0 0.1 1

--- Al1 7 5 4.9 4 ATGCGggACaTG

AgGCG--cC-TG (7 id., 1 gap d’1 pb, 1 gap de 2 pb) Al2 7 5 4.9 4 ATGCGGgaCaTG

AgGCGc--C-TG (7 id., 1 gap d’1 pb, 1 gap de 2 pb) Al3 7 6 5.8 4 ATGCGggaCATG

AgGCG---CcTG (7 id., 1 gap de 3 pb) Al4 7 4 4 4 ATGCGgGaCaTG

AgGCG-c-C-TG (7 id., 3 gaps de 1 pb)

• Importance des p´enalit´es de gaps (voir TP)

P´enalit´e diff´erente ⇒ alignement diff´erent

• Remarque : le score le plus ´elev´e n’est pas n´ecessairement celui du meilleur alignement

(56)

Plan

24

• Introduction

• Dotplot

• Alignement : d´efinitions et scores

Algorithme d’alignement (programmation dynamique)

• Autres types d’alignements

• Significativit´e

• Les logiciels

• La suite ...

(57)

Exemple

25

Aligner les s´equences : ACGGCT AT C et ACT GT AAT G

Scores : indel = −1, mismatch −2, match = 2

(58)

Exemple

25

Aligner les s´equences : ACGGCT AT C et ACT GT AAT G

Scores : indel = −1, mismatch −2, match = 2

Alignement optimal complet, derni`ere op´eration : 3 possibilit´es

(59)

Exemple

25

Aligner les s´equences : ACGGCT AT C et ACT GT AAT G

Scores : indel = −1, mismatch −2, match = 2

Alignement optimal complet, derni`ere op´eration : 3 possibilit´es

substitution el´etion insertion

ACGGCTATC

? ? ?

ACTGTAATG

−2

ACGGCTAT C

? ? ?

ACTGTAATG -

−1

ACGGCTATC -

? ? ?

ACTGTAAT G

−1

(60)

Exemple

25

Aligner les s´equences : ACGGCT AT C et ACT GT AAT G

Scores : indel = −1, mismatch −2, match = 2

Alignement optimal complet, derni`ere op´eration : 3 possibilit´es

substitution el´etion insertion

ACGGCTATC

? ? ?

ACTGTAATG

−2

ACGGCTAT C

? ? ?

ACTGTAATG -

−1

ACGGCTATC -

? ? ?

ACTGTAAT G

−1

Probl`eme sur des s´equences plus courtes

(61)

Exemple

25

Aligner les s´equences : ACGGCT AT C et ACT GT AAT G

Scores : indel = −1, mismatch −2, match = 2

Alignement optimal complet, derni`ere op´eration : 3 possibilit´es

substitution el´etion insertion

ACGGCTATC

? ? ?

ACTGTAATG

−2

ACGGCTAT C

? ? ?

ACTGTAATG -

−1

ACGGCTATC -

? ? ?

ACTGTAAT G

−1

Probl`eme sur des s´equences plus courtes

ecurrence, programmation dynamique

(62)

Programmation dynamique

26

• La programmation dynamique r´esout les probl`emes en combinant les solutions de sous-probl`emes

→ r´esout chaque sous-probl`eme 1 seule fois

→ m´emorise sa solution dans une matrice (de prog. dyn.)

(´epargnant ainsi le recalcul de la sol. chaque fois que le sous-pb est rencontr´e)

(63)

Programmation dynamique

26

• La programmation dynamique r´esout les probl`emes en combinant les solutions de sous-probl`emes

→ r´esout chaque sous-probl`eme 1 seule fois

→ m´emorise sa solution dans une matrice (de prog. dyn.)

(´epargnant ainsi le recalcul de la sol. chaque fois que le sous-pb est rencontr´e)

Ici :

calculs interm´ediaires / r´esolution sous-probl`emes

=

calculs scores d’alignements entre pr´efixes

⇒ combinaison des sous-alignements pr´ec´edents

(64)

Algorithme

27

Alignement global [Needleman & Wunsch, 1970]

Application du principe de la programmation dynamique = combinaison des sous-alignements pr´ec´edents

Case (i, j) : score alignement entre les i premi`eres bases de ACGGCT et les j premi`eres bases de ACTGT

(65)

Algorithme

28 Alignement global [Needleman & Wunsch, 1970]

⇒ Application du principe de la programmation dynamique = combinaison des sous-alignements pr´ec´edents

(66)

R´ ecurrence

29

• s : une matrice de score ; g : p´enalit´e associ´ee `a un indel

• Initialisation : M(0, 0) = 0, M(0, j) = g × j, M(i, 0) = g × i

• Remplissage

M(i, j) = max

M(i 1, j 1) + s(xi, yj) match/mismatch M(i 1, j) + g el´etion

M(i, j 1) + g insertion

(67)

Un exemple pas ` a pas

30

A C G G C T A T C

A C T G T A A T G

Coˆuts : s(a, b) = −1 avec a 6= b et 2 sinon ; g = −1

(68)

Un exemple pas ` a pas

30

A C G G C T A T C

0

A C T G T A A T G

Coˆuts : s(a, b) = −1 avec a 6= b et 2 sinon ; g = −1

(69)

Un exemple pas ` a pas

30

A C G G C T A T C

0 −1 A

C T G T A A T G

Coˆuts : s(a, b) = −1 avec a 6= b et 2 sinon ; g = −1

(70)

Un exemple pas ` a pas

30

A C G G C T A T C

0 −1 −2 A

C T G T A A T G

Coˆuts : s(a, b) = −1 avec a 6= b et 2 sinon ; g = −1

(71)

Un exemple pas ` a pas

30

A C G G C T A T C

0 −1 −2 −3 A

C T G T A A T G

Coˆuts : s(a, b) = −1 avec a 6= b et 2 sinon ; g = −1

(72)

Un exemple pas ` a pas

30

A C G G C T A T C

0 −1 −2 −3 −4 −5 −6 −7 −8 −9 A

C T G T A A T G

Coˆuts : s(a, b) = −1 avec a 6= b et 2 sinon ; g = −1

(73)

Un exemple pas ` a pas

30

A C G G C T A T C

0 −1 −2 −3 −4 −5 −6 −7 −8 −9 A −1

C T G T A A T G

Coˆuts : s(a, b) = −1 avec a 6= b et 2 sinon ; g = −1

(74)

Un exemple pas ` a pas

30

A C G G C T A T C

0 −1 −2 −3 −4 −5 −6 −7 −8 −9 A −1

C −2 T

G T A A T G

Coˆuts : s(a, b) = −1 avec a 6= b et 2 sinon ; g = −1

(75)

Un exemple pas ` a pas

30

A C G G C T A T C

0 −1 −2 −3 −4 −5 −6 −7 −8 −9 A −1

C −2 T −3 G −4 T −5 A −6 A −7 T −8 G −9

Coˆuts : s(a, b) = −1 avec a 6= b et 2 sinon ; g = −1

(76)

Un exemple pas ` a pas

30

A C G G C T A T C

0 −1 −2 −3 −4 −5 −6 −7 −8 −9 A −1 2

C −2 T −3 G −4 T −5 A −6 A −7 T −8 G −9

Coˆuts : s(a, b) = −1 avec a 6= b et 2 sinon ; g = −1

(77)

Un exemple pas ` a pas

30

A C G G C T A T C

0 −1 −2 −3 −4 −5 −6 −7 −8 −9 A −1 2 1

C −2 T −3 G −4 T −5 A −6 A −7 T −8 G −9

Coˆuts : s(a, b) = −1 avec a 6= b et 2 sinon ; g = −1

(78)

Un exemple pas ` a pas

30

A C G G C T A T C

0 −1 −2 −3 −4 −5 −6 −7 −8 −9

A −1 2 1 0

C −2 T −3 G −4 T −5 A −6 A −7 T −8 G −9

Coˆuts : s(a, b) = −1 avec a 6= b et 2 sinon ; g = −1

(79)

Un exemple pas ` a pas

30

A C G G C T A T C

0 −1 −2 −3 −4 −5 −6 −7 −8 −9 A −1 2 1 0 −1

C −2 T −3 G −4 T −5 A −6 A −7 T −8 G −9

Coˆuts : s(a, b) = −1 avec a 6= b et 2 sinon ; g = −1

(80)

Un exemple pas ` a pas

30

A C G G C T A T C

0 −1 −2 −3 −4 −5 −6 −7 −8 −9 A −1 2 1 0 −1 −2 −3 −4 −5 −6 C −2

T −3 G −4 T −5 A −6 A −7 T −8 G −9

Coˆuts : s(a, b) = −1 avec a 6= b et 2 sinon ; g = −1

(81)

Un exemple pas ` a pas

30

A C G G C T A T C

0 −1 −2 −3 −4 −5 −6 −7 −8 −9 A −1 2 1 0 −1 −2 −3 −4 −5 −6 C −2 1

T −3 G −4 T −5 A −6 A −7 T −8 G −9

Coˆuts : s(a, b) = −1 avec a 6= b et 2 sinon ; g = −1

(82)

Un exemple pas ` a pas

30

A C G G C T A T C

0 −1 −2 −3 −4 −5 −6 −7 −8 −9 A −1 2 1 0 −1 −2 −3 −4 −5 −6 C −2 1 4

T −3 G −4 T −5 A −6 A −7 T −8 G −9

Coˆuts : s(a, b) = −1 avec a 6= b et 2 sinon ; g = −1

(83)

Un exemple pas ` a pas

30

A C G G C T A T C

0 −1 −2 −3 −4 −5 −6 −7 −8 −9 A −1 2 1 0 −1 −2 −3 −4 −5 −6

C −2 1 4 3

T −3 G −4 T −5 A −6 A −7 T −8 G −9

Coˆuts : s(a, b) = −1 avec a 6= b et 2 sinon ; g = −1

(84)

Un exemple pas ` a pas

30

A C G G C T A T C

0 −1 −2 −3 −4 −5 −6 −7 −8 −9 A −1 2 1 0 −1 −2 −3 −4 −5 −6

C −2 1 4 3 2 1 0 −1 −2 −3

T −3 G −4 T −5 A −6 A −7 T −8 G −9

Coˆuts : s(a, b) = −1 avec a 6= b et 2 sinon ; g = −1

(85)

Un exemple pas ` a pas

30

A C G G C T A T C

0 −1 −2 −3 −4 −5 −6 −7 −8 −9 A −1 2 1 0 −1 −2 −3 −4 −5 −6

C −2 1 4 3 2 1 0 −1 −2 −3

T −3 0 G −4

T −5 A −6 A −7 T −8 G −9

Coˆuts : s(a, b) = −1 avec a 6= b et 2 sinon ; g = −1

(86)

Un exemple pas ` a pas

30

A C G G C T A T C

0 −1 −2 −3 −4 −5 −6 −7 −8 −9 A −1 2 1 0 −1 −2 −3 −4 −5 −6

C −2 1 4 3 2 1 0 −1 −2 −3

T −3 0 3 G −4

T −5 A −6 A −7 T −8 G −9

Coˆuts : s(a, b) = −1 avec a 6= b et 2 sinon ; g = −1

(87)

Un exemple pas ` a pas

30

A C G G C T A T C

0 −1 −2 −3 −4 −5 −6 −7 −8 −9 A −1 2 1 0 −1 −2 −3 −4 −5 −6

C −2 1 4 3 2 1 0 −1 −2 −3

T −3 0 3 3 2 1 3 2 1 0

G −4 T −5 A −6 A −7 T −8 G −9

Coˆuts : s(a, b) = −1 avec a 6= b et 2 sinon ; g = −1

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