Les CSP extrêmaux

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Les CSP extrêmaux

Nicolas Prcovic

To cite this version:

Nicolas Prcovic. Les CSP extrêmaux. Premières Journées Francophones de Programmation par

Contraintes, CRIL - CNRS FRE 2499, Jun 2005, Lens, pp.315-324. �inria-00000066�

Les CSP extrêmaux

Ni olas Pr ovi

LSIS- UniversitéPaulCézanne - Aix-Marseille III

ni olas.pr ovi lsis.org

Résumé

Nousproposonsunenouvelle lassedeCSPbinaires appelésCSPextrêmaux.LesCSPde ette lassesont in- onsistants mais deviendraient onsistantssi n'importe quel ouplede valeursinterditdevenaitautorisé. Etant in onsistants, ils ne sont pas traitables ave des mé-thodes de réparation lo ale. Comme ils autorisent un nombre très élevé de solutions partielles presque om-plètes,ilspeuventêtretrèsdi ilesàrésoudre àl'aide de méthodesdere her he arbores enteintégrantle l-tragedesdomaines.Ilfaudradon trouverdenouvelles méthodespourlesrésoudre. Nous présentonsun algo-rithme simple de génération de CSP extrêmaux. Nous onstatons expérimentalement queles CSP extrêmaux équilibréssont beau oup pluslongs àrésoudre queles CSP aléatoires ditsdi ilesde même taille.Nous pré-sentonsaussiuns hémad'algorithmesus eptibled'être performant sur des problèmes di iles, dèslors qu'on seraenmesuredegénérersusammentrapidementdes CSPextrêmaux.

Abstra t

We present a new lass of binary CSPs alled ex-tremal CSPs. The CSPs of this lass are in onsistent butwouldbe ome onsistentifanypairofvariable assi-gnmentsamongtheforbiddenones wasallowed.Being in onsistent,they annotbesolved byany lo al repair method.Astheyallowagreatnumberofpartial(almost omplete)solutions,they anbeveryhardtosolvewith treesear hmethodsintegratingdomainltering.We de-sign asimple algorithm for generating extremal CSPs. Weexperimentthattheyaremu hhardertosolvethan randomCSPsofsamesizeatthe omplexitypeak. We show how the on eptof extremality an be useful to denenewmeansofde idingthe onsisten yofCSPs. Inparti ular,weproposeanewalgorithmwhi hshould bee ientonthehardestCSPsifwe anndawayof generatingextremalCSPsqui kly.

1 Introdu tion

Bien que la résolution de problème de satisfa tion de ontraintes soit un problème NP- omplet, on sait queseuleunepetitepartiede l'ensemble desCSP est di ile àrésoudreave lesméthodesutiliséesjusqu'à présent.Lorsqueleproblème ontientbeau oupde so-lutionsassezuniformémentrépartiesdansl'espa ede re her he,lesméthodesderéparationlo alesont e- a es.Lorsqu'unproblèmeestfortementsur ontraint, une re her he arbores ente asso iée à une méthode in omplètede détermination d'in onsistan e de solu-tionspartiellespeutpermettredemontrerrapidement que leproblèmen'a pasde solution.Ce sontles pro-blèmesquirésistentà esdeuxtypesdeméthodesqui sonthabituellement onsidérés ommedi iles.

Des ara térisations de problèmesdi iles ont été trouvés pour les CSP aléatoires dénis par un er-tain nombre de paramètres (nombre de variables, taille des domaines, densité du graphe et dureté des ontraintes).Dans emodèle,lesCSPdontle paramé-tragefaitqu'ilsontuneprobabilitéde0.5deposséder unesolutionsontenmoyennepluslongsàrésoudreque lesautres. L'in onvénientde ette ara térisation est qu'ellenedonnepasunepropriétéquigarantitla di- ultéduproblèmemaisseulementuneprobabilitéplus fortequ'ilsoitdi ileàrésoudre.Parailleurs,ilaété proposé d'autres propriétés générales pouvant expli-querladi ultéderésolutionde ertainsproblèmes: taille du"ba kbone",de la"ba kdoor"minimale, du noyau in onsistant, et . Mais es propriétés ne per-mettent pas de dé rire pré isément lastru ture d'un problèmedi ile.

Ce que nous proposons i i, 'est une des ription simplemaistrèspré isede equesontlesCSPlesplus di iles àtraiterave les méthodesde résolution a -tuelles.Pour e i,nousexpliquonsd'abord equifait qu'unproblèmeestintrinséquementdi ileàrésoudre

lesproblèmes lesplusdi iles (se tion3). Nous don-nonsdes propriétés desCSP extrêmaux et indiquons enquoilesétudierpeutaideràdénirdenouvelles mé-thodespourdé iderdela onsistan edeCSP.Ensuite, nous indiquons omment générerles CSP extrêmaux (se tion 4). Puis, nous générons des CSP extrêmaux équilibrés,lesplusdi iles deleur lasse,et vérions expérimentalement qu'à taille de problème égale les CSPextrêmauxéquilibréssontbeau ouppluslongsà résoudreque lesCSP aléatoiresaupi de omplexité (se tion5).

2 Les CSP di iles

Nousnousplaçons dansle adredesCSP binaires, ha un déni par un triplet (X, D, C), où X

=

{

x

1

, ...,

x

n

}est l'ensemble desvariables, D

=

{

D

1

, ...,

D

n

} estl'ensembledesdomainesdis retsetnisdevaleurs quepeuventprendrelesvariables et Cest l'ensemble des ontraintes, ontenant tous les ouples d'ae ta-tionsde variables autorisés. Nous dirons que le CSP est onsistants'il possède une solution (un ensemble A d'ae tations de toutes es variables tels quetout oupled'ae tationsdeAappartientàC).

Lespro édures dere her he arbores enteque nous onsidéronssont ellesquiltrentdynamiquementles domainesenmaintenant un ertainniveaude onsis-tan epartielle, telqueForward-Che king,MAC, et . Cespro édures peuventin luredes améliorationsqui utilisent le retour-arrière intelligent (Ba kjumping), l'apprentissagepar l'é he (Nogood re ording, Dyna-mi ba ktra king),et .

Dénition1 Arbredere her heminimal(d'une pro- édurede re her he)

Etantdonnéeunepro éduredere her hearbores ente, l'arbredere her heminimald'unCSPin onsistantest eluiquirésulted'unesuitede hoix(dynamiques) op-timaux de pro hainevariable àae ter qui faitquele nombreglobal de noeudsgénérés estminimal.

En d'autres termes, parmi l'ensemble des arbres de re her he que l'on peut obtenir en variant à un mo-mentouàunautreun ertainnombrede hoixde va-riable,l'arbreminimalest elui qui ontientle moins de n÷uds. Cet arbre de re her he est un arbre de preuved'in onsistan e, haquen÷udreprésentantune étape élémentaire de la preuve. Cette étape élémen-taire doit être de omplexité polynomiale et elle dé-penddelapro édurederésolutionmiseenoeuvre.Un problèmeest don di ile s'il n'existepas de preuve ourtedesonin onsistan e.

Nouspourrionsgénéraliserladénitiondel'arbrede

port à notre dénition de la di ulté ar, pour tout problème onsistant,il existeune preuvedelongueur linéaireenfon tiondunombredevariablesquimontre sa onsistan e: elle qui onsisteàee tuerunesuite d'ae tationsdevariablesave lesvaleursd'une solu-tion.En onséquen e,nous onsidéreronsquelesCSP onsistantssontintrinséquementfa ilespourlaraison qu'ilexisteunepreuve ourtedeleur onsistan e

1 .

Dénition2 Di ultédesCSP in onsistants Un CSP in onsistant C1 est plusdi ile qu'un CSP in onsistantC2pourunepro édurede re her he arbo-res entedonnéesil'arbrede re her heminimal deC1 est plusgrandque elui de C2.

Notre but est de mettre à jour les CSP qui sont di iles pour toute pro édure de re her he arbores- ente.Remarquonsquelespro éduresquiintègrentle retourarrièreintelligentoul'apprentissageparl'é he permettentessentiellementdepallierleseetsnéfastes demauvais hoixdevariables.LeBa kjumping "ba k-tra ke" ommesiladernièrevariableavait été hoisie juste après les autres variables oupables des é he s sur ettevariable.LeDynami ba ktra kingréordonne les variables a posterioripour retrouver l'ordre qu'il aurait mieux valu hoisir. En onséquen e, meilleure est l'heuristiquede hoixdevariable,pluslegain ap-porté par es mé anismes est limité. C'est pourquoi nous simplierons notre étudeen ne onsidérant que lesméthodes dere her he quiin luent seulement des te hniques(prédi tives)deltragedesdomaines.

3 CSP extrêmaux

Pourdes ensembles de variablesX et de domaines Ddonnés,nousallonsprésenterune lassedeCSPqui a la propriété informelle suivante : tout CSP possé-dantaussi l'ensemblede variablesX et l'ensemblede domaines D mais qui n'est pas dans ette lasse est telqu'ilexistetoujoursunCSPde ette lassequiest plusdi ilequelui,quelquesoitleniveaude onsis-tan epartiellemaintenuparlapro éduredere her he arbores ente utilisée. L'idée est qu'il sut de savoir résoudre tous les CSP de ette lasse pour être a-pablederésoudren'importequelCSPquipossède es mêmes variables et es mêmes domaines. Nous don-nons maintenant une dénition pré ise des membres de ette lasse,appelésproblèmesextrêmaux.

1

Ilestbienévidentqu'enpratiqueilnesutpasqu'ilexiste unepreuve ourtepour qu'ellesoitfa ileàtrouver.Lanotion dedi ultéquenousintroduisonsi idièrede ellequiest ha-bituellementutilisée,quiestliéeautempsmoyenderésolution

Un CSP est dit extrêmal s'il est in onsistant et si l'ajout de n'importe quel ouple d'ae tations de va-riable autorisédansl'ensemble des ontraintesle ren-drait onsistant.

Les CSP extrêmaux sont saturés de solutions par-tielles impliquant

n

− 1

ae tations de variables. Ils sontdon potentiellementdi ilesàrésoudrepardes méthodes dere her hearbores ente ar lesméthodes deltragesdedomainesparmaintiend'un ertain ni-veau de ohéren e ( ohéren e d'ar , de hemin, et ) peuventsouvents'avérertotalementinopérantes.Leur di ulté relatives'expliqueainsi:

 Sionajouteun oupled'ae tationsdevariableà unCSPextrêmal,ilpossèdeaumoinsunesolution etdon uneméthodedere her hearbores enteou deréparationlo aleestsus eptibledetrouverune solutionrapidement.

 Si on lui retire un ouple d'ae tations de va-riable, on introduit des possibilités supplémen-taires de ba ktra ker (à ause de e ouple de-venu interdit) à la méthode de re her he arbo-res ente et on lui évite l'exploration de ertains sous-arbres. En d'autres termes, on aajouté un nogood (ie, une ontrainte redondante) don la preuvedel'in onsistan epeutêtrera our ie. Pour es raisons, haque CSP extrêmal est norma-lement plus di ile à traiter que beau oup d'autres CSP : eux qui autorisent les mêmes ouples de va-leurs mais auxquels on a soit ajouté soit retiré des ouplesdevaleursautorisés.Bienévidemment,lefait qu'unCSP soitextrêmalnegarantitpasqu'ilsoit in-trinséquement di ile mais il garantit une di ulté relativeparrapportàtoutunensembled'autresCSP demêmetaille.

Nous allons maintenant transposer le modèle de CSP sous la forme d'un problème sur les graphes andefa iliterl'appréhensionetla ara térisationdes CSPextrêmaux.LesCSPbinairessontreprésentables sous forme de graphes simples olorés par e qu'on appelleleurmi rostru ture.

Dénition 4 Mi rostru tured'unCSP

Lami rostru tured'unCSPestungraphe olorédont haque sommet orrespondàune ae tationd'une de ses variables ave une valeur de son domaine, dont haque arête orrespond à un ouple de valeurs auto-riséetdont haquesommet est oloréparsonnuméro de variable.

Lami rostru tured'unCSPpossédantnvariablesest ungraphen-partiten- oloré( haquepartieaune ou-leur spé ique). Il est onsistant s'il ontient une

n-dansle adredesgraphes.

Dénition5 CSP extrêmal (2)

UnCSPestditextrêmalsisami rostru tureesttelle qu'ellene ontientau unen- liquemais quel'ajoutde n'importe quelle arêteentre deuxsommets de ouleur diérenteferait apparaîtreune n- lique.

A titre d'exemple, nous donnons en gure 1 les 4 stru turespossiblesdeCSPextrêmauxlorsqu'ilya3 variablesdont ha undesdomainesestdetaille 2.

Fig.1Les4stru tures deCSP extrêmaux ayant3 variablesdontlesdomainessontdetaille2.Lesellipses entourentlessommetsdemême ouleur.Iln'yaau un triangle. Toute nouvellearête liant deux sommetsde ouleurdiérente réeraitaumoinsuntriangle.

La théorie des graphes extrêmaux est l'étude de la façondontlastru tureintrinsèquedegraphesleur as-surel'existen ede ertainespropriétés,telleque l'exis-ten e de liques ou la oloriabilité. Par exemple, le théorème de Turan [16℄ montre l'uni ité de T(n,k), le graphe à n sommets sans k- lique qui maximise le nombre d'arêtes. Ce qui signie qu'un graphe à n sommets ayant plus d'arêtes ontient au moins une k- lique.Laproposition2donneunrésultatsimilaire (maisiln'yapasuni itédugraphe)pourlesgraphes n-partite sans n- lique. Les mi rostru tures de CSP extrêmauxsontainsiuneformedegraphesextrêmaux. Anotre onnaissan e,leurspropriétésn'ontpasen ore étéétudiées.

3.1 LesCSPextrêmauxpour dé iderde la onsis-tan e

La onsidération desCSP extrêmauxpermet d'ob-tenirun nouveau moyende dé iderde la onsistan e d'unCSP.

Proposition1 Un CSP est in onsistant si et seule-ment si sa mi rostru ture est un graphe partiel (au sens large) de la mi rostru ture d'un CSP extrêmal

stru tureest ungraphe partiel de elled'un CSP ex-trêmal est in onsistant ar e CSP extrêmal est lui-même in onsistant. Considérons maintenant un CSP in onsistant.Soitonnepeutajouterunearêteàsa mi- rostru turedetellefaçonquelami rostru ture résul-tantesoit elled'unCSPin onsistantetalorsonavait aaire à un CSP extrêmal, soit on peut ajouter une arête qui maintienne l'in onsistan e et on obtient un nouveaugraphe. Dans edernier as, onpeutréitérer la tentatived'ajout d'arêtepréservant l'in onsistan e. Maisau boutd'un nombre ni d'itérations, on abou-tira for ément à une mi rostru ture de CSP onsis-tant ar toutemi rostru ture estungraphe partieldu graphen-partite omplet( onsistant). Don toute mi- rostru turedeCSPin onsistantestungraphepartiel demi rostru turede CSP extrêmal.

Enadmettantqu'ilestplusdi iledemontrerqu'il n'existepasde n- lique dans un graphe quedans un de sesgraphes partiels, nous pouvons onsidérer que sinous disposonsd'uneméthode e a esurles CSP extrêmauxalorselledoitêtre en orepluse a esur touslesautresCSP.

3.2 Les CSP extrêmaux pour montrer la onsis-tan e

L'étudedespropriétésdesCSPextrêmauxpeut per-mettred'obtenirdesmoyensdedéterminerrapidement la onsistan e de ertains CSP. En voi i un exemple simple.

Proposition 2 Le nombre maximum d'arêtes dans la mi rostru ture d'un CSP extrêmal ayant n va-riables et dont les domaines sont D

1

, ..., D

n

est

(

P

i=n−1

_i=1

P

j=n

_j=i+1

|D

i

|.|D

j

|) − d

1

.d

2

où

d

1

et

d

2

sont lestailles desdeuxpluspetitsdomaines.

Preuve 2 Considérons le CSP n'ayant au une ontrainte dont les domaines sont D

1

, ..., D

n

, 'est-à-dire elui dont la mi rostru ture est un graphe n-partite omplet. Ce graphe ontient

P

i=n−1

i=1

P

j=n

j=i+1

|D

i

|.|D

j

|

arêtes et

Q

i=n

i=1

|D

i

|

n- liques (ie, solutions). Si on retire une arête entre deux sommets dont les tailles des parties sont

|D

i

|

et

|D

j

|

, on fait disparaître

Q

_k=n

k=1

|D

k

|

|D

i

|.|D

j

|

n- liques. Pour maximiser le nombre de n- liques enlevées, il faut minimiserle produit

|D

i

|.|D

j

|

, 'est-à-dire hoisir les plus petits domaines, dont les tailles seront notées

d

₁

et

d

2

. Lorsqu'on va retirer d'autres arêtes, on ne pourra pas retirer plus de n- liques que la première fois. Mais on pourra en retirer autant : il sut de retirer une nouvelle arête liant des sommets asso iés

deux variables, il n'y aura plus de n- liques et il restera

(

P

i=n−1

i=1

P

j=n

j=i+1

|D

i

|.|D

j

|) − d

1

.d

2

arêtes dans la mi rostruture.

Lami rostru tureenhautàgau hedelagure1 pré-sente une telle mi rostru ture deCSP extrêmal dont on a retiré toutes les arêtes entre deux variables à partirdugraphe tripartite omplet.Remarquonsque plusieurs types de CSP extrêmaux peuvent avoir le nombremaximald'arêtes.Parexemple, elui enhaut àdroitedelagure1possèdeaussi8arêtes.

CettepropriétéportantsurlesCSPextrêmauxnous permet d'en obtenir une sur la onsistan e des CSP généraux.

Proposition3 Tout CSP ayant n variables, dont les domaines sont D

1

, ..., D

n

et dont la mi- rostru ture ontient stri tement plus de

A

=

(

P

i=n−1

i=1

P

j=n

j=i+1

|D

i

|.|D

j

|) − d

1

.d

2

arêtes, où

d

1

et

d

₂

sont les tailles des deux plus petits domaines, est onsistant.

Preuve 3 D'aprèslaproposition2,toute mi rostru -turedeCSPayantplusdeAarêtesn'estpas elled'un CSP extrêmal et n'est pas non plus elle d'un de ses graphes partiels, don , d'après la proposition 1, elle n'estpasla mi rostru tured'unCSPin onsistant.

Nous avonsdon une méthode de omplexité tempo-relleen

Θ(n

2

)

quipeutpermettred'établirqu'unCSP est onsistantsans trouverdesolution. Evidemment, ette méthodene peutpasdéterminerl'in onsistan e de CSP et elle n'est apable d'établir la onsistan e que d'un nombretrès restreint deCSP. Nous l'avons évoquéi i pourillustrer lapossibilitéd'avoirdes mé-thodesde omplexitéfaiblepermettantdedéterminer la onsistan edeCSPenétudiantlesCSPextrêmaux. DespropriétésdeCSPextrêmauxplusutilesrestentà trouver.

3.3 Les CSP extrêmaux pour montrer l'in onsis-tan e

Maintenant,nousallonsvoirqu'onpeutaussidénir des méthodes depreuved'in onsistan e en se basant sur les CSP extrêmaux.Lorsqu'on fait une re her he arbores entepourrésoudreunCSP, on her he à dé-terminersisami rostru ture ontientunen- lique.Si on trouveune n- lique, ons'arrête aron aétabli la onsistan e.Mais en'estqu'aprèsavoirépuisétoutes les ombinaisonsdesommetsquel'onpeutétablir l'in- onsistan e.Grâ eàlanotiondeCSP extrêmal,nous pouvonsdénirunalgorithmequiessaiededéterminer si la mi rostru ture d'un CSP est un graphe partiel

peut s'arrêter et on lure à l'in onsistan e du CSP dès qu'un CSP extrêmal dont il est le graphe par-tiel esttrouvé.Lagure2présente et algorithme.Il présupposel'existen ed'unepro édured'énumération desCSP extrêmauxquiontlemêmeensemblede do-mainesqueleCSPàrésoudre,ainsiqu'unepro édure de test d'isomorphisme de graphe partiel. Cet algo-rithme onsidère ha un des CSP extrêmaux et s'ar-rêteen on luantàl'in onsistan edèsqueletest d'iso-morphismedegraphepartielestpositif.Par ontre,si le CSP est onsistant, il le vérieen énuméranttous lesCSPextrêmauxasso iéseten onstatantqu'iln'est legraphepartield'au un d'entreeux.L'intérêtde et algorithme est quel'in onsistan e peut être détermi-néetrèstt, dèslespremierstestsd'isomorphismede graphe partiel, si on est apable d'énumérer lesCSP extrêmauxdansunordre hoisiparunebonne heuris-tique.

pro edureest-in onsistant(P) pourtoutG

∈

Frontiere(P)faire

siP estisomorpheàungraphepartieldeG retourne VRAI

retourne FAUX

Fig.2Lapro édureest-in onsitant(P),qui per-met dedéterminerl'in onsistan e d'unCSP en géné-rantdesCSPextrêmaux.

Remarquons quand même que leproblème dutest d'isomorphismedegraphepartiel,qui estun as par-ti ulierdutestd'isomorphismedesous-graphe,estun problèmeNP- omplet.Cependant,ilestd'autantplus fa ile que le graphe partiel est pro he du graphe de référen e. En parti ulier, le problème du test d'iso-morphisme de graphe

2

est onsidéré omme plus fa- ile (et est résolu très e a ementen pratique) bien que personne n'ait démontré jusqu'à présent s'il est NP- ompletoupas.Or,lapossibilitéderésoudre e- a ementdesCSP in onsistantsquisontpro hesdes CSP extrêmauxnousintéressentparti ulièrement ar ils fontpartie de euxquiposentleplusdedi ultés auxméthodesdere her hearbores enteusuelles.Cet algorithmeestdon sus eptibled'êtrepluse a esur les problèmes onsidéréshabituellement omme di- iles et ine a es sur les problèmes qu'on sait déjà fa ilement résoudre. Mais avant tout,pour appliquer etteméthode,ilnousfaudraitsavoirénumérer rapide-mentlesCSPextrêmaux.Ceproblèmeestnontrivial, ommenousallonslevoirdanslase tionsuivante.

2

L'algorithmede test d'in onsistan e de la gure 2 né essiteunepro éduree a edegénérationdeCSP extrêmauxpourêtreelle-mêmee a e.D'unemanière générale,la génération e a e degraphes ayant er-taines propriétés est un problème qui peut être plus ou moins di ile en fon tion de la propriété de es graphes.Ladi ultéestdenepasgénérerdegraphes isomorphes entre eux ar ils sont équivalents. Deux graphes sont isomorphes s'il existe une bije tion des sommets de l'un vers les sommets de l'autre et que ette bije tion appliquée à l'ensemble des arêtes de l'un donne lesarêtesde l'autre.Une lasse d'isomor-phismereprésente l'ensemble desgraphes isomorphes entreeux.Unepro éduredegénérationdegraphes res-pe tant ertainespropriétés(dansnotre ontexte:être une mi rostru ture de CSP extrêmal)ne doit idéale-ment générer qu'un seul représentant, appelé graphe anonique, par lassed'isomorphisme. C'est d'autant plus ru ial que le ardinal d'une lasse d'isomor-phisme ontenant des graphes de

n

sommets est

n

!

(le nombre de permutations de l'ensemble des som-metsquiproduisentungraphediérent)sisesgraphes ne ontiennentpasd'automorphisme(depermutation qui laisse le graphe in hangé), e qui est le as de la majorité des graphes. Les seules lasses d'isomor-phisme qui ne ontiennent qu'un représentant sont elles ontenantungraphe ompletouungraphesans arête.Parexemple,la lassed'isomorphismede CSP extrêmauxquiestreprésentéeenbasàdroitedela -gure1 ontientleCSPdonttouslesdomainessont{1, 2} et donttoutes les ontraintessontdes ontraintes de diéren es. Elle ontient aussi les trois CSP ave lesmêmesdomainesmaisuneseule ontraintede dié-ren eetdeux ontraintesd'égalité.Pourpasserdu pre-mierCSPàl'undestroisautres,ilsutdepermuter deux valeursdudomainede l'une destrois variables. Les4 lassesd'isomorphismedesCSP extrêmauxà3 variablesdontlesdomainessont{1,2} ontiennenten tout33CSPdiérents.

Ilexiste des pro édures générales degénération de graphes sans isomorphe qui imposent des onditions surla anoni ité, lesplus onnusétant lesorderly al-gorithm [14℄, mais ils n'expli itent pasun testde a-noni itéquisoit e a e.Anotre onnaissan e,untel teste a en'apasen oreététrouvédansun ontexte général(si tantest qu'ilexiste). Par ontre,il existe des pro édures spé ialisées pour générere a ement lesgraphesquiont ertainespropriétés:lesarbres,les graphes ubiques (ie, dont tous les sommets ont de-gré3) [2℄et plusgénéralement,lesgraphesayantdes propriétés héréditaires

3

[8℄. Nous n'avons pas en ore

trêmauxet ettepartiedutravailrestedon àfaire. Par ontre,ilestbeau oupplusfa iledetrouverun algorithmedegénération deCSP extrêmauxsi onne sesou ie ni de sa rapidité ni du problème de redon-dan e dû auxisomorphismes. Un telalgorithme sera quand même utile pour la raison suivante. La lasse des problèmes extrêmaux in lut l'ensemble des pro-blèmes lesplus di iles à résoudre parles méthodes arbores entes habituelles.Si des améliorationsde es méthodessont apablesderésoudree a ementtous lesCSPextrêmauxalorsonpourra onsidérerque 'est aussivrai pour tous lesCSP in onsistants. Or, nous avonstoutnotretempspourgénérerdessériesdeCSP extrêmaux qui pourraient servir de bibliothèques de problèmesdestinésàéprouverleste hniquesde réso-lutiontraditionnellesouleursaméliorations.

pro eduregenere-extrêmaux(P,A) S

=

her he-solution(P) siS

=

nil a heP retourneVRAI sinon pourtoute

∈

S

∩

Afaire

sigenere-extrêmaux(P

\

{e},A

\

S)

=

VRAI retourneVRAI

retourneFAUX

Fig.3Lapro éduregenere-extrêmaux(P, A),qui permet de générer des CSP extrêmaux qui sont des graphespartielsdeP.

La pro édure genere-extrêmaux(P, A) (gure 3) permet de générer des CSP extrêmaux qui sont des graphes partiels de P. Au départ P et A sont tous les deux le même graphe n-partite omplet. La pro- édure onsisteà her heritérativementune solution auproblème et àla fairedisparaître de e problème, jusqu'à equ'ilneresteplusdesolution.SiP ontient une n- lique S, on essaie toutes les façons de retirer une arête de

S

∩ A

, où A est l'ensemble des arêtes qu'on s'autorise en ore à retirer. Puis, on retire une arêtedePetonretiredeAtouteslesarêtesdeS. De ettemanière, onsait quesi on rajoutait ettearête plustard,onferaitànouveauapparaîtreSpuisqueles autresarêtesquiformentS seronttoujoursprésentes. Ainsi, après avoir retiré un ertain nombre d'arêtes selon e s héma, lorsqu'on arrive à une mi rostru -ture qui n'a plus de n- lique, on garantit que toute arête qu'on ajouterait à la mi rostru ture ferait ap-paraître (au moins) une n- lique, e qui orrespond bienàunCSPextrêmal.Notonsdeuxin onvénientsà

tude(uniquementde orre tion)etelleestinutilisable parlapro édureest-in onsitant(P) ar elleutilise elle-mêmeune méthodedéjà apablededéte ter l'in- onsistan edeCSPextrêmal.Enpratique,ellegénère touslesCSP extrêmauxayant3variables detaille 2. Nous n'avons puvériersi elle restait omplète ave des valeurs plusélevées à ause du nombre extrême-ment grand de CSP extrêmaux qui en résulte. Quoi qu'il en soit, elà nous sut pour générerautantde CSPextrêmauxquel'onveutpour réerdesCSP dif- ilesàrésoudreparlesméthodesarbores entes exis-tantes.

5 Les CSP extrêmaux di iles

Nousavonstoutd'abordessayédegénérerdesCSP extrêmaux detelle manièrequele retraitd'arêtesoit fait aléatoirement. Les temps de résolution obtenus étaient toujours très faibles. Ce i s'explique fa ile-ment.Mêmesiladénitiond'unCSPextrêmal garan-titquesiunCSPn'estpasextrêmalalorsilexisteun CSP extrêmal qui est plusdi ile àrésoudreque lui par une méthode de re her hearbores ente,il existe des CSP extrêmaux qui sont plus fa iles à résoudre que des CSP non extrêmaux. Par exemple, le CSP extrêmal qui orrespond à un graphe n-partite dont on a retiré toutes les arêtesentre deux parties ( f le graphe en haut à gau he de la gure 1) est un CSP qui interdittout ouplede valeursentredeux des va-riables. Une simple re her he en profondeur d'abord sansltragemaisave uneheuristiquede hoixde va-riable qui hoisit la variable de plus faible degré est apable delerésoudreen ba ktra kant systématique-ment sur la deuxième variable hoisie. Par ailleurs, seul le CSP représenté en bas à droite de la gure 1 est ar - onsistant. Par ontre, lorsque les CSP ex-trêmauxontplusdevariablesetdesdomainesdeplus grandetaille,presquetous esCSPontundegréde o-héren epartielle élevé: haquevaleuradenombreux supportsdanstouslesdomainespuisqu'elleappartient àdenombreuses(n-1)- liques.

Comme nous l'avons vu, pour qu'un CSP (extrê-mal ou non) soit le plus di ile possible, il faut que sontempsderésolutionsoitlemoinssensiblepossible à l'ordre de hoix des variables ee tués par une re- her hearbors ente.Sinon, il y aurait de grosé arts detempsderésolutionet elaimpliqueraitqu'ilexiste untemps de résolutionfaible pourunordre de hoix devariabledonné.Leproblèmeneseraitdon pas di- ileensoi.Al'opposé,s'ilest omplètementinsensible à l'ordredu hoixde variable, 'est qu'il est omplé-tementsymétrique( ommeleCSPenbasàdroitede

équivalentes.AndegénérerdesCSPextrêmaux réel-lementdi iles,nousavonsfaitensortedeminimiser l'é art de degré entre leurs sommets de plus haut et de plusbasdegré.Cela s'intègretrès fa ilement dans lapro éduregenere-extrêmauxenfaisantensortede hoisirderetirerdePenpremierl'arêtequimaintient l'é artde degrélepluspetit. L'équilibreentre les de-grés des sommets favorise l'apparition des symétries maisnelagarantitpasdutout.

Andevérierladi ultédesCSPextrêmaux équi-librés, aprèslesavoirgénérégrâ e ànotrepro édure, nouslesavonsrésoluàl'aided'unere her he arbores- ente lassique : un Forward-Che king ave l'heuris-tiquede hoixdevariabledynamiquedom/deg(taille du domaine divisé par le degré de la variable dans le graphe de ontraintes). Le tableau 1 indique le nombremoyenderetoursarrièresetlenombremoyen den÷udsdel'arbredere her hedes100premiersCSP extrêmauxgénéréspour haqueparamétrage(nombre de variables, taille des domaines). En regard, nous avons indiqué les résultats (ave la même pro édure derésolution)pourlesCSPaléatoiresde[7℄demême taillelesplusdi iles, 'est-à-dire euxdontlegraphe de ontraintesest ompletet dontlavaleurdedureté des ontraintes maximise le temps moyen de résolu-tion (problèmesau pi de omplexité). Les temps de résolution ne sont pas indiqués ar ils sont presque toujours trop faibles pour être mesurés (inférieurs à 0.01 se onde) sauf pour les CSP extrêmaux ave 25 variables qui ont des temps moyens de résolution de 0.04se ondes.

Nous pouvons onstater que les CSP extrêmaux équilibrésquenousgénéronssontbeau oupplus di- ilesàrésoudrequelesCSPaléatoiresgénérésauseuil, à nombre de variables et à taille de domaine égaux. Nousavonsdon bien trouvéuneméthodede généra-tiondeproblèmesplusdi iles( 'est-à-dire,pluslong àrésoudreenmoyenne)quelesCSPaléatoireslesplus di iles générésdefaçon lassique.

L'autre ara téristiquedesCSPquenousavons ob-tenu est que leur di ulté n'est pas for ément une fon tion roissante du nombre de variables et de la taille de leurs domaines. Nous avons onje turé la ausesuivante.Commel'égalitédedegréentreles som-metsestune onditiondesymétriené essairemaisnon susante,notre pro édureapuobtenirdesCSPtrès symétriques dans ertains as mais pas symétriques dansd'autres as.Pourvérier ette onje ture,nous avons déterminé le nombre d'orbites des mi rostru -tures générées,grâ e àNauty [9℄.L'orbite d'un som-met dansungrapheest l'ensembledessommetsdont il peut être l'imagepar unautomorphisme (une

per-auquel e sommet appartient. Ainsi, plus le nombre d'orbitesdans ungrapheest grand,moins il ontient desymétries.Silenombred'orbitesestégalaunombre desommets,il n'y apasdesymétrie. Expérimentale-ment,nous onstatonseneetquelesCSP parti uliè-rementdi iles sont euxqui ontun ertain nombre desymétries:lesproblèmesayant25variablesde do-maine de taille 4 ont 90 orbites en moyenne ( e qui signie que10 de leurssommets appartiennentàdes symétries) tandis que les autres problèmes n'ont pas de symétries. La onnaissan ede es symétries peut êtreextrêmementutilepoura élérerlarésolutionde es CSP grâ e à des méthodes de traitement de sy-métries [4, 12, 10, 1, 5,13℄. Cependant, il n'en reste pasmoinsquelesCSPquin'ontpasdesymétriessont quandmêmebienplusdi ilesquelesCSPaléatoires de même taille.Sans avoirde symétrie,ils possèdent une ertaine régularité et un niveau de onsistan e partielle très élevé qui met en é he les heuristiques de hoix de variables et les te hniques de ltrage de domaines.

6 Travaux onnexes

Lare her hedepropriétés ara térisantladi ulté desCSPoudesproblèmesSATest trèsa tivedepuis une dizained'années. Un ertain nombre de travaux essaient de déterminer quels paramétrages de CSP aléatoiresrendentles problèmesdi iles et pourquoi [17, 15℄. D'autrestravauxremarquentunegrande va-riabilité dans le temps de résolution de ertains pro-blèmes onsistants.Dans[6℄,onmontre qu'ilest pos-sible d'éviter à une re her he de se perdre dans un grand sous-espa e sans solution en introduisant de l'aléatoire dans ertains hoix de valeurs et en arrê-tantpuisenrelançantlapro édureplusieursfois. Cer-tains problèmes onsistants qui paraissaient di iles ne le sont don plus du moment qu'on s'autorise à revenir sur ertains hoix de valeurs avant la n de l'explorationd'unsous-arbre.Mais,dans[11℄est dé-nielanotionde"ba kbone"qui ara térisel'ensemble desae tationsdevariablesque ontiennenttoutesles solutions d'un problème. Il y est montré que plus la taille du"ba kbone"est grande,plusle problèmeest di ile. Les problèmes onsistants qui ont un grand "ba kbone" sont don intrinsèquement plus di iles quelesautres arilyaungrandnombredevariables pourlesquellesuneseulevaleur orre teestpossiblesi onveutobtenirune solution.

La notion de "ba kdoor" [18℄ est utilisée pour a-ra tériser une ae tation d'un sous-ensemble des va-riables du problème qui permet à une pro édure de

n d # BT # n÷uds #BT #n÷uds 13 8 251(247-255) 503(499-507) 11(0-22) 93(13-183) 17 6 115(108-142) 365(323-512) 10(0-20) 99(17-185) 22 5 78(6-209) 223(36-575) 7(0-17) 94(22-185) 25 4 12821(5049-30070) 43022(20948-102431) 6(5-10) 50(32-70)

Tab.1Comparaisonsdunombremoyenderetours-arrière(BT)et den÷uds pourdiérentestailles de pro-blèmesentreles100premiersCSPextrêmauxgénérésparlapro éduregenere-extrêmauxet100instan esdes CSPaléatoireslesplusdi iles.(Lesrésultatsmoyenssontsuivisdeleurintervalledevaleursentreparenthèses.

blème. Plus la plus "ba kdoor" de taille minimum est grande, plusle problème est di ile pour la mé-thode de résolution utilisée. D'autres travaux s'inté-ressent aux problèmes in onsistants, omme dans le présent arti le. Le on ept le plus pro he de elui de CSP extrêmal est peut-être elui de noyau insa-tisable (unsatisable ore) pour SAT[3℄. Un noyau insatisableminimumest le pluspetit sous-ensemble de lauses insatisable d'un problème SAT. Plus le noyauinsatisableminimumestgrand,pluslenombre d'étapespourrésoudreleproblèmeest élevé.Un pro-blème SAT di ile peut don être déni omme un problème dont toutes les lauses sont utiles à la dé-monstration de son insatisabilité, e qui est le as lorsque toutes ses lauses onstituent le noyau insa-tisable minimum. Lui retirer une lause le rendrait satisable, tout omme ajouter un ouple de valeurs autorisérendunCSPextrêmal onsistant.

Remarquonsquetoutes espropriétésdeproblèmes di ilesnepermettentpasde ara tériserleur stru -tureaussinementquepourlesCSPextrêmaux.

7 Con lusion et perspe tives

Dansle butde ara tériserpré isément e qu'était un CSP di ile, nous avons introduit la lasse des CSP extrêmaux. Nous avons montré expérimentale-mentqu'engénérantdesCSPextrêmauxdontles som-mets de la mi rostru ture ont des degrés voisins, on peut obtenirdesproblèmes beau oup plusdi iles à résoudre que des CSP aléatoires de même taille au pi de omplexité.LesCSPextrêmauxéquilibréssont onçuspourmettreené he àpeuprèstoutesles te h-niquesderésolutionproposéesjusqu'àprésent: répa-rationlo ale, re her hearbores ente ave ltrage, re-tourarrièreintelligent,heuristiquede hoixdevariable oudevaleur,traitementdessymétries.Ils onstituent don undéetné essitentl'élaborationdete hniques derésolutionnouvelles apablesdelestraiter e a e-ment. Dans ette perspe tive, nous avonsdonné une dénition de la onsistan e d'un CSP en fon tion de lapossibilité quelami rostru ture d'unCSP soit un

évoquerunnouveaus hémad'algorithmepourdé ider dela onsistan edeCSP.L'e a itéde es hémasur lesCSPdi ilesrestepourl'instantspé ulativeet né- essitequ'onsa hegénérerrapidementdesCSP extrê-maux. C'est ette question ru ialequ'il nousfaudra maintenanttraiter.

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