Calcul analytique en 3D des interactions entre les aimants permanents et les conducteurs

REPUBLIQUE

ALGERIENNE'EMOCRATIQIIE

ET

POPULAIRE

Ministère

de

I'Enseignement Supérieur

et

de

lâ Recherche Scientilique

INIVERSITE

MOEAMED SEDII(

BDN

YAEIA. JIJDL

Faculté de science

et

de

technologie

Département

de

l'électrotechnique

Projet

fin d'étude pour l'obtention

du

diplôme

de master en

Electrotechnique

Option

Electrotechnique

industrielle

Thème

Calculs analytiques

en

3D

des

interactions

entre

les aimants permanents

et

les

conducteurs

Encadré par

:

M:Naamane

MOHDEB

Réalisé par:

Bouhlas

abdelkim

kebsa

fares

tFa

Remerciement

Avant

tout

nous adressons

nos

remerciements

à

ALUH,

le tout

puissant

qui

ma donné

la

volonté, Ia santé et la

patience pour

accompltr

ce

travail

lVûus

ddressoni

nos

sincèrcs

temerciements

à

:

Notre promoteur

_Mr:

_{N. Mohdeb}

_pour

_ses

_bons

_conseils,

_ses

_idées,

_ses

correcnons et

ses

remarques

tout

au

long

de ce

travail.

Ious

nos

enseignants,

_en

particulier

_ceux

_de

I'étecùotechniaue

industrielle.

Nos

enseignanB

qui

n'ont

_fdit

I'honneur

d'accepter

de

s,intéresser

à

ce

travail

et

de

participer

ù

ceiury.

Nos collègues

et

@mk soient

de

pris ou

de

loin qui

n'ont

supportés

et

encouragés

tout

au long de

ces

années.

En

fn,

ce

travail

ne

_{wud.rait rien dire}

sans

remercier

nos

parents pour

leur

dévouement

incomnensurables, qui

m'ont toujours

soutenue et

pouss&

ù

donner le

meilleur

de

_{moi.même ;}

pour

l'éducation

qu'ils

_ollert

_et

pour

_appui

inconditionnel tout

au

long

de

ma

vie,

I

û&"oo

&*urg,

etuæ qtgilet qpi

_t

_{âclairent nobe}

_vie,

L.*.f

l/Vgelaarente,

ffoo eîonfa,*,

{*

qÆ*nnnuro

ffiVapteI"fa*iIIe,

e ctf

_'r

0w

_vloô

crrcîô

om2.1,

Tq"o'1ffin*fI"guu,

Intftrd .tion généHlE

Introduction

générale

Des dispositifs complexes automatisés, à diiférentes échelles dimensionnelles, sont utiiisés dans I'industrie. Parmi ces dispositifs, oû _{distingue les sysrèmes de déplacement /positioDtrement} plaqairo

qui

sont utilisés dans divers domâine.

En

élecaonique, ces systèmes sont utilisés poùr

I'alsemblage des composants électroniques sur les ciicuits imprimés.

L'appadtion de

_{nouvelle technologie permettent de réalisé des dispositifs miniatures et}

complexe à la fois, appelé microsystème, pour

la

fabrication de tels systèmes, une réflexion porte sur le coûcept de micro-usine pour adapter la taille des unités de productior ou de test à la taille des systèmes fabriqués.

Dans

le

développemert des micro-ùsines, des lâboratoires

trâvâillent

sur différentes outils.

Les technologies des microsystèmes visent l,intégratioû monolithiqùe des

fonctiotrs:

lcs cE)tcurs, les actionneurs et rraitement du signal. Ce concept est né d'une ancienne idée de

fab,riçer

des _{composântes non seulement électroniques mais aussi mécaniques, chimiques ou optiques, grâce}

aux

procédés

collectifs de

la

microélectronique

et aux

techniques,

d

assemblage, avec comme avsntages la miniatu.isarion, 1a fiabilité et une réduction de coûrs.

l-es

années

90 ont

1,'lr

le

succès

de

plusieurs

produits

.micro-gmvés'

corlme pour

les périphériques informatiques: les imprimantes à

jet

d,enqe

(développées

par

la

société Hewletr

Packard), les écrans plats à base de micro-miroirs et les têtes de lecture/écriture pour les disques

durs.

A

ces applications grand

public

se rajoutent d'autres thématiques comme

le

sectcur des

câpteurs

(pression, centrale

d'inerti€),

de

l'optique (Micro-miroir), des

tâécommunicatiors (hterrupteur) _{ou de la} biologie (détecteur

_d'ADN)

_IBEN 061.

Le tbrt

développemeûL actuel autoru des

miqodisposirifs

permer désormais l,accès à des applications lieês à la biologie, la médecine, l'électronique...

Des

groupes

de

recherches

travaillent sur Ia

conception

de

systèmes

de

déplacemeûts

ûiniâtrres

pemettant le positionnement de haute précision (résolution inférieùre au micromèfte) de

Introdu.non 8énéHlz repose sur Le déplacemerrt

relatif

_{entre une barre d'aimants permanents miniatur:es et des bobines} électriques plates.

_la

_force

_de

_{Lorentz enûe}

_cette

_bafie

_d.aimants

er

ces

bobines

génàe

le

mouvement de

la

_{sfti.lctur€ mécanique. Cc}

_dispositil

de déplacement est basé sur une structure en fr-trme _{de Croix disposant à chacune de ces extrémités}

_d,un

moteur, ce

qui

pe.mer

a la

smlcnlre d'effecnrer des _{déplacements linéaires dans le plan}

_(X,

_y),

mais aussi des _{rorations autour de l,axe} perpendiculaire au

plaù (0).

ce dispositif

_{est capable}

_d'effecrrer

_{des déplacehents lrnéau€s sur}

quelqùes millimètres.

læs ffavaux de Williams onl abouri à _{l,élaboration d,une platine de ranslâtion en lévitation} électromagnétique

_IWILI-

_971.

pour

_créer

_la

_force

_aécessaire

_à

_la

_translation,

des aimadts eû

disposition _{de Halbach sont colle€s sur la partie inferieurs de table}

_{Dobile et}

mts en regatd ùae bobine électrique à enroulement à

six

phases. L,actionneùr

_mis

_{en place}

_utilise

_{la drspostoû}

tr

ol

meûre en _{mouvement une table mobile (pour une application eù pborolithographie)}

L'utilisation

_do

disposition,

_de

Halbach,

_une

_composante

_rle

_la

_forcc

_agit

perp€ndiculairement à

l'axe

_{de déplacement. Cette iorce produite un iléplacemenl parasite suivant} I'axe de

lévitatior.

Pou.réduire les effets de déplacemert de la composante paÉsrte créée,

LbE

et

al

iLEE

041

ptoposent

d'assombler

les

aimants

pùmanents suivant

un

disposition

appelée

disposilioû trapésoidale. Ces actionneus possèdent des dimersion _{importantes, Shùtov et}

_al

_ISHU

051 or1 développé deux dispositifs miniature (quelque centimètre)

:

h

premier urilise des

micÎo

bobine à spirale pour déplacer un aimant, le second est _{actionné par une bobine plane en}

_serpe*in

el] interaction avec des aimants réaLisés _{par sérigraphie,}

L'électromagnéti$ne est une aùtre solution

qui

permet de développer des dispositifs de positionnement en lévitation (sans _{contact) ou le positionûement planaire. Ce sont généralement de} djmensionnemenf impofiante.

L'interaction

entre

la

source

d,induction

et un

conducteur étant muûrelle. Sprenger et

al

_[SPR 98] utilisent une source d,iûduction

fixe

et conducteur mobile pour

leù

actionneù. Les aimants sont

fixés

sul un suppon métallique. La bobine est effoulée suf

ur

profilé

carré et creux dont les dtnensions permettent

_d'avoir

_{un faible entrcfer. Une dsiposition de}

Haltrach est utilisée

pour

créer des déplac€meût linéaire. Compter

er

al

_ICOM

04a] proposeot

d'utiliser

cette meme dispostion pour

cÉer

des deplacements plans.

pow

cela,

ils

utilisent, sur la

partie

fixe

du

dispositil

une

rçartiton

de la dispostion de Halbach

suivdlt

deux axes pour obt€nir

ùne matrice de Halbach.

lrs

bords de bobines consituant la partie mobile intetagissent avec les aimants

poul

_{cré€r les déplacements sùivant les deux axes. L'équipe de}

_Lomotova

_{a ûavaillé sur}

ce

problème.

et

ils

ont

féussi

à

résoudte

caleul en publiant

les

expressions des tbrces. Iæs perfonnance du prototype ne sont pas donnée, en raison de confidentialité .

In rodrctioa Eéiélale

læ

calcul de

la

force gén&eÊ

p

t

les aimants devient alors plus complexe que lorsqu,une

structue fe'omagnétiquo entoure ces _{demiers. Iæ calcul de la force entre aimant-aimant et}

aimaût-bobine

a

été

]ârgement discuté

dans

_[ALL

lo]tROV

l0l.

Cc

calcul

basé

sur

l,éaergie magnétostatique et la force de l-orentz. Ce calcul analytique en 3D

e$

évidemment plus

difâcile

qùe celui en 2D. Iæ calcul et plus

difûcile

à cause des _{intégrations successives. Dan6 ce} prcjet d€

fiq

d'étude, noùs allons voir les gandes lignes de cette méthodologie.

Dans

le

premier chapitre, nous alloos

voir

le

comportement et les

_Fol,riétés

de quelques

ai{tanfs

industriels

qui

ott

le

potentiel d'êEe

les

élémeus

consritutifs

des disDositifs

de positionllement en lévitation (sans _{cont4ct) ou le positiomement planaire.}

Et

datrs

le

deuxième chapiùe, on va proposer des modèles tridimensionnels pour

le

calcùl dcs forces d'interactions entre ainlant-aimant et aimant-bobhe, Dans ce chæitro, on va proposer

des erpressions tridimensionnelles

pour

le

calcul

des

forces

d'interactions

enûe

les

ainunis

permaneûtes et les bobitres de folme rectanqulaire.

-4-Aimart

_{permanents et}

urs

planaires

A tnants penrutnenis et aL.t itnne urs

Aimants

permanents

et

actionneurs

planaires

I.l

Introduction

I-es charnps magnétiques peuveûi essentiellement être cléés à

pânir

de deux _{"sources de}

champ". les aimants permanents et les conducteurs parcouus par des couiants

_[l].

pourtant connus

à l'époque des grecs, les aimants permârents n'ont _{connu leurs réels développements que depuis les}

anrées

1930.

De

noul'eaux types ont été

découverts,

sFthétisés

et

industrialisés, avec d€s

performarces

telles

que tes

applicatons ont

pu

se

muttiplier

dans de nomb.eux domaines, dê

l'automobile à

l'électroacoustique, de

I'horlogerie à I'industrie

minière, de l'électroménager au

jouet,

etc. L'usage

des aimants permanents

est de plus

en

plus

répandu

da

s

les actionneuas

plarairc.

Dans ce chapitre, ùous allons

voir

le compofiement et les propriétés de quelqùes aimants

industiels qui

ont le poteûtiel d'être les éléments constitutifs des actionneurs électiomagnéûques planaire!!. Et aussi étudie les fonctions et la smrcturc d'un accouplement magnétique.

I.2

Histoire

des

aimants

permânenls

I.2.1

Caractéristiques générales

L€s matériaux que

l'on

utilise pour lcurs propriétés maglétiques peuvent se classer en deux grandes familles:

.

f,es < maiériaux magnétiques durs >> qui sonf des aimants permanents.

.

Les

< matériaux rnagnétiques doux

> qui

ne

présentent des propriérés magnétiques qu'en

Drésence d'une qxcitation extérieùe.

Fig.Ll Cycles d'hyst&ésis des matériaÙx Durs et Doux

-{-I

eI act ionne ws plara ire s

En effet,

quald

_{un matédau est dans un champ élecûomagnétique extérieur,}

il

se crée

lme indnctio4 magnétique propre au

qui

e$t due à la polarisation des domaines, petites régions dâns lesqueues les

di$les

champ extérieur,

il

reste une

polai

s'ori€rtert

localcmeÀt, LÆrsqu€

l,on

supprime le

pemanente dans ie cas _{des matériaux magnétiques durs,} appelée Émanence, alors

_Er'il

n'y

ell

e pratiquement pas dans les mâtédaux

ûagnétqùet

dolû

IALL

10]. La cowbe relative à chaque

$pe

de matériau esr appelé€ cycle d,hystaésis.

Il

existe _{maintenant une variété}

_de

_matériaux

_poùr

_{aimants permanents}

_dolt

les propnétés et les _{applications sont} rrès

I.2.2

L'utilisation

des aimants C'est ajnsi qu environ 300 000

[æs aimants permanents ont d' été élaborés à parfir d'acier ou de chrome-cobalt.

Au

cours des arutées 1935. los sens ont

à

étudier des alliages de

fer-alumidum,

ûickel,

cobalt et cuit're. Ces alliages fondus ou

tÈs

peu usés de nos

jouls

du

fait

de

ittés sont connus sous le nom de

tconal

ou alnico.

lls

sont

pdseûce de cobalt (très

cotieux) et

de leurs modc.stes propriétés magnétiques.

année, entraînant une concurrence

_in

plus obligés de faire appel à

l'

datrs le domaiûe

gand

public.

L23

Difrérentes types d€s aûnants

A

I'heùre acû-relle,

il

exisre

Ticonal).

2) læs ferrites dures.3)

permanents Néodyme-Fer-B ore.

>

Les

aimarts

permanents

_Alnico

d'aimants permanents sont utilisées dans le rnonde chaque ationale sévère _{entre les diffétents constructeùs. de plùs en} et à la robotique pour rester

compétrifs,

en particulie!

familles _{d'aimanrs perrnanents. Ce sont les}

_{: l)}

_{Alnico (ou}

aimants pemanents Samarium-Cobalt.

4)

Les

aimants

Fig.I.3 les Fcrriies dùres

drEes sont

parmi les

aimants Ies phrs

utilisés à

I'heure

e, d'oxyde de ferrite

avec d'autres maLenaux comme

ftagiles, se dilaient facilement er sont plus durs que les Fig.I.2 Alnico

>

fæ6 Ferrites dures

Dans

les

années

50,

les

actuelle,

Ils

étaient composés

feûites

de

trarFm

et strontium. Par ailleurs,

ils

(voir _{Fig.1.6). Pour bien comI'Ie4ùF,}

_II

(II)

Êt en polarisation JGD. Iæ p4ssfCe

:Ê

₌

pH

+

J

AYec le champ

H

expriné en

A/$

_Ftl'

ArDraNs _wrmaLc7us et actioûeufs pl4traùts

Fig.L4 Samariun-Cob4t

>

L€s

aimsnb

pennaneûts

IJs

aimants Detmanents cobalt

ont

été dé.ouv€rts dans les arlûé€s 19@- Ces

aimafs

prés€ntDnt des perfo.n4nqes très supérieùes aux deux familles précéd€des, notamrnent en teûnes de tenue eh _{mais leur coùt constitue un inconvéniert maieur.}

_L€

cobôlt est uû matériau cher, strawgique dont les réserye.s sont concetrtxées dans un nombre

éduit

de pays. l,e samarium ett l'une _4bs rares les plus chères(Fig.I.4).

>

L€s

aimints

permatretrts

N

bs

Nôdyme-Fer-Bore ûittes

meilleures perfomances magnétiqles

Dars un airnaût, le champ

H

e.st

Do

I3

La

courbe de

rl6ainanfafion

sotrI

apparus Eaxché actuel.

JerB

0.9

&

de désaiûrantaiio! d'un aimart

caractérisés pal leurs cycleù d'hysréresis et

aimartation du deurième quadrant du plaû ts-H ou

J-H

iste deux desshs

dr

_{cycle d'hystérésis ; en iûdu€1i@}

B

'ùne représentation à une aut e ôe fait à partir de la r€lalioo

B

ainsi que la polarisation J exprimées @ Teslê.

daûs

les

anné€s 1980.

Ils

présenæÀt l€s Fig.I.s Néodyme-Fer-Bore

Cdto

couôo

est caractédséo DaÎ:

J-L

Ia

polarisation

_rématente

_Jr,

polarisation résiduelle en champ 2. læ champ coercitif HcJ est le

champ coercidf

IlD

celui qui annu est stable _vis-à-vis de la désai

3.

1-Ê champ

Hk qui est

un

bon concepteur de machines à

Ap

doit

doûné peut supporter. On désigne dans.

4.

Iæ produit

(BH).d

d'ùn aimant

le

volume

minimal

d'aimant,

il

chanp

>

soit

mærimal. Iæs corrcsponda[t à

(BH).*-On peut classer les différents

colubes de désaimantation des EinciDa types d'aimants.

NNiCo 240 C.

Nb-Fc-B

E6-AJm)

e I acttonnears p _{hnaire s}

est

confondue

_avec

_l'jnductjon

_rânanenie

_Br,

_est

_la

démagnétisant nécessaire _{pour annuler la polarisation, et le}

l'inducûon. Plus Ia valeur

de

II"1 est élevee, plus l,aimanr on.

de

la

courbe

de

désaimantâtion.

En

pratique,

lè

la

valeu

limite

du champ magnétique qu'un

Ap

nr

celte umtte adrtusslble

qui

est précisément définie

sa _{valeur érergétique par unité de volume.}

pour

_utiliser

quà

son

point

de fonctionnement

le

produit <<

indùcrion-lL

et

B.

définissent

_{le point de}

_{fonctionnemeat}

d'aimants en fonction de ces paramètres. Fig.3 donne les

B(T)

l2

1.0 û.8 0.6 u.4 0.2

Fig.l.7 Coùrbo de desaiman

I.4

Intérêt

des

aimants

Pour

la

magnétisation de rendement et la compacité dans le cas nombre de pôles). (Tâb. I.1).

600 400

2crû

des dillérents types des airnants penrvrneûts

sa.ns peltes Joule, particulièrement avantagerlx

pow

le

L

5

Actionneur linéaire

Armants perrnanmÆ et actionne rs plataires Tab.l 1 intérêr des aimants

un

mode

d

actionnement _{tinéaire lorsque sa}

_loi

_de

à

entrainemont

dirccl,

des actionaeurs

utilisent

la

aux à se

défomer

sous

l'effet

d'un g:adient

d,élergie

I.

5.1

Actionneur par amplification

d

déformation

Pour

créer

utr

déplacement

li

propriété physique

qili

possède cenains exleme.

L 52 Actonneur

à accumulation de

Ces

disposiriTs

urilisenr

des _{mécaniques composées d'actionneurs}

_en

_mode

bistable qui pemettent de

fixer

ou I'ensemble de l'actonEeùr.

I,a

réÉtitior

d,un cycle de

fonctionnement

étâbli

oermet d'

les

petires

déformations

propres

de

l,actioDtcùt

&onolithiqùe [BEN 06].

I. 53 Actionleur

hybrid€

Le dispositif réalisé par Hodac al

_IHOD

98] constituée d'un mécanisme bielle manivelie

pour le déplacement grossier. Le piston

sur

le

piston es! monté

ur

actionneru

guidé pa. ùn

rail

le long duquel s'effectue la ûanslation. déplacement

fin.

Ce demier est constitué d'une

flexible

commandée par une bobine électromag iquê mobile.

On

dit

d'ùn

sysrème

qù'il

po corùmande est linéaire.

-

u(l eùenlal .ûcodèt

l.

Macbrnes plus conpactes

moteurs sont prerque tous à

2.

Meilieur

rendement

(

actuelles

polll

les

d'énergie)

3.

Meilleures

accélémtions ûoteurs slmchrones ou pas

rmants)

1.

Pius co(treùx dans le cas des

macffiÀ

à aimants terres rargs.

2.

Risques

de

désaimanlation (irréversible)

_:

_limite

_{de tempâarule}

nraxt, courant maxt

3.

Dêfluxage impossible dans les MCC, délicat dans les MS

Armtmts pehan?tus ?! d. tnnn?urs planaare:

Iæ système de macro/micro _{honnement possède un€ résolution}

de

I'ordre

lum

et une répetabilité inférieure _à

_Alpm

_contre

_Ésolution

_{de 30}

_pm

et une répetabilité de

j20

_um

en

fonctionn€ment _macro

Une aqélération de 5G est

atteinte

g.âc€

au

maclo rnanipulateur.

f. 53 Actionneur ùltrasonore

L'actionnement par

irteraction

de contact,

ou actiomeur

ultrasonoae, converti uûe otrde ûrlcânique par

friction

entre un élastique

vibralte

et une structure rigide. L'actioDnemert

par

roteraction

de

coûtact est plus

sur

des

applicatons utilisant

des moteurs rotatifs. néanmoins des applications pour I ,actiofinement linéaile _{existent_}

L

5.4

Action[eur

À par

interaction

de champs I-es actiorneurs par interaction

{e

champs perrnettent un actionnement sans _{contact, entre la}

pafire

ûobil€

et flxe,

ce

qui

a

poul

de

Édùire/éliminer

les effets dus

à

l,adhércnce

et

au frottement _IBEN 06].

I.

53.1

Actionneur

électrostztique

Ure

disposition adéquate des permette de générer des forces suivant des axqs de

utilisant

la

force

électrostatique

sonr

raremenr

déplacement

différentes.

Des

applic ons développ€es poul des systèmes _m

I

Pour

générer

un

déplacemenr

électodes sur le rctor et

lc

stator du (Fig.l.9)-

_Ure

_{tension sirusoirdate est injectée entre les}

bomes d'une paire d'électrodes. La

v

de la tension clée ùne tension électrique glissante le

lodg du rotor.

IJ

déplacemert de I'onde

I. 53.2 Actionneur

électromagnétique

la tension entraine avec elle la partie mobile.

L'interaction de l'él

avec

la

matière se taaduit

par la force de larentz

aire

Yamamoto

et

al

_IYAM

06]

disposeût

Chapitre

I

Aimants pem-tanenls _{et aûionnéurs planaires}

sur

un

conducteur).

Les

effets de

l,

_{agneûsme peuvent apparaitre dans des applications}

d'actionnement sous _{plusieurs formes.}

I.5,J,2.1

Force d,B rélucrance

Un ,,rrcurt nraglêtique possede

fne

réluctance qui dépend de sa longueùr, de sa liecûon et de la _{perméabilité relative du marériau quf le compose. Si ce circuit possède}

un enhelet, la réluctârce

totâle es! la sorrùne de ra réructance du circuit _{composé du mafériau e!} ale la aéluctance de

l

entref€r (Fig.I.1).

Dans le moteur à réluctance,

qu'on

alimente une bobine

d'un circuit

magflétique, une

force est créée et déplace Ia partie e de façon à minimiser la réluctance globaler du circuit.

Pour obtenir un dépl3cemeff, on ali séquentiellemen! les différemes bobines _{IBEN 06].}

l

I

I

fig.t. I O ,eorce ae retuctance :ai

I.

53.2.2 Force

d'irduction

Le

principe de lbnctionnement

électromagnétique,

_b)

dans un moteur linéaire,

moteurs à induction repose sru

la

variation dr_r chamD de la partie mobile conductricc. Une force éleclromotrice

pnrtie mobile, selon

la

loi

de Faraday, et

va

créer un demier va créet à son

!où

un champ magnétique dont le

flur

s oppose à Ja variabon du

flux

qui I i est imposé.

La panie mobile de l'actionneur _{constituée d'une poutre conductrice. Le déplacement est}

généré via pLusieurs _bobines formant réseau triphasé gérérant un champ glissaûr (Fig.L l

l).

I_e

prototype

ùtilisé

effectùe un ereur de

tlOpm [BliN

06].

de

t2rnm

en avance et a500um en lévitalion avec uûe magnétique créé peù là pafiie

fixe

âu s

induite

apparait

sut

I'enrculement de courant

irduit

dan! cet enroulement.

Part e mob,lÊ

Fig.I.lI

i,;*::

_I - .._l

Chapitre

I

Atmanls

pcntlohcnts

_{actionnc urs plaraires}

L SJ,a3

Force de

t

aplace

Elle défrnit

l'afiion

d'une

i

_{magnetque sur un conducteùr de longleur parcouru par}

un coùrant éle{:trique résul{ant du _{de charges élecaiques daûs le condùcteur. Ell€}

_acit

perpen _dic u lairemen I _au plan

définipar

'induction _{magnétiEre et}

le coùrant électrique. Les travaux de

Williams

_{97] ont abouti à l'élaboration d,une platine de}

ûanslati@ en Pour créer la _{force nécessaire à} la ftanslation, des

aiea

s la partie inferieurs de table mobile et mis en resanal

ùre

bobine électrique à enroulement à six . La seation des _{aimaûts permanents est de}

_l2xl2

_mm2 et

leul

airnantâtion de 1.25 T.

In

bobi électrique est dimensionnée pour des déplacements sttr une

Course de 200rnm.

lévitation él€ctroûagnétique

_Fig.I.l2)

en disposition de Halbach

sort

collé€s

Barre d'aimânts

Bobane plâne à six phaseô

Fig.Ll2 moteur linéairc à six utilisam une disposilion de Halbach _0ÀTL 971

L'utilisation

_de

disposi[ion,

de

Halbach,

rue

composzmte

de

la

force

agit

pexp€ûdiculairement à

l'axe

de _{Cette force pruduite un déplacement parasite suivant}

I'axe de lévitation. Pour réduire les d€ déplaceûent de la composante parasite cÉée, I_EE et

aimants

pemanents suivant

ure

disposition

appetée est de forme << U tr sur laquelle sont fixés deùr pâliers à

al

[LEE

04]

proposenr d'assembler disposition trapésoidale. La pafiie

air et dcux bobines électriques

tri

I-a disposition d'aimant permanant est collée sur la panie

fixe de I'actionneur.

9

!

n êlêclntues

;tat r

Pour

évikr

l'étape

d'

stiucnre

monolithique (bande

l!,

aapézoidale avec une bobine à trois phases

Kube et al

IKUB

00] proposent

ur

actonneur utilisant

ure

) de 50x50x2

mm3

et ayant une aimantation sinusoidale de 2 mm.

Kube et al exploitent les deux et I'autre la

lévitaton

respectivemenl

d'air

est t0utefois necessâire pour le

courso de 50 mm en _{avance et 300}

gm

lévitation.

Armants peïnù\ents et

uio

neufs

de Ia force de Laplace

_{créês l,ure}

_{pour l.avance}

ax€s X et

Z (Fig.I.l4).

Un dispositif de guidage par paliers de la recdtude de la panie _{mobile. Iæ syslème a une}

llrlnt.

Irtt!

t

Le

guidage et la lévitation de 1oûg de la partie mobile et mis en

Il

tâble est maintenùe en lévùation, à

les électroaimams _{qui modifiee I'inten}

l'axe latérale <

_Y

>se fair en

utilis&[

le

Fig.I.l4 linéaire à avance et lévitarion couplé

partie mobile se

font

_{avec des électroaimants disposés lc} avec le

rail

fenomagnétique

lié

à la parrie

frre

(Fig.I.ls).

hauteur fixé, par un contrôl€ de

couralt

électrique dans té de la force (Fz, -Fz). I-e cont(ôle de la Dosition suivant

principe IBEN 06j.

Fig.L

l5

eur linéaire en iévitation électromagnetique

Ces actionneurs possèdent des di _{importantes, Shurov} er _{al ISHU} 05] ont déyeloppé deux _{dispositifs miûiature (qùelque cenû )}

(Fis.I.l6)

:

.

Le premie. ùtilise des microbobine à _{pour déplacer un aimant.}

. IJ

second est actionné

par

une réalisés par sédgraphie.

Cùapitre

I

l,es

prototypes

coùar6

de

1

.2

A,

Le deuxième actionneur_ développés premier _acti

It

uùe atteint 1a

ff''"^"'^"""'-.-'

!-ig.I.l6 électrornagnétique _linéair"

_roiolut*"

_{tSffU O:l}

L'utiiisation d'une

sfucture

lifhique

_IKUB

00]

s'avère

très

intéressant Dour des applications miniature, en effet plus les dimcDsioûs des aimants permaneDts est téduite Dlùs its

sort

difficile

à manipuler et donc à assem

I-es travaux de Tropfer et al 041 _{permettent de réaliser dos sfuctures monolithiques} 50x50x0.5

mm'

avec une aimantâtion

l.

I T, ce qui _{montre I'avantage de ces structures pour des}

actio{neùs

miniatùes. læs

derlx

iers

actionneurs

_IWIL

_{97] er ILEE 04], utilisent}

_des

dispositifs

différentes

pour

l'avance

lévitation ce

qui

implique

un

encombrement plus urqrortant compare aux solutions qui _{une même induction,}

_[KUB

_{00] et}

_IMOL

_{9?], pour} I'avance

et la lévitation.

Ces acti sont adaptés

à

des applications

pour

de déplacemeût

actionneurs linéaires, mais leÙÎs implantations

ort

Ime

linéaires par une composition de

influence sur le comportement du di

itif final

[BEN 06].

L6

Actionneur planaire

Dans cette partie nous nous aux différentes solutions possibles

pow

réaliser un

t

d'accroitre les _{colrrses des actionneurs sont donc}

déplacement _{planaire. Des solutions} utilisées. Deux modèles sont produits

'

Iæ premier est monoiithique et est iné aux déplacemenis dans des applications optroniques.

Iæ

dispositif

a un espace de travail

de

20x20 pm': pour une

taille

du disposirif de

sûxylxls

mmt.

Quant au deuxième,

il

est plus ori pour le déplacement d'échantillons dans I'enviromemenr

possède uû espace de

ûavail de

180x180 pm2 pour une

3

des microscopes à

fotce

atomique.

Atmanls pcmun?ms ct ttctionneu$ pla@ircs course

de 60 mm et

sont actionnés avec dos

une vitesse

de

l0

mm,/s

et 0,5

ûn/s

pour

le

Clûpitre

I

_{Atûmnts pefnane!1s}

et octinnneurs plafuaires

Fig. I 7 Actionneu. planâire CEDRAT

L6.1

Actionneur planaire

à

Îs

permanents

L'élecromagnétisme est une a solution

qui

permet de développer des dispositifs de positionnement en lévitatioû sans I-es paliers magnétiques à aimant p€rmanant pe.mettent

uee lévitation

passive

_oeur

_fonctio

_ne

_nécessite

_aucun

_appon

_d'énergie

venant

de

lbxtérieur,

comme

les

palier$

_{ues actifs,}

_ni

_un

_{refroidissement}

_comme

_les

_D.li€rs supraconducteurs) de partie mobile, pâr _{les élecûoaimânts sont utilisés pour des paliers actifs} (lqs paliers actifs sont des dont le courant est asservi pour maintenil la partie mobile

du circuit magnétique dans une p.srtion _{fixée. rls ont besoin d'un apport d'énergie pour fonctionner.}

Pour

alimenrer chacun des acti conslituanl

_{un palier acùf.}

_il

_faul

_une

_{alifientaùon}

_de

puissance,

une

commande et

de

position). Des dispositifs

élecrromagnétiques de dimension importante pour le planaire ont été développés par divers laboratoire.

(b)

Fig.I.l8 Diverses

ô)

.)

cation de strucrure (riangulaire élecrromagnérique

Pour créer des déplacements sui 120 (Fig.I.l8.a). Chacun est constitùé

d'

ant un plan, _{GU IGU 03]} dispose trois moteurs linéaires à

solénoide à I'intérienr duquel se troùve un aimant lié à la

paflie mobile. La

variaton

du courant s le soléroilde induit le déplacement de l'aimant et donc la

partie mobile. Cette partie créée des laiion suivant le plan (Tx,Ty) et lâ rotarion autour de

I'axe

Chapitre

I

Arnw rs

_wnancult

eI aûionneufs plaraifcs

Zentner

_[ÆN

_04]

utitisent moteurs

linéaires, avec

des aimarts

_Dennanents otr

dispositions de Hatbach pour les translations suivant

_{le plao (Fig.I.tg.b).}

_l€s

_systèdies

développô

p

_{GU et}

_{Zenhrer sont osés de deux dispositifs distincts,}

ull prcûier

pour la

Molennar et al

[MOL

96] nrettent au point ùne solution

lévitation el un second pour le depl

couplant les fonctions. _{Cette solution est nommée}

_dispositif

_{de lévitation}

_et

_{propulsion. Chaque}

électroaimants placés de

pafi et d'auûe part

de

la

partie

niveau

de

I'entrefet est

alo$

exploitée

pow

créer

les

moteur linéaire est coûstirué de

mobile. L'iûducton

magûétique au

déplacements _{plaraire IBEN 06].} L'électromagnétisme est une posihornement en lévitation (sans dii(ensionnement impotante.

L'inteiaction

enre la

sowce d]induction

et un

conducteur étant mutùelle. Sprenger

et

at ISPR 981 _{utilisenr une source}

_d

_{inducd]rn fixe et conducten, mobile pour lerù}

actionneur

(tslg.l.lg).

L€s aimants sont

fixés

sur

un

support métallique.

La

bobine est enroulée sur un

profilé

carré et

cteÙx dotrt les

dimensions

_{d'avoir un faible entefer}

_enter

_la

_{bobine er}

_I'aimallt

permananlla partie mobile est munie

df

paliers à air ce qui permer sa lévitation.

solùtion

qui

permet de développer des dispositifs de ou _{le positioûrement planaire. Ce sonl généralement de}

Fig.L20 planaire à aimarts permananrs fixes ISEF 9El

L'utilisation

de paliers

à

air

l'axe

de

lévitâtion

permet d'augmentet

la

capacité de chrage de la

pa(ie

rnobile. Saffert et al _[SEF 98], adopte certe solution

poù

la lévitation,âvec d€s paliers sui chaque coin de la rable (Fig.l.20). Le déplacement est cre€ par des moteur électriques à

mobiles-Armanls perbtrnems ?r oLttonneurs planauer

Fig.I.2l

Acri plânafue à aimants peamarats mobiles

La

partie mobile

du

di

f

de

Dejima

et

al

_IDEJ

05]

repose

_{sur une}

plaque ferromagnétique par l'intermédiaire _{de paliers à}

_{air (Fig.I.2Lb). L'acrion}

_{combinée de l,aimant}

et de la partie mobile srrr

l'â{e

_{vertical. læ déplacemenr}

du palier à _{air permet de creer le dépl} planaire gst _{pour sa part qéé par des}

linéaire utilisant des aimants permanats en dispositoû

opposée et des bobines électrique$ en

fi

de boucle IBEN 06].

Une dsiposition de Halbach utilisée

poùr

ciéer des déplacement linéaire (Fig.I_22.a).

tiliser _{cette meme dispostion pour cléer des deplacemeûrs}

Compter er _{ai ICOM} 0+a] proposenr

d'

plans. Pour cela,

ils

utilisent, sur la ie

fixe

du dispositif, une

Épartjtion

de

la

disposrion de Halbach suivant deux axes pour _{une matrice de Halbach} (Fig.I.22.b). _{Iæs bords de bobire,s}

avec les aimants pour

céer

les déplacernents sùivânt

let

coisituant

la partie mobile interagis

deux aies. I-es perfbrmaûce du pro ne sont pas donnée,

er

raison de confidentialité .

Eobllle

elecÛrqud p€nnfllerrts

Fig.I.22 Actionneur planai à aimants fixe disposés sur une matrice de HALBACH

Le

principe

d'actionnement repose sr.lr

te

déplacement

relatif

entre

uûe

tlarre d'aimants permanents

ainiatures

et des

ban'e d'aimants et ces bobines génère

bobines électriques plates.

l-a

force de Lorcntz entre cetle mouvement de

la

stlucfure mécanique. Ce dispositif de :'::e i

el acIronne rs plaiolfes

moteùr, ce qui pemet à la skucture

d'

'ectuer des dépiac€ments linéaires dâns le plan

(X

_9,

mais

arssi des rotations aùtour de I'axe iculaire au plan (0). Ce disposidf est capable d'effectuer

des déplacements linéaires sur quelque millimèûes.

trs

applications étudiées jusqu présent utilisent pour la translation et/ou la lévitation des

parie

mobiles. solutions technolosiqù€s installées sur

L,es trâvaux de Trumper ITRU 031 porlent sur

I'utilisation

de

la structùe

de

HALBACH

tionnement.

L'actionneu

mis en place par Vy'illiams

_[WIL

poul

mettre

en

mouvement une

table mobile (pour

|1!e dans des sYstèmes de déDlacemen

971

utilise

la

disposition

de

Halbach application en photolithographie). La

lér'itation. Une structure utilisant

pan et

d'autre

de

la

tabLe (Fig.I.23

itaton

est contrôlée par des électroaimants se

touvent

de

Le rôle

des électroaimants est

de

stabiliser

la

table eù moteurs linéaires est présentée par

Kim

_[KIM

97]. I-ès moterus sont âssemblés dans une stlu caftésienne (Fig.I.23).

l€s

dimensions des conducteurs électriques permettent de générer en position deux composant€s de la force :

ion et,

L'intensité

du courant esr limitée ralson de

la

dissipation par effet Joule, ce

qui

crée une

061

élévation de température dans le di

if

IBEN

.

Une composante esl utilisee pour Ia

.

la deuxième pour le déplacemeDt.

.t,

-supporr

captèuc....

U

|derturcr*rÊ Y-Rx

t

errèro'errê

j(

- -ç-.

i,, -l

'

P'!li

+r

Ê:'

_Mi,ors

+

oispodion. deHâbach

--Bobiæs

..

'

l.

.1

.Ë:illi:,

_{_cts}

-.1

Fig.I.23 âctionn€ur

PouI

repoùsser cette limite, d'adapter

l'actionneû

de

KIM,

en

{Fig.L24) ce qui facilite l'évacuation

positionnement planaire différents.

utilisé.

ll .

électromagnétiques en avance el léviâtation [KIM 97]

et

al

_{IHOL 00]}

proposent une solution permettaût

t

les moteurs linéaire sans

un bloc d'hùile

reftoidie

la chaleur générée.

Les travaux de Jung et

al

I 051

po(ent sur

la

compaEison entre

deux

systèmes

-]

É

I

)

-1

!

I

4

-t

I

I

I

I I l I

Aimanrs permanents et _{aclionbeurs Pla@ùes}

Le calcul do

la force

généréc structwe ferroûa8nétique gntoure çes

aimants devient zùors plus

complele

que lorsqu'une

Le calcul de la force entre aimant-aimani ot

armaût-bobine

a

été

larsement

discuté

s

IALL

I0]IROV

l0].

Ce

calcul basé

sur

l'élergie

Ce calcùl analFique en 3D est évidemment plus

difficilc

magnétostatique

et

la tbrce dÊ

que celui en 2D.

Le

calcul et plus à cause des intégraûons successives. Dans ce qui sùit' noùs âllons voû les grandes lignes de méthodologie.

I.6

Conclusion

I-es actionneurs planalres sont domaiûes vastes, dans ce chapitre, nous avons présenté un état de

l'ârt

sul les aimants et leùrs caractéristiques physiques, ainsi que les différents

q?es des _{actionneurs Planalies.} quelques réalisations, les avantages et le's inconvénients

vieà-vis

de la stabilité, du

coût..

.etc.

Dans

l'étude

suivante, c'est

dire

le

chapitre suivant, nous proposerons des modèles force magnétique apptiquée sur la bobine rectangulairo, I-e aralytiquos, permettant de déterminor

calcul est basé sur

la

subdivision d€ bobine en plusieurs conducteurs. Chaque conducteur est représetté par ses dimensions et physiques. I-es forces magnétiques en tout pornt ce

créés Dar la contribution de toutes les autres barÎes'

bobine est equivalent à la somme des

Calcul

aûrnnt

ennels des _Jor.es

.! M|era(\tun\

ente

les

et aimant-bobine

Calcul

trid

mensionnels

des

teractions entre

forces

d'i

les

aimant aimant

et

Calcul lidim"nsionneh

_{Io!!:!J!49!gpns}

_{entrc les aimant-aùnînt}

et ainant _bobiae

Calcul tridimensia

des

_forces

d'interactions

_entre

aimant-

h

obine

r

e

ctangulaire

II.1 Introduction

Iæ

calcul de

la

force _{Eén&ép por}

les

aimants _{devient alors plus coïnpl€xe que} lorsqù'une shucture ferromagrétique _{ces demiels. Le calcul de la force entre aiûrant-aiûa|lt}

et

arrnant-bobine a été largement di dans

[AlL

I0][ROV

10]. Ce calcul ba,sé sur

l'énersè

magnétostatique et la force de Lorentz Ce calcùl aoalytique en

3D

est évidemment plus

difficile

e à câuse des intégrations successives. Nous allons voir les

que celui en 2D. [æ câlcul et plus grardes lignes de cette méthodologie.

Dans

ce chapite, oû

va des expressions tridimensionnelles

pour

_le

_calcul

_des

foi:c€s d'interactiors entre les aimants et les bobine de forme rectangulair€.

IIJ

Modèles

coulombien

et a

Pour _{I'observateùr éloigné, le oment mâgnétique est une sou.ce bien détlnie avec deux} repésentations _{possibles, une représen ion polaire et une rcFésentâtion ampédenne (Fig.II.l).}

_In

spfe

pârcourue _{pâr un courant réalise}

_nroment.lf

₌

_L5

_{représentation arnpérienne, alors qùe le}

la

représenation

coulombienre

selon

poT

₌

qTÉ

les

dipôle

magrerique

t+q.-q) en

consri

d€lrx représentations sont équivalentes

didension ca€ctéristique du moment (

lors qùe

l'on

se place à une distsnce grande devart

le

Coulombien

dipôle

1..

ull.

,

"l

a-q^

>>

R,/

>>

,48)

Ampérien

splfc

Cabul tridimzniionrcIs _{d'inrcruL1wns}

_c

_{trg ks aûat\-oimanr et aimant -bobtrp} Par

_{la $éthode}

_ampérienae,

_I

_{est rcmplacée par rme nappe}

de

cowans

qur ô'eûoule _{autou{ de I'aimant} (Fig.tr.2.c)

_O[

_{les appelle coulants amperieûs, L,aimant peut}

_alon

_êae

assimilé et calc+é

co!fte

utr solénoide

K'

₌

Jo/ tto

par uæ densiré linéique de coùam _[YON.D3568]:

(tr

1)

Quard qn

ûavailo

à partir du o ampéden, le champ d'excitarion

H'

ne joue qu'un

rôle

sccondaire.

Oq

l'évalue

facilement aiBâDtations sont rigides, conyiennert

pa+ir de

B'.

Ces

modèles,

qui

_considàent

que

le,

iemetrt pour les aimaûts teres

nres.

:

0-l

t

4oïnale locale

à _{lâ furface (extériêure)}

densité de couranf surfacique : _.,1="

,t-l

^

t

Wti"

_I ..J*ë:d* ': ,; :' tc,

i"=M

t

fr

(b)

Eg.IL2 lâ distribution de et la répartition de courants a$périens.

i.ond d- -

a.

n'..-.rii6

d..

E r'r.d{.dor!

r

[s6

_{â, d,..bP}

_,i

Fig.F.3 Etude d'tln cylin&e révoJution ùniformément aimatrÉ _[YON.D3568]

on

se prgpos€

d'illuster

les

lce champs magpétiques créé,s dâns

udformément

aiFanté (Fi9.tr.3,a),

H'

polaire.

Il

s'agit plors du champ

gl

vis-à-vis €t sùbposées po.teuses des

étroncés datrs les parâgraphes précédents en

éirdiant

l'espace par

un

cylindre de

révoluton

supposé

isolé

et

le

champ principal quand on opère à

paftir

du modèIe

qéé

_{par les deux faces terminales de I'aimant placé€s}

surtâciques de pôles IYON. D3568.1:

ri

(aJ

Chapnrc 1l

_{!l]:l!!la!g::Sll-!:1"!Jttces}

_{d nlteractions entre les ainant-ainant et ainmû -bobùæ} L'exemple traité _{indique clairement que les deux ûodèles mènent à des champs}

_B,

_et

_H,

distincts dans l'aimaût. Les deux vecteur en tout point de la matère est don!ée:

F'(i):

_-

_{sidd(u'(.î))}

Ê'rn =,at@,6;y

(n3)

(tr.4)

Fig.It.4 Notations utilisées pour le catcut du

champ rnagnétique des courants dans le vide Fig.ÏI.s Notations utilisées lmur le cslcul magnétique dt à nr volùme aimantédu chanp

L'existence de distribution de

couranrs supposée connue quelcoûque

J(r')

entjaîne la

prés€nce

_d'un

_{chzùrp d'induction magnéûque}

_B(r)

_{en chaque}

_point

_M(r)

_{de l,espace environnant}

(Fig.tr-4), _donné par 'expession _{suivante, issue dÊs ftavaux d,Ampère et communément appelé€}

_loi

de Biot et Savart [YON.D3568l:

Êr,t=fr!&,sffiL

Dans cette expression, I'inté81âle est étendue à tout le volurne oil circulent les cou,-ants.

Imaginons, un volume aimarté

(r'),

dont l'aimantation J(r) est supposée connue en chaqre point et un observateur

M(r)

(Fig.TL5). _{On suppose I'observateur situé d,abord à I'extérieur de Ia} mâtière aimantée, donc dans

le

vide.

Chaque élément de

volume

dy,

se comporte colllme un

moment élémentai.e

'YON.D3568l

art

=

je)a,'

/po

(tr.7)

læs

résultâts généraux

âtorcés d,ms les

paragraphes précédenrs

étant

applicâbles au

système, le champ d'induction B(r) l'u par l'observateu dérive à la fois d'un potentiel scalaire

U,(r)

et

d'u!

potenûel vecteur

A'(r),

avec

[AII

l0][

YON.D3568]:

u'{ù--àuçe#0,

f,@

₌

_{+1il,,b!!!.!Lau'}

On

démontre facilement que

les

intégrales peuvent

être

remplacées par

les

expressions

mathématiques suivantes qui teprésentent dos potentiels scalaires et vectoriels

_{[YON.D3568]IALL}

101:

(n.10)

gr.6)

(tr8)

(tr 9)

Chllpitre _{caù:ul tidimensionners des}

Jorces d'inleracùotlJ enrre r,e!

anuit-aiûent

_{et aimant -bobine}

Â'

_@

₌

_*

_1fi,,

i#

_ot'

₊

_!!t,,

ffi

_av,

(tr_r

l)

Pour calculer

le

poEntisl

scalaire d'où _{dérive le champ d,excitation, on peut uritiser la}

_loi

de Coulomb en remplaçant la distrjbution _{d,aimantation par une distdbution de pôles magnétiques}

fictfs

comprenant _[YON.D3568] I

.

une répartition volumique de pôles avec une densité _:

p'

₌

_-diu(i)

.

une

répa{ition

sùrfâcique de _{pôles avec une} densilé :

"'

=

j.n

u-l2)

(û.13)

II3,l

L'aimad

aimanté à

z-direction

on

considère une plaque de centre

o,

de dimensions 2ax2b uniformément érectrisé avec

ule

dqrsité suxfacique o. Cette

plaqùe

engenùerun champ magnétique à ùûe distance de la plaque,

II3

Calcul

de champs

magnétique

_tl,une

_surface

_{rectangulaire}

_chargée

_par

I'approche

_Coulombienne

Fig.tr.6 Modet de base pour le calcut rridimensionn€l

par I'approche coulombionne

L'objecrif

ici

est de proposer des solutions

à

la

base de potentiel scalaire.

scalaire V est donné pai l'équalion :

v =

-:-

tt-

lds

dS

₌

d.x'. d.y'

R=lti-itl

v

=+f

_-l!

--==#=

_ar,ay,

anpo- - d r

b,!(x-x'

t, +ly-y,)2+(z_z,\,

l€

poteniel

(II.l4)

(tr.1s)

(tr

16)

(tr

18)

Il

existe plusieurs méthode d'intégration, parmi _{lesquelles le changement de variable. Dans}

ce sens, en pose corùne \ariables secondaires:

Chapitre

Il

Cabul tidinên:ionnzts _d

_nt"faùon:

_fitrc

_{lcs ëirun!-aimanr} ?r

ana

-bobiie

U=x-x',

v=y-y'

$-20)

W=z-z'

On

(x',y',z')

el (x,y,z) sont resperri ApIèa

lt

_{changement de vari}

v=fit!,tÇffi*auav

L€

caluF

malytiqre

de

l'é!

foûction I1VZ qt|i existe au logiciel de çalcul

fomel

MAPLE

afin do calculer les terne.!

la simplification; \11.22)

ui

_1"'tw'

_-

w.ta-te!\

(tr 23) rl',i

'

;

€

ii

C ab ul t ridirneùs _{ionae I s rces rt iûtenctiona entre lzs sihnùrt_aimat!}

et aimant -bobiw

Pour tr+cer les lignes des mBgnétiquos _{et les inductions magnétiqueô qui ont été créé}

par laplaque _{cbargé, nous alloûs cléerun plan}

_cané

d'étude au-dessus de la plaque chargé. Ce plan

se

_{ûouve à}

_u{e

_{distance de}

_z

₌

_0.

_{1 rq.}

_{les figures}

ci-dessous éclaircissent

les

variations de

potintiel

_{magnptique ainsi que le et l'induction magnétique}

@g.tr

7).

IL4

Calcul

_Çe

champ

et

rqagnétiques

créés

par

deux surfaces

rrcfân gulailes

chargées

tr.41

L'âimaqtaton

est orientée

I'a!e

oz

l'aimant

_{f,errnaûant peut}

Dans l'Fpploche

&ctangulaires _{identiques. euand}

_l,

_{ion est orientée vers} cbegée positivpmeit et l,antre chargée négqtivement (Fig.tr.g).

le

tlatrsforûref,

er

deux plaques

I'axe

oz,

une des deux plaques

Fig.tr.8 Modèle de

i'

permanent par 1'approche coulombienne

Le potÊn]tiel scalaùe, issu touj

ainsi

_IALL

O8]qCLL

l0l:

de l'équation tr.14, sera expfimé pour I'aimant pennanett

Le champ magnétique

H

est ûoujouls à partir dù gradienr.

L'hduction

est expdEéê

par :

B=pn.ll.

airà

l'inrégration,

la

ibutiotr de la deNité de

flùx

magnétique dans le système de

coordoû[ées d'uF

aimalt

cubiqte ai daFs la

dtection

z-positive e.st égale à

_IALL

09] :

8,

₌

-axLo

t]-o

Ei=o(-

1;i+i+rt

;o,

v

₌

_{ùLtr_"{-Dt}

_J:,

I:"ja;æ

-Y)

-u)

u

v.

(tu)

(û.25)

Q.2A

$.27)

(tr.28) (rr.29)

(n.30)

8"

₌

_*xloxjFoti

_=o(-7)i'i*k

tos

B, =

_{+2L"2j i"ti=}

o

(-

1) i+r+r.

_'RW

Où atanz est $nq fonction arctan

U

=(x-h,)-(*7)iq

v=(v-l?)-(-Djb

-

(-1)"c

cst

orientê

'aimaûfation est

D,

I:ol:,

Dr

l:"f"

ions de

la

densité ve est égale à :

=oXl-o(-1)t+l+t

EI-oGt1i+

t+*

1on

oXâ=o{-t1'*i*u

1o,

'aimant cubique est ai

=o

Xl=o(-r)i*j*ttog(

=oxl=o(-1)'+./+*

oXi=o(-1)!*'**

lo

Fig.tr.l I L'aimant Calcù triàimêraioù]tak

w=(z_tt")

IUzL'

Quand s'obtiena; L'aimantatioa

I/

₌

1Y1

_^1

v

_-àri=o(

tÆs di.ection x

B,

_=*xl="X

4

=*xt"

4=*Xt"

Quant à B"

=*Xt"

&=*xt,E

È"

=*tlox

mtre let ainoû-airnant et aùnat t -bobinz

(tr.31)

ox e{ oy

l'a*e

ox

et

oy

(Fig,n.ll),

les

potertiels

scalates

(Ït.32)

da'd./

(rL33)

h y) - 4

e

Dk)" + te - h,)

-

z')2

mag4étiqlle de

l'aimatrt

cubique est aimanté dans

la

(rr.33)

gL34)

(tr-35) dars 14 direction y-po6itiye, _les cxpressions

_{s'éc.iv€rt:}

(rr.36) (r137) (tr_38) et lâ dire.tion de I'aimmtation

v)

u)

Clupitre

II

_{Calcyl tridinensiohnels d'inleractiorls entre}

les airn<nl-aima et ainan

(Fig-

.13). læs polarisatioN J et J'

sgût 2a

x

2b

x

_{?c et} sa polarisatioE est

aimaût au ce4trq 02 (a, _{Ê, T), avec des}

Chapitre

II

Fig

læ

calcul de la force

d'interactrons en|rc les aiman!-aimant et

aima

-z

aimants avec aimantation parallèle

ar les aimants devient alors plus demiels.

I-e calcùl

de

la

force

stmctue

ferromagnétique

laryement discuté dans

_[ALL

I

091.

Considérons deux ai de gueur axiale - axe peçendiculaire au plan x-y

- L,

sépflés

d'!ûe

distance rl2, d'ai

Mt

et _{, de sections S"l et} Sa2, contenus dans un plan x-v

coûlqe

le montre la Fig.[I.14.

Fig.II.l4

de deux aimants longs _[YON.D3568].

L'énergie d'interactotr avec un ième aimant de polarisarion J, est :

dw

₌

_-j2É$v2

L'énergie

d'inte€ction

entre

élémqltairgs des charges dù premier L'énergie magnétostatique entre deux

(rr.39) aimants s'obtient en calculant

I'intégrale

des énergies

Eoumis au _{cbamp du deuxième aimaût [YON.D356Ej.}

est

_IALL

10]:

t

=

#l;="râ=.

(-r)e+s

!b2

!!L

t!'^Ta"

av

ax

av

complexe que lorsqu'pne entre deux

aimanb

a

été

(tr4p)

À=

Le calcul analyique en 3D est plus

difficile

que celui eû 2D.

À

rirre d'exemple

(u)2+(v)2+(w),

Chapttre

I

_{C alc u I I ridinens i o tue}

_k

forces d'interact{a,it entre ler

aimaat-aina

el aùnant

raÉdcment

avec

le

nombre

d

I intégration _{értut impossible, er}

Youet

_[Akoun.84], ont travaillé sur les p.emiàes exprcssions analyiques

Par

I'utilisation

du logiciel

àdire

, les variables U,

y

et

l/

seront

.s=a+(-1)I,4-(-1)ia

T--P+(-DeB-çDjb

u

=f

+

(-L)sc-Gr)kc

À partir _{d'énergie d'inreraction,} F

₌

_sqàdtl)

Pour les lrois _{composantes de}

ro.,a

₌

_{#xtoxi="xi=oxtox;=}

Or

tt],

=:(v, -

_w2)

_tn(R

_-

_u)

₊

_uv

_kl

$y

=!(12

-

w2)ln(R

_-

y)

+

urln

1ûz

=

_-UW

hr(R

-

U)

-

_ttzy

_ln(R

-tr5.1

Exernple de calcul

Le

dispositif

choisit

est compo orienté suivant z-direcrion (Fig.I].l _-5).

,i"i

Fig.

.15Dispositif étudié :

Pour

analyser

les

interactions magnétique, I'r-rn des

deur

aimânt est

direction. I-es signaux des forces sont

sonl afnchés à la figure Fig. tr. 1 6.

.

Beaucoup

_de

_{personnes pensaient}

_que

_la

t

êlte

faite

par

voie

numérique. _Gilles

_Akoun

_{et JeârF} prablèm€, et

ils

ont réussi à résoudre le calcul en

torces en 3D en 1984

_IALL

l0].

le calcul se

fait

par le changement des _{variables, ç}

eFenl exprimées :

les composantes de forces sont obtenues:

(q'

û.

G!,

, on aura

IALL

10];

\àioeL)i+

j+k+t+P+q .1P _{e,y p)}

-n+vwarctan(ffi)+!nu

-

0

+

uw arctanffi)

_{+! nv}

+{rarctanffi-Rw

dE deux aimants identiques

-

d'aimantation

de

1

. -,7

,/-

- - -,71

i

t,i

almants de dimensions (0.01 x 0.01

i

0.01) m.

entrq

les

deux

aimants

que

ce

soit

énergie ou dans

ce

sens

I'aimant

ci-dessus se déplace

Cahul tndimensionhels des _forces d'interacions ektre les aûrarTcrimont et aimant

bobiit

I

.ta

_'ul

₀

_0.01

,t'l

b) H=0.02 m

Après la simulation, on remarque qùo la force suiyant la dkection

x

a une folme siùùsoidale dont la partie positive se tlouve au sens ûégatif du mouvement. Ce phénomène se répè@ mais dans le sens opposé à cause de la symétrie de déplacemert. Par contre la force suivant l'axe

'oz'

atteiût

la

valeu

ûaximale lorsqùe les deux aimants sont en quadratue. _Quant à la force suivant I'axe

'oy'

est

toujours nulle.

II.6

Calcul

des

forces

d'interactions

entr€

un aimant

cubique

et une

bobine

reclangulaire

Dans l€ chapitre

I,

nous avons citÉ lcti différents tlpes des actionncurs

parni

lesqùels le tj,lre

D€ compter. Dans ce

tjpe

les conduct€urs sont placés du coté ou

l'induction

est la plus importantÊ. ce qui

pemet

de mâxinliser

I'effort

obtenu. De plus, un conducteur sera tout aussi efhcace sur un aimant

si

on réduit les diûensions dù systi:me,

et

ce type

d'actionneù

marche déjà très bieû à

l'échelle macroscopique dans les moteurs électriques et les haut-parleurs par exemple. Comme on

ven-a plùs

loir

on peut augmenter considérablement les deûsités de courant dans les conducteun

microniques,

et

par

conséquent

les

interactions entre

aimant

et

courant peuvent

devenil

très

pussaût€s.

Le calcul analytique reste possible pirur des interactions enfte des aimants ou des couian{J

mais I'adjonction de

fer

(non linéaire) au sJ/stème

rerd

le calcul loùrd et compliqué.

Il

faut alors faire appel à des solutions numériques

type

'Elément

Finis',

ce qui augmente eEcore les temps d€

simulation. Avec les

puissances

de calcul

actuelles,

les

temps restent acceptables

pour

une simulation

unique mais sont

incompatibleli avec des processus

d'optimisation

it6atifs

ou

des